1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 4, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 4, стр. 525-529

О когерентном упругом рассеянии поляризованных лептонов на ядрах полуцелого спина

М. Я. Сафин *

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Российский университет дружбы народов”
Москва, Россия

* E-mail: misafin@gmail.com

Поступила в редакцию 30.10.2019
После доработки 25.11.2019
Принята к публикации 27.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках формализма Рариты–Швингера дано описание волновых функций, а также матричных элементов электромагнитного и слабого нейтрального токов ядер с полуцелым спином. В системе отсчета Брейта построены мультипольные разложения матричных элементов этих токов. В приближении эффективного электрослабого тока ядра получены соответствующие дифференциальные сечения рассеяния продольно-поляризованных лептонов.

ВВЕДЕНИЕ

Упругие электрослабые формфакторы являются фундаментальными величинами в лептонном рассеянии, описывающими внутреннюю структуру ядер и нуклонов, их изучению уделяется значительное внимание при высоких [1, 2] и при низких [3–5] энергиях. В упругом рассеянии ядро представляется целостным объектом, и при исследовании рассеяния на нем заряженных лептонов и нейтрино представляет интерес ковариантное описание [6, 7] основного состояния ядра и вершинных функций электромагнитного и слабого токов. Наглядная физическая интерпретация инвариантных формфакторов достигается путем мультипольных разложений в системе Брейта матричных элементов компонент эффективного [8] электрослабого тока ядра.

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЯДРА-МИШЕНИ В ФОРМАЛИЗМЕ РАРИТЫ–ШВИНГЕРА

Любое стационарное состояние ядра может быть описано в терминах его внешних и внутренних степеней свободы:

(1)
$\left| n \right\rangle = \left| {J,\lambda ;p} \right\rangle \left| {{{\alpha }_{n}}} \right\rangle .$

Здесь первый множитель описывает ядро как целостный объект с соответствующими “внешними” характеристиками: 4-импульсом $p = \left( {E,\vec {p}} \right),$ массой ${{M}^{2}} = {{p}^{2}};$ спином $J,$ его проекцией $\lambda .$ Второй множитель в (1) описывает внутреннее состояние ядра; в число его параметров ${{\alpha }_{n}}$ входит, например, изотопический спин $T$ и его проекция ${{T}_{3}}.$

Движение ядра как целого описывается плоской волной

(2)
$\left\langle x \right.\left| {J,\lambda ;p} \right\rangle = \frac{{U\left( {J,\lambda ;p} \right)}}{{\sqrt {2E} }}{{e}^{{ - ipx}}}.$

Для ядер полуцелого спина $J = j + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ в качестве функции $U\left( {J,\lambda ;p} \right)$ может быть выбрана спин-тензорная волновая функция $U_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)\,$ с симметричным мультииндексом ${{\left( \alpha \right)}_{j}} = {{\alpha }_{1}}...{{\alpha }_{j}}.$ Эта волновая функция удовлетворяет уравнению Дирака, а также условиям поперечности и бесследовости

(3)
$\begin{gathered} \left( {\hat {p} + M} \right)U_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right) = 0,\,\,\,\,{{p}^{{{{\alpha }_{1}}}}}U_{{{{\alpha }_{1}}...{{\alpha }_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right) = 0, \\ {{g}^{{{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}}}}U_{{{{\alpha }_{1}}...{{\alpha }_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right) = 0 \\ \end{gathered} $

и представляется в виде биспинора Рариты–Швингера

(4)
$U_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {E + M} \phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)} \\ {\sqrt {E + M} \frac{{\left( {\vec {\sigma }\vec {p}} \right)}}{{\left| {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {p} } \right|}}\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)} \end{array}} \right).$

Спинор $\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)$ для состояния со спином $J$ и проекцией $\lambda $ может быть построен с помощью спинора $\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{{j - 1}}}}}^{\varepsilon }\left( p \right)$ для состояния со спином $J - 1$ и проекцией $\varepsilon ,$ и волновой функции $e_{{{{\alpha }_{j}}}}^{\delta }\left( p \right)$ для состояния со спином 1 и проекцией ${\delta :}$

(5)
$\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right) = \sum\limits_{\varepsilon ,\delta } {C_{{J - 1\varepsilon 1\delta }}^{{J\lambda }}\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{{j - 1}}}}}^{\varepsilon }\left( p \right)e_{{{{\alpha }_{j}}}}^{\delta }\left( p \right)} .$

Рекуррентное применение соотношения (5) дает выражение для $\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)$ в виде линейной комбинации произведений $j$ волновых функций спина $1$ и обычного спинора Паули с так называемыми коэффициентами параллельной связи.

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО И СЛАБОГО НЕЙТРАЛЬНОГО ТОКОВ ЯДРА

Матричный элемент электромагнитного (x = em) или слабого нейтрального $\left( {x = weak} \right)$ тока ядра представляется в виде

(6)
$\begin{gathered} \sqrt {2E2E{\kern 1pt} '} \left\langle {J,\lambda ;p} \right|J_{x}^{\mu }\left( 0 \right)\left| {J,\lambda ;p} \right\rangle = \\ = \bar {U}_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{{j{\kern 1pt} '}}}}}^{{\lambda {\kern 1pt} }}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)\Gamma _{x}^{{\mu {{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}U_{{{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right). \\ \end{gathered} $

Вершинный оператор $\Gamma _{x}^{{\mu {{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}$ может быть построен из матриц Дирака, метрического тензора и компонент 4-импульсов $q = p{\kern 1pt} '\, - p$ и $P = p{\kern 1pt} '\, + p.$ С учетом факторизованности дираковских свойств волновой функции можно записать

(7)
$\Gamma _{x}^{{\mu {{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}} = \sum\limits_{n = 1}^{j + 1} {Q_{n}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}\Gamma _{{x;\,n}}^{\mu }} .$

Здесь

(7а)
$\begin{gathered} \Gamma _{{em;\,n}}^{\mu } = {{\gamma }^{\mu }}\left( {F_{M}^{{\left( n \right)}} + \frac{{{{q}^{2}}}}{{{{M}^{2}}}}G_{1}^{{\left( n \right)}}{{\gamma }^{5}}} \right) - \\ - \,\,\frac{{{{P}^{\mu }}}}{{2M}}\left( {F_{2}^{{\left( n \right)}} - iG_{2}^{{\left( n \right)}}{{\gamma }^{5}}} \right), \\ \end{gathered} $
(7б)
$\Gamma _{{weak;\,n}}^{\mu } = {{\gamma }^{\mu }}\left( {g_{M}^{{\left( n \right)}} + g_{A}^{{\left( n \right)}}{{\gamma }^{5}}} \right) - \frac{{{{P}^{\mu }}}}{{2M}}f_{V}^{{\left( n \right)}}$

соответствуют вершинным операторам электромагнитного тока и слабого нейтрального тока (СНТ) частиц со спином ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (нуклонов). Инвариантные форм-факторы

(8)
$\begin{gathered} F_{M}^{{\left( n \right)}} = F_{1}^{{\left( n \right)}} + F_{2}^{{\left( n \right)}},\,\,\,\,F_{E}^{{\left( n \right)}} = F_{1}^{{\left( n \right)}} - \tau F_{2}^{{\left( n \right)}}, \\ F_{1}^{{\left( n \right)}} = \frac{{F_{E}^{{\left( n \right)}} + \tau F_{M}^{{\left( n \right)}}}}{{1 + \tau }},\,\,\,\,F_{2}^{{\left( n \right)}} = \frac{{F_{M}^{{\left( n \right)}} - F_{E}^{{\left( n \right)}}}}{{1 + \tau }}, \\ g_{M}^{{\left( n \right)}} = f_{1}^{{\left( n \right)}} + f_{V}^{{\left( n \right)}},\,\,\,\,g_{E}^{{\left( n \right)}} = f_{1}^{{\left( n \right)}} - \tau f_{V}^{{\left( n \right)}}, \\ f_{1}^{{\left( n \right)}} = \frac{{g_{E}^{{\left( n \right)}} + \tau g_{M}^{{\left( n \right)}}}}{{1 + \tau }},\,\,\,\,f_{V}^{{\left( n \right)}} = \frac{{g_{M}^{{\left( n \right)}} - g_{E}^{{\left( n \right)}}}}{{1 + \tau }}, \\ \end{gathered} $
где $\tau = - {{{{q}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}^{2}}} {4{{M}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4{{M}^{2}}}},$ определены аналогично магнитному и электрическому саксовским формфакторам нуклона.

Величины $Q_{n}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}$ в (7) являются однородными функциями компонент переданного импульса $q\,$ порядка 2(n – 1) и получаются путем надлежащей симметризации следующих произведений:

(9)
$Q_{{n0}}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}} = \prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{{q}^{{{{\alpha }_{i}}}}}}}{{2M}}} \right)\left( {\frac{{{{q}^{{{{\beta }_{i}}}}}}}{{2M}}} \right)} \prod\limits_{k = n}^j {{{g}^{{{{\alpha }_{k}}{{\delta }_{k}}}}}} .$

В дальнейшем мы будем использовать систему Брейта или систему нулевой передачи энергии, в которой

(10а)
$\begin{gathered} {{p}^{\mu }} = \left( {E, - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right),\,\,\,\,{{p}^{{'\mu }}} = \left( {E, + \frac{{\vec {q}}}{2}} \right),\,\,\,\,{{P}^{\mu }} = \left( {2E,0} \right), \\ {{q}^{\mu }} = {{p}^{{'\mu }}} - {{p}^{\mu }} = \left( {0,\vec {q}} \right), \\ \end{gathered} $
(10б)
$\frac{E}{M} = \sqrt {1 + \tau } ,\,\,\,\,\tau = \frac{{{{{\left| {\vec {q}} \right|}}^{2}}}}{{4{{M}^{2}}}}.$

Эта система является также системой Брейта и для рассеивающегося лептона

(10в)
$\begin{gathered} {{k}^{\mu }} = \left( {\varepsilon , + \frac{{\vec {q}}}{2}} \right),\,\,\,\,{{k}^{{'\mu }}} = \left( {\varepsilon , - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right),\,\,\,\,{{Q}^{\mu }} = \left( {2\varepsilon ,0} \right), \\ {{q}^{\mu }} = {{k}^{\mu }} - {{k}^{{'\mu }}} = \left( {0,\vec {q}} \right), \\ \end{gathered} $

причем, ${\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon M}} \right. \kern-0em} M} = \sqrt {{{{{m}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}^{2}}} {{{M}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}^{2}}}} + \tau } ,$ где $m$ – масса лептона.

Эта система оказывается удобной для интерпретации мультипольных формфакторов в качестве фурье-образов соответствующих “пространственных” распределений. Кроме того, в этой системе в начальном и конечном состояниях имеется лишь одно выделенное направление $\vec {q},$ которое мы выберем для построения поляризационных состояний.

Воспользовавшись (4), (7) и (10а) для временной компоненты

(11)
${{\left[ {J_{{weak}}^{\mu }\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\,\lambda '\lambda }}} = \bar {U}_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{{\lambda {\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right)\Gamma _{{weak}}^{{\mu {{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}U_{{{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right)$

найдем:

(12а)
$\begin{gathered} {{\left[ {J_{{weak}}^{0}\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = \\ = \,\,2M\left( {\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{{ + \lambda {\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right)\phi _{{{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right)} \right)\sum\limits_{n = 1}^{j + 1} {g_{E}^{{\left( n \right)}}Q_{{n0}}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}} . \\ \end{gathered} $

Для циклических компонент пространственной части (11) будем иметь

(12б)
$\begin{gathered} \left[ {{{{\vec {J}}}_{{weak}}}\left( {\vec {q}} \right)} \right]_{0}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }} = \\ = - 2M\left( {\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{{ + \lambda {\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right){{\sigma }_{0}}\phi _{{{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right)} \right)\sum\limits_{n = 1}^{j + 1} {g_{A}^{{\left( n \right)}}Q_{{n0}}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}} , \\ \end{gathered} $
(12в)
$\begin{gathered} \left[ {{{{\vec {J}}}_{{weak}}}\left( {\vec {q}} \right)} \right]_{{ \pm 1}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }} = \pm 2M\left( {\phi _{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{{ + \lambda {\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right){{\sigma }_{ \pm }}\phi _{{{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right)} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n = 1}^{j + 1} {\left( {\sqrt \tau g_{M}^{{\left( n \right)}} \mp \sqrt {1 + \tau } g_{A}^{{\left( n \right)}}} \right)Q_{{n0}}^{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}} . \\ \end{gathered} $

Матричные элементы ${{\left[ {J_{{em}}^{\mu }\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}$ в отсутствие анапольного $G_{1}^{{\left( n \right)}}\,$ и электрического дипольного $G_{2}^{{\left( n \right)}}\,$ вкладов даются формулами (12), в которых следует положить $g_{A}^{{\left( n \right)}} = 0,$ а $g_{{E,M}}^{{\left( n \right)}}$ заменить на $F_{{E,M}}^{{\left( n \right)}}.$

МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОКОВ ЯДРА

Как указывалось в предыдущем разделе, для проведения мультипольного анализа наиболее удобной является система отсчета Брейта. Определим в ней матричные элементы скалярного и векторного (относительно пространственных вращений) операторов:

(13)
$\begin{gathered} {{\left[ {A\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = \left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {A}\left( {\vec {q}} \right)\left| {J,\lambda } \right\rangle , \\ {{\left[ {\vec {B}\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = \left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {\vec {B}}\left( {\vec {q}} \right)\left| {J,\lambda } \right\rangle . \\ \end{gathered} $

Здесь

(14)
$\begin{gathered} \hat {A}\left( {\vec {q}} \right) = {{{\hat {L}}}^{{ - 1}}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right)\hat {A}\left( 0 \right)\hat {L}\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right), \\ \hat {\vec {B}}\left( {\vec {q}} \right) = {{{\hat {L}}}^{{ - 1}}}\left( {\frac{{\vec {q}}}{2}} \right)\hat {\vec {B}}\left( 0 \right)\hat {L}\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right), \\ \end{gathered} $

а оператор

$\hat {L}\left( { - \frac{{\vec {q}}}{2}} \right) = \exp \left\{ {i\xi \left( {\vec {n}\hat {\vec {M}}} \right)} \right\},\,\,\,\,\xi = arch\sqrt {1 + \tau } ,$

задает преобразование Лоренца (буст в направлении $\vec {n} = {{\vec {q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec {q}} {\left| {\vec {q}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {\vec {q}} \right|}},$ $\vec {M}$ – соответствующий генератор) для состояния $\left| {J,\lambda } \right\rangle $ из системы покоя $p_{0}^{\mu } = \left( {M,0} \right)$ в систему ${{p}^{\mu }} = \left( {E,{{\vec {q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec {q}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right).$

Величины $A\left( {\vec {q}} \right)$ и $\vec {B}\left( {\vec {q}} \right)$ являются матрицами $\left( {2J + 1} \right)$ × $\left( {2J + 1} \right),$ которые разлагаются по полному набору поляризационных операторов (0 ≤ l ≤ J, ‒l ≤ m ≤ l)

(15)
${{\left[ {{{T}_{{lm}}}\left( J \right)} \right]}^{{\lambda \,'\lambda }}} = \sqrt {\frac{{2l + 1}}{{2J + 1}}} C_{{J\lambda lm}}^{{J\lambda {\kern 1pt} '}}.$

Вид коэффициентов в этих разложениях и их физический смысл можно установить с помощью следующих общих разложений по сферическим функциям и шаровым векторам:

(16)
$\begin{gathered} {{\left[ {A\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = \sum\limits_{lm} {a_{{lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right){{Y}_{{lm}}}\left( {\vec {n}} \right)} , \\ {{\left[ {\vec {B}\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = \sum\limits_{\delta lm} {b_{{\delta lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right)\vec {Y}_{{lm}}^{{\left( \delta \right)}}\left( {\vec {n}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Отсюда

(17)
$\begin{gathered} a_{{lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \int {d{{\Omega }_{q}}} {{\left[ {A\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}Y_{{lm}}^{*}\left( {\vec {n}} \right), \\ b_{{\delta lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \int {d{{\Omega }_{q}}{{{\left[ {\vec {B}\left( {\vec {q}} \right)} \right]}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}\vec {Y}_{{lm}}^{{\left( \delta \right){\text{*}}}}\left( {\vec {n}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Рассматривая $\hat {A}\left( {\vec {q}} \right)$ и $\hat {\vec {B}}\left( {\vec {q}} \right)$ в качестве фурье-образов некоторых пространственных распределений

(18)
$\hat {A}\left( {\vec {q}} \right) = \int {d\vec {r}} {{e}^{{i\vec {q}\vec {r}}}}\hat {A}\left( {\vec {r}} \right),\,\,\,\,\hat {\vec {B}}\left( {\vec {q}} \right) = \int {d\vec {r}} {{e}^{{i\vec {q}\vec {r}}}}\hat {\vec {B}}\left( {\vec {r}} \right),$

придем к следующим соотношениям:

(19а)
$\begin{gathered} a_{{lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \\ = \,\,\sqrt {4\pi \left( {2J + 1} \right)} {{i}^{l}}{{q}^{l}}{{\beta }_{l}}\left( J \right){{\left( { - 1} \right)}^{m}}\left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {Q}_{{l - m}}^{{\left( C \right)}}\left| {J,\lambda } \right\rangle , \\ \end{gathered} $
(19б)
$\begin{gathered} b_{{ - 1lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \sqrt {4\pi \left( {2J + 1} \right)} {{i}^{{l - 1}}}{{q}^{{l - 1}}}{{\beta }_{l}}\left( J \right){{\left( { - 1} \right)}^{m}} \times \\ \times \,\,\left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {Q}_{{l - m}}^{{\left( L \right)}}\left| {J,\lambda } \right\rangle , \\ \end{gathered} $
(19в)
$\begin{gathered} b_{{0lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \sqrt {4\pi \left( {2J + 1} \right)} {{i}^{{l - 1}}}{{q}^{l}}\sqrt {\frac{{l + 1}}{l}} {{\beta }_{l}}\left( J \right){{\left( { - 1} \right)}^{m}} \times \\ \times \,\,\left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {Q}_{{l - m}}^{{\left( M \right)}}\left| {J,\lambda } \right\rangle , \\ \end{gathered} $
(19г)
$\begin{gathered} b_{{ + 1lm}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}\left( q \right) = \sqrt {4\pi \left( {2J + 1} \right)} {{i}^{{l - 1}}}{{q}^{{l - 1}}}\sqrt {\frac{{l + 1}}{l}} {{\beta }_{l}}\left( J \right) \times \\ \times \,\,{{\left( { - 1} \right)}^{m}}\left\langle {J,\lambda {\kern 1pt} '} \right|\hat {Q}_{{l - m}}^{{\left( E \right)}}\left| {J,\lambda } \right\rangle . \\ \end{gathered} $

Здесь

(20)
${{\beta }_{l}}\left( J \right) = \frac{{\sqrt {2l + 1} }}{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{\left[ {\frac{{\left( {2J + l + 1} \right)!\left( {2J - l} \right)!}}{{\left( {2J + 1} \right)!\left( {2J} \right)!}}} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$

а кулоновский $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( c \right)}},$ продольный $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( l \right)}},$ поперечный магнитный $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( M \right)}}$ и поперечный электрический $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( E \right)}}$ мультипольные операторы определены формулами, которые в пределе $q \to 0$ соответствуют классическим величинам ${{2}^{l}}$-польных моментов:

(21а)
$\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( C \right)}} = \sqrt {\frac{{4\pi }}{{2l + 1}}} \frac{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{{{q}^{l}}}}\int {d\vec {r}\hat {A}\left( {\vec {r}} \right){{j}_{l}}\left( {qr} \right){{Y}_{{lm}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{\left| {\vec {r}} \right|}}} \right)} ,$
(21б)
$\begin{gathered} \hat {Q}_{{lm}}^{{\left( L \right)}} = \sqrt {\frac{{4\pi }}{{2l + 1}}} \frac{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{{{q}^{l}}}} \times \\ \times \,\,\int {d\vec {r}\left( {\hat {\vec {B}}\left( {\vec {r}} \right)\vec {\nabla }} \right){{j}_{l}}\left( {qr} \right){{Y}_{{lm}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{\left| {\vec {r}} \right|}}} \right)} , \\ \end{gathered} $
(21в)
$\begin{gathered} \hat {Q}_{{lm}}^{{\left( M \right)}} = \frac{1}{{l + 1}}\sqrt {\frac{{4\pi }}{{2l + 1}}} \frac{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{{{q}^{l}}}} \times \\ \times \,\,\int {d\vec {r}\left( {\left[ {\vec {r}\hat {\vec {B}}\left( {\vec {r}} \right)} \right]\vec {\nabla }} \right){{j}_{l}}\left( {qr} \right){{Y}_{{lm}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{\left| {\vec {r}} \right|}}} \right)} , \\ \end{gathered} $
(21г)
$\begin{gathered} \hat {Q}_{{lm}}^{{\left( E \right)}} = \frac{1}{{l + 1}}\sqrt {\frac{{4\pi }}{{2l + 1}}} \frac{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{{{q}^{l}}}} \times \\ \times \,\,\int {d\vec {r}\left( {\hat {\vec {B}}\left( {\vec {r}} \right)\left[ {\vec {\nabla }\left[ {\vec {r}\vec {\nabla }\left( {{{j}_{l}}\left( {qr} \right){{Y}_{{lm}}}\left( {\frac{{\vec {r}}}{{\left| {\vec {r}} \right|}}} \right)} \right)} \right]} \right]} \right)} . \\ \end{gathered} $

При выводе (19) учтено, что величина статического мультипольного момента определяется как среднее от соответствующего мультипольного оператора по состоянию с максимальной проекцией $\left\langle {J,J} \right|\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( {...} \right)}}\left| {J,J} \right\rangle $ при $q \to 0.$

Эти результаты полностью переносятся на случай псевдоскалярного ${{\hat {A}}_{5}}$ и аксиально-векторного ${{\hat {\vec {B}}}_{5}}$ операторов, однако соответствующие мультипольные операторы (21) следует снабдить дополнительным индексом для указания противоположных свойств относительно пространственной инверсии: $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( {5C} \right)}},$ $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( {5L} \right)}},$ $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( {5M} \right)}}$ и $\hat {Q}_{{lm}}^{{\left( {5E} \right)}}.$

В случае электромагнитного взаимодействия отличными от нуля могут быть лишь формфакторы

(22а)
${{F}_{{Cl}}}\left( \tau \right) = \left\langle {J{\kern 1pt} '\left\| {\hat {Q}_{l}^{{\left( C \right)}}} \right\|J} \right\rangle ,\,\,\,\,l = 0,2,...2J - 1,$
(22б)
${{F}_{{Ml}}}\left( \tau \right) = \left\langle {J{\kern 1pt} '\left\| {\hat {Q}_{l}^{{\left( M \right)}}} \right\|J} \right\rangle ,\,\,\,\,l = 1,3,...2J.$

В случае взаимодействия СНТ соответствующие (22) векторные форм-факторы обозначим ${{g}_{{Cl}}}\left( \tau \right)$ и ${{g}_{{Ml}}}\left( \tau \right);$ к ним следует добавить аксиальные форм-факторы

(23а)
${{F}_{{5El}}}\left( \tau \right) = \left\langle {J{\kern 1pt} '\left\| {\hat {Q}_{l}^{{\left( {5E} \right)}}} \right\|J} \right\rangle ,\,\,\,\,l = 1,3,...2J,$
(23б)
${{F}_{{5Ll}}}\left( \tau \right) = \left\langle {J{\kern 1pt} '\left\| {\hat {Q}_{l}^{{\left( {5L} \right)}}} \right\|J} \right\rangle ,\,\,\,\,l = 1,3,...2J.$

Отметим, что все мультипольные формфакторы действительны.

Выбирая $\vec {n} = {{\vec {q}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec {q}} {\left| {\vec {q}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {\vec {q}} \right|}}$ в качестве оси квантования, из (16) с помощью (6), (15), (19) и (22), (23) для матричных элементов СНТ (12) получим выражения:

(24а)
$\begin{gathered} {{\left[ {J_{{weak}}^{0}\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}} = 2M\sqrt {1 + \tau } \sqrt {2J + 1} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{l\;{\text{чётные}}} {{{\beta }_{l}}\left( J \right){{{\left( {2i\sqrt \tau } \right)}}^{l}}{{{\left[ {{{T}_{{l0}}}\left( J \right)} \right]}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}{{g}_{{Cl}}}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $
(24б)
$\begin{gathered} \left[ {{{{\vec {J}}}_{{weak}}}\left( {\vec {q}} \right)} \right]_{0}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }} = 2M\sqrt {1 + \tau } \sqrt {2J + 1} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{l\;{\text{нечётные}}} {{{\beta }_{l}}\left( J \right){{{\left( {2i\sqrt \tau } \right)}}^{{l - 1}}}{{{\left[ {{{T}_{{l0}}}\left( J \right)} \right]}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}{{g}_{{5Ll}}}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $
(24в)
$\begin{gathered} \left[ {{{{\vec {J}}}_{{weak}}}\left( {\vec {q}} \right)} \right]_{{ \pm 1}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }} = 2M\sqrt {1 + \tau } \sqrt {\frac{{2J + 1}}{2}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{l\;{\text{нечётные}}} {{{\beta }_{l}}\left( J \right)\sqrt {\frac{{l + 1}}{l}} {{{\left( {2i\sqrt \tau } \right)}}^{{l - 1}}}{{{\left[ {{{T}_{{l \pm 1}}}\left( J \right)} \right]}}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}} \times \\ \times \,\,\left( {{{g}_{{5El}}}\left( \tau \right) \pm \sqrt \tau {{g}_{{Ml}}}\left( \tau \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Мультипольные разложения матричных элементов электромагнитного тока ${{\left[ {J_{{em}}^{\mu }\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}}$ также даются формулами (24), в которых следует положить ${{g}_{{5Ll}}}\left( \tau \right) = {{g}_{{5El}}}\left( \tau \right) = 0,$ а ${{g}_{{Cl}}}\left( \tau \right)$ и ${{g}_{{Ml}}}\left( \tau \right)$ заменить на ${{F}_{{Cl}}}\left( \tau \right)$ и ${{F}_{{Ml}}}\left( \tau \right).$

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ПРОДОЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЛЕПТОНОВ

Амплитуда процесса

(25)
${{l}^{ - }}\left( {k,\zeta } \right) + A\left( {Z,J,p} \right) \to {{l}^{ - }}\left( {k{\kern 1pt} '} \right) + A\left( {Z,J,p{\kern 1pt} '} \right)$

в случае заряженных лептонов ${{l}^{ - }}$ описывается суммой амплитуд рассеяния за счет электромагнитного взаимодействия и взаимодействия СНТ:

(26)
$\begin{gathered} M = {{M}_{{em}}} + {{M}_{{weak}}} = \frac{{4\pi Z\alpha }}{{{{q}^{2}}}}{{j}_{{\left( {em} \right)\mu }}}J_{{\left( {em} \right)}}^{\mu } + \\ + \,\,\frac{{{{G}_{F}}}}{{\sqrt 2 }}{{j}_{{\left( {weak} \right)\mu }}}J_{{\left( {weak} \right)}}^{\mu }. \\ \end{gathered} $

Матричные элементы электромагнитного и СНТ лептона даются выражениями

(27)
$\begin{gathered} j_{{\left( {em} \right)}}^{\mu } = \bar {u}\left( {k{\kern 1pt} '} \right){{\gamma }^{\mu }}u\left( {k;\,\zeta } \right), \\ j_{{\left( {weak} \right)}}^{\mu } = \bar {u}\left( {k{\kern 1pt} '} \right){{\gamma }^{\mu }}\left( {{{g}_{{Vl}}} + {{g}_{{Al}}}{{\gamma }^{5}}} \right)u\left( {k;\,\zeta } \right), \\ \end{gathered} $

${{g}_{{Vl}}}$ и ${{g}_{{Al}}}$ – векторная и аксиально-векторная константы СНТ лептона.

В случае лептонов высокой энергии $\left( {{{k}_{0}} \gg {{m}_{l}}} \right)$ и спиральности $\zeta = \pm 1$ формулу (26) можно представить в виде:

(28)
$M = \frac{{4\pi Z\alpha }}{{{{q}^{2}}}}{{j}_{{\left( {em} \right)\mu }}}J_{{eff}}^{\mu },$
где эффективный ток

(29)
$J_{{eff}}^{\mu } = J_{{em}}^{\mu } - {{\delta }_{\zeta }}J_{{weak}}^{\mu }.$

Параметр ${{\delta }_{\zeta }}$ определяет относительную интенсивность электромагнитного и слабого взаимодействия:

(30)
$\begin{gathered} {{\delta }_{\zeta }} = {{\delta }_{{0A}}}\tau \left( {{{g}_{{Vl}}} - \zeta {{g}_{{Al}}}} \right),\,\,\tau = - {{{{q}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}^{2}}} {4{{M}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4{{M}^{2}}}},\,\,{{\delta }_{{0A}}} = \frac{{{{A}^{2}}}}{Z}{{\delta }_{{0p}}}, \\ A = \frac{M}{{{{m}_{p}}}},\,\,{{\delta }_{{0p}}} = \frac{{{{G}_{F}}m_{p}^{2}}}{{\pi \alpha \sqrt 2 }} \approx 3.14 \cdot {{10}^{{ - 4}}}. \\ \end{gathered} $

Для матричных элементов эффективного тока перехода $J_{{eff}}^{\mu }$ справедливы разложения (24), в которых слабые мультипольные формфакторы следует заменить соответствующими эффективными мультипольными формфакторами

(31а)
${{\Phi }_{{Cl,Ml}}}\left( \tau \right) = {{F}_{{Cl,Ml}}}\left( \tau \right) - {{\delta }_{\zeta }}{{g}_{{Cl,Ml}}}\left( \tau \right),$
(31б)
${{\Phi }_{{5Ll,5El}}}\left( \tau \right) = - {{\delta }_{\zeta }}{{g}_{{5Ll,5El}}}\left( \tau \right).$

Дифференциальное сечение процесса (25) определяется сверткой лептонного ${{l}^{{\mu \nu }}}$ и адронного ${{H}^{{\mu \nu }}}$ тензоров. Первый тензор при рассматриваемых высоких энергиях и с учетом ${{{{m}_{l}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{l}}} {M \ll 1}}} \right. \kern-0em} {M \ll 1}}$ имеет вид:

(32)
${{l}^{{\mu \nu }}} = {{Q}^{\mu }}{{Q}^{\nu }} - 4{{M}^{2}}\tau {{g}^{{\mu \nu }}} - {{q}^{\mu }}{{q}^{\nu }} + i\zeta {{\varepsilon }^{{\mu \nu \alpha \beta }}}{{Q}_{\alpha }}{{q}_{\beta }}.$

Для второго справедливо разложение со структурными функциями ${{W}_{n}}$

(33)
$\begin{gathered} {{H}^{{\mu \nu }}} = {{P}^{\mu }}{{P}^{\nu }}{{W}_{1}} - 4{{M}^{2}}\tau {{g}^{{\mu \nu }}}{{W}_{2}} - \\ - \,\,{{q}^{\mu }}{{q}^{\nu }}{{W}_{3}} + \frac{1}{2}i{{\varepsilon }^{{\mu \nu \alpha \beta }}}{{P}_{\alpha }}{{q}_{\beta }}{{W}_{4}}. \\ \end{gathered} $

Здесь векторы $Q = k + k{\kern 1pt} ',$ $P = p + p{\kern 1pt} ',$ q = k – k' = = p' – p.

Сравнивая (33) в системе Брейта с выражением (24) через компоненты ${{\left[ {J_{{eff}}^{\mu }\left( {\vec {q}} \right)} \right]}^{{\lambda {\kern 1pt} '\lambda }}},$ получим формулы для структурных функций:

(34а)
${{W}_{1}}\left( \tau \right) = \Phi _{C}^{2}\left( \tau \right) + \beta _{1}^{2}\left( J \right)\left[ {\tau \Phi _{M}^{2}\left( \tau \right) + \Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right)} \right],$
(34б)
${{W}_{2}}\left( \tau \right) = \beta _{1}^{2}\left( J \right)\left( {1 + \tau } \right)\left[ {\tau \Phi _{M}^{2}\left( \tau \right) + \Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right)} \right],$
(34в)
$\begin{gathered} {{W}_{3}}\left( \tau \right) = \beta _{1}^{2}\left( J \right)\left( {1 + \tau } \right) \times \\ \times \,\left[ {\tau \Phi _{M}^{2}\left( \tau \right) + \Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right) - \Phi _{{5L}}^{2}\left( \tau \right)} \right], \\ \end{gathered} $
(34г)
${{W}_{4}}\left( \tau \right) = - 4\beta _{1}^{2}\left( J \right)\sqrt {1 + \tau } {{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right).$

Здесь

(35а)
$\Phi _{C}^{2}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\;{\text{чeтные}}} {{{2}^{{2l}}}\beta _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{l}}\Phi _{{Cl}}^{2}\left( \tau \right)} ,$
(35б)
$\begin{gathered} \Phi _{{M,5E}}^{2}\left( \tau \right) = \\ = \sum\limits_{l\;{\text{нечетные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}\Phi _{{Ml,5El}}^{2}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $
(35в)
$\Phi _{{5L}}^{2}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\;{\text{нечeтные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}\Phi _{{5Ll}}^{2}\left( \tau \right)} ,$
(35г)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right) = \\ = \sum\limits_{l\;{\text{нечeтные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}{{\Phi }_{{Ml}}}{{\Phi }_{{5El}}}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $

причем,

(36)
$\gamma _{l}^{2}\left( J \right) = {{\beta _{l}^{2}\left( J \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\beta _{l}^{2}\left( J \right)} {\beta _{1}^{2}\left( J \right)}}} \right. \kern-0em} {\beta _{1}^{2}\left( J \right)}},\,\,\,\,\beta _{1}^{2}\left( J \right) = {{\left( {J + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {J + 1} \right)} {3J}}} \right. \kern-0em} {3J}}.$

В силу поперечности ${{l}^{{\mu \nu }}}$ в приближении ${{{{m}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{e}}} M}} \right. \kern-0em} M},$ ${{{{m}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{e}}} E}} \right. \kern-0em} E} \ll 1$ структурная функция ${{W}_{3}}$ вклада не дает, так что в лабораторной системе имеем

(37)
$\begin{gathered} \frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = {{\sigma }_{{Mott}}}\left\{ {{{W}_{1}}\left( \tau \right) + 2t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}{{W}_{2}}\left( \tau \right) - \zeta \tau \times } \right. \\ \left. { \times \,\,\left[ {\frac{M}{E} + \left( {1 + \frac{M}{E}} \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{W}_{4}}\left( \tau \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $
где

(38)
${{\sigma }_{{Mott}}} = \frac{{{{\alpha }^{2}}}}{{4{{E}^{2}}}}\frac{{{{{\cos }}^{2}}\frac{\theta }{2}}}{{{{{\sin }}^{4}}\frac{\theta }{2}}}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{{2E}}{M}} \right){{{\sin }}^{2}}\frac{\theta }{2}}}.$

Формулами (34)–(38) описывается дифференциальное сечение упругого рассеяния лептонов спиральности $\zeta $ на ядре произвольного спина с учетом мультипольных моментов ядра любого допустимого порядка $l \leqslant 2J.$ Это сечение содержит наряду с электромагнитным взаимодействием также вклады от чисто слабого взаимодействия и от их интерференции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для ядер с полуцелым спином $J = j + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ построена спин-тензорная волновая функция $U_{{{{{\left( \alpha \right)}}_{j}}}}^{\lambda }\left( p \right)$ с симметричным мультииндексом ${{\left( \alpha \right)}_{j}}.$ С помощью матриц Дирака, метрического тензора и компонент 4-импульсов $q$ и $P$ получен вершинный оператор $\Gamma _{x}^{{\mu {{{\left( \alpha \right)}}_{{j{\kern 1pt} '}}}{{{\left( \beta \right)}}_{j}}}}$ электромагнитного (слабого) тока ядра, содержащий как минимум $3\left( {j + 1} \right)$ инвариантных формфактора. В системе Брейта (системе нулевой передачи энергии) даны мультипольные разложения матричных элементов компонент электромагнитного и слабого нейтрального токов ядра. В приближении эффективного электрослабого тока ядра получено дифференциальное сечение упругого рассеяния продольно-поляризованных заряженных лептонов, которое легко преобразуется в соответствующее сечение рассеяния нейтрино.

Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН “5-100”.

Список литературы

  1. Gilfoyle G. // EPJ Web Conf. 2018. V. 172. Art. № 02004.

  2. Puckett A.J.R., Brash E.J., Jones M.K. et al. // arXiv: 1707.08587v1. 2017.

  3. Akimov D., Albert J.B., An P. et al. // Science. 2017. V. 357. № 6356. P. 1123.

  4. Jachowicz N. // Hamburg neutrinos from supernova explosions. Proc. Workshop. HANSE 2011. (Hamburg, 2011). P. 113.

  5. Androic D., Armstrong D.S., Arvieux J. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. Art. № 022501.

  6. Богданов Ю.П., Керимов Б.К., Сафин М.Я. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1980. Т. 44. № 11. С. 2337.

  7. Богданов Ю.П., Керимов Б.К., Сафин М.Я. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т. 47. № 1. С. 103.

  8. Сафин М.Я. // Изв. РАН. Сер. физ. 2018. Т. 82. № 6. С. 836; Safin M.Ya. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2018. V. 82. № 6. P. 752.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал