Физика Земли, 2021, № 4, стр. 91-100

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением исследований авторов в области пространственно-временных закономерностей сейсмической активности в районах добычи полезных ископаемых. В процессе разработки этой темы мы подтвердили ранее установленный нами закон продуктивности [Баранов, Шебалин, 2020; Shebalin, et al., 2020] для условий техногенной сейсмичности, показав, что число повторных толчков, инициированных более ранним событием (продуктивность), подчиняется экспоненциальному распределению [Баранов и др., 2020]. При этом единственный параметр экспоненциального распределения не зависит от магнитуды события-триггера.

В настоящей работе на примере сейсмичности Хибинского массива будет показано, что расстояния от повторных толчков до инициирующих их сейсмических событий-триггеров подчиняются степенному распределению. Этот вывод согласуется с известными результатами, полученными раннее для афтершоков тектонических землетрясений районов Калифорнии и Японии [Huc, Main, 2003; Felzer, Brodsky, 2006; Richards-Dinger et al., 2010]. Отметим, что последние две работы являются отражением известной дискуссии о способности динамического переноса напряжений вызывать афтершоки.

Авторы работы [Felzer, Brodsky, 2006] сделали вывод, что наблюдаемое степенное распределение расстояний от афтершоков до их основных толчков согласуется с тем, что вероятность возникновения афтершоков практически пропорциональна амплитуде сейсмических волн. Там же авторы показали, что это распределение плохо согласуется с моделями типа rate-state, которые описывают движения по разлому с трением, зависящим от изменения статического напряжения, скорости и состояния [Dieterich, 1994; Scholz, 1998]. Учитывая эту особенность, а также, что изменения статических напряжений для более удаленных афтершоков незначительны, авторы предположили, что афтершоки могут быть инициированы динамическим переносом напряжений от основного толчка. Позднее авторы работы [Richards-Dinger et al., 2010], используя алгоритм работы [Felzer, Brodsky, 2006] для выделения основных толчков и афтершоков, показали, что степенное спадание числа повторных толчков по расстоянию имеет место и для афтершоков, произошедших до прихода сейсмической волны от основного толчка, что в случае динамического переноса напряжений нарушает причинность. Таким образом, степенное спадание числа афтершоков по расстоянию не указывает на то, что динамический перенос напряжений вызывает повторные толчки.

По нашему мнению, также нет основания полагать, что степенной характер пространственного распределения повторных толчков указывает на их инициирование динамическим переносом напряжений от основного толчка, поскольку такое же распределение имеет место и для расстояний между парами землетрясений (без выделения основных толчков и афтершоков) на глобальном и региональном уровнях (см., например, [Kagan, Knopoff, 1980; Kagan 2007] и ссылки там же), отражая фрактальную геометрию сейсмичности. Отметим, что в лабораторных экспериментах по разрушению Ошимского гранита также получена фрактальная структура распределения трещин. [Hirata et al., 1987].

Актуальность настоящего исследования определяется тем, что оно подтверждает, что степенное распределение расстояний от основных толчков до их афтершоков, установленное для тектонической сейсмичности с M ≥ 2, также справедливо и для слабой техногенной сейсмичности (0 ≤ M ≤ 3.3, 10⁴ ≤ E ≤ 8.7 × 10⁹ Дж). Это свидетельствует в пользу универсальности степенного характера пространственного распределения повторных толчков. Вместе с тем, чтобы принять справедливость степенного распределения на всех энергетических масштабах (подобно законам Гутенберга–Рихтера и Омори–Утсу) необходимы лабораторные исследования, аналогичные описанным в работах [Hirata et al., 1987; Смирнов и др., 2019; 2020; Смирнов, Пономарев, 2020].

Добыча полезных ископаемых в тектонически нагруженных массивах горных пород приводит к возникновению техногенной сейсмичности (см., например, [Адушкин, 2013; 2016; Козырев и др., 2018; Адушкин и др., 2020]). В этом случае под воздействием горного давления в подземных выработках действующих рудников происходит нарушение сплошности массива, в том числе и в их приконтурной части, что проявляется в динамических формах в виде шелушения и стреляния пород, динамического заколообразования, микроударов и горных ударов и техногенных землетрясений [Козырев и др., 2016]. Как и в случае тектонической сейсмичности, техногенные землетрясения могут инициировать повторные толчки (афтершоки) [Plenkers et al., 2010; Woodward, Wesseloo, 2015; Козырев и др., 2018; Баранов и др., 2019а; 2020]. После такого землетрясения необходимо быстро принимать решение о приостановке работ, выводе из опасной зоны людей и техники. В этой связи исследования, направленные на изучение пространственно-временных закономерностей постсейсмических процессов в районах добычи полезных ископаемых, имеют выраженную практическую направленность.

В качестве приложения закона продуктивности техногенной сейсмичности, установленного ранее, а также выявленного в настоящем исследовании степенного характера пространственного распределения повторных толчков, аналитически получена модель, позволяющая с заданной вероятностью оценивать размер зоны, где ожидаются повторные толчки. Подчеркнем, этот результат имеет важное значение для обеспечения безопасности горных работ.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И ВЫДЕЛЕНИЕ ИНИЦИИРОВАННЫХ СОБЫТИЙ

Как и в работе [Баранов и др., 2020], в настоящем исследовании использован каталог сейсмических событий, зарегистрированных сетью сейсмического мониторинга КФ АО “Апатит” [Корчак и др., 2014] за период с 1996 по август 2020 гг. (рис. 1). В настоящее время сеть состоит из 50 трехкомпонентных сейсмических датчиков, расположенных на Кировском и Расвумчоррском рудниках с частотой дискретизации входных сигналов 1000 Гц. Мониторинговая сеть позволяет определять положение гипоцентров сейсмических событий с энергией E ≥ 10⁴ Дж с точностью до 25 м в районе уверенной регистрации. Для событий меньших энергий точность определения гипоцентров ниже, например, гипоцентры событий с E = 10³ Дж определяются с точностью до 100 м в районе уверенной регистрации и до 25 м в зоне повышенной точности.

Рис. 1.

Эпицентры сейсмических событий с 1.5 ≤ M ≤ 3.3, зарегистрированные в Хибинском массиве с 1996 по август 2020 гг. на фоне рельефа. Прямоугольником на врезке отмечено местоположение района исследований. Цифрами обозначены месторождения: 1 – Кукисвумчоррское, 2 – Юкспорское (отрабатывает Кировский рудник); 3 – Апатитовый Цирк (Расвумчоррский рудник); 4 – Плато Расвумчорр (до 2014 г. Центральный, в настоящее время – Восточный рудник).

При обработке данных сети сейсмического мониторинга КФ АО “Апатит” рассчитывается энергия события E, Дж. В статье пересчет энергии в магнитуду выполнялся по формуле Т.Г. Раутиан [Раутиан, 1960] lgE(Дж) = 1.8M + 4.0.

Начиная с 1996 г., энергия представительной регистрации сети E_c = 10⁴ Дж, что соответствует представительной магнитуде M_c = 0. Используемый каталог содержит сведения о 71 883 сейсмических событиях с 0 ≤ M ≤ 3.3. Такая представительность и точность расчета положения гипоцентров до 25 м позволяет проводить исследования для очень слабой сейсмичности, что заполняет разрыв между лабораторными экспериментами и натурными наблюдениями. Это является дополнительной проверкой универсальности закономерностей, выявленных как в результате лабораторных исследований, так и в результате анализа глобальных и региональных каталогов тектонических землетрясений.

Выделение событий-триггеров и инициированных ими толчков осуществлялось методом ближайшего соседа [Zaliapin, Ben-Zion, 2016], основанным на использовании функции близости в области пространства–времени–магнитуды [Baiesi, Paczuski, 2004], которая зависит от параметров сейсмического режима: наклона графика повторяемости b, фрактальной размерности гипоцентров землетрясений d_f. Суть метода заключается в том, что для каждого события из каталога кроме первого находится его “предок”, определяемый по минимуму значений функции близости, рассчитанных по всем предыдущим событиям. Если минимальное значение функции близости меньше некоторого порогового значения η₀, то “предок” объявляется триггером анализируемого события. В противном случае связь между этими событиями отвергается. Здесь мы рассматриваем только верхний уровень иерархии, когда триггер и инициированные им толчки составляют одну серию. Если какой-то из инициированных толчков сам является триггером, то он формирует другую серию. События, не имеющие триггеров, считаются фоновыми независимо от того, инициируют они повторные толчки или нет. Для выбора значения η₀ были предложены различные способы (см., например, [Bayliss et al., 2019; Баранов, Шебалин, 2019; Shebalin et al., 2020]). Здесь мы воспользуемся модельно-независимым методом [Shebalin et al., 2020], который в условиях техногенной сейсмичности является более предпочтительным [Баранов и др., 2020].

Применение метода ближайшего соседа к сейсмичности Хибинской ПТС подробно рассмотрено нами ранее в работе [Баранов и др., 2019а; 2020]. Там же были получены следующие оценки параметров: b = 1.25, d_f = 1.55, lg η₀ = –6.25.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ОТ ПОВТОРНЫХ ТОЛЧКОВ ДО ИХ ТРИГГЕРОВ

Для сейсмических событий-триггеров с M_m ≥ 1.5 мы построим распределение расстояний до инициированных ими толчков с магнитудой M ≥ M_m – 1.5. Согласно работам [Huc, Main, 2003; Felzer, Brodsky, 2006; Richards-Dinger et al., 2010], расстояния от основных толчков до их афтершоков r, начиная с некоторого значения r₀, подчиняются степенному распределению:

Здесь n – параметр распределения, характеризующий наклон графика в логарифмическом масштабе по обеим осям.

Оказалось, что для сейсмичности Хибинского массива расстояния от эпицентров событий-триггеров до инициированных ими толчков, начиная со значения r₀ = 0.13 км, также подчиняются степенному распределению (рис. 2) с параметром n = 2.28 для различных диапазонов магнитуд M_m событий-триггеров. Стандартные ошибки σ (для параметра n) и значения r₀ приведены в подписи к рис. 2, а характеристики серий – в табл. 1. Оценка выполнялась методом максимального правдоподобия по работе [Clauset et al., 2009]. Более того, как и в случае работы [Felzer, Brodsky, 2006], значение параметра n не зависит от магнитуды основного толчка.

Рис. 2.

Распределение эпицентральных расстояний от событий-триггеров c различными магнитудами M_m до инициированных ими толчков с магнитудой M ≥ M_m – 1.5. Кружки – фактические значения; сплошная линия – аппроксимация степенным распределением (2) n = 2.28 ± σ; пунктирная прямая соответствует значению r₀, начиная с которого расстояния подчиняются степенному распределению; (а) – M_m ≥ 1.5, σ = 0.06, r₀ = 0.134 км; (б) – M_m ≥ 1.8, σ = 0.10, r₀ = 0.130 км; (в) – M_m ≥ 2.1, σ = 0.124, r₀ = 0.137 км (значения r₀ превышают точность определения гипоцентров равную 0.03 км).

Аналогичный результат справедлив и для расстояний по глубине от событий-триггеров до инициированных ими толчков (рис. 3). В этом случае расстояние в формулах (1) и (2), начиная с которого выполняется степенное распределение, обозначим через h₀. Значения параметра n, стандартные ошибки σ и значения h₀ приведены в подписи к рис. 3, а характеристики серий – в табл. 1. Отметим, что для расстояний по глубине разброс значений параметра n для различных магнитуд больше, чем при эпицентральных расстояниях. Это связано с большими погрешностями в определении глубин в сравнении с погрешностями определения эпицентров и, возможно, с неоднородностями поля напряжений по глубине, увеличивающими вероятность проявлений горного давления в динамической форме [Козырев и др., 2019], которые могут приводить к вариациям затухания числа инициированных толчков с глубиной (параметр n). В любом случае, интервалы ±3σ для значений n перекрываются, что свидетельствует о незначимых расхождениях значений этого параметра.

Рис. 3.

Распределение расстояний по глубине от событий-триггеров c различными магнитудами M_m до инициированных ими толчков с магнитудой M ≥ M_m – 1.5. Кружки – фактические значения; сплошная линия – аппроксимация степенным распределением (2) с параметром n; пунктирная прямая соответствует значению h₀, начиная с которого расстояния по глубине подчиняются степенному распределению; (а) – M_m ≥ 1.5, n = 2.29, σ = 0.05, h₀ = 0.06 км; (б) – M_m ≥ 1.8, n = 2.42, σ = 0.11, h₀ = 0.08 км; (в) – M_m ≥ 2.1, n =2.49, σ = 0.16, h₀ = 0.08 км (значения h₀ превышают точность определения гипоцентров равную 0.03 км).

МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТИ ПОВТОРНЫХ ТОЛЧКОВ

Поскольку параметр степенного распределения n практически не зависит от магнитуды события-триггера, то радиус круга R, где ожидаются инициированные события с магнитудой M ≥ M_m – ΔM, определяется числом толчков заданной магнитуды, инициированных триггером (продуктивность триггера).

Событие-триггер может инициировать несколько зависимых от него толчков, составляющих серию. Поскольку мы рассматриваем только один уровень иерархии, то можно предположить, что события в серии независимы между собой. Пусть для каждой серии число инициированных событий c магнитудами M ≥ M_m – ΔM подчиняется распределению Пуассона со средним Λ [Zoller et al., 2013]. В этом случае вероятность того, что все k инициированных толчков произойдут на расстоянии меньше x от триггера, равна F_r(x)^k, где F_r(x) распределение (1). Используя формулу полной вероятности, получим распределение максимального эпицентрального расстояния R_max от события-триггера до самого удаленного афтершока в серии:

Согласно закону продуктивности землетрясений [Shebalin et al., 2020], подверженному для сейсмичности Хибинского массива [Баранов и др., 2020], число инициированных толчков подчиняется экспоненциальному распределению с плотностью:

Здесь оценкой параметра L является среднее число инициированных событий.

Для получения распределения расстояний от повторных толчков до их триггеров по множеству серий объединим (3) и (4) при x ≥ r₀. Получим функцию распределения:

Поскольку расстояния по глубине от повторных толчков до их триггеров также подчиняются степенному распределению (рис. 3), то аналогичные соотношения справедливы для максимальных расстояний по глубине H_max.

Выражения (5), (6) – модель распределения максимальных расстояний, на которых ожидаются повторные толчки. Соответствие этой модели данным о сейсмичности Хибинского массива показано на рис. 4 (значение параметра L ≈ 3 взято из работы [Баранов, Шебалин, 2020], эту оценку также можно получить по табл. 1, посчитав отношение колонок N и N_s).

Рис. 4.

Плотность вероятности максимальных эпицентральных расстояний R_max, км (а) и расстояний по глубине H_max, км (б) от триггеров c M_m ≥ 1.5 до инициированных ими толчков с M ≥ M_m – 1.5. Кружки – фактические данные по 447 сериям; сплошная линия – аппроксимация формулой (6).

ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

Рассмотрим аспекты применения усредненной модели распределения максимальных расстояний на практике. Непосредственное применение распределения (5) для оценки области повторных толчков с магнитудами M ≥ M_m – ΔM с заданной вероятностью затруднительно, поскольку степенное спадание возникает лишь на некотором, пусть и небольшом, удалении от события-триггера, на котором происходит около половины всех инициированных толчков (табл. 1). Чтобы учесть эту особенность, а также ограниченность зоны горнодобывающей активности мы использовали диаграмму ошибок Молчана [Molchan, 2010], которая представляет собой график зависимости доли пропусков цели ν от доли тревоги τ.

При оценке эпицентральных расстояний за пространство Ω, содержащее 100% всех повторных толчков, примем круг радиуса 2.5 км с центром в эпицентре события-триггера. Такое Ω соответствует зоне контроля объединенного Кировского рудника. Для Расвумчоррского рудника примем такое же пространство Ω. Оценкой эпицентральной области тревоги, где ожидаются повторные толчки, будем считать круг с центром в эпицентре события-триггера и радиусом R_q, рассчитанным для значения вероятности q по обратной функции для распределения (5): ${{R}_{q}} = F_{a}^{{ - 1}}\left( q \right)$. (Параметры распределения (5): n = 2.28, r₀ = 0.134 км (рис. 2а), L = 3 [Баранов и др., 2020].) Эту область обозначим как G_q, а ее площадь как S_q. Тогда доля пространства тревоги τ определяется как отношение S_q к площади Ω (обозначим ее как S_Ω), то есть τ = S_q/S_Ω. Доля пропусков цели ν – это доля повторных толчков вне области тревоги G_q.

При оценке по глубине за пространство Ω примем отрезок длиной H_Ω = 1 км с центром в гипоцентре основного толчка, что соответствует зоне контроля по глубине рудников и содержит 100% всех повторных толчков. Тогда оценкой области тревоги по глубине, где ожидаются повторные толчки, будем считать вертикальный отрезок V_q с центром в гипоцентре события-триггера и длиной H_q, рассчитанной для значения вероятности q по обратной функции для распределения F_a (5) для глубины с параметрами n = 2.29, h₀ = 0.06 км (рис. 3а) и L = 3 [Баранов и др., 2020]. В этом случае доля пространства тревоги τ = H_q/H_Ω. Доля пропусков цели ν – это доля повторных толчков, оказавшихся вне отрезка V_q.

Рассмотренная форма области соответствует цилиндру c радиусом R_q и высотой H_q, центр цилиндра совпадает с эпицентром события-триггера. Выбор такой формы области позволяет независимо определять радиус и высоту цилиндра в зависимости от степени важности прогноза.

Зависимость ν от τ для различных значений q – траектория ошибок. Диагональ (0; 1) (1; 0) соответствует случайному прогнозу. Чем сильнее траектория ошибок отклоняется от этой диагонали, тем лучше прогноз. Параметр q задает размер области тревоги: чем больше q, тем больше область G_q или V_q. Диаграмма ошибок, построенная для разных значений q по ретроспективному прогнозу области повторных толчков с M ≥ M_m – 1.5 (рис. 5), отражает компромисс между ошибками двух родов: увеличение q влечет уменьшение вероятности пропуска, но приводит к увеличению области тревоги и наоборот. Скалярный параметр q, таким образом, можно характеризовать как “функцию тревоги” [Zechar, Jordan, 2008; Shebalin et al., 2014].

Рис. 5.

Диаграмма ошибок для оценки эпицентрального расстояния (а) и расстояния по глубине (б) от события-триггера с M_m ≥ 1.5 до самого удаленного инициированного толчка с M ≥ M_m – 1.5; τ – доля пространства тревоги; ν – доля пропусков цели. Диагональ (0.1)–(10) соответствует случайному прогнозу (пунктирная прямая). Толстая кривая – траектория ошибок. Кружками показаны точки, соответствующие “нейтральной” (0), “мягкой” (1), и “жесткой” (2) стратегиям прогноза (см., основной текст; соответствующие стратегиям значения ν и τ приведены в табл. 2). Тонкими прямыми показаны касательные к траектории ошибок в точках 1 и 2 (на панели (б) касательная к точке 2 совпадает с осью абсцисс).

Выбор значения q должен зависеть от целей прогноза. В некоторых случаях важна низкая вероятность ошибки второго рода, то есть пропуска цели. Например, если сильный афтершок может привести к нежелательным последствиям. В другой ситуации может оказаться необходимым минимизировать размер области, где ожидаются повторные толчки, с целью сокращения расходов на поддержание тревоги. В работе [Баранов, Шебалин, 2017] для формализованного выбора значения параметра q нами был предложен метод трех стратегий. Идея метода заключается в определении предельных точек на траектории ошибок, соответствующих “нейтральной”, “мягкой” и “жесткой” стратегиям.

Точка, соответствующая “нейтральной” стратегии (точка 0 на рис. 5), определяется исходя из минимума функции потерь γ = ν + τ, представляющей собой сумму ошибок двух родов. Эта стратегия применяется, когда цены ошибок двух родов примерно одинаковы или неизвестны. Точка, соответствующая “мягкой” стратегии (точка 1 на рис. 5), определяется положением касательной к траектории ошибок, при котором из-за близости траектории к вертикали даже небольшое изменение размера области тревоги за счет уменьшения q приведет к большому росту вероятности пропуска цели. И наконец “жесткой” стратегии соответствует точка (2 на рис. 5), в которой касательная к траектории ошибок характеризуется тем, что увеличение области тревоги не приведет к снижению доли пропусков цели из-за близости траектории к горизонтали. Значения q, ν, τ, R_max, H_max, соответствующие “нейтральной”, “мягкой” и “жесткой” стратегиям приведены в табл. 2.

Полученная по совокупности серий модель (5), (6) может использоваться в качестве первого приближения области, где ожидаются повторные толчки, инициированные сейсмическим событием c M ≥ 1.5, как только оно произошло. Независимость оценок эпицентрального расстояния и оценок по глубине позволяет использовать различные стратегии для выбора радиуса и высоты цилиндрической области в зависимости от местоположения основного толчка.

Чтобы улучшить эти оценки для конкретной серии, необходим учет информации о первых афтершоках. При этом построенная здесь модель может использоваться в качестве базовой при тестировании моделей, использующих информацию о первых афтершоках. Пример такого использования базовой модели при оценке магнитуды сильнейшего афтершока и длительности опасного периода приведен в работах [Баранов и др., 2019б; Шебалин, Баранов, 2019].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По данным о сейсмичности Хибинского массива было показано, что расстояния от событий-триггеров до инициированных ими толчков в среднем подчиняются степенному распределению, параметр которого практически не зависит от магнитуды триггера. Установленная закономерность согласуется с выводами, полученными ранее для афтершоков тектонических землетрясений [Huc, Main, 2003; Brodsky, 2006; Richards-Dinger et al., 2010].

Данный результат имеет важное теоретическое значение для статистической сейсмологии, поскольку, во-первых, подтверждает степенное распределение для слабой сейсмичности с магнитудами 0 ≤ M ≤ 3.3; во-вторых, дает основания полагать, что при добыче полезных ископаемых в тектонически нагруженных массивах горных пород закономерности, полученные для тектонической сейсмичности, также справедливы.

В исследовании была получена модель максимальных расстояний, на которых ожидаются повторные толчки, основанная на использовании закона продуктивности землетрясений и позволяющая получать оценки сразу после основного толчка. Было показано соответствие этой модели реальным данным. На основе анализа диаграммы ошибок обоснованы рекомендации по использованию данной модели на практике.