Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 1, стр. 142-146

ВВЕДЕНИЕ

Общетеоретические аспекты исследований многослойных структур с метаслоями имеют отношение к важной фундаментальной проблеме, направленной на установление общих закономерностей, определяющих связь между особенностями структуры фракталоподобных систем и скейлинговыми свойствами зондирующего излучения [1, 2]. Всестороннее ее решение позволит усовершенствовать фрактальные методы оптической диагностики многослойных систем различной геометрии.

В настоящее время проводятся многочисленные исследования, посвященные изучению свойств разнообразных многослойных структур с фрактальными признаками и возможностей их практического использования [2–4]. В частности, такие многослойные структуры применяются при создании новых фрактальных антенн, сенсоров для детектирования биологических и химических агентов, узкополосных фильтров, широкополосных поглотителей, а также в других технических устройствах.

Тем не менее, оптические характеристики аппроксимантов фракталоподобных многослойных систем с метаматериалами на данный момент изучены не достаточно полно. Свойственная многим из них фрактальность в значительной степени определяет их оптические свойства. При этом существует необходимость в определении степени влияния различных факторов на самоподобие их спектральных характеристик.

Применение аппроксимантов различной геометрии позволяет технически упростить процедуру получения структур с заданным набором оптических характеристик. Предварительные исследования [5, 6] указывают на перспективность применения аппроксимантов для совершенствования новых средств оптической диагностики. Путем регистрации паттернов – отдельных элементов в характеристиках зондирующего излучения, появляется возможность проводить идентификацию многослойных систем с определенным типом симметрии и оценить степень их структурных дефектов.

Цель настоящей работы состоит в оценке влияния различных изменений исследуемых многослойных структур с вставками из метаматериалов на устойчивость формы фрактальных паттернов их оптических спектров. Предполагается, что изменения могут быть внесены в многослойную систему переходом к модели аппроксимантов [6], изготовлением ряда слоев на основе широко применяющихся метаматериалов, характеризующихся разными дисперсионными соотношениями [7, 8], а также варьированием принципа ее построения [9]. Особое внимание уделено применению паттерного анализа [10, 11] к спектральным характеристикам многослойных структур с учетом поглощения в метаслоях.

МОДЕЛЬ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР С МЕТАСЛОЯМИ

В настоящей работе рассматривается модель многослойных структур и их аппроксимантов, составленных из двух типов слоев $A$ и $B$. Слои $A$ выполнены из метаматериала, который в определенном спектральном диапазоне характеризуется отрицательным показателем преломления. При этом слои $B$ выполнены из пористого кварца с показателем преломления ${{n}_{B}}.$ Толщины слоев считались равными ${{d}_{A}} = 0.6$ см и ${{d}_{B}} = 1.2$ см [12].

Фазовые набеги в слоях многослойных систем определяются следующим выражением:

где $j$ – номер слоя, $c$ – скорость света, ${{d}_{j}}$ – толщина слоя с номером j, ${{{\rm N}}_{{j,k}}}$ – значение показателя преломления j-го слоя c учетом частоты излучения $f$ и геометрического чередования слоев $A$ и $B.$ Дискретизация величины $f$ задается формулой где $k = 0 \ldots {{\tilde {N}}_{{max}}}$ – коэффициенты дискретизации, ${{\tilde {N}}_{{max}}}$ – дискретное значение, ограничивающее частотный диапазон.

Для построения аппроксимантов многослойных структур задается начальная структура на базе фракталоподобных числовых последовательностей ${{S}_{l}} = \left\{ {A,B} \right\},$ где $l$ – уровень генерации, A и B – составляющие элементы последовательности. Используемые последовательности ${{S}_{l}}$ определяют закон чередования элементов в первичной структуре. В многослойных структурах этот закон определяет распределение слоев с высоким и низким показателем преломления. Например, для систем m-боначчи (m = 2) аппроксиманты ${{{\rm A}}_{l}}$ имеют вид (3):

где p – период аппроксиманта, то есть количество элементарных ячеек ${{S}_{l}}$ в рассматриваемой многослойной структуре.

Самоподобные структурные свойства систем m-боначчи можно описать параметром скейлинга $\zeta ,$ который определяется как предел количества элементов в последовательности S_l + 1 к количеству элементов в S_l при $l \to \infty .$ Так, при $m = 2$ получаем $\zeta \approx 1.618.$ Для $m = 3$ и $m = 4$ получаем $\zeta \approx 1.839$ и $\zeta \approx 1.927,$ соответственно. Значения структурных параметров соответствуют литературным данным [5, 9]. Отметим, что при m = 2 системы m-боначчи и Фибоначчи совпадают.

Диэлектрическая проницаемость ${{\varepsilon }_{A}}$ и магнитная восприимчивость ${{\mu }_{A}}$ метаматериала определяется следующим образом [7]:

где $f$ – частота электромагнитного излучения, $i$ – мнимая единица, $\gamma $ – величина, характеризующая потери (величины $f$ и $\gamma $ записаны в ГГц). На рис. 1 приведены дисперсионные зависимости (4) для слоев из метаматериала с учетом дискретизации частоты (2).

Анализ соотношений (4) показывает, что дисперсионные закономерности можно разделить на три области (рис. 1). Первая область M – слои $A$ обладают свойствами метаматериалов ${{\varepsilon }_{A}} < 0,$ ${{\mu }_{A}} < 0,$ вторая область P – переходная с ${{\varepsilon }_{A}} < 0,$ ${{\mu }_{A}} > 0,$ и третья область D – ${{\varepsilon }_{A}} > 0,$ ${{\mu }_{A}} > 0,$ где материал слоев $A$ приобретает свойства диэлектрика. При варьировании значений $\gamma \in \left[ {0,0.9} \right]$ границы этих областей незначительно изменяются. Параметры окружающей среды принимались равными $\varepsilon = 1,$ $\mu = 1.$

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТРУКТУР С МЕТАМАТЕРИАЛАМИ

Для расчетов спектральных характеристик фракталоподобных многослойных структур применяется матричный подход [13] с использованием логарифмического представления [1] и закона Френеля для метаматериалов [14]: $r = - \ln ({{T}_{k}}),$ где ${{T}_{k}}$ – величина коэффициента пропускания по мощности.

В результате проведенных расчетов было показано, что включение в многослойную систему метаматериалов с учетом их поглощения существенно видоизменяет структуру спектральных характеристик многослойных фракталоподобных систем во всех выделенных областях (рис. 1). Исследование таких изменений проводилось с помощью паттерного анализа [11], основанного на фиксации и определении особенностей отдельных фрагментов в спектральных характеристиках многослойных структур.

На рис. 2 представлена зависимость $r$ от поглощения $\gamma $ многослойной системы m-боначчи в случае m = 2 с учетом дисперсионных эффектов (4). Выделенные области ab, bc, de, fg представляют собой паттерны. Из рис. 2 видно, что наличие поглощения сильно влияет на фракталоподобную структуру начальной спектральной характеристики, соответствующей $\gamma = 0.$ При этом наблюдается ее сглаживание для всех $k,$ и как следствие потеря фрактальных свойств спектра. При изменении $\gamma $ наиболее устойчивой областью с точки зрения сохранения скейлинга является центральная часть спектра (паттерн de) вплоть до $\gamma = 0.55$ Ггц. Паттерн de соответствует области D (рис. 1). Для остальных участков спектра фиксация паттерных образований с некоторыми искажениями возможна при $\gamma \leqslant 0.1$ Ггц. Отметим, что спектральные характеристики анализируемой многослойной структуры и ее аппроксимантов близки. Коэффициенты взаимной корреляции между спектрами анализируемых структур (рис. 2) 2 и 4, 3 и 5 принимали значения от 0.91 до 0.98 для разных спектральных фрагментов.

Проведенный анализ показал, что наличие поглощения метаслоев оказывает существенное сглаживающее влияние на самоподобные свойства спектральных характеристик многослойных структур и их аппроксимантов.

Результаты моделирования относятся к случаю, когда фазовые набеги (1) в слоях по абсолютной величине были одинаковыми. Если же соотношения между геометрическими размерами слоев меняются, то наступает разбалансировка фазовых набегов, и из-за сильных искажений формы паттернов их идентификация не всегда представляется возможной.

Как показывают результаты моделирования, фрактальные свойства оптических характеристик систем m-боначчи значительно проявляются при $m = 2$ и $m = 3.$ Увеличение m вызывает трансформацию формы паттернов. При этом из-за эффекта фазовой компенсации исчезает часть резонансных пиков, и спектр становится близким к спектру периодических систем.

В ходе работы был определен ряд идентифицирующих параметров – локальных коэффициентов скейлинга – присущих выделенным паттернам оптических характеристик анализируемых систем. Так, для наиболее устойчивого к изменению поглощения паттерна de локальные параметры скейлинга равны: ${{\zeta }_{1}} = {{de} \mathord{\left/ {\vphantom {{de} {d{{e}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {d{{e}_{1}}}} \approx 1.62,$ ${{\zeta }_{2}} = {{d{{e}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{e}_{1}}} {{{e}_{1}}e}}} \right. \kern-0em} {{{e}_{1}}e}} \approx 1.6.$ Значения скейлинговых параметров для паттерна de близки к коэффициенту Золотого сечения $\zeta \approx 1.618.$ Их оценка позволяет установить количественную связь между структурными особенностями исследуемых объектов и фрактальными свойствами взаимодействующего с ними светового излучения.

Несмотря на то, что форма паттернов в разных спектральных областях имеет заметные отличия, их геометрия, определяемая взаимным расположением внутренних пиков, близка между собой. Тем самым можно утверждать, что при определенных условиях регистрируемые в спектральных характеристиках паттерны могут служить ориентиром при оценке скейлинговых свойств рассматриваемых многослойных систем и их аппроксимантов.

Полученные результаты позволяют существенно дополнить диагностический метод [1] на основе паттерного анализа применительно к аппроксимантам фракталоподобных многослойных структур с метаслоями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты моделирования указывают на заметное влияние поглощения и дисперсии метаслоев, а также эффектов фазовой компенсации и разбалансированности фазовых набегов в слоях при анализе скейлинга в оптических характеристиках многослойных структур с метаслоями. Дисперсия вызывает искажение формы выделяемых паттернов, поглощение метаслоев приводит к сглаживанию спектральных характеристик во всех рассмотренных частотных областях. Эффекты фазовой компенсации в зависимости от соотношения числа слоев разных типов в некоторых случаях могут практически полностью подавить образование паттерных элементов (системы с одинаковым количеством первичных элементов $A$ и $B$).

Выполненный анализ характеристик многослойных структур с метаслоями указывает на возможность установления взаимно однозначной связи между их структурными особенностями и спектрами пропускания на основе выявления паттерных образований и определения коэффициентов скейлинга в узком интервале изменения поглощения $\gamma .$

Полученные результаты являются существенным дополнением паттерного подхода оптической диагностики, базирующегося на определении скейлинговых параметров фракталоподобных многослойных структур аппроксимантов с метаслоями [6, 15].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 18-01-00723a).