Физика плазмы, 2023, T. 49, № 3, стр. 270-277

1. ВВЕДЕНИЕ

При анализе нелинейных волн большой амплитуды в плазме, особенно для определения условий существования периодических, солитонных и ударно-волновых решений, широко применимы методы механической аналогии. Наиболее известен из них – метод псевдопотенциала Сагдеева. Это метод носит имя Роальда З. Сагдеева, который вместе с коллегами применил его для анализа нелинейных ионно-звуковых волн в бесстолкновительной плазме с холодными ионами и безынерционными распределенными по Больцману электронами, [1–3]. В результате им была показана возможность нелинейных дозвуковых периодических и сверхзвуковых уединенных ионно-звуковых волн (солитонов), а также определена предельная скорость солитонов (критическое число Маха).

Справедливо указать на более ранние работы А.И. Ахиезера и Р.В. Половина [4, 5], применивших другой вариант метода механической аналогии для анализа нелинейных электронных волн в плазме.

Техника и многочисленные примеры применения метода псевдопотенциала Сагдеева описаны в многочисленных оригинальных работах, общее число которых перевалило за несколько тысяч, и во многих книгах по теории волн и физике плазмы [6–11]. Укажем также работы [12, 13], в которых был представлен новый вариант метода механической аналогии – метод псевдопотенциала Бернулли.

Однако при детальном анализе решений, получаемых с помощью методов псевдопотенциала, а также в самом решении Сагдеева нами были обнаружены некоторые противоречивые моменты, на которые ранее нигде не обращалось внимание. В данных методических заметках описаны эти противоречия, а также представлена новая интерпретация полученного в [1–3] решения, которая устраняет указанные противоречия.

2. ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЯ САГДЕЕВА НАХОЖДЕНИЯ ПРОФИЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

Здесь дается детализированное решение задачи о профиле нелинейной ионно-звуковой волны в холодной плазме, нежели в оригинальных работах Сагдеева и др. [1–3], в которых решение представлено весьма кратко. Обращается внимание на некоторые нюансы, которые полезны для исследователей и которые обычно опускают, считая их тривиальными. Некоторые из нюансов, которые важны при устранении возникающего противоречия, выделены шрифтом.

Следуя [3], рассмотрим одномерное волновое движение нерелятивистской бесстолкновительной плазмы, содержащей квазинейтральную смесь электронного и ионного газов с концентрациями ${{n}_{{0e}}}$ и ${{n}_{{0i}}}$ в невозмущенном волной состоянии при условии ${{n}_{{0e}}} = {{n}_{{0i}}} = {{n}_{0}}$. При этом будем считать, что ионный газ – холодный.

Обозначим $e < 0$ − заряд электрона и –e положительный заряд однократно заряженного иона. Тогда, имеет место соотношение квазинейтральности невозмущенной плазмы $e{{n}_{{0e}}} - e{{n}_{{0i}}} = 0$. Так как обычно масса иона m велика по сравнению с массой электрона, пренебрежем электронной массой, т.е. будем считать электронный газ безынерционным.

Запишем следующую общую систему одномерных уравнений, описывающую динамику ионного газа в плазме:

− уравнение непрерывности

− уравнение движения

− электростатическое уравнение Пуассона

в которых обозначено ${{{v}}_{i}}$ − скорость ионов в волне, φ − электростатический потенциал.

Будем считать, что электронный газ подчинен распределению Больцмана

Найдем решение уравнений (1)−(4) в форме стационарной продольной ионно-звуковой волны, распространяющейся в положительном направлении оси 0x, т.е. вправо, с фазовой скоростью V. Для этого введем волновую переменную

Эта подстановка преобразует систему уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рекомендуем перейти из лабораторной системы отсчета (ЛСО) в систему отсчета, связанную с волной (ВСО). Для этого воспользуемся правилом Галилея

В этой системе невозмущенная волной плазма движется с отрицательной скоростью –V, т.е. влево.

Здесь следует обратить внимание на следующий нюанс. Во многих работах, следуя [3, 6], обычно делают замену (5), оставаясь при этом в ЛСО, т.е. записывая уравнения (1) и (2) для переменной ${{{v}}_{i}}$. В книге [14], делая замену (5), предложено переходить к переменной u_i в ВСО в соответствии с (6), что является более естественным и существенно упрощает вид решения. Так поступим и мы. Тогда исходные уравнения (1)−(3) перепишутся в виде

Проинтегрируем уравнения (7) и (8) при условиях $\mathop {\lim }\limits_{{{u}_{i}} \to - V} {{n}_{i}} = {{n}_{0}}$ и $\mathop {\lim }\limits_{{{u}_{i}} \to - V} \varphi = 0$, получив при этом

Обратим внимание на то, что в (10) скорость ионов в ВСО отрицательна, т.е. направлена влево. Это замечание важно, если необходимо, например, вычислять ионный поток в ионно-звуковой волне [15].

Комбинируя (10) и (11), получим зависимость n_i от φ

при подстановки (12) вместе с зависимостью n_e от $\varphi $ (4) в уравнение Пуассона (9), оно примет вид

Уравнение (13) имеет вид уравнения движения некой псевдочастицы единичной массы в неоднородном силовом поле F_s(φ) в отсутствии трения, в котором φ играет роль псевдокоординаты, а ξ ‒ псевдовремени.

Умножим обе части уравнения (13) на dφ/dξ и проинтегрируем его с условием U_s(φ)_{φ = 0} = 0, дающем точку равновесия. В результате получим выражение для псевдопотенцила Сагдеева

полученное в [1–3].

Повторное интегрирование (14) методом разделения переменных дает точное выражение профиля волны φ(ξ) в неявной форме. Получаемое при этом выражение громоздко и неудобно для анализа, поэтому оно здесь опущено.

Квадратурное решение уравнения (14) не будет полным без анализа того, какие типы волн в ней возможны и при каких условиях. Проще всего это сделать, анализируя псевдопотенциал (14).

На рис. 1а‒в показаны три возможных варианта графиков псевдопотенциала U_s(φ) при различных значениях скорости волны V. Все кривые на них ограничены справа точкой A, в которой подкоренное выражение в (12) обращается в нуль. При бóльших значениях потенциала φ корень становится мнимым, что соответствует отражению ионов от потенциального барьера в волне и появлению многозначности в профиле ионной плотности, т.е. опрокидыванию волны назад.

При малых значениях скорости волны V, меньших скорости ионного звука ${{V}_{s}} = \sqrt {{{k{{T}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k{{T}_{e}}} m}} \right. \kern-0em} m}} $ (это выражение можно вывести из дисперсионного уравнения для ионно-звуковых волн малой амплитуды – см., напр., [9, 13]) псевдопотенциал имеет локальный минимум в нуле (рис. 1а). Колебания псевдочастицы в потенциальной яме вблизи этого минимума соответствуют периодической ионно-звуковой волне, а наибольший отрицательный размах колебаний происходит до точки локального максимума потенциала, где псевдосила обращается в нуль (F_s(φ) = 0).

Точное решение этого трансцендентного уравнения можно выразить через отрицательную ветвь W-функции Ламберта W_–1(x) [13, 16], которая есть функция, обратная к функции $y = x\exp x$, при этом выражение для ${{{{\varphi }}}_{{{\text{max}}}}}$ имеет вид:

Колебания псевдочастицы максимального размаха, начинающиеся из положения локального максимума, определяют сепаратрису на фазовом портрете, и могли бы соответствовать уединенной волне. Однако такое решение не удовлетворяет условию φ → 0 при ξ → ±∞ и должно быть отброшено. Поэтому дозвуковые уединенные ионно-звуковые волны (солитоны) не существуют.

Для сверхзвуковой волны существуют две формы кривых псевдопотенциала: обе с локальным максимумом в нуле и с локальным минимумом при некотором $\varphi > 0$. Кривые отличаются только тем, что точка A на рис. 1 может находиться или выше (рис. 1б), или ниже (рис. 1в) горизонтальной оси ${{U}_{s}}{{(\varphi )}_{{ = 0}}} = {{0}_{\varphi }}$.

Колебания псевдочастицы в потенциальной яме вблизи локального минимума не удовлетворяют условию $\int_0^\Lambda {\varphi \left( \xi \right)} d\xi = 0$ для периодической волны с периодом Λ, являющемуся следствием квазинейтральности невозмущенной плазмы. Следовательно, сверхзвуковые периодические ионно-звуковые волны не существуют.

Что касается солитонов, то они существуют только для случая рис. 1б, когда нулевой уровень псевдоэнергии, касательный к точке локального максимума в нуле, пересекает кривую при φ > 0, т.е. когда существует замкнутая сепаратриса на фазовом портрете псевдоосциллятора. Критическая (максимально возможная) скорость солитона V_max определяется из условия нахождения точки A на оси 0φ, т.е. когда ${{U}_{S}}{{\left( \varphi \right)}_{{\varphi = - {{m{{V}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m{{V}^{2}}} {2e}}} \right. \kern-0em} {2e}}}}} = 0$:

В [2] было дано приближенное решение трансцендентного уравнения (16) в виде V_max ≈ 1.6V_s, а максимальная амплитуда солитона при этой скорости волны ‒ φ_max ≈ –1.3kT_e/e. Точное решение этого уравнения удается получить опять же с помощью W-функции Ламберта [16]

Укажем, что для некоторых других моделей плазмы критические числа Маха были найдены в [17].

Таким образом, скорость солитона лежит в диапазоне V_s > V > V_max, причем при максимальной скорости его амплитуда максимальна и равна ${{\varphi }_{{\max }}} = {{ - mV_{{\max }}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - mV_{{\max }}^{2}} e}} \right. \kern-0em} e}$ ≈ ${{ - \left( {1.2566431208...} \right)k{{T}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \left( {1.2566431208...} \right)k{{T}_{e}}} e}} \right. \kern-0em} e}$. Заметим, что амплитуда ионно-звукового солитона положительна, т.к. заряд электрона e < 0.

В итоге, в результате анализа псевдопотенциала Сагдеева U_s(φ) получено, что дозвуковой периодической волной и сверхзвуковым солитоном исчерпывается набор стационарных нелинейных ионно-звуковых волн. Их профили, вычисленные методом Рунге–Кутты из уравнения (13), показаны на рис. 2 и 3 соответственно. Другие типы волн при анализе задачи при этом не проявились.

Важно отметить, что профиль потенциала в периодической волне на рис. 2 не симметричен относительно нуля, что является следствием несимметричности потенциальной ямы на рис. 1а относительно точки равновесия ${{n}_{0}}$ на дне этой ямы.

Этими выводами исчерпывается анализ нелинейных ионно-звуковых волн произвольной амплитуды в плазме в [1–3]. Подобными выводами обычно ограничиваются и многие другие исследователи, рассматривая другие типы электростатических волн (например, электронно-акустические, пыле-акустические волны) в плазмах различного состава и с разными законами распределения частиц, отличающихся от больцмановского.

А каковы профили концентраций плазменных компонентов в волне? Следующий раздел посвящен ответу на этот вопрос.

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ИОНОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ И ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОТИВОРЕЧИЯ

Далее рассматриваются только нелинейные периодические ионно-звуковые волны.

Для вычисления профиля концентрации ионов в волне проще всего воспользоваться уже посчитанным профилем потенциала φ(ξ) из рис. 2 и формулой (12). На рис. 4 представлен профиль ионной концентрации n_i(φ), вычисленный при тех же параметрах, что и φ(ξ) на рис. 2. Видно, что n_i(φ) осциллирует относительно значения n₀, формируя фазы сжатия и разрежения в волне. Видно, что эти колебания несимметричны, фазы сжатия и разрежения в них имеют сильно различающиеся друг от друга профили. Эта асимметрия является следствием отмеченной выше асимметрии профиля φ(ξ) на рис. 2.

Легко вычислить среднее за период волны значение концентрации ${{\left\langle {{{n}_{i}}(\varphi )} \right\rangle }_{\Lambda }}$. Это среднее показано на рис. 4 горизонтальной прямой 2. Здесь мы приходим к серьезному противоречию: оказывается ${{\left\langle {{{n}_{i}}(\varphi )} \right\rangle }_{\Lambda }} < {{n}_{0}}$, т.е. не выполнен закон сохранения числа ионов в плазме! Для параметров, при которых вычислялся профиль рис. 4, расчеты дают, что ${{\left\langle {{{n}_{i}}\left( \varphi \right)} \right\rangle }_{\Lambda }} \approx 0.8923{{n}_{0}}$. Куда делись недостающие 10% ионов? Ответа на этот вопрос до недавнего времени не было.

Нами была исследована величина расхождения между ${{\left\langle {{{n}_{i}}(\varphi )} \right\rangle }_{\Lambda }}$ и n₀. Было найдено, что это расхождение растет с ростом амплитуды волны и максимально при ${{{{\varphi }}}_{{{\text{max}}}}}$ (15).

Надо сказать, что аналогичные расхождения между средней за период и невозмущенной концентрациями ионов обнаруживались и в других моделях плазмы при вычислении потоков частиц, генерирующих ионно-звуковой волной [15, 18], и ранее – в других задачах [19–21]. Но поскольку объяснений им не было, внимание на них не заострялось.

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛА БЕРНУЛЛИ: ПРОТИВОРЕЧИЕ УСИЛИВАЕТСЯ

Для устранения ряда математических трудностей при выводе псевдопотенциала Сагдеева для электростатических волн в плазме сложного состава был разработан метод псевдопотенциала Бернулли U_B(n_i) [12, 13, 22–24]. В нем роль псевдокоординаты играет концентрация, например, ионов, а в квантовой плазме – химический потенциал [25, 26]. Псевдопотенциал Бернулли в отличие от псевдопотенциала Сагдеева оказался более универсальным и более удобным для анализа эволюции концентрации компонентов плазмы и пространственного заряда в волне. Подробно этот метод описан в [12, 13].

В различных моделях плазмы получение псевдопотенциала Бернулли осуществляется путем сведения исходных уравнений к дифференциальному уравнению 1-го порядка Бернулли относительно концентрации ионов, интеграл которого и дает псевдопотенциал. Если же известно явное выражение для псевдопотенциала Сагдеева, то получить псевдопотенциал Бернулли можно путем замены переменных и последующей перенормировки. Например, в рассматриваемой в п. 2 задаче следует подставить (4) и (12) в (14), а затем умножить его на функциональный коэффициент, пропорциональный $n_{i}^{{ - 6}}$. Это было проделано в [12], в результате чего было получен псевдопотенциал Бернулли в виде

для которого должно выполняться ${{U}_{B}}{{({{n}_{i}})}_{{{{n}_{i}} = {{n}_{0}}}}} = 0$.

На рис. 5 представлен график псевдопотенциала Бернулли для периодической ионно-звуковой волны при V < V_s и при тех же параметрах, что и для псевдопотенциала Сагдеева на рис. 1а. Прокомментируем его.

Видно, что псевдопотенциал Бернулли имеет локальный минимум в точке $n = {{n}_{0}}$. Колебания псевдочастицы в потенциальной яме вблизи этого минимума соответствуют периодической ионно-звуковой волне, а наибольший отрицательный размах колебаний происходит до точки локального максимума потенциала, где псевдосила Бернулли обращается в нуль.

Принципиально, что потенциальная яма несимметрична. В ней склон, соответствующий фазе сжатия везде круче, чем склон, соответствующий фазе разрежения. Это свидетельствует о том, что псевдочастица при любой амплитуде колебаний будет дольше находиться в фазе разрежения, чем в фазе сжатия. Следовательно, среднее положение псевдочастицы всегда меньше равновесного: ${{\left\langle {{{n}_{i}}(\varphi )} \right\rangle }_{\Lambda }} < {{n}_{0}}$! При этом, чем больше амплитуда колебаний, тем больше и расхождение. Этот факт усиливает противоречие, отмеченное в разд. 3.

Отметим, что асимметрия пседопотенциала Бернулли относительно ${{n}_{0}}$ для периодических электростатических волн возникала и в других исследованных моделях плазмы и типов волн в [13, 19, 20, 27].

Таким образом, обнаруженное и подтвержденное противоречие, которое заключается в неравенстве средней за период волны концентрации ионов и заданного в задаче значения концентрации плазмы, требует скорейшего разрешения.

5. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ОБЪЯСНЕНИЕ ПРОТИВОРЕЧИЯ И РЕЦЕПТ ЕГО УСТРАНЕНИЯ

Объяснение описанному выше противоречию основано на выборе начальных условий. Особенно важно, какой смысл придается величине ${{n}_{0}}$.

Рассмотрим сначала, каков смысл величине ${{n}_{0}}$ придавали авторы [1‒3]. Работы [1, 2] являются обзорными, в них рассмотрены много разнообразных плазменных задач, но каков смысл ${{n}_{0}}$ дается именно в задаче о нелинейных ионно-звуковых волнах в них не сказано. Однако в [3] (см. С. 127) в уравнениях (1)−(4) предлагается выбирать следующие начальные условия для невозмущенной плазмы: $\varphi = 0$, ${v} = 0$, ${{n}_{i}} = {{n}_{e}} = {{n}_{0}}$, т.е. ${{n}_{0}}$ − концентрация невозмущенной плазмы. Таким образом, можно утверждать, что и в [1, 2] ${{n}_{0}}$ − концентрация невозмущенной плазмы.

В целом ряде книг рассмотрена задача о нелинейных ионно-звуковых волнах, в которых не указан физический смысл ${{n}_{0}}$, но везде в них дается ссылка на оригинальные работы [1‒3]. Например, в книгах [10, 28‒31]. Следовательно, можно считать, что и в них полагается, что ${{n}_{0}}$ − концентрация невозмущенной плазмы. В других книгах таких, как [6, 8, 9, 32, 33], это прямо указано.

Такой выбор начальных условий, когда за ${{n}_{0}}$ принималась концентрация невозмущенной плазмы, был сделан в огромном количестве оригинальных исследований нелинейных электростатических волн в плазме, базирующихся на методе псевдопотенциала Сагдеева (например, в [34‒45]). В большой группе работ выбирались начальные условия для плазмы, находящейся в динамическом равновесии (например, [46‒53]). Но легко видеть на рис. 5, что условие невозмущенности и условие равновесия для этой задачи эквивалентны.

В указанных оригинальных работах профили концентраций частиц не исследовались, поэтому противоречие не было выявлено.

Справедливо также заметить, что автор данной заметки и его соавторы до недавнего времени также использовали начальные условия для невозмущенной плазмы.

В [14] (см. С. 406) предложены иные начальные условия для задачи Сагдеева: ${{n}_{i}} = {{n}_{e}} = {{n}_{0}}$ − значения концентрации в точках, в которых потенциал φ принят равным нулю. Т.е. ${{n}_{0}}$ не является здесь концентрацией невозмущенной плазмы!

Для иллюстрации правильности такого выбора начальных условий представим вычисленные синхронизированные профили n_e(ξ) и n_i(ξ) (рис. 6). Эти вычисления были осуществлены с помощью уже посчитанного профиля потенциала φ(ξ) из рис. 2, а также формул (4) и (12). Видно, что кривые n_e(ξ) и n_i(ξ) пересекаются в точках квазинейтральности ${{n}_{i}} = {{n}_{e}} = {{n}_{0}}$, однако средние их значения, во-первых, лежат на другом уровне и, во-вторых, совпадают друг с другом! В итоге, решения для n_e(ξ) и n_i(ξ) полностью удовлетворяют уравнениям (1)−(4) и начальным условиям из [14].

Возникает закономерный вопрос: а какова же тогда концентрация невозмущенной плазмы для этих профилей? Ответ оказывается весьма прост: невозмущенная плазма имеет концентрации частиц, совпадающие со средним значением ${{n}_{i}} = {{n}_{e}} = {{n}_{{{\text{средн}}{\text{.}}}}}$, причем среднее значение всегда меньше ${{n}_{0}}$.

При такой интерпретации все возникшие противоречия снимаются полностью.

Таким образом, задача о нелинейных ионно-звуковых волнах, решенная Сагдеевым и др. [1–3], и другие подобные задачи математически представляют собой своеобразную обратную задачу, в которой сначала не задается концентрация невозмущенной плазмы. Эту концентрацию можно и нужно определить при анализе решений уравнений (1)−(4) с начальными условиями из [14].

5. ВЫВОДЫ

Сообщается об обнаружении серьезного противоречия, возникающего в решениях задач о профилях нелинейных продольных электростатических волн в плазме методом псевдопотенциала Сагдеева. Противоречие проявляется в неравенстве среднего за период значения концентрации частиц и заданной концентрации невозмущенной плазмы.

Предложено корректировать постановку подобных задач и изменить интерпретацию получаемых этим методом решений, применив иные начальные условия: необходимо задавать вместо концентрации невозмущенной плазмы концентрацию частиц в точках, в которых потенциал φ принят равным нулю. Концентрацию же невозмущенной плазмы следует определять методом усреднения получаемых профилей волн. С такими начальными условиями противоречие полностью снимается. Ранее эти условия были предложены в [14], но широкого распространения не получили.

Представленный здесь вариант метода псевдопотенцила Сагдеева легко переносится на более сложные модели плазмы, например, электрон-позитронной плазмы [54, 55] или пылевой плазмы [56, 57], и другие типы электростатических волн: электронно-акустические, пыле-акустические и др.

Таким образом, многочисленные ранее опубликованные результаты исследований нелинейных волн методом Сагдеева следует пересмотреть на предмет правильного указания величины концентраций невозмущенной плазмы.

Автор благодарен своим соавторам, и особенно Колоткову Д.Ю., Китаеву И.Н. и Лебедевой К.И., в работах с которыми обнаруживалось рассмотренное здесь противоречие.