Известия РАН. Энергетика, 2019, № 5, стр. 66-79

ВВЕДЕНИЕ

Коаксиальные линии передачи применяются в импульсных установках. На основе коаксиальных проводников выполняются коаксиальные длинные линии мощных генераторов импульсных токов. Коаксиальные кабели используются в линях передачи высоковольтных импульсов для запуска элементов мощных импульсных установок и для измерений.

Основной причиной потерь энергии и искажения формы импульсов тока и напряжения в коаксиальных линиях передачи является явление скин-эффекта в проводниках. Явление скин-эффекта в коаксиальных линиях передачи изучалось ранее [1–4]. Цилиндрическая симметрия коаксиальных токопроводов позволяет выразить распределение поля в металле коаксиальных цилиндрических проводников с помощью функций Бесселя (Ханкеля) и использовать это при вычислении распространения волн тока и напряжения вдоль линии [2, 3]. В [2] такой анализ выполнен для проникновения в металл плоской электромагнитной волны, без учета кривизны поверхностей цилиндрических проводников. В [3] использовано асимптотическое представление функций Бесселя (Ханкеля) (первое приближение, соответствующее плоской волне поля) для оценки влияния поверхностного эффекта на искажение фронта импульса напряжения в коаксиальном кабеле.

Ранее в [5, 6] был применен метод пограничного слоя для анализа проникновения электромагнитного поля в массивные проводники произвольной формы. Этот метод определяет асимптотическое разложение падения напряжения на массивных проводниках.

где $I\left( t \right)$ – ток в массивном проводнике, ${{L}_{e}}$ – внешняя индуктивность массивного проводника (индуктивность на высокой частоте), S – коэффициент первого приближения, соответствующий распространению плоской электромагнитной волны в металле массивного проводника, ${{R}_{S}}$ – коэффициент второго приближения, зависящий от неоднородности электромагнитного поля вне металла и от кривизны поверхностей массивных проводников. Постоянные коэффициенты в (1) определяются следующими соотношениями: где ${\mathbf{b}}({\mathbf{r}}) = \frac{{{\mathbf{\delta }}\left( {\mathbf{r}} \right)}}{I}$ – вектор-функция, заданная на поверхности проводника, ${\mathbf{\delta }}\left( {\mathbf{r}} \right)$ – линейная плотность тока на поверхности проводника, ${{\gamma }_{m}}$ – проводимость металла, ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ – главные кривизны поверхности металла, ${{b}_{1}},{{b}_{2}}$ – проекции вектора ${\mathbf{b}}({\mathbf{r}})$ на линии главной кривизны поверхности, путь интегрирования $\Lambda $ в (2) и (3) совпадает с любой линией плотности тока на поверхности металла.

Параметры S и R_S могут быть рассчитаны и измерены, применение этих параметров для анализа переходных процессов в электрических цепях с массивными проводниками показано в [7, 8].

В настоящей работе рассматривается применение соотношения (1) и скиновых параметров S и R_S для анализа переходных процессов в цепях с коаксиальными кабелями. Изучаются методы измерения скиновых параметров, дана оценка влияния скиновых параметров на искажение фронта импульсов напряжения или тока при распространении электромагнитной волны по коаксиальному кабелю.

СКИНОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ КОАКСИАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ

В коаксиальных сплошных проводниках линии плотности тока параллельны оси кабеля, ток распределен равномерно по цилиндрическим поверхностям внутреннего и наружного проводника, путь интегрирования в (2) и (3) проходит параллельно оси кабеля по наружной поверхности внутреннего проводника и внутренней поверхности внешнего проводника. Для внутреннего проводника ${{k}_{1}} = 0,{{k}_{2}} = r_{1}^{{ - 1}},$ ${{b}_{1}} = \frac{1}{{2\pi {{r}_{1}}}},{{b}_{2}} = 0;$ для наружного проводника ${{k}_{1}} = 0,{{k}_{2}} = - r_{2}^{{ - 1}},$ ${{b}_{1}} = \frac{1}{{2\pi {{r}_{2}}}},{{b}_{2}} = 0,$ где ${{r}_{{{\kern 1pt} 1}}}$ – внешний радиус внутреннего проводника и ${{r}_{2}}$ – внутренний радиус внешнего проводника.

Соотношения (2) и (3) позволяют определить скиновые параметры внутреннего проводника кабеля длиной l

и cкиновые параметры внешнего проводника кабеля длиной l

Линейные скиновые параметры коаксиального кабеля (то есть значения скиновых параметров, приходящихся на единицу длины кабеля)

В настоящей работе результаты исследования проверялись в экспериментах с образцами трех коаксиальных кабелей, изготавливаемых в России, характеристики которых приведены в табл. 1.

ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ СО СКИНОВЫМИ ПОТЕРЯМИ

Телеграфные уравнения коаксиального кабеля со скином (рис. 1)

где $C{\kern 1pt} '$ и $L{\kern 1pt} '$ – линейная емкость и линейная внешняя индуктивность, $I{\kern 1pt} '$ – производная тока, ${{U}_{0}},\,\,{{R}_{i}}$– ЭДС и внутреннее сопротивление источника сигнала, ${{R}_{o}}$ – нагрузочное сопротивление, x – линейная координата кабеля.

В частотной области уравнения длинной линии

где $j = \sqrt { - 1} ,$ $\dot {I}\left( \omega \right) = \int_0^\infty {I\left( t \right){{e}^{{ - j\omega t}}}dt,} $ $\dot {U}\left( \omega \right) = \int_0^\infty {U\left( t \right){{e}^{{ - j\omega t}}}dt} $ – образ Фурье тока и напряжения, $\omega $ – циклическая частота, и линейный импеданс проводников кабеля

При выводе (7) и (8) учитывалось, что преобразование Фурье интеграла $\int_0^t {\frac{{I{\kern 1pt} '\left( \theta \right)}}{{\sqrt {t - \theta } }}d\theta } $ дает в частотной области функцию $\sqrt {j\pi \omega } \dot {I}\left( \omega \right).$ (Приложение 1).

В (8) доля линейного импеданса, вносимого скин-эффектом, составляет $\sqrt {j\pi \omega } S{\kern 1pt} '\,\, + R_{S}^{'}.$ Следует отметить, что в [4] для анализа переходных процессов была предложена похожая аппроксимация для образа Лапласа сопротивления, вносимого скин эффектом в коаксиальных проводниках, в виде $A + B\sqrt s ,$ где s – оператор Лапласа. При этом коэффициент B определялся с помощью асимптотических разложений функций Бесселя и Ханкеля, описывающих проникновение электромагнитного поля в цилиндрические проводники (в первом приближении плоской электромагнитной волны), а коэффициент A определялся эвристическими соображениями и связывался с сопротивлением постоянному току кабеля. Разработанный в [6, 7] метод дает строгое математическое определение скиновых параметров S и R_S, как коэффициентов первого и второго приближения в асимптотическом разложении падения напряжения на массивных проводниках (1) и однозначно определяет соотношения (2), (3) для вычисления этих параметров при произвольной геометрии массивных проводников.

Уравнения (6) и (7) могут быть приведены в безразмерную форму заменой переменных $x = \xi l,$ $t = \frac{l}{{{{{v}}_{P}}}}\tau = l\sqrt {L{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} '} \tau ,$ $U = {{U}_{{0,m}}}u,$ ${{U}_{0}} = {{U}_{{0,m}}}{{u}_{0}},$ $I = \frac{{{{U}_{{0,m}}}\sqrt {C{\kern 1pt} '} }}{{\sqrt {L{\kern 1pt} '} }}i,$ где ${{{v}}_{P}} = \frac{1}{{\sqrt {L{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} '} }}$ – скорость распространения электромагнитной волны в кабеле, U_0,m – характерное или максимальное напряжение источника сигнала.

где $\varpi = \omega l\sqrt {L{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} '} ,$ $\zeta \left( \varpi \right) = j\varpi + \sqrt {j\pi \varpi } s + {{r}_{S}} + ...,$ $s = \frac{{\sqrt l C{\kern 1pt} {{'}^{{\frac{1}{4}}}}}}{{L{\kern 1pt} {{'}^{{\frac{3}{4}}}}}}S,$ ${{r}_{S}} = \frac{{l{{R}_{S}}\sqrt {C{\kern 1pt} '} }}{{\sqrt {L{\kern 1pt} '} }},$ ${{r}_{i}} = \frac{{{{R}_{i}}\sqrt {C{\kern 1pt} '} }}{{\sqrt {L{\kern 1pt} '} }},$ ${{r}_{o}} = \frac{{{{R}_{o}}\sqrt {C{\kern 1pt} '} }}{{\sqrt {L{\kern 1pt} '} }}$ – безразмерные параметры, $\dot {i}\left( {\xi ,\varpi } \right) = \int_0^\infty {i\left( {\xi ,\tau } \right)e{}^{{ - j\varpi \tau }}d\tau } $ и $\dot {u}\left( {\xi ,\varpi } \right)$ = $ = \int_0^\infty {u\left( {\xi ,\tau } \right)e{}^{{ - j\varpi \tau }}d\tau } $ – образы Фурье безразмерных тока $i\left( {\xi ,\tau } \right)$ и напряжения $u\left( {\xi ,\tau } \right).$

ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С КОАКСИАЛЬНЫМИ КАБЕЛЯМИ С УЧЕТОМ СКИНОВЫХ ПОТЕРЬ

Уравнения (10) сводятся к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения

где $\gamma = \sqrt {j\varpi \zeta } $ – безразмерный коэффициент распространения длинной линии.

Решение краевой задачи (11) дает образ Фурье напряжения в длинной линии

и тока

Пусть T – длительность изучаемого процесса, $n = {{2}^{m}},$ m – целое число и $\Delta \varpi = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } T}} \right. \kern-0em} T}.$ Тогда прообраз Фурье напряжения $u\left( {\xi ,\tau } \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {\dot {u}\left( {\xi ,\varpi } \right)\exp \left( {\varpi \tau } \right)d\varpi } $ может быть вычислен в моменты времени ${{\tau }_{k}} = k\Delta \tau ,$ $k = 0,1,...,n,$ $\Delta \tau = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T n}} \right. \kern-0em} n}$ суммированием

Численные значения выражения в квадратных скобках в (14) вычисляются стандартными алгоритмами Быстрого Преобразования Фурье (БПФ).

На рисунке 2 представлены результаты измерения и расчета формы импульса напряжения на входе и выходе кабеля в схеме рис. 1. Этот пример показывает удовлетворительное совпадение результатов расчета с реальным переходным процессом в коаксиальном кабеле РК50-2-11.

ИЗМЕРЕНИЕ СКИНОВОГО ПАРАМЕТРА КОАКСИАЛЬНЫХ КАБЕЛЕЙ НА РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТАХ

Выражения (4), (5) и (6) основаны на представлении коаксиального кабеля в виде сплошных цилиндрических проводников. Реальные коаксиальные кабели устроены по-другому. Внутренний проводник кабеля представляет собой, как правило, сердечник, изготовленный из набора тонких скрученных металлических проволок, а внешний проводник образован медной плетенкой. Поэтому, практически важной задачей является измерение скиновых параметров реальных коаксиальных кабелей $S{\kern 1pt} '$ and $R_{S}^{'}$.

Скиновые параметры $S{\kern 1pt} '$ and $R_{S}^{'}$ являются коэффициентами асимптотических разложений (1); их доля в падении напряжения на кабеле, как правило, мала по сравнению с долей, вносимой $C{\kern 1pt} '{\text{и}}\,L{\kern 1pt} '.$ Поэтому скиновые параметры возможно измерить в электрических режимах, при которых влияние емкости и индуктивности кабеля незначительно. Такие режимы возникают на резонансных частотах, когда в кабеле возникают стоячие волны напряжения и тока. При ограниченной длине кабеля такие резонансные частоты достаточно велики и доля падения напряжения, вносимая скиновым параметром второго приближения $R_{S}^{'}$ при измерении, мала, что не позволяет измерить $R_{S}^{'}.$ Однако скиновый параметр первого приближения $S{\kern 1pt} '$ может быть надежно измерен на резонансных частотах.

В приложении 2 показано, что для закороченного коаксиального кабеля на частотах, при которых в начале кабеля наблюдается резонанс токов, ${{\varpi }_{k}} = k\pi $ ($k = 1,\,2,\,...$) вещественная и мнимая части импеданса

В этом же приложении показано, что на частотах, при которых в начале кабеля наблюдается резонанс напряжений, ${{\varpi }_{m}} = \frac{{2m - 1}}{2}\pi $ ($m = 1,\,2,\,...$) вещественная и мнимая части адмиттанса

В физических переменных резонанс токов имеет место при частоте ${{f}_{k}} = k\frac{{{{{v}}_{P}}}}{{2l}},$ $k = 1,\,2,\,...$. С учетом того, что ${{r}_{S}}\,\, \ll \,\,s$ получим из (15)

где ${{R}_{k}} = \operatorname{Re} \left[ {Z\left( {{{f}_{k}}} \right)} \right]$ – сопротивление, вещественная часть импеданса кабеля на частоте резонанса токов ${{f}_{k}}.$

Аналогично, из (16) следует, что при резонансе напряжений, при ${{f}_{m}} = \frac{{\left( {2m - 1} \right){{{v}}_{P}}}}{{4l}},$ $m = 1,\,2,\,...$ скиновый параметр

где $\,{{G}_{m}} = \operatorname{Re} \left[ {Y\left( {{{f}_{m}}} \right)} \right]$ – проводимость, вещественная часть адмиттанса кабеля на частоте резонанса напряжений ${{f}_{m}},$ $\rho = \sqrt {\frac{{L{\kern 1pt} '}}{{C{\kern 1pt} '}}} $ – волновое сопротивление кабеля.

Частотные характеристики отрезков кабеля могут быть измерены приборами, выпускаемыми промышленностью. На рис. 3 и 4 показаны частотные характеристики вещественной и мнимой части импеданса $Z = R + jX$ и адмиттанса $Y = G + jB$ кабеля РК50-7-21, измеренные прибором Precision Impedance Analyzer WK 6530, изготовленного Wayne Kerr Electronics. Результаты вычисления скинового параметра $S{\kern 1pt} '$ по измеренным значениям $R\left( {{{f}_{k}}} \right)$ и $G\left( {{{f}_{m}}} \right)$ представлены на рис. 5.

Для измеренного отрезка кабеля РК50-7-21 безразмерные скиновые параметры $s = 0.033,\,\,{{r}_{S}} = 1.09 \times {{10}^{{ - 3}}}$. В соответствии с (15) и (16) доля скинового параметра $R_{S}^{'}$ в измеренных значениях R и G при резонансах на самой низкой частоте ($k = 1,m = 1$) не превышает 2%; при более высоких частотах резонанса это доля уменьшается. Это не позволяет выделить значение скинового параметра второго приближения при таких измерениях.

На рис. 6 и 7 представлены результаты измерения скиновых параметров кабелей РК50-2-12 и ФКП.

Для исследованных кабелей трех типов измеренные значения S ' превышают расчетные значения S ', вычисленные по (4). Это объясняется тем, что при выводе (4) предполагалось, что коаксиальные проводники образованы сплошными металлическими цилиндрами. В реальных кабелях, выпускаемых промышленностью, внутренний проводник выполнен, как правило, в виде скрутки тонких проводов (РК50-2-12, РК50-7-21); внешний проводник образован плетенкой. Наибольшие отличия между расчетными и измеренными значениями S ' наблюдаются у кабеля ФКП, у которого не только внешний, но и внутренний проводник выполнены в виде плетенки.

Результаты, представленные на рис. 5, 6, 7, свидетельствуют о том, что в пределах точности измерений скиновый параметр S ' практически не зависит от частоты. Это показывает, что, несмотря на сложные и разнообразные конструкции проводников коаксиального кабеля, скиновый параметр S ' является постоянной для каждого кабеля количественной характеристикой, которая не зависит от времени и частоты, и которая позволяет учесть потери в коаксиальном кабеле в широком диапазоне частот и при импульсных переходных процессах. Все это делает целесообразным измерения S ' и применения измеренных значений S ' для исследования переходных процессов в электрических цепях с коаксиальными проводниками.

ВЛИЯНИЕ СКИН-ЭФФЕКТА НА ИСКАЖЕНИЕ ФРОНТА ИМПУЛЬСА НАПРЯЖЕНИЯ

Влияние потерь в кабеле на искажение фронта импульса напряжения, передаваемого по коаксиальному кабелю, изучалось во многих работах, например в [1–4]. Подобная задача рассматривалась для проводов, проходящих над поверхностью земли, с учетом скин-эффекта в проводе и земле [9], [10]. В [2] было построено приближенное линеаризованное решение для образа Лапласа напряжения в кабеле, применение к которому табличных функций обратного преобразования Лапласа позволило выразить во временной области переходную функцию кабельной линии через дополнительную функцию ошибок. Аналогичный метод вычисления может быть применен к (12), (13), описывающих напряжение и ток в частотной области. При этом формула из [2] для переходной функции при согласованной нагрузке $\left( {{{R}_{0}} = \sqrt {\frac{{L{\kern 1pt} '}}{{C{\kern 1pt} '}}} } \right)$ в обозначениях настоящей статьи имеет следующий вид.

где $1\left( y \right) = \left\{ \begin{gathered} 0\,\,{\text{если}}\,\,\,y < 0, \hfill \\ 1\,\,\,{\text{если}}\,\,\,y > 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ – единичная функция, ${\text{erfc}}\left( y \right)$ – дополнительная функция ошибок. В физических переменных переходная функция где ${{t}_{p}} = {l \mathord{\left/ {\vphantom {l {{{{v}}_{p}}}}} \right. \kern-0em} {{{{v}}_{p}}}}$ – время распространения сигнала в кабеле.

Формула (20) дает приближенное описание искажений на фронте импульса тока, определяемых скин эффектом в проводниках кабеля.

На рис. 8 (a) и (b) показаны измеренные и рассчитанные кривые напряжения на входе и выходе коаксиального кабеля РК50-2-12 длиной 121 м. Расчет выполнялся двумя способами: посредством применения БПФ к (12) и с использованием приближенной формулы (20). Эти графики показывают удовлетворительное совпадение результатов измерений и расчетов.

В качестве оценки искажения фронта напряжения может быть принят интервал времени, между появлением сигнала на выходе кабеля и достижением уровня этого сигнала, равного половине амплитуды входного сигнала. Учитывая, что обратная функция ${\text{erf}}{{{\text{c}}}^{{ - 1}}}\left( {0.5} \right) = 0.477$ получим, что

то есть такая оценка пропорциональна ${{\left( {{{t}_{p}}S{\kern 1pt} '} \right)}^{2}}$. Для отрезка коаксиального кабеля РК50-2-12 длиной 121 м величина ${{\left[ {t - {{t}_{p}}} \right]}_{{u\left( t \right) = 0.5}}} \approx 10$ ns.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Влияние скин-эффекта на переходные процессы в электрических цепях с коаксиальными цилиндрическими проводниками определяется постоянными скиновыми параметрами $S{\kern 1pt} '$ и $R_{S}^{'}$, которые являются коэффициентами асимптотических разложений падения напряжения на проводниках и зависят только от радиусов цилиндрических проводников и проводимости металла.

