1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 3, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 3, стр. 387-391

Эволюция матрицы плотности кубита в вероятностном представлении квантовых состояний

О. В. Манько 1, 2, *, В. Н. Чернега 1

1 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт имени П.Н. Лебедева Российской академии наук
Москва, Россия

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)”
Москва, Россия

* E-mail: mankoov@lebedev.ru

Поступила в редакцию 20.09.2019
После доработки 15.11.2019
Принята к публикации 27.11.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для обобщенной матрицы плотности кубита, зависящей от двух моментов времени, получена система уравнений, которая определяет эволюцию квантового состояния кубита и переходит в уравнение фон Неймана для матрицы плотности кубита при совпадающих временах. В вероятностном представлении квантовых состояний рассмотрены состояния гармонического осциллятора и получены кинетические уравнения для вероятностей проекций спина +1/2 на три перпендикулярных направления в пространстве, определяющие состояние кубита.

ВВЕДЕНИЕ

Чистое состояние квантовой системы определяется вектором состояния $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle $ в гильбертовом пространстве $H$ или оператором плотности $\hat {\varrho }\left( t \right),$ действующем в этом пространстве для смешанных состояний [1]. Вектор состояния $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle $ определяет волновую функцию $\psi \left( {x,t} \right) = \left\langle x \right|\left. {\psi \left( t \right)} \right\rangle ,$ например, волновую функцию осциллятора в координатном представлении, введенную Шредингером [2] (см. [3]). Оператор плотности $\hat {\varrho }\left( t \right)$ определяет матрицу плотности $\varrho \left( {x,x{\kern 1pt} ',t} \right)$ = $\left\langle {x\left| {\hat {\varrho }\left( t \right)} \right|x{\kern 1pt} '} \right\rangle $ в координатном представлении, введенную Ландау [4] и фон Нейманом [5]. Матрица плотности может быть задана в других представлениях квантовой механики, например, функцией Вигнера [6], функцией Хусими-Кано [7, 8] или функцией Глаубера-Сударшана [9, 10]. При заданном гамильтониане системы $\hat {H}$ волновая функция удовлетворяет уравнению эволюции Шредингера, а матрица плотности – уравнению фон Неймана. С самого начала развития квантовой механики делались попытки построить формализм квантовой теории, в котором состояния систем, например, осциллятора задаются распределениями вероятностей, как в классической статистической механике. В работах [11–15] было предложено задавать квантовые состояния томографическими распределениями вероятности, используемыми для восстановления функции Вигнера состояний фотонов [16] при измерении квантовых томограмм. При анализе процедуры измерений используется обсуждение поведения системы, описываемое векторами состояний $\left| {\psi \left( {{{t}_{1}}} \right)} \right\rangle ,$ $\left| {\psi \left( {{{t}_{2}}} \right)} \right\rangle $ в разные моменты времени [17]. В [18] для систем с непрерывными координатами обсуждено уравнение для обобщенной матрицы плотности в координатном представлении $R\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right)$ = $\left\langle {x} \mathrel{\left | {\vphantom {x {\psi \left( t \right)}}} \right. \kern-0em} {{\psi \left( t \right)}} \right\rangle \left\langle {{\psi \left( {t{\kern 1pt} '} \right)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\psi \left( {t{\kern 1pt} '} \right)} {x{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {{x{\kern 1pt} '}} \right\rangle ,$ переходящее при $t = t{\kern 1pt} '$ в уравнение фон Неймана для матрицы плотности $\varrho \left( {x,x{\kern 1pt} ',t} \right)$ = $\left\langle {x} \mathrel{\left | {\vphantom {x {\psi \left( t \right)}}} \right. \kern-0em} {{\psi \left( t \right)}} \right\rangle \left\langle {{\psi \left( t \right)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\psi \left( t \right)} {x{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {{x{\kern 1pt} '}} \right\rangle .$ Для систем с дискретными переменными (например, спина-1/2 или кубита) матрица плотности задается тремя вероятностями $0 \leqslant {{p}_{1}},$ ${{p}_{2}},$ ${{p}_{3}} \leqslant 1$ проекций спина на направления $x,y,z$ [19–21]. В работах [22, 23] была исследована связь между томографическими представлениями квантовых состояний и схемами квантования на основе звездочного произведения функций – символов операторов.

Целью настоящей работы является обсуждение вероятностного представления для систем с дискретными переменными – кубита и получение кинетического уравнения для вероятностей ${{p}_{1}}({{t}_{1}}),$ $~{{p}_{2}}({{t}_{1}}),$ $~{{p}_{3}}({{t}_{1}}),$ $~{{p}_{1}}({{t}_{2}}),$ $~{{p}_{2}}({{t}_{2}}),$ $~{{p}_{3}}({{t}_{2}}),$ определяющих обобщенную матрицу плотности кубита $R\left( {{{m}_{1}},{{m}_{2}},{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ = $\left\langle {{{{m}_{1}}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{{m}_{1}}} {\psi \left( {{{t}_{1}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {{\psi \left( {{{t}_{1}}} \right)}} \right\rangle \left\langle {{\psi \left( {{{t}_{2}}} \right)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\psi \left( {{{t}_{2}}} \right)} {{{m}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{m}_{2}}}} \right\rangle ,$ ${{m}_{1}},$ ${{m}_{2}} = \pm 1{\text{/}}2.$ Используя эти вероятности, мы получим новые неравенства для матричных элементов матрицы плотности кубита и их зависимость от моментов времени ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}.$ Эти новые неравенства могут быть проверены экспериментально.

Статья организована следующим образом. Во втором параграфе представлен обзор вероятностного представления квантовых состояний на примере осциллятора и частицы со спином 1/2 (кубита). В третьем параграфе введено уравнение эволюции для вероятностей, задающих обобщенную матрицу плотности кудита. В четвертом параграфе даны выводы и сформулированы задачи, которые мы намерены решить в будущих публикациях.

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

В этом параграфе сделан обзор построения вероятностного представления квантовых состояний систем с непрерывными переменными (координатами) на примере осциллятора. Волновая функция $\psi \left( x \right)$ задает томографические распределения вероятности $w\left( {X,\mu ,\nu } \right)$ квадратурной компоненты $X,$ зависящие от двух действительных параметров $\mu $ и $\nu $ с помощью дробного преобразования Фурье [24]

(1)
$w\left( {X,\mu ,\nu } \right) = \frac{1}{{2\pi \left| \nu \right|}}{{\left| {\int {\psi \left( y \right){\text{exp}}\left( {\frac{{i\mu }}{{2\nu }}{{y}^{2}} - i\frac{{xy}}{\nu }} \right)dy} } \right|}^{2}}.$

Оператор плотности состояния $\hat {\varrho }$ выражается через распределение вероятности следующим образом [22]

(2)
$\hat {\varrho } = \frac{1}{{2\pi }}\int {w\left( {X,\mu ,\nu } \right){\text{exp}}[i(X\hat {1} - \mu \hat {q} - \nu \hat {p})]} ,$
где $\hat {q}$ и $\hat {p}$ операторы координаты и импульса, $\hat {q}\psi \left( x \right) = x\psi \left( x \right),$ $\hat {p}\psi \left( x \right) = - i\frac{{d\psi \left( x \right)}}{{dx}}$ ($\hbar = 1$). Таким образом, состояние частицы с волновой функцией $\psi \left( x \right)$ полностью определено распределением вероятности $w\left( {X,\mu ,\nu } \right) \geqslant 0,$ удовлетворяющим для нормированных волновых функций условию нормировки

(3)
$\int {w\left( {X,\mu ,\nu } \right)dX} = 1.$

Для состояний гармонического осциллятора с волновыми функциями ${{\psi }_{n}}\left( x \right),~n = 0,1,2, \ldots ,$ отвечающими состояниям с энергиями ${{E}_{n}} = \left( {n + \frac{1}{2}} \right),$ томографические распределения вероятностей имеют вид

(4)
${{w}_{n}}\left( {X,\mu ,\nu } \right) = \frac{{{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{X}^{2}}}}{{{{\nu }^{2}} + {{\mu }^{2}}}}} \right)}}{{{{2}^{n}}n!\sqrt {\pi \left( {{{\mu }^{2}} + {{\nu }^{2}}} \right)} }}{{\left| {{{H}_{n}}\left( {\frac{X}{{\sqrt {{{\mu }^{2}} + {{\nu }^{2}}} }}} \right)} \right|}^{2}},$
где ${{H}_{n}}\left( y \right)$ – полиномы Эрмита. Обобщенная матрица плотности чистого состояния ${{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right)$ = = $\left\langle {x} \mathrel{\left | {\vphantom {x {{{\psi }_{n}}\left( t \right)}}} \right. \kern-0em} {{{{\psi }_{n}}\left( t \right)}} \right\rangle \left\langle {{{{\psi }_{n}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{{\psi }_{n}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)} {x{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {{x{\kern 1pt} '}} \right\rangle $ имеет вид

(5)
$\begin{gathered} {{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right) = {\text{exp}}\left[ { - i\left( {n + \frac{1}{2}} \right)t + i\left( {n + \frac{1}{2}} \right)t{\kern 1pt} '} \right] \times \\ \times \,\,\frac{{{\text{exp}}\left[ { - \frac{1}{2}\left( {{{x}^{2}} + {{x}^{{'2}}}} \right)} \right]}}{{{{2}^{n}}n!\sqrt \pi }}{{H}_{n}}\left( x \right){{H}_{n}}\left( {x{\kern 1pt} '} \right) \\ \end{gathered} $

Томограмма обобщенного оператора плотности состояния с заданной энергией

$\widehat {{{R}_{n}}}\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = \left| {{{\psi }_{n}}\left( t \right)} \right\rangle \left\langle {{{\psi }_{n}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)} \right|~$

определенная как [22]

$w\left( {X,\mu ,\nu ,t,t{\kern 1pt} '} \right) = Tr\widehat {{{R}_{n}}}\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)\delta \left( {X - \mu \hat {q} - \nu \hat {p}} \right)$

имеет вид

(6)
$\begin{gathered} w\left( {X,\mu ,\nu ,t,t{\kern 1pt} '} \right) = {{w}_{n}}\left( {X,\mu ,\nu } \right) \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left[ { - i\left( {n + \frac{1}{2}} \right)t + i\left( {n + \frac{1}{2}} \right)t{\kern 1pt} '} \right]. \\ \end{gathered} $

Матрица плотности (5) является решением системы уравнений [18]

(7)
$\begin{gathered} - i\frac{\partial }{{\partial t}}{{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right) = \hat {H}\left( x \right){{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right); \\ - i\frac{\partial }{{\partial t{\kern 1pt} '}}{{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right) = \hat {H}\left( {x{\kern 1pt} '} \right){{R}_{n}}\left( {x,x{\kern 1pt} ',t,t{\kern 1pt} '} \right), \\ \end{gathered} $
где $\hat {H}$(x) является гамильтонианом осциллятора $(\hbar = m = \omega = 1)$ в координатном представлении

$\hat {H}\left( x \right) = - \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{x}^{2}}}}{2}.$

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2

Цель данного параграфа – изучение систем с дискретными переменными и построение вероятностного представления состояний кубита на примере состояний частицы со спином 1/2. Для частицы со спином 1/2 матрица плотности ${{\varrho }_{{mm{\kern 1pt} '}}} = \left\langle {m\left| {\hat {\varrho }} \right|m{\kern 1pt} '} \right\rangle ,$ где $m,\,\,m{\kern 1pt} ' = \pm 1{\text{/}}2$ имеет вид

(8)
$\varrho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varrho }_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}\,\,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}&{{{\varrho }_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}\,\,{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \\ {{{\varrho }_{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} {2\,\,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} \right. \kern-0em} {2\,\,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}}&{{{\varrho }_{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}\,\,{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \end{array}} \right).$

Матричные элементы этой матрицы выражаются через вероятности проекций спина $0 \leqslant {{p}_{1}},$ ${{p}_{2}},$ ${{p}_{3}} \leqslant 1$ равные +1/2 на оси $x,y,z,$ т.е., ${{p}_{1}} = Tr\left( {\varrho {{\varrho }_{x}}} \right),$ ${{p}_{2}} = Tr\left( {\varrho {{\varrho }_{y}}} \right),$ ${{p}_{3}} = Tr\left( {\varrho {{\varrho }_{z}}} \right).$ Здесь матрицы

(9)
${{\varrho }_{x}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{/}}2}&{1{\text{/}}2} \\ {1{\text{/}}2}&{1{\text{/}}2} \end{array}} \right),\,\,\,\,{{\varrho }_{y}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{/}}2}&{ - i{\text{/}}2} \\ {i{\text{/}}2}&{1{\text{/}}2} \end{array}} \right),\,\,\,\,{{\varrho }_{z}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&0 \end{array}} \right)$

являются матрицами плотности соответствующих чистых состояний ${{\left| \psi \right\rangle }_{x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \end{array}} \right),$ ${{\left| \psi \right\rangle }_{y}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ i \end{array}} \right),$ ${{\left| \psi \right\rangle }_{z}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right).$ Таким образом матрица плотности (8) задается тремя вероятностями, то есть,

(10)
$\varrho = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{p}_{3}}}&{{{p}_{1}} - \frac{1}{2} - i\left( {{{p}_{2}} - 1{\text{/}}2} \right)} \\ {{{p}_{1}} - \frac{1}{2} + i\left( {{{p}_{2}} - 1{\text{/}}2} \right)}&{1 - {{p}_{3}}} \end{array}} \right).$

Эта матрица удовлетворяет условию эрмитовости $\varrho = {{\varrho }^{ + }},$ а $Tr\varrho = 1,$ и ее собственные значения неотрицательны, что выражается неравенством

(11)
${{\left( {{{p}_{1}} - 1{\text{/}}2} \right)}^{2}} + {{\left( {{{p}_{2}} - 1{\text{/}}2} \right)}^{2}} + {{\left( {{{p}_{3}} - 1{\text{/}}2} \right)}^{2}} \leqslant \frac{1}{4}.$

Для гамильтониана $\hat {H}\left( t \right)$ с матрицей

(12)
$H\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{{11}}}\left( t \right)}&{{{H}_{{12}}}\left( t \right)} \\ {{{H}_{{21}}}\left( t \right)}&{{{H}_{{22}}}\left( t \right)} \end{array}} \right)$

обобщенная матрица плотности, отвечающая оператору плотности чистого состояния $\hat {R}(t,t')$ = = $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( {t{\kern 1pt} '} \right)} \right|,$ с вектором состояния

(13)
$\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\psi }_{1}}\left( t \right)} \\ {{{\psi }_{2}}\left( t \right)} \end{array}} \right),$

удовлетворяет системе уравнений

(14)
$\begin{gathered} i\frac{\partial }{{\partial t}}R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = H\left( t \right)R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right), \\ - i\frac{\partial }{{\partial t{\kern 1pt} '}}R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)H\left( {t{\kern 1pt} '} \right). \\ \end{gathered} $

Эти уравнения вытекают из уравнения Шрёдингера на вектор состояния $i\frac{\partial }{{\partial t}}\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle {\text{\;}}$ = $H\left( t \right)\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle .$

Поэтому при любых значениях $t,t{\kern 1pt} '$ уравнения (14) адекватно описывают эволюцию квантовой системы. В уравнениях (14) обобщенная матрица плотности $R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)$ выражается через две компоненты вектора $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle $

(15)
$R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\psi }_{1}}\left( t \right)\psi _{1}^{*}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)}&{{{\psi }_{1}}\left( t \right)\psi _{2}^{*}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)} \\ {{{\psi }_{2}}\left( t \right)\psi _{1}^{*}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)}&{{{\psi }_{2}}\left( t \right)\psi _{2}^{*}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)} \end{array}} \right).$

Как можно проверить, эта матрица выражается через вероятности ${{p}_{1}}\left( t \right),$ $~{{p}_{2}}\left( t \right),$ ${{p}_{3}}\left( t \right),$ ${{p}_{1}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right),$ ${{p}_{2}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right),$ ${{p}_{3}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right)$ и вероятности ${{{\Pi }}_{1}}\left( t \right),$ ${{{\Pi }}_{2}}\left( t \right),$ ${{{\Pi }}_{3}}\left( t \right),$ ${{{\Pi }}_{1}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right),$ ${{{\Pi }}_{2}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right),$ ${{{\Pi }}_{3}}\left( {t{\kern 1pt} '} \right),$ которые задают компоненты спиноров Паули, а именно,

(16)
$\begin{gathered} {{\psi }_{1}}\left( t \right) = \sqrt {{{p}_{3}}\left( t \right)} {{e}^{{i{{\varphi }_{1}}\left( t \right)}}}, \\ {\text{cos}}{{\varphi }_{1}}\left( t \right) = \frac{{{{{\Pi }}_{1}}\left( t \right) - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{\sqrt {{{{\Pi }}_{3}}\left( t \right)\left( {1 - {{{\Pi }}_{3}}\left( t \right)} \right)} }}; \\ {{\psi }_{2}}\left( t \right) = \sqrt {1 - {{p}_{3}}\left( t \right)} {{e}^{{i{{\varphi }_{2}}\left( t \right)}}},~ \\ {\text{cos}}{{\varphi }_{2}}\left( t \right) = \frac{{{{\wp }_{1}}\left( t \right) - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{\sqrt {{{\wp }_{3}}\left( t \right)\left( {1 - {{\wp }_{3}}\left( t \right)} \right)} }}~, \\ \end{gathered} $
где вероятности $0 \leqslant {{{\Pi }}_{j}}\left( t \right);$ ${{\wp }_{j}}\left( t \right) \leqslant 1,$ $j = 1,2,3$ являются вероятностями дихотомных случайных величин (аналогов ”орла” и ”решки” шести классических неидеальных монеток), состояния которых в момент времени $t~$ задаются распределениями вероятности $({{{\Pi }}_{j}}\left( t \right),1 - {{{\Pi }}_{j}}\left( t \right))$ и $({{\wp }_{{\text{j}}}}\left( t \right),1 - {{\wp }_{{\text{j}}}}\left( t \right)).$ Эти вероятности удовлетворяют соотношениям, справедливым для чистых состояний

(17)
$\sum\limits_{j = 1}^3 {{{{\left( {{{{\Pi }}_{j}}\left( t \right) - 1{\text{/}}2} \right)}}^{2}}} = \sum\limits_{j = 1}^3 {{{{\left( {{{\wp }_{j}}\left( t \right) - 1{\text{/}}2} \right)}}^{2}}} = \frac{1}{4},$

которые отвечают квантовым корреляциям проекций спина на различные направления, описываемые коммутационными соотношениями операторов углового момента (матриц Паули). Таким образом система уравнений (14) на обобщенную матрицу плотности $R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)$ состояния кубита задает соотношения на вероятности ${{p}_{j}}\left( t \right),$ ${{{\Pi }}_{j}}\left( t \right),$ ${{\wp }_{j}}\left( t \right)$ $\left( {j = 1,2,3} \right),$ определяющие вектор состояния $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle .$ В случае стационарной системы с независящим от времени гамильтонианом $H\left( t \right) = H$ система уравнений (14) приводится к виду

(18)
$\begin{gathered} i\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial t{\kern 1pt} '}}} \right)R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = \left[ {H,R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)} \right], \\ i\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} - \frac{\partial }{{\partial t{\kern 1pt} '}}} \right)R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right) = \left\{ {H,R\left( {t,t{\kern 1pt} '} \right)} \right\}. \\ \end{gathered} $

Введя переменные $T = t + t{\kern 1pt} ',$ $\tau = t - t{\kern 1pt} '$ и матрицу $r\left( {T,\tau } \right)$ = $R\left( {\frac{{T + \tau }}{2},\frac{{T - \tau }}{2}} \right),$ мы сведем систему уравнений (18) к системе уравнений

(19)
$\begin{gathered} i\frac{\partial }{{\partial T}}r\left( {T,\tau } \right) = \frac{1}{2}\left[ {H,r\left( {T,\tau } \right)} \right], \\ i\frac{\partial }{{\partial \tau }}r\left( {T,\tau } \right) = \frac{1}{2}\left\{ {H,r\left( {T,\tau } \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $

то есть, к системе уравнений, содержащей коммутатор и антикоммутатор обобщенной матрицы плотности с гамильтонианом и задающей эволюцию состояния кубита.

Уравнение (14) в случае $t = t{\kern 1pt} '$ приводит к уравнению эволюции фон Неймана на матрицу плотности состояния кубита (10) вида

(20)
$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {p}}}_{3}}}&{{{{\dot {p}}}_{1}} - i{{{\dot {p}}}_{2}}} \\ {{{{\dot {p}}}_{1}} + i{{{\dot {p}}}_{2}}}&{ - {{{\dot {p}}}_{3}}} \end{array}} \right) = \\ = - i\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{{11}}}\left( t \right)}&{{{H}_{{12}}}\left( t \right)} \\ {H_{{12}}^{*}\left( t \right)}&{{{H}_{{22}}}\left( t \right)} \end{array}} \right),\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{p}_{3}}}&{{{p}_{1}} - \frac{1}{2} - i\left( {{{p}_{2}} - \frac{1}{2}} \right)} \\ {{{p}_{1}} - \frac{1}{2} + i\left( {{{p}_{2}} - \frac{1}{2}} \right)}&{1 - {{p}_{3}}} \end{array}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Это матричное соотношение является системой кинетических уравнений для вероятностей ${{p}_{1}}\left( t \right),$ ${{p}_{2}}\left( t \right),$ ${{p}_{3}}\left( t \right)$

(21)
$\mathop {{{p}_{3}}}\limits^ - 2Im\left\{ {{{H}_{{12}}}\left( t \right)\left[ {{{p}_{1}} - \frac{1}{2} + i\left( {{{p}_{2}} - \frac{1}{2}} \right)} \right]} \right\} = 0,$
(22)
$\begin{gathered} \mathop {{{p}_{1}}}\limits^ - i\mathop {{{p}_{2}}}\limits^ + i\left\{ {{{H}_{{11}}}\left( t \right)\left[ {{{p}_{1}} - \frac{1}{2} - i\left( {{{p}_{2}} - \frac{1}{2}} \right)} \right] + } \right. \\ + \,\,{{H}_{{12}}}\left( t \right)\left( {1 - {{p}_{3}}} \right) - \left[ {{{p}_{3}}{{H}_{{12}}}\left( t \right) + } \right. \\ \left. {\left. { + \,\,\left( {{{p}_{1}} - \frac{1}{2} - i\left( {{{p}_{2}} - \frac{1}{2}} \right)} \right){{H}_{{22}}}\left( t \right)} \right]} \right\} = 0. \\ \end{gathered} $

Решения кинетических уравнений (21), (22) описывают эволюцию квантовых состояний систем со спином 1/2. В случае стационарных состояний, когда гамильтониан не зависит от времени и имеет матричные элементы ${{H}_{{jk}}}\left( t \right) = {{h}_{{jk}}},~$ получаем решения, которые задают уровни энергии (как собственные значения матрицы $h$) и собственные функции системы, причем вероятности ${{p}_{1}}\left( t \right),$ ${{p}_{2}}\left( t \right),$ ${{p}_{3}}\left( t \right)$ удовлетворяют условию ${{\dot {p}}_{1}} = {{\dot {p}}_{2}}$ = ${{\dot {p}}_{3}} = 0.$ Решения кинетических уравнений удовлетворяют энтропийным неравенствам. Можно проверить, что относительная информация Шеннона

(23)
$\begin{gathered} I = {{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)\ln \left( {{{{{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)} {{{p}_{{{{j}_{2}}}}}\left( {{{t}_{2}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{{{{j}_{2}}}}}\left( {{{t}_{2}}} \right)}}} \right) + \\ + \,\,\left( {1 - {{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)} \right)\ln \left( {{{\left( {1 - {{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - {{p}_{{{{j}_{1}}}}}\left( {{{t}_{1}}} \right)} \right)} {\left( {1 - {{p}_{{{{j}_{2}}}}}\left( {{{t}_{2}}} \right)} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 - {{p}_{{{{j}_{2}}}}}\left( {{{t}_{2}}} \right)} \right)}}} \right), \\ \end{gathered} $

${{j}_{1}} = 1,2,3,$ ${{j}_{2}} = 1,2,3$ для любых времен ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$ и всех вероятностей, являющихся решениями найденных кинетических уравнений, есть неотрицательная величина: $I \geqslant 0.$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы вывели кинетические уравнения для вероятностей, задающих квантовые состояния на примере частицы со спином 1/2 или двухуровневого атома. Полученные соотношения позволяют, измеряя вероятности проекций спина на три перпендикулярные оси (или средние значения этих проекций), проверить экспериментально информационно-энтропийные соотношения.

Продемонстрированный подход распространяется на случай произвольных N-уровневых атомов и произвольных спинов. Мы наметили метод обобщения полученных результатов для спина 1/2 на случай N-мерных гильбертовых пространств. Вектор состояния $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle $ имеет в этом случае N компонент. Матрица плотности ${{\varrho }_{\psi }}\left( t \right) = \left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( t \right)} \right|$ является $N \times N$ матрицей с диагональными матричными элементами ${{(\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( t \right)} \right|)}_{{jj}}} = p_{3}^{{\left( j \right)}}\left( t \right),$ j = = 1, 2, …N – 1 со следом $Tr{{\varrho }_{\psi }}\left( t \right) = 1$ и неотрицательными собственными значениями. Недиагональные элементы в вероятностном представлении квантовых состояний имеют вид ${{(\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( t \right)} \right|)}_{{jk}}}$ = $p_{1}^{{\left( {jk} \right)}}\left( t \right) - \frac{1}{2}$ – $i\left( {p_{2}^{{\left( {jk} \right)}}\left( t \right) - \frac{1}{2}} \right),$ $j < k,$ где числа $0 \leqslant p_{1}^{{\left( {jk} \right)}},$ $p_{2}^{{\left( {jk} \right)}} \leqslant 1$ являются вероятностями дихотомных случайных величин, аналогов положений монеток “орел” или ”решка”. Введя матрицу $R\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}}} \right)$ = $\left| {\psi \left( {{{t}_{1}}} \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( {{{t}_{2}}} \right)} \right|,$ мы, в случае системы с гамильтонианом $H\left( t \right),$ получаем систему кинетических уравнений для вероятностей $p_{3}^{{\left( {jj} \right)}}\left( {{{t}_{k}}} \right),$ $p_{{1,2}}^{{\left( {jj{\kern 1pt} '} \right)}}\left( {{{t}_{k}}} \right),$ $k = 1,2.$ Решения этих уравнений определяют при ${{t}_{1}} = {{t}_{2}} = t$ вектора $\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle ,$ которые являются решениями уравнения Шредингера. Можно также получить обобщение данного подхода на случай открытых систем, для которых матрица плотности $\varrho \left( t \right)$ = $\sum\nolimits_k {{{\lambda }_{k}}\left| {\psi \left( {{{t}_{k}}} \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( {{{t}_{k}}} \right)} \right|} $ подчиняется уравнению Горини–Коссаковского–Сударшана–Линдблада [25, 26]. Здесь $0 \leqslant {{\lambda }_{k}} \leqslant 1,$ $~\sum\nolimits_k {{{\lambda }_{k}}} = 1.$ Для матричных элементов матрицы $\left| {\psi \left( {{{t}_{1}}} \right)} \right\rangle \left\langle {\psi \left( {{{t}_{2}}} \right)} \right|{\text{\;}}$ условия на энтропию Шеннона для распределений вероятности дихотомных переменных $\left( {p_{{1,2,3}}^{{\left( {jk} \right)}}\left( t \right),1 - p_{{1,2,3}}^{{\left( {jk} \right)}}\left( t \right)} \right)$ задают неравенства, которые экспериментально можно проверить. Эти задачи могут быть распространены на эксперименты со сверхпроводящими цепочками, основанными на работе устройств с джозефсоновскими контактами [27–30], и использовавшимися при обнаружении динамического эффекта Казимира, обсуждавшегося в [31].

Список литературы

  1. P. Dirac. The principles of quantum mechanics. Oxford University Press, 1930.

  2. Schrodinger E. // Ann. Phys. 1926. V. 79. P. 489.

  3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2004.

  4. Landau L.D. // Zeitschr. Phys. 1927. V. 45. P. 430.

  5. Von Neumann J. // Nach. Ges. Wiss. Göttingen. 1927. V. 11. P. 245.

  6. Wigner E. // Phys. Rev. 1932. V. 40. P. 749.

  7. Husimi K. // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1940. V. 23. P. 264.

  8. Kano Y. // J. Math. Phys. 1986. V. 6. P. 1913.

  9. Glauber R.J. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 84.

  10. Sudarshan E.C.G. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 277.

  11. Mancini S., Man’ko V.I., Tombesi P. // Phys. Lett. A. 1996. V. 213. P. 1.

  12. Манько В.И., Манько О.В. // ЖЭТФ. 1997. Т. 112. № 3. С. 796; Man’ko V.I., Man’ko O.V. // JETP. 1997. V. 85. P. 430.

  13. Man’ko O.V., Man’ko V.I. // J. Russ. Las. Res. 1997. V. 18. P. 407.

  14. Dodonov V.V., Man’ko V.I. // Phys. Lett. A. 1997. V. 239. P. 335.

  15. Man’ko O.V. // Proc. Int. Conf. Symmetries in Science X (Bregenz, 1997). P. 207.

  16. Smithey D.T., Beck M., Raymer M.G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1244.

  17. Aharonov Y., Vaidman L. // Lect. Notes Phys. 2008. V. 734. P. 399.

  18. Chernega V.N., Manko O.V., Man’ko V.I. // J. Russ. Las. Res. 2015. V. 36. P. 135.

  19. Chernega V.N., Man’ko O.V., Man’ko V.I. // J. Russ. Las. Res. 2017. V. 38. P. 416.

  20. Chernega V.N., Man’ko O.V., Man’ko V.I. // J. Russ. Las. Res. 2018. V. 39. P. 128.

  21. Man'ko V.I., Marmo G., Ventriglia F., Vitale P. // J. Phys. A. 2017. V. 50. Art. № 335302.

  22. Man’ko O.V., Man’ko V.I., Marmo G. // J. Phys. A. 2002. V. 35. P. 699.

  23. Man’ko O.V., Man’ko V.I., Marmo G., Vitale P. // Phys. Lett. A. 2007. V. 360. P. 522.

  24. Manko V.I., Mendes R.V. // Phys. Lett. A. 1999. V. 263. P. 53.

  25. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G. // J. Math. Phys. 1976. V. 17. P. 821.

  26. Lindblad G. Non-equilibrium entropy and irreversibility. Springer, 1983. 180 p.

  27. Dodonov V.V., Man’ko O.V., Man’ko V.I. // J. Sov. Las. Res. 1989. V. 10. P. 413.

  28. Fujii T., Matsuo S., Hatakenaka N. et al. // Phys. Rev. B. 2011. V. 84. Art. № 174521.

  29. Wang S.C., Curtis J.C., Lester B.J. et al. // arXiv: 1908.03598. 2019.

  30. Bliokh K.Y., Dennis M.R., Nori F. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. Art. № 174802.

  31. Man’ko O.V. // J. Korean Phys. Soc. 1994. V. 27. P. 1.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал