Физика Земли, 2020, № 1, стр. 86-95

Стохастическая модель А. Гусева для сейсмического источника: высокочастотное поведение в дальней зоне

Г. М. Молчан *

Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН
г. Москва, Россия

* E-mail: molchan@mitp.ru

Поступила в редакцию 25.04.2019
После доработки 17.06.2019
Принята к публикации 24.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе обсуждаются локальные особенности функции очага, порождающие одновременно а) квадратичное затухание спектра и б) потерю направленности излучения в дальней зоне на высоких частотах. Этот вопрос был поставлен А. Гусевым. Предполагалось, что положительное решение может быть получено для фронтов разрыва с достаточно изрезанной (“кружевной”) структурой. Найдены условия реализации перечисленных свойств. Показано, что структура фронта может быть относительно простой, но негладкой.

Ключевые слова: сейсмический источник, высокочастотное излучение, теоретическая сейсмология, Фурье-анализ.

DOI: 10.31857/S0002333720010081

1. ВВЕДЕНИЕ

А. Гусев [Gusev, 2013; 2014; 2018] привлек внимание к проблеме моделирования сейсмического источника, для которого упругое смещение в дальней зоне обладает двумя свойствами: (а) высокочастотный (ВЧ) спектр спадает, как ${{\omega }^{{ - 2}}},$ и при этом, (б) асимптотика не зависит от направления на приемник. Первое свойство традиционно называют омега-квадрат-поведением, а второе потерей направленности излучения. Квадратичное затухание спектра общепринято в инженерной практике, хотя не исключается конечность частотного диапазона такого поведения [Гусев и др., 2017]. Аналогично обстоит дело и с универсальностью свойства (б). В работах [Kurzon et al., 2014; Wen et al., 2014] имеются контрпримеры, относящиеся к частотному диапазону: $\omega > {{\omega }_{0}},$ где ${{\omega }_{0}}$ есть угловая частота Брюна [Brune, 1970]. Любые исключения подчеркивают сложность задачи А. Гусева и требуют понимания условий, при которых реализуются указанные свойства (а), (б).

Для решения проблемы А. Гусев предложил две, близкие по сути, кинематические модели очага с элементами стохастического поведения [Gusev, 2014; 2018]. Они позволили воспроизвести ключевые свойства ВЧ излучения: существование двух угловых частот, плоский участок спектра ускорения после второй угловой частоты (что эквивалентно свойству (а)), и слабый (в модели 2014 г.) эффект направленности излучения. В этих моделях важную роль играет фрактальная природа фронта разрыва. Чтобы воспроизвести указанные особенности, фронт по терминологии А. Гусева должен быть “кружевным”, т.е. очень изрезанным и многосвязным. Поскольку анализ и настройка моделей осуществлялись численно, ответ на вопрос о природе свойств (а), (б) остался открытым. В частности, неясно, насколько сложной должна быть кружевная структура фронта разрыва в условиях (а), (б).

Ниже мы собираемся показать, что для реализации свойства (а) достаточно иметь слегка негладкий фронт разрыва, а для реализации свойства (б) достаточна гладкость распределений шумовой компоненты фронта. Отсюда можно заключить, что фрактальные модели удачно дополняют классические гладкие модели очага [Aki, Richards, 1980]. Причина в том, что в классических моделях свойство (а) неустойчиво, а свойство (б), как правило, отсутствует. Однако добавление слегка негладкой шумовой компоненты фронта позволяет устранить эту неустойчивость и дополнительно реализовать свойство (б). Это наблюдение содержится в технически сложной работе автора [Molchan, 2015]. Представленный ниже анализ обладает большей общностью и простотой.

О структуре работы

В разделе 3 мы описываем локальные особенности гладкой функции источника, которые могут отвечать за квадратичное затухание спектра. В разделе 4 обсуждается более общий класс дважды стохастических моделей Гусева и находятся условия, при которых реализуются свойства (а), (б). В разделе 5 на эвристическом уровне обсуждается природа полученных асимптотик. Для упрощения чтения доказательства математических утверждений вынесены в Приложение.

2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Известно [Aki, Richards, 1980], что поле смещений в дальней зоне допускает представление:

(1)
$\begin{gathered} u(t) = A\int\limits_\Sigma {f({\mathbf{g}},t - dist({{{\mathbf{g}},{{G}_{{rec}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{g}},{{G}_{{rec}}})} c}} \right. \kern-0em} c})d{\mathbf{g}}} \approx \\ \approx A\int\limits_\Sigma {f({{{\mathbf{g}},t - {{t}_{0}} + \left\langle {{\mathbf{g}},{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{g}},t - {{t}_{0}} + \left\langle {{\mathbf{g}},{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \right\rangle } c}} \right. \kern-0em} c})d{\mathbf{g}}} . \\ \end{gathered} $
Здесь: ${{G}_{{rec}}}$ – положение приемника; $\Sigma $ – плоскость разрыва с координатами $({{g}_{1}},{{g}_{2}}) = {\mathbf{g}};$ $f$ – функция источника, т.е. локальная скорость подвижки $\Delta \dot {u}({\mathbf{g}},t);$ ${\mathbf{\gamma }}_{\Sigma }^{{}}$ – ортогональная проекция направления гипоцентр – приемник: ${\mathbf{\gamma }}$ – на плоскость $\Sigma ;$ $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ – скалярное произведение; $с$ – скорость распространения волн; ${{t}_{0}}c$ – расстояние от гипоцентра до приемника; $d{\mathbf{g}} = d{{g}_{1}}d{{g}_{2}}$ – элемент площади.

Для простоты сигнал в представлении (1) рассматривается в скалярном виде.

