Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 1, стр. 54-57

ВВЕДЕНИЕ

Среди существующих методов ускорения электронов следует выделить метод, основанный на явлении циклотронного резонанса [1]. Путем увеличения магнитного поля вдоль оси резонатора можно компенсировать рост релятивистской массы электронов и поддержать условия циклотронного резонанса на всей длине резонатора. Возможность создания источника рентгеновского излучения, основанного на ускорении электронов в условиях авторезонанса, обсуждается в [2–4]. Методом численного моделирования исследуется взаимодействие между электронным пучком и микроволной в прямоугольном резонаторе с модой TE₁₀₂. Показано, что исследуемая система может создать условия для ускорения пучка электронов до энергий порядка сотен кэВ в импульсном режиме. Однако при анализе циклотронного авторезонанса в мощных устройствах необходимо учитывать влияние ряда факторов, которыми нельзя пренебречь. Это не только релятивистское увеличение массы электронов и действие радиальных компонент нарастающего магнитостатического поля, но и влияние переменных магнитных компонент высокочастотного электромагнитного поля.

Целью данной работы является численный анализ взаимодействия релятивистского электронного потока с полем прямоугольного резонатора с учетом вышеприведенных факторов.

МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Предположим, что электронный пучок распространяется вдоль оси z прямоугольного резонатора с электромагнитным полем, соответствующим моде ТЕ₁₀₁. Будем считать соосное стационарное магнитное поле аксиально симметричным, а его распределение $H(z)$ вдоль оси z – заданным. Для аксиальных ${{H}_{{z\quad}}}\left( {r,z} \right)$ и радиальных ${{H}_{r}}\left( {r,z} \right)$ компонент стационарного магнитного поля в области взаимодействия ограничимся первыми членами разложения в параксиальном приближении. Тогда компоненты внешних полей, действующих на электронный поток, приобретают вид:

Здесь ${{\tilde {H}}_{{0y}}} = {{E}_{0}}\sqrt {\frac{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \frac{{{{\lambda }_{0}}}}{{2l}},$ ${{\tilde {H}}_{{0z}}} = {{E}_{0}}\sqrt {\frac{{{{\varepsilon }_{0}}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \frac{{{{\lambda }_{0}}}}{{2a}}$ – амплитуды магнитных компонент СВЧ-поля резонатора, ${{E}_{0}}$ – амплитуда высокочастотного электрического поля в сечении – размеры прямоугольного резонатора, ${{\varepsilon }_{0}},{{\mu }_{0}}$ – электрическая и магнитная проницаемость, ${{\lambda }_{0}} = {{2\pi c} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi c} \omega }} \right. \kern-0em} \omega }$ – резонансная длина волны, $\omega = \pi с \sqrt {{{a}^{{ - 2}}} + {{l}^{{ - 2}}}} $ – резонансная частота, ${{2a} \mathord{\left/ {\vphantom {{2a} {{{\lambda }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{0}}}}$ = 1.3. Предположим, что на электроны действует также поле пространственного заряда электронного потока ${{E}_{{п з }}},$ рассчитываемое численно согласно [5].

Релятивистские уравнения движения электронов:

где $\beta = \frac{{\left| {{{{\vec {\upsilon }}}_{i}}} \right|}}{c},$ ${{\eta }_{0}} = \frac{{\left| e \right|}}{m},$ ${{\vec {E}}_{i}}$ – сумма высокочастотного электрического поля и поля пространственного заряда, действующих на i-й электрон, решались численно методом последовательных приближений ${{E}_{0}}$ к значению, соответствующему заданному уровню мощности электронного потока на выходе резонатора: где ${{m}_{i}}\left( 0 \right)$ и ${{m}_{i}}\left( l \right)$ – релятивистские массы электрона на входе и выходе резонатора, ${{I}_{0}}$ – ток пучка.

Нагрузка, вносимая потоком в резонатор, характеризовалась эквивалентной проводимостью

где ${{\upsilon }_{x}},\quad{{\upsilon }_{z}}$ – соответствующие компоненты скорости электронов, расположенного в центре сечения пучка.

Будем характеризовать энергоемкость электронного пучка в резонаторе величиной $W = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {{{P}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{0}}}},$ где ${{P}_{0}}$ – мощность инжектируемого пучка. В релятивистских режимах с постоянным вдоль резонатора внешним магнитным полем ${{H}_{0}}$ энергоемкость пучка ограничивается нарушением условий циклотронного резонанса.

Казалось бы, что изменением профиля магнитного поля вдоль оси резонатора:

т.е. выполнив условие пространственного циклотронного авторезонанса, можно снять это ограничение, повысить эффективность взаимодействия пучка с полем резонатора и неограниченно увеличивать W. Однако, как показали результаты численного моделирования, с ростом W возникает еще одно ограничение, вызванное торможением электронного пучка, т.е. уменьшением продольной скорости электронов ${{\upsilon }_{z}}$ вдоль оси резонатора.

Основные причины торможения электронов – влияние магнитной компоненты СВЧ-поля резонатора с амплитудой ${{\tilde {H}}_{{0y}}}$ и действие радиальной компоненты стационарного магнитного поля в режимах с коррекцией условий циклотронного резонанса, согласно (4), направленных навстречу оси z на выходе из резонатора и возрастающих с ростом W.

Если предположить, что продольная скорость электронов на выходе из резонатора уменьшается в $\sqrt 2 $ раз по отношению к начальной, т.е. ${{\upsilon }_{z}}\left( l \right) = {{{{\upsilon }_{{z0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\upsilon }_{{z0}}}} {\sqrt 2 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 2 }},$ то можно найти зависимость максимальной энергоемкости электронного пучка W от его потенциала в момент инжекции ${{U}_{0}}$ при различном профиле магнитного поля (см. рис. 1). Кривые 1 и 2 здесь соответствуют постоянному вдоль z стационарному магнитному полю, для кривой 1 условие циклотронного резонанса выполнено в начале области взаимодействия (т.е. при z = 0). Для кривой 2 резонанс обеспечивается внутри области взаимодействия, при этом напряженность магнитного поля оптимальна, т.е. соответствует максимально возможному W. Для этих случаев (кривые 1 и 2 на рис. 1) ограничение W связано, в основном, с эффектом нарушения условий циклотронного резонанса, продольная скорость электронов при этом изменяется слабо. В случае пространственного авторезонанса (кривая 3) максимальная энергоемкость пучка ограничена торможением электронов, испытывающих действие поперечных магнитных полей.

Изменение продольной скорости для режима с коррекцией резонансных условий согласно (4) показано на рис. 2. При небольших значениях W изменение ${{\upsilon }_{z}}$ мало, однако с ростом W эффект торможения становится существенным и может даже приводить к полной остановке электронов (см. случай с W = 6, ${{{{\upsilon }_{{z0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\upsilon }_{{z0}}}} c}} \right. \kern-0em} c} = 0.48\quad$ на рис. 2).

В более сложных резонансных системах, например в резонаторах с ламелями и конденсаторным зазором [6], интенсивность магнитных компонент ВЧ-поля в области распространения электронного пучка может быть ослаблена на порядок за счет концентрации магнитного поля вокруг ножек ламелей. При этом максимальное значение энергоемкости резонатора W может достигать 15–20 при потенциале инжекции пучка 10–12 кВ.

Рассмотрим эквивалентную схему резонатора, где ${{Y}_{k}} = {{G}_{k}} + j{{B}_{k}}$ – проводимость самого резонатора $\quad{{Y}_{e}} = {{G}_{e}} + j{{B}_{e}},$ ${{Y}_{{\text{н }}}} = {{G}_{{\text{н }}}} + j{{B}_{{\text{н }}}}$ – проводимости, вносимые электронным потоком и внешней нагрузкой (источником сигнала). Будем считать, что все три проводимости включены параллельно. Тогда полоса частот взаимодействия поля резонатора с электронным потоком будет определяться условием согласования проводимостей:

а коэффициент передачи мощности сигнала в электронный поток равен:

В нерелятивистском случае проводимость, вносимая электронным пучком, вычислена аналитически [7]. Для релятивистского пучка проведенный численный анализ показал, что в режимах с авторезонансом максимумы активной и реактивной компонент электронной проводимости ${{G}_{e}}$ и ${{B}_{e}}$ смещаются на 3–5% в область отрицательных расстроек по частоте.

Для достаточно высоких коэффициентов передачи СВЧ-мощности в электронный поток необходимо помимо взаимной компенсации реактивностей ${{B}_{k}}$ и ${{B}_{e}}$ иметь ${{G}_{e}} \gg {{G}_{k}}.$ При характерных значениях собственной добротности ${{Q}_{0}} = \left( {5 - 6} \right) \cdot {{10}^{3}}$ и типовых значениях волнового сопротивления прямоугольного резонатора $\rho \sim \left( {40 - 50} \right)$ Ом величина проводимости потерь в стенках резонатора ${{G}_{k}} = \frac{1}{{\rho {{Q}_{0}}}} \leqslant 5 \cdot {{10}^{{ - 6}}}$ См.

Тогда для того, чтобы обеспечить коэффициент передачи СВЧ-мощности в электронный поток в центре полосы пропускания $R \geqslant 0.98,$ необходимо иметь ${{G}_{e}} \geqslant 2.5 \cdot {{10}^{{ - 4}}}$ См. Это можно реализовать для цилиндрических и ленточных пучков с микропервеансом ${{p}_{\mu }} > 1.5\,\,\quad{{{\text{м к А }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{м к А }}} {{{{\text{В }}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{В }}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}$ при потенциалах инжекции ${{V}_{0}} < 20$ кВ.

Зависимость полосы пропускания от нагруженной добротности “холодного” резонатора иллюстрирует рис. 3. Проведенные численные оценки показывают, что при углах пролета 20–30 рад и значениях микропервеанса электронного потока ${{p}_{\mu }} > 0.5 - 1.5\quad\,\,{\text{м к А }} \cdot {{{\text{В }}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ рабочая полоса резонатора оказывается равной 1–5%.

ВЫВОДЫ

Таким образом, взаимодействие релятивистского электронного пучка с полями прямоугольного резонатора имеет сложный характер: может сопровождаться значительным нарушением резонансных условий из-за изменения циклотронной частоты и резким торможением пучка, обусловленным влиянием магнитного компонента ВЧ-поля в резонаторе.

Однако в режимах с ${{{{\upsilon }_{{z0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\upsilon }_{{z0}}}} c}} \right. \kern-0em} c} \leqslant 0.3$ и $W \leqslant 10$ оба эти эффекта допускают высокоэффективную (95–98%) передачу ВЧ-мощности при уровнях до десятков и сотен киловатт, если микропервеанс электронного пучка превышает значение ${{p}_{\mu }} \geqslant 0.5 - 1$ мкА ⋅ В^–3/2.