1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 2, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 2, стр. 261-265

Углы преломления и направления векторов групповых скоростей волн ТЕ и ТМ поляризации на границе изотропной среды и полупространства с магнитоэлектрическим эффектом

С. К. Тлеукенов 1, Ж. Н. Суйеркулова 1, *, В. Г. Можаев 2

1 Евразийский Национальный университет имени Л.Н. Гумилева
Нур-Султан, Казахстан

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”
Москва, Россия

* E-mail: zhamila_kudaibergen@mail.ru

Поступила в редакцию 26.08.2019
После доработки 13.09.2019
Принята к публикации 28.10.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Определены направления векторов фазовых и групповых скоростей волн ТЕ и ТМ поляризации при преломлении на границе “изотропной диэлектрик–одноосный кристалл с магнитоэлектрическим свойствами”. В аналитической форме получены значения углов, определяющих направления фазовых и групповых скоростей ТЕ и ТМ волн, в зависимости от направления волнового вектора падающей волны. Рассмотрены следствия полученных результатов для одноосных кристаллов при отсутствии магнитоэлектрических свойств.

ВВЕДЕНИЕ

Магнитоэлектрический эффект описывается соотношениями, приведенными в книге [1]. Интерес к средам с магнитоэлектрическим эффектом связан с возможностями его применения для создания беспроводных источников энергии, использования мультиферроидных структур в логических элементах в постоянных магнитных полях и т.д. [2–6]. Теоретические и экспериментальные исследования ведутся с целью создания гетероструктур композитных материалов, имеющих необходимый для практического применения магнитоэлектрический эффект благодаря сочетанию пьезоэлектрического и магнитострикционного эффектов. Это приводит к необходимости детального излучения волновых процессов в подобных средах и, в частности, в средах с магнитоэлектрическим эффектом.

В данной работе волновые процессы рассматриваются в одноосных кристаллах с магнитоэлектрическим эффектом: тетрагональной (класс 422), тригональной (класс 32) и гексагональной (622) симметрии [2]. Решение поставленных в данный работе задач основано на использовании метода матрицанта. На его основе ранее уже были рассмотрены различные задачи для волновых процессов в анизотропных упругих средах, электромагнитные волны в кристаллах, распространение связанных упругих и электромагнитных волн в пьезоэлектрических и пьезомагнитных средах с магнитоэлектрическим эффектом [7–16].

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И МАТЕРИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Процессы распространения плоских электромагнитных волн в рассматриваемой среде описываются уравнениями Максвелла:

(1)
$\begin{gathered} {\text{rot}}\vec {E}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}} = - \frac{{d\vec {B}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}}}}{{dt}}{\text{;}} \\ {\text{rot}}\vec {H}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}} = \frac{{d\vec {D}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}}}}{{dt}}, \\ {\text{div}}\vec {D}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}} = {\text{0;}}\,\,\,\,{\text{div}}\vec {B}{\text{(}}g{\text{,}}t{\text{)}} = 0. \\ \end{gathered} $

и материальными соотношениями

(2)
$\begin{gathered} \vec {D}\left( {g{\text{,}}t} \right) = {\vec {\varepsilon }}\vec {E}\left( {g{\text{,}}t} \right) - {\vec {\alpha }}\vec {H}\left( {g{\text{,}}t} \right), \\ \vec {B}\left( {g,t} \right) = {\vec {\mu }}\vec {H}\left( {g,t} \right) - {\vec {\alpha }}\vec {E}\left( {g,t} \right) \\ \end{gathered} $

здесь $g \in \left( {x{\text{,}}o{\text{,}}z} \right) \in {{R}^{{\text{2}}}}.$ Волновой вектор $\vec {\kappa }$ находится в плоскости $xz.$ ${\bar {\varepsilon }},{\bar {\mu }}$ – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, ${\bar {\alpha }}$ – тензор магнитоэлектрического эффекта,

$\begin{gathered} \bar {\varepsilon } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }_{x}}}&0&0 \\ 0&{{{\varepsilon }_{x}}}&0 \\ 0&0&{{{\varepsilon }_{z}}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\bar {\mu } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mu }_{x}}}&0&0 \\ 0&{{{\mu }_{x}}}&0 \\ 0&0&{{{\mu }_{z}}} \end{array}} \right); \\ \bar {\alpha } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{x}}}&0&0 \\ 0&{{{\alpha }_{x}}}&0 \\ 0&0&{{{\alpha }_{z}}} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $

В методе матрицанта, система уравнении (1), (2) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнении (ОДУ) первого порядка относительно компонент векторов электрического $\vec {E}$ и магнитного полей $\vec {H}$ на основе представления решений:

(3)
$\begin{gathered} f\left( {g{\text{,}}t} \right) = \bar {f}\left( z \right){\text{exp}}\left[ {i{\omega }t - i{{k}_{x}}x} \right] \\ {\text{и}}\,\,{\text{имеет}}\,\,{\text{вид}}\,\,\frac{{d\vec {W}}}{{dz}} = B\vec {W}\left( z \right) \\ {\text{относительно}}\,\,{\text{вектора}}\,\,\vec {W}\left( z \right) = {{\left( {{{E}_{y}},{{H}_{x}},{{H}_{y}},{{E}_{x}}} \right)}^{t}} \\ \end{gathered} $

здесь t – знак транспонирования вектор-строки в вектор-столбец. Матрица $B = {{{\text{(}}{{b}_{i}}j{\text{)}}}^{{\text{4}}}}$ имеет следующую структуру:

(4)
$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{0}} \\ {{{b}_{{{\text{21}}}}}} \\ {\text{0}} \end{array}} \\ { - {{b}_{{{\text{23}}}}}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{{{\text{12}}}}}} \\ {\text{0}} \\ { - {{b}_{{{\text{14}}}}}} \end{array}} \\ {\text{0}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{0}} \\ {{{b}_{{{\text{23}}}}}} \\ {\text{0}} \end{array}} \\ {{{b}_{{{\text{43}}}}}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{{{\text{14}}}}}} \\ {\text{0}} \\ {{{b}_{{{\text{34}}}}}} \end{array}} \\ {\text{0}} \end{array}} \right).$

Элементы ${{b}_{{ij}}}$ имеет вид: ${{b}_{{{\text{(12)}}}}} = i{\omega }{{{\mu }}_{x}}{\text{;}}$ ${{b}_{{{\text{(14)}}}}} = - i{\omega }{{\alpha }_{x}}{\text{;}}$ ${{b}_{{{\text{(21)}}}}} = i{\omega }\left( {{{{\varepsilon }}_{x}} - \frac{{k_{x}^{{\text{2}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{\beta }}}{{{\varepsilon }}_{z}}} \right){\text{;}}$

(5)
$\begin{gathered} {{b}_{{{\text{(23)}}}}} = - i{\omega }\left( {{{{\alpha }}_{x}} - \frac{{k_{x}^{{\text{2}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{\beta }}}{{{\alpha }}_{z}}} \right){\text{;}}\,\,\,\,{{b}_{{{\text{(34)}}}}} = - i{\omega }{{{\varepsilon }}_{x}}{\text{;}} \\ {{b}_{{{\text{(43)}}}}} = - i{\omega }\left( {{{{\mu }}_{x}} - \frac{{k_{x}^{{\text{2}}}{{{\mu }}_{z}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{\beta }}}} \right){\text{;}}\,\,\,{\beta } = {{{\varepsilon }}_{z}}{{{\mu }}_{z}} - {\alpha }_{z}^{{\text{2}}}. \\ \end{gathered} $

Поскольку система ОДУ в данном случае рассматривается относительно переменной z, имея в виду поперечность электромагнитных волн, уравнения (1)–(2) позволяют исключить компоненты полей ${{E}_{z}}$ и ${{H}_{z}},$ направленных вдоль оси z.

УГЛЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОЛН ТЕ И ТМ ПОЛЯРИЗАЦИИ

Индикатрисы волновых векторов волн ТЕ и ТМ поляризации в одноосных кристаллах с магнитоэлектрическим эффектом описываются уравнениями [16]:

(6)
$k_{{{\text{TE}}}}^{{\text{2}}} = \frac{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}}}}{{{\text{co}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}{\theta } + {\text{(}}А + В{\text{)si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{\theta }}},$
(7)
$k_{{{\text{TM}}}}^{{\text{2}}} = \frac{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}}}}{{{\text{co}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}{\theta } + \left( {A - B} \right){\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{\theta }}}.$

Здесь:

(8)
$\begin{gathered} {{\beta }_{x}} = {{\varepsilon }_{x}}{{\mu }_{x}} - \alpha _{x}^{2};\,\,\,\,{{\beta }_{z}} = {{\varepsilon }_{z}}{{\mu }_{z}} - \alpha _{z}^{2}, \\ A = \frac{1}{{2{{\beta }_{z}}}}\left( {{{\mu }_{x}}{{\varepsilon }_{z}} + {{\varepsilon }_{x}}{{\mu }_{z}} - 2{{\alpha }_{x}}{{\alpha }_{z}}} \right); \\ B = \frac{1}{{2{{\beta }_{z}}}} \times \\ \times \,\,\sqrt {{{{\left( {{{\varepsilon }_{z}}{{\mu }_{x}} - {{\varepsilon }_{x}}{{\mu }_{z}}} \right)}}^{2}} - \left( {{{\alpha }_{x}}{{\mu }_{z}} - {{\mu }_{x}}{{\alpha }_{z}}} \right)\left( {{{\varepsilon }_{x}}{{\alpha }_{z}} - {{\alpha }_{x}}{{\varepsilon }_{z}}} \right)} . \\ \end{gathered} $

При преломлении плоских волн на границе сред необходимо выполнение условий

(9)
${{k}_{{{{x}_{{\text{0}}}}}}} = {{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}} = {{k}_{{{\text{TE}}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}},$
(10)
${{k}_{{{{x}_{{\text{0}}}}}}} = {{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}} = {{k}_{{{\text{TМ}}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{{\text{TМ}}}}}.$

Из условия (10) на основе (6) имеем:

(11)
$\begin{gathered} k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}} = \frac{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}}}}{{{\text{co}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}} + {\text{(}}А + В{\text{)si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}}}} = \\ = \frac{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}}{\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}}}}{{{\text{1 + (}}А + В{\text{)t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}}}}. \\ \end{gathered} $

Разделив (11) на ${\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}}$ получим

(12)
${\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}} = \frac{{k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А + В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}.$

Формула (12) определяет угол преломления волны ТЕ поляризации на границе контакта сред направление вектора фазовый скорости. Аналогично, в случае волны ТМ поляризации:

(13)
${\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{ТМ}}}}} = \frac{{k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А - В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}$

на основе (12) и (13) можно определить угол между векторами фазовых скоростей ТЕ и ТМ волн.

Поскольку

(14)
$А + В \succ А - В,\,\,\,\,А \succ 0,\,\,\,\,В \succ 0\,\,\,А \succ В$

то:

(15)
${{\theta }_{{{\text{ТЕ}}}}} \succ {{\theta }_{{{\text{ТМ}}}}}.$

Для разности углов $\Delta \theta = {{{\theta }}_{{{\text{ТЕ}}}}} - {{{\theta }}_{{{\text{ТМ}}}}}$ имеем

(16)
${\text{tg}}({{\theta }_{{{\text{TE}}}}} - {{\theta }_{{{\text{TM}}}}}) = \frac{{{\text{tg}}{{\theta }_{{{\text{TE}}}}} - {\text{tg}}{{\theta }_{{{\text{TM}}}}}}}{{1 + {\text{tg}}{{\theta }_{{{\text{TE}}}}}{\text{tg}}{{\theta }_{{{\text{TM}}}}}}}.$

Подставив (16) формулы на (12) и (13) получим:

Угол полного внутреннего отражения можно определить используя формулы (12) и (13) при $\sin {{\theta }_{0}} = 1,$ ${{\theta }_{0}} = \frac{\pi }{2}{\text{:}}$

(18)
$\begin{gathered} {\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}} = \frac{{k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А + В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}}}, \\ {\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{ТМ}}}}} = \frac{{k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}}}{{{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А - В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}}}. \\ \end{gathered} $

Также для $\Delta \theta = {{\theta }_{{{\text{ТЕ}}}}} - {{\theta }_{{{\text{ТМ}}}}}{\text{:}}$

(19)

формула (19) позволяет определить угол между векторами фазовых скоростей ТЕ и ТМ волн при угле полного внутреннего отражения.

НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ ГРУППОВЫХ СКОРОСТЕЙ ВОЛН ТЕ И ТМ ПОЛЯРИЗАЦИИ

В работе [16] из анализа индикатрис фазовых скоростей на основе соотношения Релея для определения групповой скорости было получено:

(20)
$\begin{gathered} {\text{tg}}{{\beta }_{{{\text{TE}}}}} = (A + B)\,{\text{tg}}{{\beta }_{{{\text{TE}}}}}, \\ {\text{tg}}{{\beta }_{{{\text{TМ}}}}} = (A - B)\,{\text{tg}}{{\beta }_{{{\text{TМ}}}}}. \\ \end{gathered} $

Угол ${{\beta }_{{{\text{TE}}}}}$ определяет направление групповой скорости ТЕ волны в одноосных кристаллах с магнитоэлектрическим эффектом. Аналогично, (20) – для волн ТМ поляризации. Подстановка (20) формулы (12) и (13) приводит к соотношениям:

(21.1)
${\text{tg}}{{{\beta }}_{{{\text{TE}}}}} = {\text{(}}А + В{\text{)}}\frac{{{{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{\sqrt {{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А + В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}} }},\,\,\,\,{\text{tg}}{{{\beta }}_{{{\text{TМ}}}}} = {\text{(}}А - В{\text{)}}\frac{{{{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{\sqrt {{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\beta }}_{x}} - {\text{(}}А - В{\text{)}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}} }}.$

Формулы (21.1) определяют зависимости групповых скоростей волн ТЕ и ТМ поляризации от угла падения волн ${{\theta }_{0}}.$ При ${{\theta }_{0}} = \frac{\pi }{2}$ из (20) и (21.1) можно определить значения углов βTE и βTM при полном внутреннем отражении. Кроме того, можно определить зависимость ${{\beta }_{{{\text{TE}}}}} - {{\beta }_{{{\text{ТМ}}}}} = \Delta \beta $ от угла падения волны ${{\theta }_{0}},$ используя соотношение, аналогичное (16):

(21.2)

Из (21.2) можно получить значения $\Delta \beta $ при полном внутреннем отражении $\left( {\sin {{\theta }_{0}} = 1,\,\,\,\,{{\theta }_{0}} = \frac{\pi }{2}} \right).$

СЛЕДСТВИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

При отсутствии магнитоэлектрического эффекта в величинах ${{\beta }_{x}},$ ${{\beta }_{z}},$ $A,$ $B$ необходимо положить ${{\alpha }_{x}} = 0,$ ${{\alpha }_{z}} = 0.$ В этом случае имеем:

(22)
$\begin{gathered} {{\beta }_{x}} = {{\varepsilon }_{x}}{{\mu }_{x}},\,\,\,\,{{\beta }_{z}} = {{\varepsilon }_{z}}{{\mu }_{z}}, \\ A = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{\mu }_{x}}}}{{{{\mu }_{z}}}} + \frac{{{{\varepsilon }_{x}}}}{{{{\varepsilon }_{z}}}}} \right),\,\,\,\,В = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{\mu }_{x}}}}{{{{\mu }_{z}}}} - \frac{{{{\varepsilon }_{x}}}}{{{{\varepsilon }_{z}}}}} \right) \\ \end{gathered} $

формулы (6) и (7) принимают следующий вид :

(23)
$\begin{gathered} k_{{{\text{TE}}}}^{2} = \frac{{{{\omega }^{2}}{{\varepsilon }_{x}}{{\mu }_{x}}{{\mu }_{z}}}}{{{{\mu }_{z}}{{{\cos }}^{2}}\theta + {{\mu }_{x}}{{{\sin }}^{2}}\theta }},\, \\ k_{{{\text{TM}}}}^{2} = \frac{{{{\omega }^{2}}{{\mu }_{x}}{{\varepsilon }_{x}}{{\varepsilon }_{z}}}}{{{{\varepsilon }_{z}}{{{\cos }}^{2}}\theta + {{\varepsilon }_{x}}{{{\sin }}^{2}}\theta }}. \\ \end{gathered} $

Учитывая (22), (23) получим:

(24)
$\begin{gathered} {\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TE}}}}} = \frac{{{{{\mu }}_{z}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{{{{\mu }}_{x}}{\text{(}}{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\varepsilon }}_{x}}{{{\mu }}_{z}} - k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}{\text{)}}}}{\text{,}} \\ {\text{t}}{{{\text{g}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{{\text{TМ}}}}} = \frac{{{{{\varepsilon }}_{z}}k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{{{{\varepsilon }}_{x}}{\text{(}}{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\varepsilon }}_{z}}{{{\mu }}_{x}} - k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}{\text{)}}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {\text{tg}}{{{\beta }}_{{{\text{TE}}}}} = \sqrt {\frac{{{{{\mu }}_{x}}}}{{{{{\mu }}_{z}}}}} \frac{{{{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{\sqrt {{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\varepsilon }}_{x}}{{{\mu }}_{z}} - k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}} }}, \\ {\text{tg}}{{{\beta }}_{{{\text{TМ}}}}} = \sqrt {\frac{{{{{\varepsilon }}_{x}}}}{{{{{\varepsilon }}_{z}}}}} \frac{{{{k}_{{\text{0}}}}{\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}}}{{\sqrt {{{{\omega }}^{{\text{2}}}}{{{\varepsilon }}_{z}}{{{\mu }}_{x}} - k_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}}} }}, \\ \end{gathered} $
(26)
(27)

Формулы (24)–(27) при ${{{\theta }}_{{\text{0}}}} = \frac{{\pi }}{{\text{2}}}{\text{,}}$ ${\text{sin}}{{{\theta }}_{{\text{0}}}} = {\text{1}}$ определяют соответствующие величины при полном внутреннем отражении. В частности, формула (24) определяет угол полного внутреннего отражения для одноосных кристаллов.

Кроме того, в случае однородных изотропных сред из (24) следует:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определены углы преломления волн ТЕ и ТМ поляризации на границе однородного изотропного диэлектрика и одноосных кристаллов с магнитоэлектрическим эффектом в зависимости от угла падающей волны. Эти зависимости определяют направления фазовых скоростей ТЕ и ТМ волн. Определены зависимости направлений групповых скоростей этих волн от угла падающей волны θ0. Получены формулы, определяющие разности углов между фазовой и групповой скоростями для волн ТЕ и ТМ поляризаций. Рассмотрены следствия полученных результатов для одноосных кристаллов в отсутствие магнитоэлектрического эффекта и следствия при изотропности обеих сред. Получены значения углов полного внутреннего отражения для ТЕ и ТМ волн. Определены направления групповых скоростей для углов полного внутреннего отражения.

Список литературы

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

  2. Rivera. J.-P. // Eur. Phys. J. B. 2009. V. 71. P. 299.

  3. Nan C-W. // J. Appl. Phys. 2008. V. 103. № 3. Art. № 031101.

  4. Osaretin A., Rojas R.G. // Phys. Rev. B. 2010. V. 82. № 17. Art. № 174415.

  5. Zhang T., Yang X., Ouyang J. et al. // Appl. Compos. Mater. 2014. V. 21. № 4. P. 579.

  6. Filippov D.A., Galichyan T.A., Laletin V.M. // Appl. Phys. A. 2014. V. 115. № 3. P. 1087.

  7. Тлеукенов С.К., Оспанов А.Т. Изучение электромагнитных полей в анизотропных средах. Алматы: Кенже пресс, 2001. 67с.

  8. Тлеукенов С.К., Айтбаев А.Б. // Акуст. журн. 2015. Т. 61. № 2. С. 161; Tleukenov S.K., Aitbaev A.B. // Acoust. Phys. 2015. V. 61. № 2. P. 144.

  9. Tleukenov S.K. // Acta Mechan. 2014. V. 225. № 12. P. 3535.

  10. Tleukenov S.K., Zhakiyev N.K., Yeltinova L.A. // 2013 IEEE Int. Ultrason. Symp. (Prague, 2013). P. 1025.

  11. Tleukenov S.K., Assilbekova A.M. // Telecommun. Radio Engin. 2017. V. 76. № 14. P. 1231.

  12. Тлеукенов С.К. Электромагнитные волны в анизотропных средах. Алматы: Эпиграф, 2017. 72 с.

  13. Tleukenov S., Bobeev A., Sabitova D. // Int. J. Appl. Math. Stat. 2018. V. 57. № 1. P. 209.

  14. Тлеукенов С.К., Казбекова А.А. Жанат З.Ж. Волны в средах с магнитоэлектрическим эффектом. Алматы: Эпиграф, 2017. 96 с.

  15. Tleukenov S.K., Zhalgasbekova Z.K., Sirenk Y.K. // Telecommun. Radio Engin. 2019. V. 78. № 1. P. 1.

  16. Tleukenov S.K., Suierkulova Zh.N. // Telecommun. Radio Engin. 2019. V. 78. № 6. P. 465.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал