Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 2, стр. 266-271

ВВЕДЕНИЕ

Распространение акустических волн в метаматериале можно рассматривать, с одной стороны, как процесс, протекающий в однородной среде с некоторыми эффективными параметрами. С другой стороны, тот же процесс может быть описан с точки зрения многократного рассеяния волн на всех элементах метаматериала. Представляет интерес тот случай, когда размер элемента метаматериала много меньше длины волны в нем (случай малого волнового размера) – именно тогда среду можно описывать с помощью эффективных параметров.

Одиночный элемент метаматериала в виде квазиточечной неоднородности с плотностью $\rho (\vec {z})$ и фазовой скоростью звука $c(\vec {z})$ интересен при решении как прямой, так и обратной задач рассеяния. Показано [1–3], что фаза и амплитуда поля, рассеянного такой неоднородностью, являются взаимозависимыми. Это накладывает ограничения на максимальную мощность рассеянного поля [4]. При решении обратной задачи рассеяния такая взаимосвязь позволяет не измерять фазу рассеянного поля – достаточно данных только об абсолютной величине амплитуды рассеяния [5].

Акустические поля, рассеянные неоднородностями плотности $\rho (\vec {z})$ и сжимаемости $\eta (\vec {z}) \equiv $ ≡ ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {\rho (\vec {z}){{c}^{2}}(\vec {z})} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\rho (\vec {z}){{c}^{2}}(\vec {z})} \right)}},$ можно разложить в ряд, каждый член которого соответствует определенному порядку мультипольности (т.е. определенному характеру угловой зависимости поля). В случае одиночной квазиточечной неоднородности, линейный размер которой много меньше длины волны, при описании оказывается возможным ограничиться монопольным и дипольным порядками мультипольности [3], за исключением узких диапазонов значений характеристик рассеивателя, когда возникают резонансы.

Если среда в присутствии рассеивателя однородна по плотности, то может быть достаточно только одного монопольного члена [1]. Именно такой случай рассматривается ниже. Пусть первичные источники создают в фоновой (когда рассеиватель отсутствует) однородной непоглощающей среде падающее акустическое поле $u_{0}^{ \pm }(\vec {z}).$ Верхними индексами “+” и “–” здесь и далее обозначаются величины, относящиеся к запаздывающему полю, расходящемуся на бесконечности и удовлетворяющему принципу излучения Зоммерфельда, и опережающему полю, сходящемуся с бесконечности и не удовлетворяющему принципу излучения Зоммерфельда, соответственно. Тогда в присутствии в области $\Re $ рассеивателя в виде квазиточечной неоднородности с центром в точке ${{\vec {r}}_{0}}$ полное акустическое поле $u_{{}}^{ \pm }(\vec {z})$ в произвольной точке $\vec {z}$ подчиняется уравнению Липпмана–Швингера:

Здесь $G_{0}^{ + }$ и $G_{0}^{ - }$ – запаздывающая и опережающая функции Грина однородной фоновой среды, аналитический вид которых хорошо известен; функция рассеивателя задается в виде

$k_{0}^{{}}$ и $k_{1}^{{}}(\vec {r})$ – волновые числа, соответственно, вне (т.е. в фоновой среде) и внутри рассеивателя. Поскольку неоднородность является квазиточечной, и предполагается, что рассеянное ею поле $u_{{{\text{sc}}}}^{ \pm }(\vec {z}) \equiv u_{{}}^{ \pm }(\vec {z}) - u_{0}^{ \pm }(\vec {z})$ имеет только монопольную компоненту, выражение (1) можно упростить. Для этого вводятся комплексные коэффициенты рассеяния $\beta _{{}}^{ + }$ и $\beta _{{}}^{ - }$ так, чтобы было справедливо соотношение $v(\vec {r}){{u}^{ \pm }}(\vec {r}) = {{\beta }^{ \pm }}\delta (\vec {r} - {{\vec {r}}_{0}})u_{0}^{ \pm }(\vec {r})$ [1, 2], откуда

Отличие выражения (3) от уравнения Липпмана–Швингера (1) состоит в том, что в правой части (3) не содержится неизвестное поле внутри рассеивателя ${{u}^{ \pm }}({{\vec {r}}_{0}}).$ Процессы многократного рассеяния учитываются при этом с помощью коэффициентов ${{\beta }^{ \pm }},$ которые зависят от параметров рассеивателя, но не явно, и для определения значений $\beta _{{}}^{ \pm }$ необходимо, в общем случае, выполнить расчеты для заданной функции $v(\vec {r}).$ Эти коэффициенты подчиняются соотношению

