Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 9, стр. 1217-1219

ВВЕДЕНИЕ

Волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) – это перспективные устройства навигационной техники, не имеющие вращающихся частей, и характеризующиеся долговечностью работы, малыми массо-габаритными параметрами и энергопотреблением, слабой чувствительностью к вибрациям и перегрузкам [1]. Их точность определяется оптимальным выбором конструкции чувствительного элемента, возможностями технологии его изготовления и электроникой. Оптимизация осуществляется путем натурного и математического моделирования. Важно отметить, что эффективность математического моделирования зависит от полноты математической модели ВТГ, выбранного численного метода и возможностей вычислительной техники. Математические модели ВТГ, построенные на основе теории упругости тонких осесимметричных оболочек, достаточно хорошо описывают поведение полусферического ВТГ и позволяют аналитическими методами исследовать влияние дефектов массы и формы на его параметры и характеристики, а также разработать алгоритмы его балансировки. Однако в случае цилиндрического ВТГ с более сложной формой подвеса резонатора и использующего пьезоэлектрические преобразователи для раскачки и съема сигнала, аналитические методы теряют свою эффективность. Необходим численный анализ математических моделей ВТГ. Так, в работах [2, 3] методом конечных элементов были рассчитаны формы и частоты собственных колебаний цилиндрических резонаторов ВТГ, а также термоупругие потери в них. Следует отметить, что собственные частоты резонатора в этих работах рассчитывались без учета влияния пьезоэлементов. Учет этого влияния, как и в случае пьезоэлектрических вибрационных гироскопов [4], может быть осуществлен на основе математических моделей теории электроупругости [5, 6] с помощью конечно-элементного анализа.

Целью данной работы является моделирование влияния пьезоэлектрических элементов из керамики PZT-4 на спектр собственных частот резонатора ВТГ и расчет коэффициента электромеханической связи, определяющего эффективность работы прямых и обратных электромеханических преобразователей на основе пьезокерамики.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Для нахождения собственных частот и форм колебаний резонатора ВТГ решается краевая задача для уравнений электроупругости [5, 6]:

Используются линейные материальные соотношения для электроупругой среды:

Электрическое поле выражается через скалярный потенциал $\varphi {\text{:}}$

Граничные условия на соответствующих частях границы области решения задачи могут быть

Здесь $\omega = 2\pi f,$ $f$ – собственная частота, $\rho $ – плотность материала, σ – тензор напряжений второго ранга, $\vec {D}$ – вектор индукции электрического поля, $\vec {E}$ – вектор напряженности электрического поля, $c$ – тензор модулей податливости 4-го ранга, $s$ – тензорное поле деформаций 2-го ранга, d – тензор пьезоэлектрических модулей 3-го ранга, ε – тензор диэлектрической проницаемости материала 2-го ранга, $\vec {u}$ – векторное поле смещений, $\vec {n}$ – единичный вектор нормали к границе области решения задачи, $C$ – неизвестная постоянная, определяемая в результате решения задачи. Символ * означает операцию перестановки двух индексов в тензоре.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Для численного решения рассмотренной краевой задачи методом конечных элементов используется интегрированная система компьютерного моделирования физико-механических процессов в ВТГ [7], программная среда которой состоит из универсальной системы компьютерной математики Maple 14 [8], конечно-элементной системы Comsol Multiphysics 4.2 [9], конечно-элементных комплексов программ Elmer [10] и FEMPDESolver [11].

В качестве прототипа для вычислительных экспериментов была взята конструктивная схема ВТГ, выпускаемых фирмой Innalabs (Ireland) [12]. Упрощенная для расчетов геометрическая модель датчика ВТГ представлена на рис. 1. Предполагается, что корпус и цилиндрический резонатор датчика изготовлен из стали марки 12Х18Н10Т (плотность – 7900 кг ⋅ м^–3, модуль Юнга – 198 ⋅ 10⁹ Па, коэффициент Пуассона – 0.3). Восемь пьезоэлементов размером 8 × 2 × × 0.25 мм³ из керамики PZT-4 (плотность 7500 кг ⋅ м^–3; ненулевые элементы матриц: модулей податливости C₁₁ = C₂₂ = 12.3 ⋅ 10^–12 Па^–1, C₃₃ = 15.5 ⋅ 10^–12 Па^–1, C₁₂ = C₂₁ =  –4.05 · 10^–12 Па^–1, C₁₃ = C₃₁ = C₂₃ = C₃₂ = = –5.31 · 10^–12 Па^–1, C₄₄ = C₅₅ = 39 ⋅ 10^–12 Па^–1, C₆₆ = = 32.7 ⋅ 10^–12 Па^–1; пьезоэлектрических модулей D₃₁ = = D₃₂ = –123 · 10^–12 Кл ⋅ Н^–1, D₃₃ = 289 ⋅ 10^–12 Кл ⋅ Н^–1, D₂₄ = D₁₅ = 496 ⋅ 10^–12 Кл ⋅ Н^–1; относительной диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{{r11}}} = {{\varepsilon }_{{r22}}} = 1475,$ ${{\varepsilon }_{{r33}}} = 1300$) [13], с электродированными верхними и нижними гранями, наклеены на резонатор, как показано на рис. 1. Геометрический центр пьезоэлементов располагается на расстоянии 8.2 мм от оси симметрии датчика. Используемые в расчетах размеры конструктивных элементов датчика могут быть определены из рис. 2.

Рис. 1.

Вид упрощенной геометрической модели датчика ВТГ с отверстиями в дне резонатора (в разрезе): 1 – резонатор, 2 – пьезоэлемент, 3 – основание, 4 – крышка.

Рис. 2.

Геометрия модели датчика ВТГ в сечении, проходящем через ось симметрии и центр одного из отверстий в донной части резонатора (размеры в мм).

Область датчика разбивается на тетраэдральные конечные элементы 2-го порядка (число конечных элементов – 322 836, число степеней свободы – 1 548 552, среднее качество элементов 0.74).

В результате проведенных вычислительных экспериментов определены формы и собственные частоты первых десяти колебательных мод цилиндрического резонатора ВТГ.

Формы колебательных мод такие же, что и приведенные в работе [3], поэтому здесь не показаны.

В табл. 1 представлены результаты расчетов собственных частот резонатора при разных граничных условиях на металлизированных поверхностях пьезоэлементов. Так, собственные частоты ${{f}_{0}}$ рассчитывались при жестком закреплении $\vec {u} = 0$ дна и условии ${\mathbf{\sigma }} \cdot \vec {n} = 0$ на остальной поверхности датчика ВТГ без учета пьезоэлектрических модулей. Собственные частоты ${{f}_{r}}$ и ${{f}_{a}}$ также рассчитывались при тех же граничных условиях, но с учетом пьезоэлектрических модулей. Резонансная частота ${{f}_{r}}$ определялась при заданном нулевом потенциале на всех электродированных гранях пьезоэлементов, а антирезонансная частота ${{f}_{a}}$ находилась при заданном нулевом потенциале только на нижних гранях пьезоэлементов, тогда как на верхних гранях задавались граничные условия $\int_{\partial S} {\vec {n} \cdot \vec {D}dS} = 0$ при $\varphi = C.$ На боковых гранях пьезоэлементов в обоих случаях задавалось граничное условие $\vec {n} \cdot \vec {D} = 0.$

Из сравнения данных, представленных в таблице, видно, что учет влияния пьезоэлементов заметно изменяет собственные частоты относительно частот, рассчитанных в пренебрежении пьезоэлектрическими модулями. По аналогии с отдельным пьезоэлементом можно ввести коэффициент электромеханической связи ${{k}_{e}} = {{\left( {1 - {{{\left( {{{{{f}_{r}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{r}}} {{{f}_{a}}}}} \right. \kern-0em} {{{f}_{a}}}}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Он позволяет оценить эффективность перекачки механической энергии в электрическую и наоборот на различных собственных частотах резонатора. Так, величина выходного электрического сигнала с пьезоэлементов, связанного с колебательными модами 1 и 2, будет ориентировочно в 7 раз больше сигнала от колебательных мод 5 и 6. Аксиальная крутильная мода 3 резонатора вообще не вносит вклад в выходной сигнал.

В заключение следует отметить, что теоретически частоты мод 1 и 2 для идеально сбалансированного резонатора должны совпадать. Они описывают колебания резонатора маятникового типа в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Это справедливо и для мод 5 и 6, которые описывают колебания резонатора квадрупольного типа, повернутые относительно друг друга на 45°, являющимися, как известно, рабочими для ВТГ [1]. Несовпадение рассчитанных частот (в третьем знаке после запятой) связано с погрешностями конечно-элементного анализа. Так как выходной сигнал с пьезоэлементов связанный с модами 1 и 2 превышает выходной сигнал от рабочих мод 5 и 6, то при разработке высокоточных ВТГ необходимо принимать конструктивные меры, не допускающие возбуждения по сути дела паразитных мод 1 и 2.