Переходные процессы в электрических цепях с коаксиальными проводниками могут быть рассчитаны посредством применения БПФ к решению уравнений длинной линии в частотной области со скиновыми параметрами $S{\kern 1pt} '$ и $R_{S}^{'}.$

Скиновый параметр $S{\kern 1pt} '$ коаксиальной линии может быть измерен на частотах резонанса токов или напряжений, при которых влияние емкости и индуктивности на импеданс или адмиттанс длинной линии незначительно. Такие измерения показали, что для выпускаемых промышленностью коаксиальных кабелей измеренное значение $S{\kern 1pt} '$ больше, чем рассчитанное в предположении сплошных цилиндрических проводников. Это объясняется тем, что в реальных коаксиальных кабелях проводники представляют собой набор тонких скрученных металлических проволок или плетенку медных проволок.

Получено удовлетворительное совпадение результатов измерения фронта импульса тока на выходе коаксиального кабеля и расчетов этого фронта с применением измеренных значений $S{\kern 1pt} ',$ выполненных с использованием как БПФ, так и приближенной формулы, учитывающей скин-эффект. Оценка искажения фронта волны напряжения в коаксиальном кабеле пропорциональна квадрату произведения скинового параметра $S{\kern 1pt} '$ на время распространения сигнала ${{t}_{p}}.$

Приложение 1. Преобразование Фурье интеграла $\int_0^t {\frac{{I{\kern 1pt} '(\theta )}}{{\sqrt {t - \theta } }}d\theta .} $

Интеграл $\int_0^t {\frac{{I{\kern 1pt} '(\theta )}}{{\sqrt {t - \theta } }}d\theta } $ представляет собой свертку двух функций $\frac{{dI}}{{dt}}$ и $\frac{1}{{\sqrt t }}.$

Произведем замену переменных $y = j\omega t$ в интеграле

где $\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt \pi $ – гамма функция. При преобразованиях (П1.2) путь интегрирования был перенесен с линии $(0,\,\,j\infty )$ на линию $(0,\,\,\infty ).$ Это возможно, так как при $\left| y \right| > 0$ у функции $\frac{{{{e}^{{ - y}}}}}{{\sqrt y }}$ нет особых точек в области, ограниченной этими линиями.

Подставляя (П1.2) в (П1.1), получим, что преобразование Фурье интеграла $\int_0^t {\frac{{I{\kern 1pt} '\left( \theta \right)}}{{\sqrt {t - \theta } }}d\theta } $ приводит в частотной области к функции $\sqrt {j\pi \omega } \dot {I}\left( \omega \right).$

Приложение 2. Импеданс и адмиттанс коаксиального кабеля на резонансных частотах.

a) Безразмерный импеданс закороченного коаксиального кабеля $z\left( \varpi \right)$ определяется из (12) при ${{r}_{i}} = {{r}_{o}} = 0,\xi = 0.$

где ${\text{th}}\left( \gamma \right)$ – гиперболический тангенс.

Учитывая, что s и r_s – малые параметры, получим

где $\varepsilon = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {\frac{\pi }{{j\varpi }}} s + \frac{{{{r}_{S}}}}{{j\varpi }}} \right)$ – также малый параметр.

При частотах ${{\varpi }_{k}} = k\pi ,\,\,\,k = 1,\,2,\,...$ ${\text{th}}\left( {j{{\varpi }_{k}}} \right) = 0$ и импеданс кабеля мал. При этом образуются стоячие волны и имеет место резонанс токов. Используя разложение функции гиперболического тангенса в ряд по степеням малого параметра $j{{\varpi }_{k}}\varepsilon ,$ получим

b) В соответствии с (П2.1) безразмерный адмиттанс коаксиального кабеля

Аналогично (П2.2) примем, что $\varepsilon = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {\frac{\pi }{{j\varpi }}} s + \frac{{{{r}_{S}}}}{{j\varpi }}} \right)$ малый параметр, и получим

При частотах ${{\varpi }_{m}} = \frac{{2m - 1}}{2}\pi ,\,\,m = 1,\,2,\,...,$ ${\text{cth}}\left( {j{{\varpi }_{k}}} \right) = 0$ и адмиттанс кабеля мал. При этом образуются стоячие волны и имеет место резонанс напряжений. Учитывая, что $j{{\varpi }_{m}}\varepsilon $ малый параметр, получим

или