здесь и далее рассматривается двумерный случай при временнóй зависимости как запаздывающих, так и опережающих полей $\sim {\kern 1pt} \exp ( - i\omega t).$

НЕПОГЛОЩАЮЩИЙ РАССЕИВАТЕЛЬ

В отсутствие поглощения ${{\beta }^{ + }}$ и ${{\beta }^{ - }}$ являются комплексно сопряженными: ${{\beta }^{ \pm }} = \left| \beta \right|\exp ( \pm i\phi ),$ где $\left| \beta \right|$ и $ \pm \phi $ – модуль (амплитуда) и фаза коэффициентов рассеяния. Тогда из (4) следует, что между амплитудой и фазой имеет место связь [1]:

Геометрическое место точек на комплексной плоскости, соответствующих допустимым значениям (5) комплексного коэффициента рассеяния ${{\beta }^{ + }}$ для запаздывающего поля, представляет собой окружность, проходящую через начало координат $O$ и имеющую центр в точке $C$ с координатами (0; –2) (рис. 1а). В этой точке $O$ будет ${{\beta }^{ + }} = 0,$ что означает отсутствие рассеянного поля $u_{{{\text{sc}}}}^{ \pm }(\vec {z}).$ Тогда $\left| \beta \right| = 0,$ $\phi = \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z};$ причем случай $\phi = 0$ означает отсутствие рассеивателя, а случай $\phi = \pi n$ при $n \ne 0$ соответствует сильным рассеивателям, которые, однако, не создают рассеянного наружу поля.

Одинаковая амплитуда коэффициента рассеяния $\left| \beta \right|$ достигается в двух различных точках окружности (например, точки ${{N}_{{\text{I}}}}$ и ${{N}_{{{\text{II}}}}}$ на рис. 1а). Поэтому вводятся два семейства рассеивателей: для семейства I выбирается решение уравнения (5) относительно ϕ в виде ${{\phi }_{{\text{I}}}} = \arcsin \left( { - {{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right) + 2\pi n;$ для семейства II – в виде ${{\phi }_{{{\text{II}}}}} = \pi - \arcsin \left( { - {{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right) + 2\pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ На рис. 1а этим семействам I и II соответствуют правая и левая половины окружности. Максимальная амплитуда коэффициента рассеяния $\left| \beta \right| = 4$ достигается в точке $M$ (рис. 1а) при $\phi = 3{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {2 + 2\pi n}}} \right. \kern-0em} {2 + 2\pi n}},$ $n \in \mathbb{Z}.$

Представляет интерес обратная задача – восстановление характеристик рассеивателя по проведенным измерениям (вне рассеивателя, т.е. при $\vec {z} \notin \Re $) рассеянного им поля $u_{{{\text{sc}}}}^{ \pm }(\vec {z}).$ Слабые квазиточечные рассеиватели, которые слабо искажают падающее на них поле, обладают близкой к нулевой амплитудой $\left| \beta \right|$ и фазой, близкой к 0 для семейства I, и близкой к $\pi $ для семейства II. При этом коэффициент рассеяния ${{\beta }^{ + }}$ лежит вблизи точки $O.$ Именно такое скачкообразное изменение фазы на $\pi $ обуславливает, с физической точки зрения, деление рассеивателей на два семейства. Слабые рассеиватели должны восстанавливаться хорошо. Квазиточечные рассеиватели с коэффициентом ${{\beta }^{ + }},$ лежащим вблизи точки $M,$ являются, наоборот, очень сильными (сильно искажают падающее поле); как следствие, их восстановление в монохроматическом режиме сталкивается с проблемами неединственности и неустойчивости [6]. Вообще, к сильным относятся и другие рассеиватели – с меньшим $\left| \beta \right|$, но $\left| \phi \right| > 2\pi .$ С другой стороны, на первый взгляд кажется, что рассеиватели семейств I и II с одинаковой амплитудой $\left| \beta \right|$ и соответствующей фазой ${{\phi }_{{\text{I}}}} = - \arcsin \left( {{{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)$ и ${{\phi }_{{{\text{II}}}}} = \pi + \arcsin \left( {{{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)$ должны иметь близкую силу и, тем самым, восстанавливаться с примерно одинаковым качеством. Однако это не так, и данная ситуация будет обсуждаться ниже.

Для слабых рассеивателей можно применить в исходном уравнении Липпмана–Швингера (1) борновское приближение ${{u}^{ \pm }}(\vec {r}) \approx u_{0}^{ \pm }(\vec {r})$ и, тем самым, с учетом (3), получить оценку ${{\beta }^{ + }} \approx \int_\Re {v(\vec {r})d\vec {r}} $ = = $\int_\Re {\left( {k_{0}^{2} - k_{1}^{2}(\vec {r})} \right)d\vec {r}} $ ≈ $\pi {{R}^{2}}\left( {k_{0}^{2} - k_{{1\,{\text{avg}}}}^{2}} \right).$ Здесь $R$ и ${{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}$ – характерный радиус неоднородности и среднее волновое число внутри нее. Если скорость звука внутри рассеивателя больше фоновой (рассеиватель дефокусирующий), то ${{k}_{{1\,{\text{avg}}}}} < {{k}_{0}}$ и получается ${{\beta }^{ + }} > 0$ – рассеиватель относится к семейству I. Аналогично, если скорость звука внутри рассеивателя меньше фоновой (рассеиватель фокусирующий), то ${{k}_{{1\,{\text{avg}}}}} > {{k}_{0}}$ и ${{\beta }^{ + }} < 0$ – рассеиватель относится к семейству II. Меньшая, по сравнению с фоновой, скорость звука приводит к концентрации поля внутри рассеивателя, фокусировке поля, что увеличивает силу рассеивателя. Наоборот, бóльшая скорость звука приводит к дефокусировке поля и, тем самым, уменьшает силу рассеивателя. Поэтому для одного и того же значения $\left| \beta \right|$ рассеиватели семейства II при ${{\phi }_{{{\text{II}}}}} = \pi + \arcsin \left( {{{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)$ оказываются более сильными, чем рассеиватели семейства I при ${{\phi }_{{\text{I}}}} = - \arcsin \left( {{{\left| \beta \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| \beta \right|} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right),$ и восстановление рассеивателей семейства II более проблематично. Чем больше фиксированное значение $\left| \beta \right|,$ тем больше различие по силе между соответствующей парой рассеивателей из семейств I и II.

Возможен подход к анализу рассеянного неоднородностью поля с точки зрения значения дополнительного набега фазы $\Delta \psi ,$ который создает неоднородность для распространяющегося через нее поля. Этот дополнительный набег при распространении волны вдоль центрального сечения неоднородности оценивается как

где $d{{l}_{{\vec {r}}}}$ – длина элемента траектории в окрестности точки $\vec {r}.$ Для дальнейшего рассмотрения важно уточнить понятие “малый волновой размер” неоднородности, поскольку такой размер можно задать двумя различными способами. Так, “внутренний” волновой размер $2{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}R$ связан с длиной волны внутри неоднородности. “Внешний” волновой размер $2k_{0}^{{}}R$ связан с длиной волны в фоновой среде, окружающей неоднородность.

Когда ${{k}_{{1\,{\text{avg}}}}} \ll {{k}_{0}},$ т.е. рассеиватель относится к семейству I, из (6) вытекает $\Delta \psi \approx - 2{{k}_{0}}R.$ Тогда, если фиксировать “внешний” волновой размер неоднородности или даже рассматривать область его малых значений ${{k}_{0}}R \ll 1,$ то будет $\left| {\Delta \psi } \right| \ll 1$ – не удается получить все допустимые значения набега фазы, которые характерны для семейства I. Таким образом, при рассмотрении семейства I целесообразно фиксировать малое значение именно “внутреннего” волнового размера неоднородности $2{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}R \ll 1$ и варьировать $\frac{{{{k}_{0}}}}{{{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}}} > 1$ (т.е. $\frac{{{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}}}{{{{k}_{0}}}} < 1$).

Когда, напротив, ${{k}_{{1\,{\text{avg}}}}} \gg {{k}_{0}},$ т.е. рассеиватель относится к семейству II, будет $\Delta \psi \approx 2{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}R.$ В этом случае, чтобы иметь возможность получить все значения $\Delta \psi ,$ характерные для семейства II, следует фиксировать малое значение “внешнего” волнового размера неоднородности $2{{k}_{0}}R \ll 1$ и варьировать $\frac{{{{k}_{{1\,{\text{avg}}}}}}}{{{{k}_{0}}}} > 1.$

Вопросы, связанные с восстановлением непоглощающих рассеивателей семейства I, исследовались в [7]. В [8] приведены результаты восстановления непоглощающих рассеивателей обоих семейств с помощью двумерного алгоритма Новикова [9–11] в монохроматическом режиме, однако без обсуждения физических причин, приводящих к различию качества восстановления. В [8] показано, что при фазе ${{\phi }_{{{\text{II}}}}} = 235.5^\circ $ (точка ${{N}_{{{\text{II}}}}}$ на рис. 1а, достаточно далекая от точки $M$) восстановленная оценка $\hat {v}(\vec {r})$ рассеивателя семейства II представляет собой узкий пик (с шириной ${{ \cong {\kern 1pt} {{\lambda }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ \cong {\kern 1pt} {{\lambda }_{0}}} {12}}} \right. \kern-0em} {12}}$ по уровню 0.7, где ${{\lambda }_{0}}$ – длина волны в фоновой среде) с большой амплитудой, причем отрицательной (${\hat {v}} < 0$). При незначительном увеличении фазы до ${{\phi }_{{{\text{II}}}}} = 237.0^\circ $ амплитуда пика увеличивается примерно в три раза. При этом ширина пика сужается до ${{ \cong {\kern 1pt} {{\lambda }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ \cong {\kern 1pt} {{\lambda }_{0}}} {20}}} \right. \kern-0em} {20}},$ что гораздо меньше разрешающей способности двумерного алгоритма Новикова, близкой к ${{{{\lambda }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{0}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$ [12]. Тем самым, полученная оценка рассеивателя не может считаться достоверной. Как показало исследование, причиной ошибки в оценке служит помеха, которая вызвана присутствием существенного рассеяния назад [13], создаваемого квазиточечными рассеивателями, в сочетании с большой силой рассматриваемых рассеивателей семейства II. Негативный фактор в виде помехи такого рода является общим для всех алгоритмов решения обратных задач рассеяния. Уменьшить, в той или иной мере, влияние данной помехи можно, если ввести угловую фильтрацию данных рассеяния. Для этого обобщенная амплитуда рассеяния h(φ, φ'), вычисляемая из экспериментальных данных на одном из этапов алгоритма Новикова, умножается на функцию фильтра $F\left( {\left| {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right|} \right),$ т.е. ${{h}_{{filtr}}}{\text{(}}\varphi {\text{,}}\varphi {\kern 1pt} '{\text{)}}$ = $h{\text{(}}\varphi {\text{,}}\varphi {\kern 1pt} '{\text{)}}F\left( {\left| {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right|} \right),$ где $\varphi $ – угол падения эффективной плоской волны на рассеиватель; $\varphi {\kern 1pt} '$ – угол приема соответствующей рассеянной волны в дальней зоне. Функция фильтра ослабляет вклад рассеяния назад за счет того, что $F\left( {\left| {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right|} \right) \to 0$ при $\left| {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right| \to \pi .$ Применение такой фильтрации позволяет улучшать результат восстановления рассеивателей средней силы и сильных. В частности, существенно ослабляются заведомо ложные компоненты пространственного спектра восстановленной оценки $\hat {v}(\vec {r})$, лежащие вне круга радиуса $2{{k}_{0}}.$ Кроме того, улучшается обусловленность систем уравнений, решаемых при восстановлении, и, как следствие, улучшается устойчивость оценки $\hat {v}(\vec {r})$. При этом вышеупомянутые оценки в виде нефизически узких пиков расширяются.

