Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 1, стр. 58-61

В настоящее время в СВЧ-электронике наблюдается интерес к использованию в электродинамических структурах приборов метаматериалов см., например, доклады [1, 2] на IVEC-2017. В теоретическом плане речь идет о взаимодействии электронных потоков с электромагнитными полями сред с комплексной проводимостью, которую в достаточно общем случае можно представить в виде (см., например, [3])

где $j = \sqrt { - 1} ,$ ω – рабочая частота, $\sigma $ – действительная погонная проводимость, $\varepsilon {\text{'}} = {\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая проницаемость вакуума, ε – диэлектрическая проницаемость среды; формально индуктивную проводимость можно связать с моделью метаматериала при $\varepsilon < 0.$

Однако, несмотря на то, что метаматериалы можно описывать матаппаратом, развитым для диэлектриков как для сред с комплексной диэлектрической проводимостью, один из истоков такого подхода – теория резистивного усилителя – долгое время был незаслуженно забыт. На фоне вновь вспыхнувшего интереса к этому прибору [1, 4, 5] представляется важным создать нелинейную теорию резистивного усилителя. Следует отметить, что ранее предпринимались некоторые попытки создания такой теории, подобной теории двухрезонаторного клистрона, в работах [6, 7]. Ниже представлены результаты исследования процессов группирования в предварительно промодулированном некоторым входным сигналом электронном потоке, движущемся в среде с комплексной проводимостью, на основе волнового метода Овчарова–Солнцева [8, 9].

Предположим далее, что диэлектрическая проницаемость среды носит комплексный характер и равна ${{\varepsilon }_{0}}\varepsilon {\text{'}}\left( {1 - j\sigma + {{B}_{L}}} \right),$ где $\sigma + j{{B}_{L}}$ – нормированная на $\omega \varepsilon $ комплексная проводимость среды. Опуская выкладки, во многом повторяющие теорию Овчарова–Солнцева, получим:

где B – возмущение фазы электронов, которое в данной работе считаем комплексным, ${{p}^{2}} = {{\left[ {1 + {{{\left( {{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {\left( {{{\beta }_{e}}b} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{\beta }_{e}}b} \right)}}} \right)}}^{2}}} \right]}^{{ - 1}}},$ b – поперечный размер пучка, ${{\beta }_{e}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{\upsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\upsilon }_{0}}}},$ ${{\upsilon }_{0}}$ – средняя скорость потока, ${{J}_{n}}\left( X \right)$ – функция Бесселя n-го порядка, $\Omega = {{{{\omega }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{p}}} {\left( {\omega \sqrt {\varepsilon {\text{'}}} } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\omega \sqrt {\varepsilon {\text{'}}} } \right)}},$ ${{\omega }_{p}}$ – плазменная частота, $\xi = {{\beta }_{e}}x.$

Будем искать решения (2) при следующих начальных условиях:

где $\chi $ – коэффициент начальной модуляции. Безразмерный ток пучка с учетом решения уравнения (2) имеет вид: где ${{I}_{0}}$ – постоянная компонента тока пучка.

Если предположить, что возмущение фазы мало (т.е. использовать приближение слабого сигнала) и поток бесконечно широк ($p \to 1$), то, как нетрудно показать, уравнение (2) примет вид

а выражение (4), записываемое для переменной компоненты тока, с учетом (3) можно представить в виде

Из уравнения (5) нетрудно получить известное дисперсионное уравнение линейной теории резистивного усилителя (см. например [4–6]) и оценить коэффициент усиления.

Заметим, что если изначально предполагать В чисто действительным и положить $\sigma = {{B}_{L}} = 0,$ получим хорошо известные уравнения в волновом методе Овчарова–Солнцева (см. [8]):

В данной работе фаза электрона предполагалась комплексной. Это привело к замене в аргументе бесселевых функций B на $\left| B \right|$ и появлению множителя ${{e}^{{j{\text{Arg}}\left( B \right)}}}$ в (2). Также среда предполагалась обладающей комплексной проводимостью, что добавило множители к бесселевым функциям в (2).

По аналогии с [9] построим фазовый портрет на плоскости $\left( {B,{{dB} \mathord{\left/ {\vphantom {{dB} {d\xi }}} \right. \kern-0em} {d\xi }}} \right)$ для электронов. Из рис. 1а и 1б видно, что фазовый портрет, полученный в данной работе, при $\sigma = {{B}_{L}} = 0,$ ожидаемо совпадает с приведенным в [9]. Напомним, что если начальная модуляция по скорости χ не слишком велика, то фазовые траектории замкнуты. Это соответствует периодическим нелинейным волнам пространственного заряда. Если же модуляция достаточно велика, то фазовые траектории уходят в бесконечность; это означает, что силы пространственного заряда приводят к ускоренному распаду сгустков.

Любопытно отметить, что в случае индуктивной проводимости в фазовом портрете (см. рис. 1в) в начале координат седло, через которое проходит сепаратриса, и особая точка типа центр сместились от оси ординат поскольку при $\sigma = 0$ и ${{B}_{L}} < - 1$ знак в правой части (2) изменится на противоположный, чем в случае $\sigma = {{B}_{L}} = 0,$ следовательно вторая производная B поменяет знак. Таким образом, в случае индуктивной проводимости если начальная модуляция по скорости не слишком велика, то силы пространственного заряда приводят к ускоренному распаду сгустков, а периодические нелинейные волны пространственного заряда имеют место если модуляция достаточно велика.

Отметим, что ранее автор [6] получил уравнение для первой гармоники тока методом заданного движения, т.е. упрощенным вариантом волнового метода. Также напомним, что можно записать

Упрощения, использованные в [6], заключаются в том, что полагалось $p = 0$ при индуктивной проводимости и амплитуда первой гармоники скорости электронов – медленно меняющаяся функция начальной фазы электронов. Амплитуда первой гармоники тока в [6] ищется в виде

где $X = \sqrt {{{{\left( {\frac{{{{\upsilon }_{{10}}}\omega }}{{{{\upsilon }_{0}}{{\omega }_{p}}q}}\operatorname{sh} {{k}_{p}}qs} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{i}_{{10}}}}}{{{{I}_{0}}}}\left( {\operatorname{ch} {{k}_{p}}qs - 1} \right)} \right)}}^{2}}} $ – параметр группировки, $\psi = \operatorname{arctg} \frac{{\frac{{{{i}_{{10}}}}}{{{{I}_{0}}}}\left( {\operatorname{ch} {{k}_{p}}qs - 1} \right)}}{{\frac{{{{\upsilon }_{{10}}}\omega }}{{{{\upsilon }_{0}}{{\omega }_{p}}q}}\operatorname{sh} {{k}_{p}}qs}}$ – его фаза, ${{i}_{{10}}}$ и ${{\upsilon }_{{10}}}$ – переменные составляющие тока и скорости на входе в область индуктивного дрейфа (т.е. электроны летят сквозь среду с индуктивной проводимостью), ${{k}_{p}}$ – плазменная постоянная распространения, $s$ – длина области индуктивного дрейфа.

Исследуем теперь уравнение (4). Из рис. 2а видно, что если электроны движутся в среде с конечной проводимостью, то максимум первой гармоники тока наступает раньше, чем для обычного клистрона с пространством дрейфа, причем наименьшая координата максимума получается при активной проводимости. На рис. 2б из работы [6], где исследован случай только индуктивной проводимости, также видно, что положение максимума первой гармоники тока меняется с изменением проводимости, т.е. ${{k}_{p}}q,$ но значение максимума не меняется. Из рис. 2в, построенного в данной работе, видно качественное совпадение с результатами [6]. Однако, как видно из рис. 2а, 2в и 2г, наименьшая координата максимума первой гармоники тока достигается при чисто действительной проводимости.

Рассмотрим влияние параметров на положение максимума при чисто активной проводимости. Из рис. 3а–3в видно, что с увеличением начальной модуляции скорости, параметра пространственного заряда и поперечного размера пучка максимум сдвигается влево.

Таким образом, из развитой теории следует, что можно уменьшить длину резистивной секции прибора, не уменьшая значения амплитуды первой гармоники тока, если использовать среду с чисто действительной проводимостью.