Применяя преобразование Фурье, получим из (1) двойственное спектральное представление:

(2)
$\begin{gathered} \hat {u}(\omega ) \approx A\int {d{\mathbf{g}}\int {{{e}^{{i{\omega }t}}}} } f({{{\mathbf{g}}{\text{,}}\,t - {{t}_{0}} + \left\langle {{\mathbf{g}}{\text{,}}\,{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{g}}{\text{,}}\,t - {{t}_{0}} + \left\langle {{\mathbf{g}}{\text{,}}\,{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \right\rangle } c}} \right. \kern-0em} c})dt = \\ = A{{e}^{{i{\omega }{{t}_{0}}}}}\int {d{\mathbf{g}}\int {{{e}^{{i{\omega }\left( {s - \left\langle {{{{\mathbf{g,}}{{{\mathbf{\gamma }}}_{{\mathbf{\Sigma }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{g,}}{{{\mathbf{\gamma }}}_{{\mathbf{\Sigma }}}}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right\rangle } \right)}}}} } f({\mathbf{g}}{\text{,}}\,s)ds = \\ = Ae{}^{{i{\omega }{{t}_{0}}}}\hat {f}( - {{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}{{c}^{{ - 1}}}\omega ,\omega ). \\ \end{gathered} $
Здесь $\hat {f}({\mathbf{k}},\omega )$ пространственно-временное преобразование Фурье функции $f{\mathbf{(x}}): = f{\mathbf{(g}},t),$ продолженной нулем за пределы своего ограниченного носителя ${{\Omega }_{f}}.$

Задача омега-квадрат-поведение спектра звучит так: описать физически естественный класс функций очага $f{\mathbf{(x}}),$ для которых $\hat {f}({\mathbf{p}}\omega ),$ ${\mathbf{р}} = ({{ - {{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c},1)$ имеет устойчивую ${{\omega }^{{ - 2}}}$ асимптотику, т.е. наблюдаемую на достаточно массивном множестве направлений ${\mathbf{\gamma }}.$

В силу линейности преобразования Фурье проще изучать локальные фрагменты $f{\mathbf{(x}}),$ а именно $f{\mathbf{(x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{0i}}}} \right|) = f({\mathbf{x}})\varphi ({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{0i}}})} \right..$ Здесь $\varphi ({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{0i}}}} \right.)$ – вспомогательные, бесконечно гладкие, с ограниченным носителем (финитные) функции: они равны 0 вне малой окрестности точки ${{{\mathbf{x}}}_{{0i}}},$ ${{О}_{{{{x}_{{0i}}}}}},$ равны 1 в меньшей окрестности 0.5${{О}_{{{{x}_{{0i}}}}}}$ и в сумме дают единицу: $\sum {\varphi ({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{0i}}})} \right.} = 1.$ Описанные фрагменты не искажают функцию $f{\mathbf{(x}})$ вблизи выбранных точек ${{{\mathbf{x}}}_{{0i}}}$ и гладко обнуляют ее вне малых окрестностей. Высокочастотную асимптотику фрагмента:

(3)
$\int {{{e}^{{i{\omega }\left\langle {{\mathbf{p,x}}} \right\rangle }}}} f({\mathbf{x}})\varphi ({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{0}}}}} \right.)d{\mathbf{x}}: = \hat {f}({\mathbf{p}}\omega \left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right.)$
будем трактовать как вклад окрестности точки ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ в асимптотику $\hat {u}(\omega ).$ Фрагментация функции очага позволяет описывать асимптотику спектра в терминах возможных локальных особенностей функции $f{\mathbf{(x}}).$ При этом не требуется конкретизация модели $f{\mathbf{(x}})$ в целом. Кроме того, рассматриваемые ниже особенности $f{\mathbf{(x}})$ имеют точечный характер и поэтому их спектральный вклад (3) не будет зависеть от выбора вспомогательных функций.

Ниже рассмотрены два типа локальных особенностей функции очага: кусочно-гладкие и фрактальные.

3. ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ ОЧАГА

В этом разделе функция очага $f{\mathbf{(x}}),$ ${\mathbf{x}} = $ ${\mathbf{(g}},t)$ предполагается гладкой внутри ограниченного носителя ${{\Omega }_{f}} \in {{R}^{3}}.$ Для любой внутренней точки ${{{\mathbf{x}}}_{0}} = ({{{\mathbf{g}}}_{0}},{{t}_{0}})$ из ${{\Omega }_{f}},$ фрагмент $f({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}})} \right.$ в этом случае можно считать финитной (т.е. с ограниченным носителем) гладкой функцией. Поэтому его ВЧ вклад в асимптотику (2) пренебрежимо мал, точнее $\left| {\hat {f}({\mathbf{p}}\omega \left| {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{0}}}})} \right.} \right| < C{{\omega }^{{ - n}}},$ если конечен порядок гладкости, $n,$ функции $f{\mathbf{(x}}).$ Это хорошо известный факт из теории преобразования Фурье [Федорюк, 1987].

Следовательно, в гладком случае ВЧ асимптотика $\hat {u}(\omega )$ определяется свойствами функции очага вблизи границы носителя ${{\Omega }_{f}}$ и свойствами самой границы $\partial {{\Omega }_{f}}.$

Назовем границу $\partial {{\Omega }_{f}}$ фронтальной поверхностью очага. В окрестности точки ${{{\mathbf{x}}}_{0}} \in \partial {{\Omega }_{f}}$ будем описывать ее в явном виде $t = {{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ предполагая функцию ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ гладкой или кусочно-гладкой. Индекс $r$ связан с английским термином “rupture”. Наблюдаемый аналог ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ (“arrival function”):

(4)
${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) = {{t}_{0}} - \left\langle {{\mathbf{g,}}{{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right\rangle + {{t}_{r}}({\mathbf{g}})$
определяет время пробега сигнала от точки разрушения ${\mathbf{g}}$ до удаленного приемника. Изолинии ${{t}_{а}}({\mathbf{g}})$ назовем изохронами.

В литературе поведение функции очага вблизи фронта разрыва до конца не формализовано. Допускается, что на стадии фазы залечивания трещины функция очага ограничена [Madariaga et al., 1998; Nielsen, Madariaga, 2003]. В активной фазе разрушения, классические модели (см. [Костров, 1964; Madariaga, 1977; 1983]) демонстрируют сингулярность типа “обратного квадратного корня”, ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt \cdot }}} \right. \kern-0em} {\sqrt \cdot }}.$ Строгое обоснование этой сингулярности в рамках теории упругости дано в работе [Herrero et al., 2006]. Объединяя оба случая, будем рассматривать функцию источника в окрестности ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ следующего вида:

(5)
$f({\mathbf{g}},t) = (t - {{t}_{r}}({\mathbf{g}}))_{ + }^{{{\beta } - 1}}V({\mathbf{g}},t),\,\,\,\,0 < \beta \leqslant 1,$
где ${{a}_{ + }} = \max (a,0).$ Физически интересны значения $\beta = 1$ и $\beta = 1{\text{/}}2.$ В первом случае получаем ограниченность $f,$ а во втором сингулярность типа обратного квадратного корня.

Следующие два утверждения являются следствиями леммы Эрдейи и метода стационарной фазы (см приложение А1).

Уверждение 1. Пусть ${{{\mathbf{x}}}_{0}} = ({{{\mathbf{g}}}_{0}},{{t}_{0}})$ точка границы $\partial {{\Omega }_{f}},$ в окрестности которой функция$f{\mathbf{(x}})$ допускает представление (5) с гладкими функциями ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ и $V({\mathbf{g}},t) \ne 0.$

Пусть в окрестности ${{{\mathbf{g}}}_{0}}$ на границе существует ровно одна и притом невырожденная стационарная точка ${{{\mathbf{g}}}_{s}}$ функции ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}),$ т.е. $\nabla {{t}_{a}}({{{\mathbf{g}}}_{s}}) = 0$ и полная кривизна поверхности ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ в этой точке ненулевая: ${{K}_{s}} \ne 0.$ Тогда ВЧ вклад ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ в спектр источника имеет порядок $O({{\omega }^{{ - ({\beta } + 1)}}}),$ а амплитуда вклада зависит от направленности излучения через стационарную точку. Более точно:

(6)
$\begin{gathered} \hat {u}(\omega \,|\,{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{0}}}})\, \approx \,{{C}_{{\beta }}}{{\omega }^{{ - (1 + {\beta })}}}2\pi A{{\left| {{{K}_{s}}} \right|}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}V({{{\mathbf{g}}}_{s}},{{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}})\varepsilon + o({{\omega }^{{ - 2}}}), \\ \left| \varepsilon \right| = 1,\,\,\,\,\omega \to \infty . \\ \end{gathered} $

Искомое квадратичное затухание спектра реализуется при $\beta = 1,$ т.е. в случае ограниченности $f{\mathbf{(x}})$ в окрестности ${{{\mathbf{g}}}_{0}}.$

При отсутствии стационарных точек спектральный вклад фрагмента имеет порядок $o({{\omega }^{{ - 2}}})$ при любом $\beta > 0.$

Детали обоснования (6) вынесены в Приложение А2.

Сверхзвуковой (super shear) эффект. Существование регулярной стационарной точки ${{{\mathbf{g}}}_{s}}$ у функции ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ означает, что

(7)
$\nabla {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right.) = {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c}.$
Пусть ${\mathbf{v}}({\mathbf{g}}) = ({{{v}}^{1}}({\mathbf{g}}),{{{v}}^{2}}({\mathbf{g}}))$ вектор скорости фронта в точке ${\mathbf{g}}.$ Продифференцируем соотношение $t = {{t}_{r}}({\mathbf{g}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right.)$ по t, учтем (7) и неравенство $\left| {{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \right| \leqslant 1.$ В результате получим необходимое условие существования стационарной точки:
(8)
$\begin{gathered} 1 = \left\langle {\nabla {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right.),{\mathbf{v}}({{{\mathbf{g}}}_{s}})} \right\rangle = \left\langle {{{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c},{\mathbf{v}}({{{\mathbf{g}}}_{{\mathbf{s}}}})} \right\rangle \leqslant \\ \leqslant {{\left| {{\mathbf{v}}({{{\mathbf{g}}}_{{\mathbf{s}}}})} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{\mathbf{v}}({{{\mathbf{g}}}_{{\mathbf{s}}}})} \right|} c}} \right. \kern-0em} c}: = {{{{{v}}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{v}}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}})} c}} \right. \kern-0em} c}, \\ \end{gathered} $
где ${{{v}}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}})$ – полное значение скорости.

Полученное неравенство означает, что в стационарной точке разрыв должен опережать волну по скорости: ${{{v}}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{s}}) \geqslant c.$ Такое явление возможно, хотя для землетрясений наблюдается редко [Madariaga et al., 2000]. В последнее время оно стало объектом интенсивного изучения теоретически, численно и экспериментально (см., например, [Rosakis et al., 1999; Dunham, Archuleta, 2004; Yang, Gao, 2004; Bizzari et al., 2010; Marty et al., 2019]).

В классической модели в работе [Костров, 1964] функция очага имеет вид f(g, t) = $ = {{Ad} \mathord{\left/ {\vphantom {{Ad} {dt({v}_{r}^{2}{{t}^{2}} - {{{\left| {\mathbf{g}} \right|}}^{2}})_{ + }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} \right. \kern-0em} {dt({v}_{r}^{2}{{t}^{2}} - {{{\left| {\mathbf{g}} \right|}}^{2}})_{ + }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}$ и, значит, фронтальная поверхность образует конус: ${{({{{v}}_{r}}t)}^{2}} = {{\left| {\mathbf{g}} \right|}^{2}}.$ Кривизна конической поверхности равна нулю. Поэтому, согласно (6), ВЧ вклад всех стационарных точек конической фронтальной поверхности в ${{\omega }^{{ - 2}}}$ – асимптотику равен нулю.

Смягчим требование о существовании стационарной точки на фронтальной поверхности ${{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ заменив стационарность условной стационарностью.

Пусть ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ теряет гладкость на линии $l:{{g}_{2}} = \psi ({{g}_{1}}).$ Будем считать, что ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ представлена двумя гладкими поверхностями $t_{r}^{ \pm }({\mathbf{g}})$ с общим гладким краем, расположенным над гладкой кривой $l.$ Рассмотрим сужение ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ на линию $l:S({{g}_{1}}) = {{t}_{a}}({{g}_{1}},\psi ({{g}_{1}})).$ Точку ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}} = ({{\tilde {g}}_{{1s}}},\psi ({{\tilde {g}}_{{1s}}}))$ назовем условной стационарной точкой на ${{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ если $S{\kern 1pt} '({{\tilde {g}}_{{1s}}}) = 0.$ Условная стационарная точка считается регулярной, если:

(9)

Утверждение 2. Пусть ${{{\mathbf{x}}}_{0}} = ({{{\mathbf{g}}}_{0}},{{t}_{0}})$ точка границы $\partial {{\Omega }_{f}},$ в окрестности которой функция$f{\mathbf{(x}})$ допускает представление (5) с гладкой функцией $V({\mathbf{g}},t) \ne 0$ и кусочно-гладким фронтом ${{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ указанным выше. Пусть существует условная регулярная стационарная точка ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}} = ({{\tilde {g}}_{{1s}}},\psi ({{\tilde {g}}_{{1s}}}))$ и при этом единственная в окрестности ${{{\mathbf{x}}}_{0}} = ({{{\mathbf{g}}}_{0}},{{t}_{0}}).$ Тогда спектральный вклад фрагмента$f({\mathbf{x}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}})} \right.$ имеет порядок $O\left( {{{\omega }^{{ - ({\beta } + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2})}}}} \right),$ а амплитуда спектра зависит от направленности излучения через стационарную точку. Более точно:

(10)
$\begin{gathered} \hat {u}(\omega |{{{\mathbf{x}}}_{0}}) \approx {{C}_{{\beta }}}{{\omega }^{{{{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} {2 - {\beta }}}} \right. \kern-0em} {2 - {\beta }}}}}}A \times \sqrt 2 \pi {{\left| {{{{\tilde {K}}}_{s}}} \right|}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}V({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}},{{t}_{r}}({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}}))\varepsilon \Delta \\ \left| \varepsilon \right| = 1, \\ \end{gathered} $
где:

(11)
$\begin{gathered} \Delta = {{\left[ {{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial {{g}_{2}}t_{r}^{ + }({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}})}}} \right. \kern-0em} {\partial {{g}_{2}}t_{r}^{ + }({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}})}} - {{\gamma _{\Sigma }^{{(2)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\gamma _{\Sigma }^{{(2)}}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right]}^{{ - 1}}} - \\ - \,\,{{\left[ {{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {{{g}_{2}}t_{r}^{ - }({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}})\partial }}} \right. \kern-0em} {{{g}_{2}}t_{r}^{ - }({{{{\mathbf{\tilde {g}}}}}_{s}})\partial }} - {{\gamma _{\Sigma }^{{(2)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\gamma _{\Sigma }^{{(2)}}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

В условиях $\nabla t_{r}^{ \pm }({\mathbf{g}}\left| {{{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right.) \ne {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c},$ величину $\Delta $ всегда можно считать конечной и ненулевой.

Детали обоснования (10) вынесены в Приложение А3.

Замечания. В рассмотренном случае:

${{\omega }^{{ - 2}}}$ поведение спектра реализуется при физически естественном значении параметра $\beta = 1{\text{/}}2;$

– допустимые направления, на которых может быть зафиксирована асимптотика (10), либо отсутствуют, либо образуют конечный сегмент в плоскости очага.

Действительно, условная стационарная точка ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}}$ является точкой экстремума функции ${{t}_{а}}({\mathbf{g}})$ при условии, что она рассматривается на линии $l:L({\mathbf{g}}) = 0.$ Применяя метод Лагранжа к условному экстремуму, заключаем, что точка ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}}$ вместе с неизвестной константой $\lambda $ определяются соотношением:

(12)
$\nabla t_{r}^{ + }({\mathbf{g}}) - {{{{{{\mathbf{\hat {\gamma }}}}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\mathbf{\hat {\gamma }}}}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c} = \lambda \nabla L({\mathbf{g}}),\,\,\,\,{\mathbf{g}} \in l.$

Остается заметить, что если уравнение (12) разрешимо для вектора ${{\hat {\gamma }}_{\Sigma }}$, тогда оно разрешимо и для любого вектора:

(13)
$\hat {\gamma }_{\Sigma }^{{\varepsilon }} = {{\hat {\gamma }}_{\Sigma }} + \varepsilon \lambda с\nabla L({{{\mathbf{g}}}_{s}}),\,\,\,\,\left| {\hat {\gamma }_{\Sigma }^{{\varepsilon }}} \right| \leqslant 1$
с новой константой ${{\lambda }^{{\varepsilon }}} = \lambda - \varepsilon .$

4. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА ФРАКТАЛЬНОГО ТИПА

Существует другое, формально идентичное (1), интегральное представление смещения в дальней зоне, где исходная функция $f$ интерпретируется как локальный сброс напряжения в момент преодоления барьера (асперити) [Kostrov, Das, 1988; Boatwright, 1988; Gusev, 1989]. В этом случае физические ограничения на $f$ расплывчаты. В работе [Mikumo, Miyatake, 1979] численно исследовалась проблема случайного сброса напряжений на разломе. Процесс разрушения оказался довольно хаотичным, без четко различимого фронта разрыва. Это обстоятельство стимулировало стохастический или фрактальный подход к кинематическим моделям очага.

В работе [Gusev, 2014] численно исследовалась следующая модель:

(14)
$f = V({\mathbf{g}})\phi (t - {{t}_{r}}({\mathbf{g}})),$
где: $\phi (t) \geqslant 0$ гладкая функция на полуоси $t > 0,$ $\phi (0) \ne 0 \cup \infty $ и $\phi (t) = 0$ вне $[0,{{t}_{0}}];$ $V({\mathbf{g}})$ есть локальный сброс напряжений в ${\mathbf{g}},$ не зависящий от времени; ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ момент разрыва и соответственно сброса напряжений в ${\mathbf{g}};$ $V({\mathbf{g}})$ и ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ непрерывны. Фронтальная поверхность разрыва почти плоская и односторонне направлена:
(15)
${{t}_{r}}({\mathbf{g}}) = {{\left\langle {{\mathbf{g}},{{{\mathbf{\gamma }}}_{r}}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {{\mathbf{g}},{{{\mathbf{\gamma }}}_{r}}} \right\rangle } {v}}} \right. \kern-0em} {v}} + \delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}}).$
Здесь: ${{{\mathbf{\gamma }}}_{r}},$ $\left| {{{{\mathbf{\gamma }}}_{{\mathbf{r}}}}} \right| = 1$ – доминирующее направление распространения разрыва; $\nu $ – его средняя скорость, а $\delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ – малое возмущение.

В этой модели носитель $f$ определяется соотношением:

(16)
${{\Omega }_{f}}:{{t}_{r}}({\mathbf{g}}) < t < {{t}_{r}}({\mathbf{g}}) + {{t}_{0}}.$

Функция $f$ гладкая по $t$ для внутренних точек ${{\Omega }_{f}}.$ Поэтому основной вклад в асимптотику $\hat {u}(\omega )$ вносят точки фронтальной поверхности $\partial {{\Omega }_{f}}.$ Более того, он исходит от точек передней границы: $t = {{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ где $f$ как функция во всем пространстве, терпит разрыв.

В модели работы [Gusev, 2014] функции ${{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ и $V({\mathbf{g}})$ фрактальны, т.е. имеют порядок гладкости меньше 1. Для описания таких объектов больше подходит язык случайных функций. В этом случае требуемая функция погружается в ансамбль реализаций с подходящими свойствами (в данном случае, с фиксированным свойством дробной гладкости).

Будем говорить, что случайная функция $\xi ({\mathbf{g}})$ имеет гладкость порядка $0 < {{H}_{\xi }} < 1,$ если

(17)
$\begin{gathered} E{{\left| {\xi ({\mathbf{g}}) - \xi ({\mathbf{\tilde {g}}})} \right|}^{2}}\sim C({\mathbf{g}}){{\left| {{\mathbf{g}} - {\mathbf{\tilde {g}}}} \right|}^{{2{{H}_{\xi }}}}}, \\ {\mathbf{g}} - {\mathbf{\tilde {g}}} \to 0, \\ \end{gathered} $
где: E – символ математического ожидания; $C({\mathbf{g}}) > 0$ гладкая функция; степенной показатель ${{H}_{\xi }}$ известен как параметр Херста (Hurst).

При рассмотрении ансамбля реализаций, индивидуальный спектр $\hat {u}(\omega )$ траектории случайного процесса приходится заменять среднеквадратичным (root-mean-square):

(18)
$r.m.s.\hat {u}(\omega ) = {{(E{{\left| {\hat {u}(\omega )} \right|}^{2}})}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

В условиях (14, 15)

(19)
$\begin{gathered} \hat {f}({\mathbf{p}}\omega ) = \hat {\varphi }(\omega )\int {{{e}^{{i({\delta }{{t}_{r}}({\mathbf{g}}) + \left\langle {{\mathbf{D,g}}} \right\rangle ){\omega }}}}} V({\mathbf{g}})d{\mathbf{g}}, \\ {\mathbf{D}} = {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{r}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{r}}} \nu }} \right. \kern-0em} \nu } - {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c}. \\ \end{gathered} $

Отсюда, предполагая статистическую независимость случайных компонент $\delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ и $V({\mathbf{g}}),$ получим основное спектральное соотношение для дважды стохастической модели (14):

(20)
$\begin{gathered} E{{\left| {\hat {u}(\omega )} \right|}^{2}} = {{\left| {\text{A}} \right|}^{{\text{2}}}}{{\left| {\hat {\phi }(\omega )} \right|}^{2}}\iint {{{m}_{V}}({{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}})} \times \\ \times \,\,{{\chi }_{r}}(\omega \left| {{{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}})} \right.{{e}^{{i{\omega }\left\langle {{\mathbf{D}},{{{\mathbf{g}}}_{1}} - {{{\mathbf{g}}}_{2}}} \right\rangle }}}d{{{\mathbf{g}}}_{1}}d{{{\mathbf{g}}}_{2}}. \\ \end{gathered} $
Здесь: ${{m}_{V}}({{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}}) = EV({{{\mathbf{g}}}_{1}})V({{{\mathbf{g}}}_{2}})$ является корреляционной функцией поля $V({\mathbf{g}}),$ а ${{\chi }_{r}}$ – характеристическая функция приращений $\delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}}){\text{:}}$

(21)
${{\chi }_{r}}(\omega \left| {{{{\mathbf{g}}}_{1}}} \right.,{{{\mathbf{g}}}_{2}}) = E{{e}^{{i{\omega \xi }}}},\,\,\,\,\xi = \delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{1}}) - \delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{2}}).$

Соотношение (20) позволяет качественно понять, когда спектр очага слабо зависит от направления ${\mathbf{D}}.$

Пусть распределение $\xi = \delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{1}})$$\delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{2}})$ имеет гладкую финитную плотность. Тогда его характеристическая функция ${{\chi }_{r}}(\omega \left| {{{{\mathbf{g}}}_{1}}} \right.,{{{\mathbf{g}}}_{2}})$ быстро убывает по частоте при ${{{\mathbf{g}}}_{1}} \ne {{{\mathbf{g}}}_{2}}.$ Поэтому ВЧ асимптотику (20) определяет малая окрестность диагонали ${{{\mathbf{g}}}_{1}}$ = ${{{\mathbf{g}}}_{2}},$ где подынтегральная функция $\exp \left( {i\omega \left\langle {{\mathbf{D}},{{{\mathbf{g}}}_{1}} - {{{\mathbf{g}}}_{2}}} \right\rangle } \right)$ слабо зависит от направленности излучения. Эта идея может быть реализована для широкого класса распределений $\xi .$ Ниже, только для простоты изложения, мы будем считать это распределение гауссовским.

Утверждение 3.Пусть выполнены следующие условия:

a) случайные компоненты модели (14, 15), $V({\mathbf{g}}),$ $\delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ статистически независимы;

б) поле сброса напряжений $V({\mathbf{g}})$ таково, что ${{m}_{V}}({{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}}) > 0,$ ${{m}_{V}}({\mathbf{g}},{\mathbf{g}}) < C$ и $E{{(V({{{\mathbf{g}}}_{1}}) - V({{{\mathbf{g}}}_{2}}))}^{2}}$$ \leqslant C{{\left| {{{{\mathbf{g}}}_{1}} - {{{\mathbf{g}}}_{2}}} \right|}^{{2h}}},$ $h > 0;$

в) приращения поля $\delta {{t}_{r}}({\mathbf{g}})$ распределены по Гауссу со средним 0 и дисперсией

(22)
$E{{(\delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{1}}) - \delta {{t}_{r}}({{{\mathbf{g}}}_{2}}))}^{2}} = {{\left| {{{{\mathbf{g}}}_{1}} - {{{\mathbf{g}}}_{2}}} \right|}^{{2H}}}{{\sigma }^{2}}({{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}}),$
где $\sigma ({{{\mathbf{g}}}_{1}},{{{\mathbf{g}}}_{2}})$ – гладкая функция, отграниченная от нуля и бесконечности;

г) $\phi (t) = {{t}_{ + }}^{{{\beta } - 1}}\varphi (t),$ где $0 < \beta \leqslant 1,$ а $\varphi (t) \geqslant 0$ – гладкая финитная функция и $\varphi (0) > 0.$

Тогда:

(23)
$\begin{gathered} r.m.s.\hat {u}(\omega ) \approx {{\omega }^{{ - ({\beta } + 1{\text{/}}H)}}}{{K}_{{\beta }}}\int {{{m}_{V}}({\mathbf{g}},{\mathbf{g}}){{\sigma }^{{ - 2{\text{/}}H}}}({\mathbf{g}},{\mathbf{g}})d{\mathbf{g}}} , \\ \omega \to \infty , \\ \end{gathered} $
т.е. ВЧ асимптотика спектра очага степенная и не зависит от направленности излучения.

Замечания:

– согласно (23), ВЧ спектр учитывает корреляции случайных компонент модели только на диагонали. Это означает, что ВЧ асимптотику спектра формирует некогерентное излучение точек очага. Необходимость этого свойства подчеркивалось в работах А. Гусева;

– модель Гусева соответствует параметру $\beta = 1.$ В этом случае слегка шероховатая фронтальная поверхность, т.е. поверхность с параметром Херста $H$ близким к 1, устойчиво порождает близкое к омега-квадрат-поведение спектра. Ситуация резко меняется в предельном случае $H = 1,$ когда фронтальная поверхность может быть гладкой. Как показано выше (Утверждение 1), в этом случае квадратичное убывание спектра обеспечивают регулярные стационарные (и фактически неустойчивые) точки фронтальной поверхности. Используя слабую шероховатость с $H \approx 1,$ мы, грубо говоря, стабилизируем поле стационарных точек и, как результат, получаем устойчивое для всех направлений почти омега-квадрат-поведение спектра. Дополнительные условия позволяют также устранить свойство направленности излучения;

– все сказанное относится и к другому физически интересному случаю, когда параметр $\beta = 1{\text{/}}2.$ Для него омега-квадрат-поведение спектра реализуется с менее гладкой фронтальной поверхностью, а именно, с параметром Херста $H = 2{\text{/}}3.$

5. ОБСУЖДЕНИЕ: ИЗОХРОНЫ И АСИМПТОТИКА

Поясним неформально, из чего складывается ВЧ асимптотика спектра очага. В наших примерах функция очага вблизи фронтальной границы имеет особенность вида $(t - {{t}_{r}}({\mathbf{g}}))_{ + }^{{^{{{\beta } - 1}}}}$ с $\beta = 1$ или $\beta = 1{\text{/}}2.$ Поэтому Фурье-преобразование по времени дает ВЧ вклад порядка ${{\omega }^{{ - {\beta }}}}$ (Лемма Эрдейи, А1). Дополнительный вклад исходит от Фурье-преобразования по пространству. Здесь важна аналитическая структура функции ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) = {{t}_{0}} - \left\langle {{\mathbf{g,}}{{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}} c}} \right. \kern-0em} c}} \right\rangle + {{t}_{r}}({\mathbf{g}}),$ т.е. времени прихода сигнала из точки разрыва к удаленному приемнику в направлении ${{{\mathbf{\gamma }}}_{\Sigma }}.$ Эта функция играет роль фазы в интеграле Фурье вида

(24)
$I(\varphi ) = \int {{{e}^{{i{\omega }{{t}_{a}}({\mathbf{g}})}}}} \varphi ({\mathbf{g}})d{\mathbf{g}}.$
Роль финитной гладкой функции $\varphi $ в асимптотике интеграла несущественна и сводится к тому, чтобы пренебрегать границей области интегрирования. Помня об этом, рассмотрим (24) с $\varphi $ = 1 в малой окрестности ${{G}_{0}}$ точки ${{{\mathbf{g}}}_{0}}.$

Пусть $A(t)$ мера точек из ${{G}_{0}},$ где ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) < t.$ Тогда интеграл (24) преобразуется к виду $I({{1}_{{{{G}_{0}}}}})$ = =$\int_{{{t}_{ - }}}^{{{t}_{ + }}} {{{e}^{{i{\omega }t}}}} dA(t).$ Плотность меры, $\dot {A}(t),$ можно интерпретировать как интенсивность изолиний (изохрон) функции ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ на множестве ${{G}_{0}}.$ Подобный объект не нов для сейсмологов (см. [Spudich, Frazer, 1984]). Его важность связана с тем, что аналитические свойства плотности $\dot {A}(t)$ тесно связаны с ВЧ асимптотикой $I({{1}_{{{{G}_{0}}}}}).$

В качестве примера рассмотрим сначала Утверждение 1. Здесь ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ имеет в ${{G}_{0}}$ единственную невырожденную стационарную точку ${{{\mathbf{g}}}_{s}}.$ Поэтому в подходящей системе координат можно считать, что ${{{\mathbf{g}}}_{s}} = 0,$ ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) = - \left( {g_{1}^{2} \pm g_{2}^{2}} \right).$ Рассмотрим более простой эллиптический случай, отвечающий знаку (+). В этом случае (см. рис. 1а) изохроны подобны эллипсам, которые стягиваются к стационарной точке. Тогда ${{A}_{ + }}(t) \approx C - \pi {{( - t)}_{ + }}$ в малой окрестности $t = 0.$ В результате $\dot {A}(t)$ имеет разрыв в момент $t = 0,$ что определяет вклад интеграла $I({{1}_{{{{G}_{0}}}}})$ в ВЧ асимптотику порядка ${{\omega }^{{ - 1}}}.$ Соответственно суммарный вклад стационарной точки имеет порядок ${{\omega }^{{ - {\beta }}}}{{\omega }^{{ - 1}}}.$

Рис. 1.

Изохроны функции ${{t}_{а}}({\mathbf{g}})$ вблизи критической точки ${{g}_{0}}{\text{:}}$ (a), (б) – случаи, в которых ${{g}_{0}}$ является регулярной стационарной точкой; (в) – случай условной регулярной стационарной точки ${{g}_{0}}$ на линии $l,$ где ${{t}_{а}}({\mathbf{g}})$ теряет гладкость.

В гиперболическом случае ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) = - \left( {g_{1}^{2} - g_{2}^{2}} \right)$ изохроны представлены на рис. 1б, а величина $\dot {A}(t) \approx c\ln \left| t \right|,$ $\left| t \right| \ll 1.$ Преобразование Фурье $\ln \left| t \right|,$ как обобщенной функции, есть $ - 0.5\pi {{\left| \omega \right|}^{{ - 1}}},$ $\omega \ne 0$ [Брычков, Прудников, 1977], что позволяет сохранить прежнее заключение о спектре.

В Утверждении 2 пространство делится на две части линией $l.$ В каждой из них, при подходящем выборе системы координат, можно считать, что линия раздела совпадает с осью ${{g}_{1}}$, критическая точка ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}} = 0,$ ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}) = g_{1}^{2} + {{g}_{2}},$ ${{g}_{2}} \leqslant 0$ и ${{t}_{a}}({{g}_{1}},{{g}_{2}})$ = = $ - {{t}_{a}}({{g}_{1}}, - {{g}_{2}})$ для ${{g}_{2}} \geqslant 0.$ В этом примере (см. рис. 1в) изохроны сначала пересекают линию $l.$ Их следы на линии окружают и стягиваются к ${{{\mathbf{\tilde {g}}}}_{s}};$ в критический момент t = 0 изохроны касаются линии $l,$ а затем удаляются от нее. В результате при малых t простой счет дает, $A(t) \approx C - k( - t)_{ + }^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}.$ По Лемме Эрдейи (А1) преобразование Фурье $\dot {A}(t)$ дает вклад в ВЧ асимптотику порядка ${{\omega }^{{{{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Суммарный вклад стационарной точки имеет порядок ${{\omega }^{{ - {\beta }}}}{{\omega }^{{{{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

В Утверждении 3 поле ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ имеет дробную гладкость порядка $H < 1$ в каждой точке пространства и предполагается случайным. В стохастическом анализе плотность изохрон имеет специальное название: “occupation density”. При сделанных нами предположениях плотность $\dot {A}(t)$ определена для почти всех реализаций ансамбля [Xiao, 2013]. При этом гладкость $\dot {A}(t)$ неограниченно растет с уменьшением гладкости исходного поля ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ [Geman, Horowitz, 1978]. Поэтому роль степени негладкости фронтальной поверхности в ВЧ асимптотике спектра очага должна падать, когда изрезанность фронта растет. Это отражено в финальной ВЧ асимптотике ${{\omega }^{{ - {\beta } - 1{\text{/}}H}}},$ найденной в Утверждении 3.

Эвристическое объяснение указанной асимптотики требует обоснования следующих шагов: 1) ВЧ асимптотика интеграла $I({{1}_{{{{G}_{0}}}}})$ = $\int_{{{t}_{ - }}}^{{{t}_{ + }}} {{{e}^{{i{\omega }t}}}} dA(t)$ зависит в основном от концевых точек ${{t}_{ \pm }};$ 2) если невозмущенный линейный фронт распространяется вдоль оси ${{g}_{1}},$ тогда $dA(t) \approx Cd{{g}_{1}}$ вблизи ${{t}_{ + }} = \max t;$ 3) случайное возмущение фронтальной поверхности, согласно (17), дает связь $dt \approx K{{(d{{g}_{1}})}^{H}}.$ Отсюда, $dA(t) \approx C{{(dt)}^{{1{\text{/}}H}}},$ т.е. при $t$, близких к ${{t}_{ + }},$ имеем $\dot {A}(t) \approx C({{t}_{ + }} - t)_{ + }^{{ - 1 + 1{\text{/}}H}}.$ Лемма Эрдейи дает искомый порядок асимптотики ${{\omega }^{{ - 1{\text{/}}H}}}$ для интеграла $I({{1}_{{{{G}_{0}}}}}).$

Дополнительные замечания

– В стохастическом варианте функции очага приходится иметь дело со среднеквадратичным спектром мощности сигнала. В этих терминах сформулировано очень простое для моделирования условие потери направленности излучения в дальней зоне. Оно состоит в том, чтобы распределение приращения поля ${{t}_{a}}({\mathbf{g}})$ в любой паре точек пространства имело высокий порядок гладкости. Скажем, распределение Рэлея с плотностью ${{\sigma }^{{ - 2}}}{{x}_{ + }}\exp ({{ - x} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - x} \sigma }} \right. \kern-0em} \sigma }),$ использованное в работе [Gusev, 2014] для случайной компоненты фронта разрыва, этим свойством не обладает. Не совсем ясно, как указанное статистическое требование к ансамблю заменить детерминированным, пригодным к почти любому представителю этого ансамбля ${{t}_{a}}({\mathbf{g}}).$

– Наш анализ не дает представления о нижнем частотном пороге для ${{\omega }^{{ - 2}}}$-поведения спектра очага. Этот вопрос относится к численному анализу и был исследован А. Гусевым на конкретных моделях [Gusev, 2014].

6. ВЫВОДЫ

Мы рассмотрели гладкие и фрактальные локальные особенности функции очага. Особенности первого типа позволяют при определенных условиях воспроизвести омега-квадрат-поведение спектра в дальней зоне. Источником такого поведения может быть нестандартное условие, при котором скорость фронта разрушения превышает скорость S-волны. В гладких моделях асимптотика спектра зависит от направленности излучения; при этом локальный источник степенной асимптотики проявляется, в лучшем случае, в приемниках, образующих отрезок одномерной дуги.

Введение фрактальности в модель функции очага оказывает стабилизирующее влияние на решение рассмотренной задачи. Более точно, фрактальность позволяет устойчивым образом воспроизвести в дальней зоне и квадратичное затухание спектра, и потерю направленности излучения. Омега-квадрат-поведение можно реализовать (условно говоря) и в активной фазе разрушения, и на стадии залечивания. Однако требования к гладкости фронтальной поверхности не одинаковы: $H = 2{\text{/}}3$ (активная фаза) против $H \approx 1$ (фаза залечивания), что физически вполне естественно. Но в обоих случаях высокая степень негладкости ($H < 1{\text{/}}2$) фронтальной поверхности не совместима с омега-квадрат-поведением спектра. Что касается свойства потери направленности излучения, здесь важно сочетать негладкость ($H < 1$) фронтальной поверхности с гладкостью распределений, описывающих приращения шумовой компоненты этой поверхности. Эти заключения вполне конструктивны для целей моделирования функции очага.

Список литературы

  1. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1977. 288 с.

  2. Гусев А., Скоркина А., Чебров Д. Очаговые спектральные параметры землетрясений восточной Камчатки диапазона М = 3–6 по данным поперечных волн // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. 2017. № 3. Вып. 35. С. 36–49.

  3. Костров Б. Автомодельные задачи о распространении трещин касательного разрыва // Прикладная математика и механика. 1964. V. 28. № 5.

  4. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

  5. Aki K., Richards P. Quantitative seismology: Theory and Methods: W.H. Freeman and Co, San Francisco, Calif. 1980.

  6. Bizzarri A., Dunham E.M, Spudich P. Coherence of Mach fronts during heterogeneous supershear earthquake rupture propagation: Simulations and comparison with observations // J. Geoph. Res. 2010. V. 115. B08301.

  7. Boatwright J. The seismic radiation from composite models of faulting // Bull. Seismol. Soc. Am. 1988. V. 78. P. 489–508.

  8. Brune J.N. Tectonic stress and the spectra of seismic shear waves from earthquakes // J. Geophys. Res. 1970. V. 75. № 26. P. 4997–5009.

  9. Dunham E.M., Archuleta R.J. Evidence for a Supershear Transient during the 2002 Denali Fault Earthquake // Bull. seism. Soc. Am. 2004. V. 94. № 6B. P. S256–S268.

  10. Geman D., Horowitz J. Occupation densities // Annals of Probability. 1978. V. 8. № 1. P. 1–67.

  11. Gusev A. Multiasperity fault model and the nature of short-period subsources // Pure appl. Geophys. 1989. V. 130. P. 635–660.

  12. Gusev A. High-frequency radiation from an earthquake fault: a review and a hypothesis of fractal rupture front geometry // Pure Appl. Geophys. 2013. V. 170(1–2). P. 65–93.

  13. Gusev A. Doubly stochastic earthquake source model: ‘omega-square” spectrum and low high-frequency directivity related by numerical experiments // Pure Appl. Geophys. 2014. V. 171. № 10. P. 2581–2599.

  14. Gusev A. Random kinematics of unbounded earthquake rupture propagation simulated using a selluar model // Geophys. J. Int. 2018. V. 215. P. 924–941.

  15. Herrero H., Oleaga G., Vellazquez J. On the Esheby-Kostrov property for the wave equation in the plane // Transactions of the AMS. 2006. V. 338(8). P. 3673–3695.

  16. Kostrov B., Das S. Principles of Earthquake Source Mechanics, Appl. Math. and Mech. Ser. Cambridge University Press. 1988. 286 p.

  17. Kurzon I., Vernon F.I., Ben-Zion Y., Atkinson G. Ground Motion Prediction Equations in the San Jacinto Fault Zone: Significant Effects of Rupture Directivity and Fault Zone Amplification//Pure appl. Geophys. 2014. V. 171. P. 3015–3081.

  18. Madariaga R. High-frequency radiation from crack (stress drop) models of earthquake faulting // Geophys. J. Int. 1977. V. 51(3). P. 625–651.

  19. Madariaga R. High-frequency radiation from dynamic earthquake fault models // Ann. Geophys. 1983. V. 1(1). P. 17–23.

  20. Madariaga R., Olsen R., Archuleta R. Modeling dynamic rupture in a 3D earthquake fault model // Bull. Seism. Soc. Am. 1998. V. 88. № 5. P. 1182–1197.

  21. Madariaga R., Peyrat S., Olsen K., Archuleta R. Rupture dynamics in 3-D: a review. Problems in Geophysics for the new millennium, a collection of papers in the honour of Adam Dziewonski, E. Boschi, G. Ekstrom, A. Morelli. Bologna, Italy. 2000.

  22. Marty S., Passelègue F.X., Aubry J., Bhat1 H.S., Schubnel A., Madariaga R. Origin of high-frequency radiation during laboratory earthquakes // Geophysical Research Letters. 2019. https://doi.org/10.1029/2018GL080519

  23. Mikumo T., Miyatake T. Earthquake sequences on a frictional fault model with nonuniform strengths and relaxation times // Geophys. J. Royal Astronom. Soc. 1979. V. 59. P. 497–522.

  24. Molchan G. Stochastic earthquake source model: the omega-square hypothesis and the directivity effect // Geophys. J. Int. 2015. V. 202. P. 497–513.

  25. Nielsen S., Madariaga R. On the self-healing fracture mode // Bull. seism. Soc. Am. 2003. V. 93(6). P. 2375–2388.

  26. Rosakis A., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. 1999. V. 284. P. 1337–1340.

  27. Spudich P., Frazer L.N. Use of ray theory to calculate highfrequency radiation from earthquake sources having spatially variable rupture velocity and stress drop// Bull. seism. Soc. Am. 1984. V. 74(6). P. 2061–2082.

  28. Wen Y.-Y., Miyake H., Yen Y.-T., Irikura K., Ching K. Rupture directivity effect and stress heterogeneity of the Nantou blind-thrust earthquakes, Taiwan//Bull. seism. Soc. Am., 2014. V. 104(6). P. 2933–2942.

  29. Xiao Y. Recent developments on fractal properties of Gaussian random fields. In Further Developments in Fractals and Related Fields. Springer. 2013. P. 255–288.

  30. Yang W., Guo G.F. Continuum Analyses for Intersonic and Supersonic Fracture // Key Engineering Materials. 2004. V. 261–263. P. 1–10.

Дополнительные материалы отсутствуют.