Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 7, стр. 984-986

Вывод уравнения вмороженности намагниченности в сплошную среду

В. В. Соколов^*

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “МИРЭА – Российский технологический университет”
Москва, Россия

^* E-mail: vvs1953@rambler.ru

Поступила в редакцию 07.09.2018
После доработки 31.01.2019
Принята к публикации 27.03.2019

DOI: 10.1134/S0367676519070391

Полный текст (PDF)

Аннотация

Вывод уравнения вмороженности намагниченности в сплошную среду выполнен в рамках феррогидродинамики с равновесной намагниченностью. Показано, что при нарушении условия магнитного равновесия магнитную жидкость можно считать идеальной, если намагниченность вморожена в среду.

Под сплошной средой будем понимать идеальную непроводящую магнитную жидкость. Магнитная жидкость или феррожидкость – искусственно синтезированная среда, которая представляет собой коллоидный раствор частиц твердого магнитного материала с размерами порядка 10 нм в несущей жидкости [1]. Раздел гидродинамики, описывающий макроскопическую динамику магнитных жидкостей (феррожидкостей), был назван феррогидродинамикой (ФГД) [2]. В работе [3] с помощью обобщенного принципа виртуальных работ в формулировке В.В. Толмачева [4] были получены уравнения ФГД в предположении о бесконечном малом времени релаксации намагниченности к равновесному значению. Для описания макроскопической динамики идеальной магнитной жидкости в [3] использовались следующие скалярные поля: плотность $\rho \left( {\vec {r},t} \right),$ удельная энтропия $s\left( {\vec {r},t} \right)$ и векторные поля: удельная намагниченность $\vec {m}\left( {\vec {r},t} \right)$ скорость движения жидкости $\upsilon \left( {\vec {r},t} \right)$ и напряженность внешнего магнитного поля $\vec {H}\left( {\vec {r}} \right).$ Положение индивидуальных точек в пространстве характеризуем декартовыми координатами x₁, x₂, x₃ или x_i, отсчитываемыми относительно фиксированной в пространстве системы декартовых осей.

Полученная замкнутая система уравнений ФГД с равновесной намагниченностью включает:

уравнение неразрывности

(1)

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( {\rho {{\upsilon }_{k}}} \right) = 0,$

уравнение движения

(2)

$\rho \frac{{d{{\nu }_{i}}}}{{dt}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{i}}}} + \rho {{m}_{j}}\frac{{\partial {{H}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}},$

уравнение адиабатичности

(3)

$\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{\partial s}}{{\partial t}} + {{\nu }_{k}}\frac{{\partial s}}{{\partial {{x}_{k}}}} = 0,$

уравнение Максвелла в магнитостатическом приближении

(4)

${{H}_{i}} = - \frac{{\partial \Psi }}{{\partial {{x}_{i}}}},\,\,\,\,\Delta \Psi = 4\pi \frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial {{x}_{i}}}},$

где $\Psi $ – скалярный потенциал магнитного поля.

Система уравнений (1)–(4), замыкается заданием функциональной зависимости массовой плотности внутренней энергии

(5)

$\varepsilon = \varepsilon \left( {\rho ,s,m} \right).$

При выводе уравнений ФГД в [3] было получено новое условие термодинамического равновесия магнитной жидкости во внешнем магнитном поле

(6)

$\vec {H} = {{\vec {H}}^{{eq}}} = \left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial m}}} \right),$

которое означает, что в состоянии термодинамического равновесия в окрестности любой точки жидкости напряженность магнитного поля равна равновесной напряженности ${{\vec {H}}^{{eq}}}.$ Аналогичное условие было получено также в работе [5]. Тензор напряжения ${{P}_{{ij}}}$ определяется выражением

(7)

${{P}_{{ij}}} = - p{{\delta }_{{ij}}} + \rho {{m}_{i}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{j}}}}} \right),$

причем давление p определяется через массовую плотность внутренней энергии

(8)

$p = {{\rho }^{2}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \rho }}} \right).$

Для определения плотности потока внутренней энергии ${{\vec {j}}^{\varepsilon }}$ составим уравнения локальных балансов импульса

(9)

$\rho \frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial t}} + \rho {{\upsilon }_{j}}\frac{{\partial \upsilon j}}{{\partial xj}} = \frac{{\partial {{P}_{{ij}}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + {{f}_{i}}$

и внутренней энергии

(10)

$\rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \rho {{\upsilon }_{j}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{x}_{j}}}} = {{P}_{{ij}}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + Q - {{\upsilon }_{i}}{{f}_{i}} - \frac{{\partial J_{k}^{{\varepsilon }}}}{{\partial {{x}_{k}}}}.$

Объемная плотность силы ${{f}_{i}},$ действующей со стороны магнитного поля на магнитную жидкость, определяется выражением

(11)

${{f}_{i}} = - {{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{j}}} \right)}}{{\partial {{x}_{j}}}}.$

Для объемной плотности энергии Q, передаваемой магнитной жидкости в единицу времени, имеем выражение

(12)

$Q = {{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial t}}.$

Теперь подставим выражения (7), (8), (11), (12) для ${{P}_{{ij}}},$ $p,$ f_i, $Q$ в уравнения локальных балансов (9), (10). После необходимых вычислений, получим

(13)

$\rho \frac{{d{{\upsilon }_{i}}}}{{dt}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{i}}}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}\left[ {\rho {{m}_{j}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{j}}}}} \right)} \right] - {{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial {{x}_{j}}}},$

(14)

$\begin{gathered} \rho \frac{{d\varepsilon }}{{dt}} = - \frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \rho {{m}_{j}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}} \right)\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + {{H}_{j}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{j}}} \right)}}{{\partial t}} + \\ + \,\,{{\upsilon }_{i}}{{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{j}}} \right)}}{{\partial {{x}_{j}}}} - \frac{{\partial J_{k}^{{\varepsilon }}}}{{\partial {{x}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $

Для дальнейших преобразований воспользуемся функциональной зависимостью массовой плотности внутренней энергии (5), согласно которой

$\rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} = - {{\rho }^{2}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \rho }}\frac{{\partial {{\upsilon }_{j}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial s}}\frac{{ds}}{{dt}} + \rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}\frac{{d{{m}_{i}}}}{{dt}}.$

Учитывая условие теплового равновесия [3] $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial s}} = T,$ которое означает, что в состоянии термодинамического равновесия температура T в окрестности любой точки жидкости равна равновесной температуре. Поэтому выше приведенное уравнение запишем в виде

(15)

$\rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} = - {{\rho }^{2}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \rho }}\frac{{\partial {{\upsilon }_{j}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \rho T\frac{{ds}}{{dt}} + \rho \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}\frac{{d{{m}_{i}}}}{{dt}}.$

После подстановки полученного уравнения в левую часть уравнения (14) и выполнения ряда преобразований оно примет вид

$\rho T\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( { - J_{k}^{\varepsilon } + \rho {{\upsilon }_{i}}{{m}_{k}}{{H}_{i}} - \rho {{\upsilon }_{k}}{{m}_{j}}{{H}_{j}}} \right).$

Левая часть этого уравнения равна нулю, что следует из уравнения адиабатичности (3). Поэтому определим плотность потока внутренней энергии ${{\vec {j}}^{\varepsilon }}$ следующим выражением

(16)

$J_{k}^{{\varepsilon }} = \rho {{\upsilon }_{i}}{{m}_{k}}{{H}_{i}} - \rho {{\upsilon }_{k}}{{m}_{j}}{{H}_{j}}.$

Далее учтем диссипацию энергии за счет необратимых процессов. Предположим, что условие магнитного равновесия (6) не выполняется, т.е. $\vec {H} - {{\vec {H}}^{{eq}}} \ne 0.$ Тензор напряжений ${{\Pi }_{{ij}}}$ представим в виде суммы равновесной ${{P}_{{ij}}}$ и диссипативной частей ${{\pi }_{{ij}}},$ т.е.

(17)

${{\Pi }_{{ij}}} = {{P}_{{ij}}} + {{\pi }_{{ij}}} = - p{{\delta }_{{ij}}} + \rho {{m}_{i}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{j}}}}} \right) + {{\pi }_{{ij}}}.$

Соответственно объемную плотность потока внутренней энергии ${{J}_{k}}$ также представим в виде суммы равновесной объемной плотности потока внутренней энергии $J_{k}^{\varepsilon }$ и объемной плотности потока тепла$J_{k}^{q},$ т.е.

(18)

${{J}_{k}} = J_{k}^{{\varepsilon }} + J_{k}^{q} = \rho {{\upsilon }_{i}}{{m}_{k}}{{H}_{i}} - \rho {{\upsilon }_{k}}{{m}_{j}}{{H}_{j}} + J_{k}^{q}.$

Далее преобразуем уравнение (13), заменив ${{P}_{{ij}}}$ тензором напряжений ${{\Pi }_{{ij}}}.$ В результате уравнение локального баланса импульса примет вид

(19)

$\begin{gathered} \rho \frac{{d{{\upsilon }_{i}}}}{{dt}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}\left[ {\rho {{m}_{j}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}} \right)} \right] - \\ - \,\,{{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial {{x}_{j}}}} - \frac{{\partial {{\pi }_{{ij}}}}}{{\partial {{x}_{j}}}}. \\ \end{gathered} $

Преобразуем также уравнение (14) путем замены $J_{k}^{\varepsilon }$ на объемную плотность потока внутренней энергии, определенную уравнением (18). В результате уравнение локального баланса внутренней энергии примет вид

(20)

$\begin{gathered} \rho \frac{{d\varepsilon }}{{dt}} = - p\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \rho {{m}_{j}}\left( {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}} \right)\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + {{\pi }_{{ij}}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \\ + \,\,{{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial t}} + {{\upsilon }_{i}}{{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{j}}} \right)}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( {\rho {{\upsilon }_{k}}{{m}_{j}}{{H}_{j}}} \right) - \\ - \,\,\frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( {\rho {{\upsilon }_{i}}{{m}_{k}}{{H}_{i}}} \right) - \frac{{\partial J_{k}^{q}}}{{\partial {{x}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $

Заменим левую часть этого уравнения правой частью уравнения (15) и после простых преобразований получим

$\begin{gathered} \rho T\frac{{ds}}{{dt}} + \frac{{\partial J_{k}^{q}}}{{\partial {{x}_{k}}}} = - \rho H_{i}^{{eq}}\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial t}} - \rho {{\upsilon }_{j}}H_{i}^{{eq}}\frac{{\partial {{m}_{j}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \\ + \,\,\rho {{m}_{j}}H_{i}^{{eq}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + {{\pi }_{{ij}}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + {{H}_{i}}\frac{{\partial \left( {\rho {{m}_{i}}} \right)}}{{\partial t}} + \\ + \,\,{{H}_{j}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{k}}}}\left( {\rho {{m}_{j}}{{\upsilon }_{k}}{{H}_{j}}} \right) - \rho {{m}_{k}}{{H}_{i}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $

В этом уравнении обозначали производную $\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {{m}_{i}}}}$ через $H_{i}^{{eq}}$ в соответствии с определением (6). В окончательном виде это уравнение представим так

$\begin{gathered} \rho T\frac{{ds}}{{dt}} + \frac{{\partial J_{k}^{q}}}{{\partial {{x}_{k}}}} = \rho \left( {{{H}_{i}} - H_{i}^{{eq}}} \right) \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial t}} + {{\upsilon }_{j}}\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} - {{m}_{j}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right) + {{\pi }_{{ij}}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}}. \\ \end{gathered} $

Для невязкой и нетеплопроводящей магнитной жидкости это уравнение упрощается к виду

(21)

$T\frac{{ds}}{{dt}} = \left( {{{H}_{i}} - H_{i}^{{eq}}} \right)\left( {\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial t}} + {{\upsilon }_{j}}\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} - {{m}_{j}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right).$

Следовательно, в ФГД имеется два предельных случая, в которых невязкую и нетеплопроводную магнитную жидкость можно рассматривать как идеальную.

Первый случай соответствует ФГД с равновесной намагниченностью, когда выполняется условие магнитного равновесия ${{H}_{i}} - H_{i}^{{eq}}$ = 0, т.е. время релаксации напряженности магнитного поля к равновесному значению бесконечно мало. Второй случай реализуется, если выполняется равенство

$\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial t}} + {{\upsilon }_{j}}\frac{{\partial {{m}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} - {{m}_{j}}\frac{{\partial {{\upsilon }_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} = 0,$

из которого и следует искомое уравнение вмороженности удельной намагниченности в сплошную среду

$\frac{{\partial m}}{{\partial t}} = \left( {\vec {m} \cdot \nabla } \right)\vec {\upsilon }.$

В работе [6] были получены уравнения ФГД с вмороженной намагниченностью, которая вводилась из физических соображений. Теория распространения волн малой амплитуды в рамках ФГД с вмороженной намагниченностью была построена в [7]. Гидродинамическими модами магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью являются быстрая и медленная магнитозвуковые волны и волна альфвеновского типа, которая подобна волне Альфвена, распространяющейся в жидкости с бесконечной проводимостью при наличии внешнего магнитного поля, но в магнитной жидкости в волне альфвеновского типа колеблется намагниченность. Как показано в обзоре [8], только в рамках теории [7] можно описать существующие экспериментальные результаты по анизотропии скорости ультразвука в магнитных жидкостях на различной основе. Связь ФГД с вмороженной намагниченностью с существующими теориями была показана в [9 ] .

Автор глубоко благодарен академику А.С. Сигову за ценные замечания по рукописи статьи.

Список литературы

Rosensweig R.E. Ferrohydrodynamics. Massachusetts: Courier Corporation, 2013. 368 p.
Neuringer J.L., Rosensweig R.E. // Phys. Fluids. 1964. V. 7. P. 1927.
Sokolov V.V., Tolmachev V.V. // Magnetohydrodynamics. 1996. V. 32. P. 313.
Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: МГУ, 1988.
Felderhof B.U. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 3848.
Sokolov V.V., Tolmachev V.V. // Magnetohydrodynamics. 1996. V. 32. P. 318.
Sokolov V.V., Tolmachev V.V. // Acoust. Phys. 1997. V. 43. P. 92.
Sokolov V.V. // Acoust. Phys. 2010. V. 56. P. 972.
Felderhof B.U., Sokolov V.V., Eminov P.A. // J. Chem. Phys. 2010. V. 132. Art. № 184907.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал