Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 3, стр. 413-417

ВВЕДЕНИЕ

Объединение успехов из области современных графеновых технологий [1–3] и квантовой наноплазмоники [4, 5] дают надежду на практическое воплощение принципиально новых устройств обработки информации, функционирующих на терагерцовых частотах и обладающих размером транзистора в несколько нм. Такие устройства могут быть основаны на усовершенствованных методах управления поверхностными электромагнитными волнами, – поверхностными плазмон-поляритонами (ППП) [6, 7], локализующимися на графеноподобных материалах [8, 9]. Особый интерес представляют системы, в которых локализованные на графене ППП взаимодействуют с расположенными вблизи поверхности полупроводниковыми квантовыми точками (КТ). Эффективное взаимодействие КТ и поверхностной волны (КТ–ППП взаимодействие) в таких системах достигается при выполнении условий сильной связи [10, 11]. Это означает, что константа КТ–ППП-связи превышает характерное время рассеяния электронов в графене при учете особенностей электронной структуры уровней КТ [11] и изменения скорости спонтанной релаксации в системе [12].

В настоящей работе представлены результаты исследования взаимодействия полупроводниковой оболочечной квантовой точки и ППП-мод, локализованных на поверхности двухслойного графена в режиме сильной связи. Определены два устойчивых состояния поляризаций КТ при ее взаимодействии с парой (сигнал/накачка) ППП при использовании лестничной схемы межуровневых переходов в КТ, помещенной в графеновый штыревой нанорезонатор. Показано, что включение ППП-накачки приводит к изменению фазы ППП-сигнала на π радиан за счет ее взаимодействия с возбужденной КТ и, как следствие, переходу от конструктивной к деструктивной интерференции в штыревом нанорезонаторе. Обсуждаемые эффекты могут быть использованы для реализации сверхбыстрых плазмонных транзисторов и систем с “мгновенным откликом” на их основе [13].

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ППП ЧЕРЕЗ ГРАФЕНОВЫЙ ВОЛНОВОД, ИНТЕГРИРОВАННЫЙ СО ШТЫРЕВЫМ НАНОРЕЗОНАТОРОМ

Рассмотрим модель графенового волновода и связанного с ним штыревого нанорезонатора, содержащего оболочечную квантовую точку (рис. 1). В отсутствие резонатора постоянная распространения $\beta $ для локализованных на паре графеновых листов ППП подчиняется следующему дисперсионному уравнению [3]:

где ${{k}_{h}} = \sqrt {{{\beta }^{2}} - k_{0}^{2}} ,$ где с – скорость света, ${{k}_{0}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{\lambda }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{0}}}},$ ${{\varepsilon }_{0}}$ – электрическая постоянная, ${{\varepsilon }_{d}}$ – диэлектрическая проницаемость материала диэлектрика между листами графена с расстоянием d между ними. Проводимость графена $~{{\sigma }_{g}} = {{\sigma }_{{inter}}} + {{\sigma }_{{intra}}}$ задается формулой Кубо и состоит из внутризонной проводимости ${{\sigma }_{{intra}}} = i\frac{{{{8{{\sigma }_{0}}kT} \mathord{\left/ {\vphantom {{8{{\sigma }_{0}}kT} h}} \right. \kern-0em} h}}}{{{{\omega + i} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega + i} \tau }} \right. \kern-0em} \tau }}}$$\left( {\frac{{{{\mu }_{c}}}}{{kT}} + 2{\text{ln}}\left( {{{e}^{{ - \frac{{{{\mu }_{c}}}}{{kT}}}}} + 1} \right)} \right)$ и межзонной проводимости ${{\sigma }_{{inter}}} = i\frac{{{{\sigma }_{0}}}}{\pi } \times $ ${ \times }\,\,{\text{ln}}\left( {\frac{{2\left| {{{\mu }_{c}}} \right| - \left( {\omega + {i \mathord{\left/ {\vphantom {i \tau }} \right. \kern-0em} \tau }} \right)\hbar }}{{2\left| {{{\mu }_{c}}} \right| + \left( {\omega + {i \mathord{\left/ {\vphantom {i \tau }} \right. \kern-0em} \tau }} \right)\hbar }}} \right),$ где $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура, ${{\mu }_{c}}$ – химический потенциал, $1{\text{/}}\tau $ – скорость рассеяния, ${{\sigma }_{0}} = \frac{{\pi {{e}^{2}}}}{{2h}}$ и $~e$ – заряд электрона.

Для моделирования работы устройства мы выбрали эффективную толщину графена ${{{\Delta }}_{g}} = 1\,\,{\text{нм}};$ ${{\mu }_{c}} = 0.6\,\,{\text{эВ,}}$ $\tau = 0.9\,\,{\text{пс,}}$ ${{\varepsilon }_{d}} = 2.022,$ длина волны сигнального поля составляет ${{\lambda }_{2}} = 1.55\,\,{\text{мкм}},$ длина волны накачки ${{\lambda }_{1}} = 8.04\,\,{\text{мкм}}.$ Чтобы обеспечить сильную связь для сигнального поля, выберем $d = 20$ нм и, с учетом $\xi = 71$ нм для используемого графена, получим очень хорошую локализацию плазмон-поляритонной моды на характерной длине волны ${{\lambda }_{{{\text{ППП + }}}}} = 135.5$ нм. Отметим, что уравнение (1) имеет пару решений ${{\beta }_{ + }}$ и ${{\beta }_{ - }}$ (рис. 2), соответствующих симметричной и антисимметричной модам [14], но мы рассмотрим далее исключительно ${{\beta }_{ + }},$ поскольку в этом случае электромагнитное поле очень хорошо локализуется в зазоре между графеновыми листами. Тогда, определив эффективный показатель преломления графенового волновода в виде ${{n}_{{EF \pm }}} = n_{{EF \pm }}^{{\left( {\text{R}} \right)}}$ + $in_{{EF \pm }}^{{\left( {\text{I}} \right)}} = \frac{{{{\beta }_{ \pm }}}}{{{{k}_{0}}}},$ можно оценить и длину волны ${{\lambda }_{{{\text{ППП + }}}}} = \frac{{2\pi }}{{{\text{Re}}\left( {{{\beta }_{ + }}} \right)}}$ ППП, и характерную длину распространения ${{\bar {L}}_{{{\text{ППП + }}}}} = \frac{{{{\lambda }_{0}}}}{{4\pi {\text{Im}}\left( {{{n}_{{EF + }}}} \right)}}$ по волноводу, состоящему из двух параллельных листов графена. В частности, параметр ${{\bar {L}}_{{{\text{ППП + }}}}}$ составит 3.7 мкм для сигнального ППП.

Сначала мы настроим длину выступа $D$ штыревого резонатора так, чтобы сигнальное поле было настроено на минимум интерференции и полностью задерживалось им. Это возможно, если “плазмонный” путь сигнальной ППП-волны в резонаторе ${\Delta }S = \left( {2D + d} \right)n_{{EF + }}^{{\left( {\text{R}} \right)}}$ будет настроен на полуцелое число длин волн, т.е. $\frac{{\left( {2n + 1} \right){{\lambda }_{0}}}}{2},$ где $n = ~0,~1,~2 \ldots $ Тогда при $n = 0$ получим $D = 23.8$ нм и сигнальное поле будет полностью блокироваться волноводом, содержащим нанорезонатор (рис. 3б).

ПЛАЗМОННО-ИНДУЦИРОВАННОЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОПУСКАНИЯ СИГНАЛЬНОЙ ППП-МОДЫ

Мы полагаем, что в нанорезонаторе, загруженном оболочечной InAs/Zn КТ, реализуется лестничного типа С-схема плазмон-экситонного взаимодействия с двумя ППП-модами (рис. 1б). Контролирующее поле накачки ${{E}_{1}}$ (определяется совокупностью компонент, т.е. ${{E}_{1}} = E_{{1x}}^{2} + E_{{1y}}^{2}$) настроено на межзонный переход $1S\left( h \right) \to 1S\left( e \right),$ а сигнальное поле ${{E}_{2}}$ настроено на внутризонный переход $1S\left( e \right) \to 1P\left( e \right).$ Резонансные частоты соответствующих переходов могут быть получены в виде (рис. 1) [15]:

где ${{E}_{g}} = 0.35\,\,{\text{эВ}}$ – ширина запрещенной зоны, ${{m}_{c}} = 0.0026{{m}_{0}},$ ${{m}_{h}} = 0.41{{m}_{0}}$ – эффективные массы электрона и дырки в InAs, а ${{\kappa }_{{1,1}}} = 4.493$ и ${{\kappa }_{{1,0}}} = \pi $ – корни функции Бесселя. Согласно (2б), для реализации резонансных взаимодействий с сигнальной ППП модой на длине волны ${{\lambda }_{2}} = $ 8.04 мкм размер КТ должен составить ${{a}_{{{\text{КТ}}}}} = \frac{{{{D}_{{{\text{КТ}}}}}}}{2}$ = 9.9 нм. Тогда длина волны накачки ${{\lambda }_{1}} = $ 2.56 мкм будет точно настроена на условия межзонного резонанса в соответствии с (2а) и условием ${{\omega }_{{12}}} = {{\omega }_{1}}.$

Выполненное численное моделирование демонстрирует быстрое затухание ППП-накачки в условиях слабой связи с $\xi = 6$ нм для электромагнитного поля на длине волны ${{\lambda }_{1}}$ в графеновом волноводе (рис. 3). Однако даже в этом случае интенсивности ППП-накачки оказывается достаточно для создания индуцированной поляризации на переходе $1S\left( h \right) \to 1S\left( e \right)$ в КТ.

Дипольный момент внутризонного перехода в КТ приближенно может быть оценен соотношением ${{\mu }_{{32}}} = 0.433e{{a}_{{{\text{КТ}}}}}{\Lambda ,}$ где ${\Lambda } = \frac{{3{{\varepsilon }_{{{\text{ZnS}}}}}}}{{\left( {2{{\varepsilon }_{{{\text{ZnS}}}}} + {{\varepsilon }_{{{\text{InAs}}}}}} \right)}}$ и ${{a}_{{{\text{КТ}}}}} = \frac{{{{D}_{{{\text{КТ}}}}}}}{2}$ – радиус сердцевины КТ с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{{{\text{InAs}}}}} = 12.3;$ диэлектрическая проницаемость оболочки составляет ${{\varepsilon }_{{{\text{ZnS}}}}} = 8.3.$ В то же время дипольный момент межзонного перехода может быть найден как $\mu _{{12}}^{2}$ = = $\frac{{{{e}^{2}}}}{{6{{m}_{0}}\omega _{1}^{2}}}\left( {\frac{{{{m}_{0}}}}{{{{m}_{c}}}} - 1} \right)$$\frac{{{{E}_{g}}e\left( {{{E}_{g}} + {{{\Delta }}_{s}}} \right)}}{{{{E}_{g}} + {{2{{{\Delta }}_{s}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{{\Delta }}_{s}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$ где ${{{\Delta }}_{s}} = 0.43\,\,{\text{эВ}}$ – энергия спин-орбитального расщепления для InAs. Расчетные значения параметров для рассматриваемой КТ InAs/ZnS составят μ₃₂ = 5.91 · 10^–28 Кл · м и $~{{\mu }_{{12}}} = 14.9 \cdot {{10}^{{ - 29}}}\,\,{\text{Кл}} \cdot {\text{м}}.$

В отсутствие поля ${{E}_{1}}$ уровень $1S\left( e \right)$ не заполнен, поэтому стационарными решениями для матричных элементов переходов в КТ служат нулевые значения, т.е. ${{\bar {\rho }}_{{21}}} = {{\bar {\rho }}_{{32}}} = 0.$ В такой ситуации сигнальное поле свободно распространяется через область, содержащую нанорезонатор (рис. 3). Мгновенное включение поля ${{E}_{1}}$ приводит к осцилляторному росту поляризации на переходе $1S\left( e \right) \to 1P\left( e \right).$ В процессе последующей эволюции система стабилизируется на новом уровне стационарных решений для поляризации, полученных на основе системы кинетических уравнений для матрицы плотности $~\rho $ [16]:

где ${{{\Omega }}_{1}} = {{g}_{1}}B$ и ${{{\Omega }}_{2}} = {{g}_{2}}a$ – частоты Раби ППП-накачки и сигнальной ППП-моды, $a$ и $B$ – амплитуды соответствующих ППП; ${{D}_{1}} = \,\,~i{\Delta } + {{\gamma }_{{21}}},$ ${{D}_{2}} = i\delta + \left( {{{\gamma }_{{31}}} + {{\gamma }_{{32}}}} \right),$ ${{{\Gamma }}_{{32}}} = i\left( {\delta - {\Delta }} \right)$ + ${{\gamma }_{{21}}} + {{\gamma }_{{32}}} + {{\gamma }_{{31}}},$ ${{\bar {n}}_{{21}}} = \,\,~{{\bar {\rho }}_{{22}}} - {{\bar {\rho }}_{{11}}},$ ${{\bar {n}}_{{32}}}$ = ${{\bar {\rho }}_{{33}}} - {{\bar {\rho }}_{{22}}};$ здесь ${{\bar {\rho }}_{{11}}},$ ${{\bar {\rho }}_{{22}}}$ и ${{\bar {\rho }}_{{33}}}$ – стационарные решения для населенностей уровней, ${{\gamma }_{{ij}}}$ соответствуют скоростям спонтанной релаксации между уровнями $i$ и $j;$ ${\Delta }$ и $\delta $ – частотные отстройки (рис. 1).

В работе использованы значения релаксационных параметров в виде ${{\gamma }_{{32\left( {31} \right)}}} = 1.43 \cdot {{10}^{{12}}}\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}$ и ${{\gamma }_{{21}}} = 1.73 \cdot {{10}^{9}}\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}$ [16]. Для изучения динамики связанной ППП–КТ-системы мы используем комбинированный подход на основе численного решения системы дифференциальных уравнений для матрицы плотности и численного моделирования для электромагнитного поля на основе метода конечных разностей во временной области (FDTD) [17]. В частности, параметр плазмон-экситонной связи имеет вид ${{g}_{{1\left( 2 \right)}}}\left( {\bar {r}} \right)$ = $\sqrt {\frac{{{{\omega }_{{1\left( 2 \right)}}}}}{{\hbar ~{{\varepsilon }_{0}}{{V}_{{EF1\left( 2 \right)}}}}}} {{\varkappa }_{{1\left( 2 \right)}}}\left( {\bar {r}} \right){\text{\;}}{{\mu }_{{12\left( {32} \right)}}},$ где параметр ${{\varkappa }_{{1\left( 2 \right)}}}\left( {\bar {r}} \right)$ = $\frac{{{{E}_{{1\left( 2 \right)}}}\left( {\bar {r}} \right)}}{{E_{{1\left( 2 \right)}}^{{\left( {max} \right)}}}}$ задает распределение поля в месте нахождения КТ, а ${{V}_{{EF1\left( 2 \right)}}}$ = ${{\left( {{{\lambda }_{{{\text{ППП}} + 1\left( 2 \right)}}}} \right)}^{3}}$ соответствует эффективному объему моды. Извлекая значения данных параметров непосредственно из результатов моделирования поля в резонаторе, получим ${{g}_{1}} = 6.575 \cdot {{10}^{{11}}}\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}$ и ${{g}_{2}} = 1.472 \cdot {{10}^{{12}}}$ с^–1 при выбранных параметрах.

Принцип переключения (рис. 3) основан на управлении фазовым сдвигом сигнальной ППП-моды в резонаторе через управление значениями поляризаций (3) посредством поля накачки. Такой фазовый набег может быть рассчитан как ${\Delta }\phi = \frac{{2\pi }}{{{{\lambda }_{2}}}}n_{{{\text{КТ}}}}^{{\left( {\text{R}} \right)}}{{D}_{{{\text{КТ}}}}},$ где эффективный показатель преломления КТ имеет вид ${{n}_{{{\text{КТ}}}}} \approx {{{{\chi }_{{{\text{КТ}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{{\text{КТ}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и выражен через восприимчивость КТ ${{\chi }_{{{\text{КТ}}}}} = \frac{{N{{\mu }_{{32}}}}}{{{{\varepsilon }_{0}}{{E}_{2}}}}{{\rho }_{{32}}}.$ Для случая $a = 1$ и $B = 20$ получим, что требуемый для перехода от деструктивной к конструктивной интерференции фазовый сдвиг ${\Delta }\phi = \pi $ может быть реализован при настройке частотных отстроек к значениям ${{{\Delta }}_{m}} = - 6.156 \cdot {{10}^{{12}}}$ с^–1 и ${{\delta }_{m}} = 9.660 \cdot {{10}^{{12}}}$ с^–1 (${\text{Re}}\left( {{{{\bar {\rho }}}_{{32}}}} \right) = \,\,~0.0318$). При выборе соответствующих настроек сигнальная ППП-мода практически полностью пропускается устройством (рис. 3г). Характерная частота рассматриваемого эффекта переключения соответствует оценочным значениям 100 ГГц.

Важным техническим вопросом при создании реальных устройств на основе рассмотренного эффекта переключения является проблема локализации распространяющихся по поверхности графена плазмонов в узкой области вдоль оси z. Однако такая задача может быть решена технически с использованием микро- и наноструктурированных подложек на основе сочетания Si и SiO₂. На тех участках, где требуется локализовать ППП, подложкой для графена служит Si с тонким буферным слоем SiO₂, в оставшихся – монолитный SiO₂. Таким образом, Si и слой графена над ним выступают в роли конденсатора, при подаче напряжения на который химический потенциал графена падает по сравнению с областями над монолитным SiO₂ [18–20]. В итоге возникает волноводный эффект: ППП локализуются и распространяются исключительно вдоль областей графена, находящихся над Si, что можно использовать для создания сложных межузловых соединений в системе [21].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучен эффект полностью плазмонного переключения в графеновом штыревом нанорезонаторе, нагруженном оболочечной КТ. Представленный эффект может иметь принципиальное значение для разработки как отдельных высокоскоростных переключателей, так и устройств на их основе. Однако открытым остается вопрос быстрого затухания ППП в графене. Ответом на этот вопрос может служить достижение высокотемпературной проводимости в графене [22, 23], а также использование новых подходов к применению эффектов квантовой когерентности в двумерных структурах с квантовыми точками [24–25].