Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 12, стр. 1787-1790

ВВЕДЕНИЕ

Сверхтонкое расщепление (СТР) вызвано взаимодействием электронов с магнитным моментом ядра. В первом приближении оно не зависит от деталей ядерной структуры, определяясь магнитным моментом и спином ядра, а также свойствами электронной оболочки. Это связано с малой вероятностью проникновения электронов в ядро. Учет эффектов проникновения ведет к появлению эффекта Бора–Вайскопфа (БВ) [1]. Этот эффект отсутствует в гипотетическом случае точечного ядра, возникая вследствие конечного размера ядра и распределения токов намагниченности по его объему. Поэтому начиная с работы [1], эффект БВ используется для изучения структуры ядра, в частности, его среднеквадратичного радиуса (например, [2, 3]). Эффект БВ лежит в основе известного явления аномалий в оптических спектрах ядра. А в связи с развитием техники накопительных колец, в последние годы наблюдается рост интереса к изучению сверхтонкой структуры в водородоподобных, литийподобных (ниже H- и Li-подобных) и других малоэлектронных тяжелых ионах. Интерес вызывает возможность тестирования электронных волновых функций, а также квантовой электродинамики (КЭД) [4], поскольку эффекты высших порядков – поляризация вакуума, поправка на собственную энергию электрона – вносят заметный вклад – на уровне процента, в величину сверхтонкого расщепления (СТР).

Однако еще больший вклад в СТР дает эффект БВ. В случае тяжелых ионов ²⁰⁹Bi, вклад эффекта БВ в СТР составляет около 2% от полной величины расщепления. Дальнейшее его уточнение встречает трудности, поскольку он оказывается модельно-зависимым. Неслучайно первые попытки его вычисления привели к разногласию с экспериментом на уровне десятков процентов [4]. Поэтому в указанных приложениях, а также при изучении явления несохранения пространственной четности и других случаях он рассматривается как препятствие на пути теории. Отсюда понятны многочисленные попытки элиминировать эффект БВ. В значительной мере это удается сделать, если взять отношение СТР на разных оболочках [5]. Другой метод – специфических разностей (СР) – был предложен в работе [4] и применялся в последующих работах [6, 7] и других. Ниже мы анализируем и сравниваем оба метода, выявим их сходство и различие. Последнее оказывается не в пользу метода СР. Поэтому для формулировки предсказательных утверждений предпочтительней использовать метод отношений. Недостатки метода СР привели даже к тому, что возник термин “загадка сверхтонкого расщепления ²⁰⁹Bi”. С осторожностью надо относиться к измерению магнитного момента ядра ²⁰⁹Bi, сообщение о котором появилось в работе [8], поскольку это, в принципе, независимое измерение ассоциируется авторами с методом СР. В нашем исследовании мы опираемся на методы, разработанные в теории внутренней конверсии (ВК). Это преимущество дается использованием того факта, что СТР является частным случаем ВК [9–11]. При этом эффект БВ выступает как проявление аномальной ВК.

1. ФОРМУЛЫ

Базовой моделью для построения теории является модель без проникновения (БП), пренебрегающая эффектами проникновения электронов в ядро. Адекватный метод учета этих эффектов обеспечивают модели поверхностных ядерных токов (ПТ) [12] и объемных ядерных токов (ОТ) [13]. Отделяя эффекты проникновения, выражение для СТР можно записать в виде [10]:

Здесь $g(r),$ $f(r)$ – большая и малая компоненты радиальной волновой функции электрона, $\kappa $ – его релятивистское квантовое число, $j,$ $I$ – электронные и ядерные спины соответственно, $e$ – элементарный заряд, $\mu $ – магнитный момент ядра и $\tfrac{{e\hbar }}{{2{{M}_{p}}c}}$ – ядерный магнетон. ${{w}^{{(0)}}}$ дает значение СТР в модели БП. Член ${{t}^{{\nu }}},$ который мы будем называть матричным элементом проникновения, содержит информацию о структуре ядра:

где

В модели БП ${{Y}^{{\nu }}}(r) \equiv 0.$ ${{R}_{c}}$ – модельный радиус токов перехода в случае ВК, или токов намагничивания – в случае СТР. Пусть верхний индекс $\nu $ указывает модель, а нижним индексом $i$ мы будем далее помечать электронный уровень.

Таким образом, вся информация об эффекте БВ заключена в слагаемых $t_{i}^{{\nu }}.$ Формулы (1) дают возможность определить эффект БВ для каждого уровня через экспериментальное значение СТР ${{W}^{{exp}}}$ (для простоты опускаем индекс уровня i):

Тогда для эффекта БВ $\epsilon $ получим выражение [11]

где ${{W}^{{(0)}}} = N{{w}^{{(0)}}}$ – значение СТР, даваемое моделью БП. Заменяя в (6) ${{W}^{{exp}}}$ теоретическим значением, получим модельно-зависящую расчетную величину эффекта БВ в виде

В работах [4, 6] было предложено избавиться от вклада эффекта БВ в линейной комбинации, называемой СР:

Действительно, расписав в (8) выражения для ${{W}_{{1s}}}$ и ${{W}_{{2s}}}$ с помощью (1), получим

Уравнение (9) имеет решение

при котором модельно-зависимые слагаемые $t_{i}^{{\nu }}$ взаимно сокращаются благодаря (10): $t_{{2s}}^{{\nu }} - \zeta t_{{1s}}^{{\nu }} \equiv 0.$

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

С учетом эффекта БВ, выражения для СТР в $1s$ и $2s$ электронных конфигурациях с помощью (1) можно записать в виде (5):

Их отношение с точностью до малых величин первого порядка равно

Таким образом, в отношении СТР (12) де-факто происходит вычитание матричных элементов проникновения. Абсолютные ошибки их вычисления, вызванные неопределeнностью ядерной модели, при этом складываются.

В работе [10] показано, что относительная неопределенность вычисления СТР, вносимая ядерной моделью, составляет 10^–6. Следовательно, неопределенность в значениях ${{\epsilon }_{{1s}}}$ и ${{\epsilon }_{{2s}}},$ которые составляют ∼2%, будет уже ∼10^–4. А принимая во внимание, что ${{\epsilon }_{{1s}}}\, \approx \,{{\epsilon }_{{2s}}},$ в их разности относительная ошибка составит уже в общем случае 2 ⋅ 10^–4 от единицы.

Иное дело СР:

Теперь неопределенность модели (13), в отличие от отношения СТР (12), определяется неопределенностью той же разности ${{\epsilon }_{{2s}}} - {{\epsilon }_{{1s}}},$ но по отношению не к единице, а к гораздо меньшей величине $\left| {{{(h - \zeta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(h - \zeta )} h}} \right. \kern-0em} h}} \right|.$ Для оценки последней можно использовать экспериментальные значения СТР [7], положив $h \approx {{{{W}_{{2s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{W}_{{2s}}}} {{{W}_{{1s}}}}}} \right. \kern-0em} {{{W}_{{1s}}}}}$ ≈ $797{\text{/}}5085 = 0.16.$ Используя расчетное значение $\zeta $ = 0.16886 [6], можно заключить, что $\left| {h - \zeta } \right|$ ≈ 0.01, $\left| {{{(h - \zeta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(h - \zeta )} h}} \right. \kern-0em} h}} \right|$ ≈ 0.06, откуда следует, что относительная погрешность СР на два порядка больше, чем отношения. Если использовать значения $Nw_{i}^{{(0)}}$ из работы [6], названные там “дираковскими”, то получим $h$ = = 0.16273, $\left| {{{(h - \zeta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(h - \zeta )} h}} \right. \kern-0em} h}} \right|$ = 0.04. Рассуждая как выше, получаем, что неопределенность модели в СР уже составит величину порядка 10^–4, что в точности соответствует расчетам [10]. Пятый знак в приведенном выше значении $\zeta $ является превышением точности.

3. ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

СР не является наблюдаемой величиной. Классическими наблюдаемыми являются СТР ${{W}_{{1s}}}$ и ${{W}_{{2s}}}.$ Линейную комбинацию из них составить можно, но коэффициент $\zeta $ в ней задается теоретическим расчетом, исходя из условия сокращения вычисленного в определенной модели эффекта БВ. Естественно, что экспериментатор не может независимо определить, при каком значении $\zeta $ произойдет сокращение. Это приводит к тому, что согласование вычисленного значения СР с экспериментальным зависит от случайных обстоятельств, гранича с трюком: ${{W}_{{1s}}}$ и ${{W}_{{2s}}}$ могут значительно отличаться от экспериментальных значений, но в СР эти отличия взаимно сокращаются, что и приводит к видимости согласия. Рассмотрим ситуацию подробнее.

В идеальном случае, если теория и эксперимент дают истинное значение СТР обоих уровней, то и вычисленное значение СР совпадет с экспериментом. Однако можно назвать несколько мысленных примеров, когда сравнение по методу СР на практике может привести к несуразному результату. Например, пусть экспериментальное значение СТР 2s-уровня отличается от точного значения на величину $p,$ а $1s$-уровня – на $({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \zeta }} \right. \kern-0em} \zeta })p.$ Пусть величина $p$ будет например, 16.686 мэВ (экспериментальная погрешность в работе [7] составляет 18 мэВ), так что отклонения эксперимента от точных значений составят 16.686 и 100 мэВ для $2s$ и $1s$ уровней, соответственно. Предположим, что теория дает точное значение обоих расщепленной. Тогда традиционная процедура сравнения теории с экспериментом констатировала бы данные расхождения. Тем не менее, применяя метод СР, получим $\Delta {\kern 1pt} '{{E}_{{exp}}} \equiv \Delta {\kern 1pt} '{{E}_{{th}}},$ т.е. как бы полное согласие теории и эксперимента.

С другой стороны, если отклонение теории от эксперимента будет разных знаков: p и –(1/ζ)p, то расхождение экспериментальной и теоретической СР составит уже $\Delta {\kern 1pt} '{{E}_{{exp}}} \equiv \Delta {\kern 1pt} '{{E}_{{th}}} = 2p,$ хотя с точки зрения физики и просто здравого смысла второе измерение нисколько не хуже первого. Этот пример показывает, что СР как критерий истины подвержена игре случайных факторов, уступая в этом отношении простому сравнению теоретических и экспериментальных значений W_2s и W_1s каждого в отдельности, не говоря уже о тестировании КЭД.

Еще один аспект был указан в работе [10]. Он состоит в том, что СР чрезвычайно чувствительна к величине коэффициента $\zeta .$ Это проявляется в том, что заявленные в экспериментальных работах погрешности величины СР сильно занижены и находятся в противоречии с ошибкой коэффициента $\zeta ,$ вычисленного в работе [6] с точностью до пяти знаков. Рассмотрим этот вопрос по порядку.

Принятое значение $\zeta $ = 0.16886 [6] допускает коридор в пределах 0.168856–0.168864. При округлении до пяти знаков все три значения неразличимы. Указанный коридор предполагает возможную ошибку опубликованного значения $\zeta $ никак не меньше $\delta (\zeta )$ = 0.000008 = 8 ⋅ 10^–6. Согласно [7], положим ${{W}_{{1s}}}$ = 5 085.03 мэВ, ${{W}_{{2s}}}$ = = 797.645 мэВ. Последнее значение, впрочем, неважно для определения ошибки $\Delta {\kern 1pt} 'E,$ связанной с неопределенностью величины $\zeta .$ Используя приведенные значения, с помощью формулы (7) получим минимальную наведенную ошибку $\delta (\Delta {\kern 1pt} 'E) = {{W}_{{1s}}}\delta (\zeta )$ = 0.041 мэВ. Теперь сравним это значение с экспериментальной величиной СР, приведенной в той же работе [7]: $\Delta {\kern 1pt} 'E$ = –61.012(5)(21) мэВ. То есть указанная экспериментальная ошибка не превышает 0.026 мэВ. И она заведомо меньше минимальной, которая следует из цитированного в той же работе приведенного выше значения $\zeta .$ Мы видим, что при последовательном изложении экспериментальная ошибка $\delta (\Delta {\kern 1pt} 'E)$ должна была быть по крайней мере удвоена. В этом примере ярко проявляется именно гносеологический аспект несуразности введенной СР: экспериментатор рассчитывает свою ошибку, не принимая во внимание неопределенность используемого им значения $\zeta .$ А сам он просто не может измерить значение $\zeta $ и оценить его погрешность. Поэтому происходит смещение понятий, в результате которого ошибка $\delta (\zeta )$ просто выпадает при публикации экспериментальных данных. Несуразность введения СР в данном случае проявляется в том, что “выпавшая” ошибка значительно превышает приведенную в статье.

Еще к более разительному результату приводит сравнение с позднейшей работой [8], в которой приводится значение $\Delta {\kern 1pt} 'E$ = –61.043(5)(30) мэВ. При этом вторая ошибка связывается с неопределенностью экспериментальной величины магнитного момента, а собственно расчетная ошибка оценивается всего в 0.005 мэВ. Таким образом, она уже в восемь раз меньше той, которая следует из приведенного в той же работе и цитированного выше значения $\zeta $ = 0.16886.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Прежде всего, приведенные выше аргументы демонстрируют, что, как показано еще в работах [10, 11, 14], никакой ни проблемы, ни загадки нет. Подбирая параметры модели для описания имеющихся данных по СТР, можно определить ядерные моменты пространственного распределения токов намагниченности [11]. Одновременно можно проводить тестирование КЭД. Если теория верна, и данные тоже правильны, то все получится. Недоумение, высказанное авторами работы [7], вызвано опорой на метод СР и завышением его точности. Заметим, что именно такой исход был буквально предсказан в работе [11]. Для подгонки же экспериментальных данных сразу по нескольким уровням можно использовать модель аномальных моментов [11]. В работе [11] отмечено, что такой путь подходит даже для тестирования экспериментальных данных. В свою очередь, опора на метод СР ставит под сомнение результат [8] относительно истинного значения магнитного момента ядра ²⁰⁹Bi. Отметим важность на данном этапе измерения СТР $2{{p}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$-уровня в бороподобных ионах ²⁰⁹Bi. Это связано с тем, что разложение радиальных волновых функций в начале координат содержит знакопеременные ряды Тэйлора, так что в произведении компонент $g(r)f(r)$ в (2) каждое нечетное слагаемое в значительной степени компенсирует вклад предыдущего четного. Напомним, в настоящее время данные имеются только по двум электронным конфигурациям: $1s$ и $2s.$ Описание третьей конфигурации послужит критическим тестом теории.