Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 714-715

Распространение электромагнитных волн в неограниченной бигиротропной среде (частным случаем которой является ферромагнитное пространство) уже исследовалось ранее [1–5] (подробнее см. гл. 5 в [1] и гл. 5 в [2]). Ниже на основе уравнений Максвелла для бигиротропной среды исследована взаимная ориентация вектора Пойнтинга и вектора групповой скорости электромагнитных волн с помощью метода, использованного ранее в [6].

Пусть имеется неограниченная бигиротропная среда, намагниченная до насыщения однородным постоянным магнитным полем, направленным вдоль оси z. В общем случае такую намагниченную бигиротропную среду можно охарактеризовать диэлектрической и магнитной проницаемостями, описываемыми эрмитовыми тензорами второго ранга:

Электромагнитное поле с частотой ω, распространяющееся в данной среде и изменяющееся во времени по гармоническому закону exp(iωt), должно удовлетворять системе уравнений Максвелла для комплексных амплитуд:

где c – скорость света в вакууме; $\vec {E}$ и $\vec {H}$ – комплексные амплитуды векторов напряженностей СВЧ электрического и магнитного полей; $\vec {D}$ и $\vec {B}$ – комплексные амплитуды векторов напряженностей СВЧ электрической и магнитной индукций, которые связаны с $\vec {E}$ и $\vec {H}$ соотношениями

Будем искать решения системы уравнений (2) в виде однородной плоской электромагнитной волны с волновым вектором $\vec {k},$ т.е., будем считать, что все компоненты полей $\vec {E}$ и $\vec {H}$ (E_x E_y, E_z, H_x, H_y и H_z) изменяются в пространстве (также как и во времени) по гармоническому закону в соответствии с выражениями

Подставив выражения (4) и (5) для векторов $\vec {E}$ и $\vec {H}$ (и аналогичные выражения для векторов $\vec {D}$ и $\vec {B}$) непосредственно в первое и третье уравнения системы (2) и выполнив операцию rot, получим

где введено обозначение k₀= ω/c.

Заметим теперь, что, поскольку концы всех волновых векторов лежат на изочастотной поверхности (или поверхности волновых векторов), то вектор, равный разности двух очень близко лежащих волновых векторов $\vec {k}$ и $\overrightarrow {k{\kern 1pt} '} ,$ будет соединять между собой две очень близкие точки изочастотной поверхности. То есть в пределе, когда вектор $\overrightarrow {k{\kern 1pt} '} $ стремиться к вектору $\vec {k},$ разность этих двух волновых векторов – вектор (дифференциал) $d\vec {k}$ – будет лежать в плоскости, которая является касательной к изочастотной поверхности в точке, соответствующей вектору $\vec {k}$ (в точке, в которую направлен вектор $\vec {k}$). Поэтому, если мы докажем, что скалярное произведение вектора Пойнтинга на любой произвольно выбранный вектор $d\vec {k}$ равно нулю, то это будет означать, что вектор Пойнтинга $\vec {P}$ всегда перпендикулярен изочастотной поверхности. Здесь под термином любой произвольно выбранный вектор подразумевается следующее: какой бы произвольный вектор $d\vec {k}$ мы ни выбрали, этот вектор всегда будет лежать в плоскости, касательной изочастотной поверхности в данной точке. Поэтому, если доказать перпендикулярность вектора Пойнтинга к любому произвольному вектору $d\vec {k},$ то это фактически будет означать, что вектор Пойнтинга перпендикулярен к данной плоскости и, соответственно, к изочастотной поверхности.

Полагая, что исследуемая волна монохроматическая (ω = const), и дифференцируя уравнения (6) и (7) (чтобы в этих уравнениях появилась величина $d\vec {k}$), получим:

Теперь, чтобы в соотношениях (8) и (9) появилось векторное произведение $\vec {E}$ и $\vec {H},$ определяющее вектор Пойнтинга, умножим скалярно уравнение (8) на комплексно-сопряженную величину $\overrightarrow {H{\text{*}}} ,$ а уравнение (9) – на комплексно-сопряженную величину $\overrightarrow {E{\text{*}}} {\text{:}}$

Используя правила перемножения векторов и учитывая выражения (6) и (7), уравнения (10) и (11) можно записать в виде

Так как тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей исследуемой бигиротропной среды являются эрмитовыми, то справедливы соотношения (14) и (15):

Поскольку $\operatorname{Re} \left[ {\vec {E}\overrightarrow {H{\text{*}}} } \right] \equiv \operatorname{Re} \left[ {\overrightarrow {E{\text{*}}} \vec {H}} \right],$ то, складывая уравнения (12) и (13) с учетом (14) и (15), получим

Итак, мы доказали, что вектор Пойнтинга $\vec {P}$ и любой произвольно выбранный вектор $d\vec {k}$ (лежащий в плоскости, касательной к изочастотной поверхности в точке, соответствующей вектору $\vec {k}$) перпендикулярны или, что вектор Пойнтинга $\vec {P}$ всегда перпендикулярен изочастотной поверхности.

Поскольку вектор групповой скорости волны $\vec {V}$ определяется выражением¹¹ [7]

то, очевидно, что вектор $\vec {V}$ тоже всегда перпендикулярен изочастотной поверхности по определению (как градиент изочастотной поверхности).

Таким образом, мы доказали, что векторы $\vec {P}$ и $\vec {V}$ всегда коллинеарны.

Следует, однако, отметить, что коллинеарность векторов $\vec {P}$ и $\vec {V}$ означает, что они всегда либо ориентированы одинаково, либо ориентированы противоположно друг другу. Доказать, что векторы $\vec {P}$ и $\vec {V}$ всегда ориентированы одинаково приведенным выше способом невозможно.

Отметим также, что поскольку выполнение соотношений (14) и (15) обеспечивают эрмитовые свойства тензоров ${\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\varepsilon } }}$ и ${\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\mu } }}$ бигиротропной среды, то всё сказанное выше справедливо для любой анизотропной среды, у которой тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей являются либо эрмитовыми, либо симметричными.

Работа выполнена за счет бюджетного финансирования в рамках государственного задания по теме № 0030-2019-0014 и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-07-00016).