В то же время, при восстановлении рассеивателей семейства I амплитудное значение оценки $\hat {v}(\vec {r})$ положительно [7, 8], и в [8] был отмечен следующий эффект. Когда амплитуда коэффициента рассеяния $\left| \beta \right|$ приближается к максимально допустимой (например, рассеиватель с $\left| \beta \right| = 3.99985,$ ${{\phi }_{{\text{I}}}} = - 89.50^\circ $), амплитудное значение оценки ${\hat {v}}(\vec {r})$ оказывается больше, чем $k_{0}^{2}.$ Поскольку, согласно (2), $v(\vec {r}) = k_{0}^{2} - k_{1}^{2},$ то в [8] говорится, что результат $\hat {v} > k_{0}^{2}$ означает, что $k_{1}^{2} < 0,$ т.е. рассеиватель не может интерпретироваться как непоглощающий рефракционный рассеиватель. Однако применение на этапе восстановления ${\hat {v}}(\vec {r})$ вышеупомянутого углового фильтра $F\left( {\left| {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right|} \right)$ показало, что значение $\hat {v} > k_{0}^{2}$ в отсутствие фильтрации обусловлено не особыми физическими свойствами рассеивателя, а, как и для рассеивателей семейства II, помехой в виде сильного рассеяния назад в сочетании с сильно выраженными эффектами многократного рассеяния волновых полей.

Соотношение (5) справедливо в отсутствие поглощения как в фоновой среде, так и внутри неоднородности. В квантовой механике существуют похожие соотношения (оптическая теорема), которые также остаются справедливыми при отсутствии захвата частиц рассеивающим центром. Однако на практике акустические рассеиватели часто обладают поглощением, и, тем самым, встает вопрос о видоизменении соотношения (5) и геометрического места точек на комплексной плоскости, описывающего возможные значения ${{\beta }^{ + }}$ в этом случае. Соотношение связи (4) между ${{\beta }^{ + }}$ и ${{\beta }^{ - }}$ для монопольного квазиточечного рассеивателя в присутствии поглощения остается без изменений, позволяя, при необходимости, найти ${{\beta }^{ - }}$ из ${{\beta }^{ + }}.$

Для анализа этих видоизменений рассматривалась двумерная задача рассеяния падающей акустической волны круглым однородным цилиндром; такая задача имеет точное аналитическое решение [14]. Волновое число внутри цилиндра задавалось как где действительная часть $k_{1}^{'} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{1}}}}$ связана со скоростью звука в цилиндре ${{c}_{1}},$ а мнимая часть соответствует амплитудному коэффициенту поглощения цилиндра. Радиус цилиндра $R \to 0.$ Если при этом ${{k}_{0}} = {\text{const}}$ и ${{k}_{1}} = {\text{const,}}$ то получается, что набег фазы, рассчитанный согласно (6) как $\Delta \psi = 2R({{k}_{1}} - {{k}_{0}}),$ будет очень мал: $\Delta \psi \to 0$ (тогда и ${{\beta }^{ + }} \to 0$), и рассеиватель является очень слабым. Более интересны результаты, которые можно получить (как в отсутствие поглощения, так и в его присутствии), если при уменьшении радиуса цилиндра фиксировать, в одном случае, $k_{1}^{'}R,$ а в другом ${{k}_{0}}R.$ Тогда можно рассматривать коэффициент рассеяния ${{\beta }^{ + }}$ как функцию от ${{k_{1}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{1}^{'}} {{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{0}}}}.$ Одновременно необходимо контролировать рассеянное поле на предмет наличия дипольной, квадрупольной и высших компонент мультипольности, поскольку в случае присутствия таких компонент единственного коэффициента ${{\beta }^{ + }},$ ответственного за монопольное рассеяние, недостаточно, и требуется уточнение математического аппарата [2, 3].

В первом случае в отсутствие поглощения фиксировалось ${{k}_{1}}R = {\text{const}}{\text{.}}$ При ${{k}_{1}} \geqslant {{k}_{0}}$ рассеяние монопольное, но коэффициент рассеяния ${{\beta }^{ + }} \approx 0$ (ближайшая левая окрестность точки $O$ на рис. 1а); рассеиватель оказывается очень слабым. При уменьшении ${{k}_{1}}$ $\left( {{{k}_{1}} < {{k}_{0}}} \right)$ амплитуда коэффициента рассеяния $\left| \beta \right|$ растет, а точка, изображающая значение ${{\beta }^{ + }}$ на рис. 1а, двигается по окружности по часовой стрелке, что соответствует значениям ${{\beta }^{ + }}$ семейства I. Однако, начиная с некоторого значения ${{k}_{1}}$ (например, ${{k}_{1}} \approx 0.1{{k}_{0}}$ при ${{k}_{1}}R = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {128}}} \right. \kern-0em} {128}};$ соответствующий коэффициент рассеяния имеет $\left| \beta \right| = 0.6238,$ $\phi \equiv {{\phi }_{{\text{I}}}} = - 8.97^\circ $) и меньших значениях ${{k}_{1}}$, оказывается существенным рассеяние высших порядков мультипольности; поэтому рассматриваемая модель чисто монопольного рассеяния становится неправомерной. Таким образом, семейство I значений ${{\beta }^{ + }}$ даже для интервала $ - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2} \leqslant {{\phi }_{{\text{I}}}} \leqslant 0$ описывается цилиндрическими рассеивателями не полностью.

Во втором случае в отсутствие поглощения фиксировалось ${{k}_{0}}R = {\text{const}}{\text{.}}$ При ${{k}_{1}} \leqslant {{k}_{0}}$ рассеяние монопольное, но ${{\beta }^{ + }} \approx 0$ (ближайшая правая окрестность точки $O$ на рис. 1а). С ростом ${{k}_{1}}$ $\left( {{{k}_{1}} > {{k}_{0}}} \right)$ амплитуда коэффициента рассеяния $\left| \beta \right|$ растет, а точка, изображающая значение ${{\beta }^{ + }}$ на рис. 1а, двигается по окружности против часовой стрелки. Эта точка пробегает целиком значения ${{\beta }^{ + }}$ семейства II и (например, начиная с ${{k}_{1}} \approx 15.7{{k}_{0}}$ при ${{k}_{0}}R = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {128}}} \right. \kern-0em} {128}}$) часть значений ${{\beta }^{ + }}$ семейства I. При дальнейшем росте ${{k}_{1}}$ (${{k}_{1}} > 48.9{{k}_{0}}$ при ${{k}_{0}}R = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {128}}} \right. \kern-0em} {128}}$) возникает заметное рассеяние дипольного и квадрупольного порядков.

РАССЕИВАТЕЛЬ С ПОГЛОЩЕНИЕМ

Наличие поглощения приводит к тому, что коэффициент ${{\beta }^{ + }}$ перестает лежать на окружности. В первом случае фиксировалось $k_{1}^{'}R = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {128}}} \right. \kern-0em} {128}},$ и варьировалась действительная часть $k_{1}^{'}$ волнового числа ${{k}_{1}} = k_{1}^{'} + 0.5i{{k}_{0}}$ (т.е. здесь ). Геометрическое место точек, изображающих коэффициент ${{\beta }^{ + }}$ при ${{{{k}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{0}}} {k_{1}^{'}}}} \right. \kern-0em} {k_{1}^{'}}} \in [1; + \infty ),$ представляет собой сложную кривую (рис. 1б; в том числе, выноска на рис. 1б, показывающая фрагмент в увеличенном масштабе). Эта кривая сосредоточена, однако, возле изначальной окружности, т.е. окружности в отсутствие поглощения (на рис. 1б и 1в правая половина этой окружности по-прежнему изображена пунктирной линией, левая половина – линией, составленной из точек, как на рис. 1а). Подобная ситуация практически не изменяется при задании других значений

Во втором случае при фиксированном k₀R = = 2π/128 варьировалась действительная часть $k_{1}^{'}$ волнового числа ${{k}_{1}} = k_{1}^{'} + 0.15i{{k}_{0}},$ т.е. поглощение на расстоянии, равном линейному размеру цилиндра, было фиксированным ( фиксировано в силу фиксирования ${{k}_{0}}R$). Тогда точка, изображающая коэффициент ${{\beta }^{ + }},$ двигается при ${{k{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{k{\kern 1pt} '} {{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{0}}}} \in [1; + \infty )$ по скручивающейся спирали (рис. 1в) с полюсом в точке $ \approx {\kern 1pt} 1.64 - 0.85i$ (это значение зависит только от значения ${{k}_{0}}R = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {128}}} \right. \kern-0em} {128}}$).

Таким образом, монопольные рассеиватели малого волнового размера могут описываться единственным коэффициентом рассеяния ${{\beta }^{ + }}.$ Возможные значения этого коэффициента на комплексной плоскости лежат внутри круга, а в отсутствие поглощения – на его границе.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-12-00098.