1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 5, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 645-647

Феррохолестерик в эллиптически поляризованном вращающемся магнитном поле

Д. В. Макаров 1, *, А. К. Караваева 1

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Пермский государственный национальный исследовательский университет”
Пермь, Россия

* E-mail: dmakarov@psu.ru

Поступила в редакцию 28.11.2019
После доработки 19.12.2019
Принята к публикации 27.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучена динамика ориентационной структуры феррохолестерического жидкого кристалла, помещенного в эллиптически поляризованное вращающееся магнитное поле, перпендикулярное оси спирали. Получены аналитические решения для временных зависимостей угла поворота директора и шага спирали как функции управляющих параметров системы.

ВВЕДЕНИЕ

Феррохолестериками (ФХ) называют магнитные суспензии частиц ферромагнетика на основе холестерических жидких кристаллов (ХЖК) [1]. В настоящее время активно ведутся экспериментальные [2, 3] и теоретические [4–6] исследования подобных композитных сред. Влияние внешнего статического магнитного поля на ориентационную структуру и магнитные свойства ФХ изучено в работах [7, 8]. Авторы показали, что магнитное поле, приложенное перпендикулярно оси спиральной структуры ФХ, приводит к раскручиванию его спирали, и ФХ претерпевает переход в однородную фазу. Недавно в [9] было проанализировано раскручивание ФХ спиральной структуры, индуцированное совместным действием магнитного поля и сдвигового потока. Ориентационные переходы в ФХ, вызванные круговым вращающимся магнитным полем, исследованы в работе [10].

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ФЕРРОХОЛЕСТЕРИКА

Изучим динамику ориентационной структуры ФХ во вращающемся ортогонально его оси эллиптически поляризованном магнитном поле $\vec {H} = H\left( {\cos {\omega }t,{\kern 1pt} \,a\sin {\omega }t,0} \right),$ где ${\omega }$ – угловая скорость вращения поля, $a$ – параметр эллиптичности. Будем считать, что между молекулами ХЖК и поверхностью магнитных частиц задано жесткое планарное сцепление, тогда ориентационное поведение ХЖК и магнитной подсистемы можно описать одним единичным вектором – директором $\vec {n}.$ В рассматриваемой геометрии задачи, где возникают только деформации кручения поля директора $\vec {n} = \left( {\cos {\varphi }(t,z){\text{,}}{\kern 1pt} \,\,\sin {\varphi }(t,z){\text{,}}0} \right),$ градиенты скорости течения ЖК-среды отсутствуют [12]. В этом случае динамика ориентационной структуры определяется только уравнением движения директора [11–13]

(1)
${{{\gamma }}_{1}}\frac{{d\vec {n}}}{{dt}} = \vec {h},$
здесь ${{\gamma }_{1}}$ – коэффициент вращательной вязкости ХЖК, ${{h}_{i}} = - {{\delta F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\delta F} {\delta {{n}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {\delta {{n}_{i}}}}$ – вектор молекулярного поля, а плотность свободной энергии ФХ $F = {{F}_{1}} + {{F}_{2}} + {{F}_{3}}$ содержит следующие вклады [1, 10]:
(2)
$\begin{gathered} {{F}_{1}} = \frac{1}{2} {{K}_{{22}}}{{\left( {\vec {n} \cdot {\text{rot}}\vec {n} + {{q}_{0}}} \right)}^{{\text{2}}}},\,\,\,\,{{F}_{2}} = - {{M}_{S}}f\vec {n} \cdot \vec {H}, \\ {{F}_{3}} = - \frac{{{{\chi }_{a}}}}{2}{{\left( {\vec {n} \cdot \vec {H}} \right)}^{2}}, \\ \end{gathered} $
где ${{K}_{{22}}}$– константа Франка, ${{q}_{0}}$ – волновое число невозмущенной спирали ХЖК, ${{M}_{S}}$ – намагниченность насыщения материала магнитных частиц, $f$ – объемная доля частиц в суспензии, которая считается постоянной. Вклад ${{F}_{1}}$ определяет энергию упругих деформаций кручения поля директора $\vec {n}.$ Слагаемые ${{F}_{2}}$ и ${{F}_{3}}$описывают соответственно дипольный (ферромагнитный) и квадрупольный (диамагнитный) механизмы влияния магнитного поля $\vec {H}$ на магнитные моменты частиц и диамагнитную ХЖК-матрицу.

В рассматриваемой геометрии задачи уравнение движения (1) приводит к следующему уравнению для угла поворота директора ФХ:

(3)
$\begin{gathered} \frac{\Omega }{2}\frac{{\partial {\varphi }}}{{\partial {\tau }}} = \frac{{{{\partial }^{2}}{\varphi }}}{{\partial {{{\zeta }}^{2}}}} - \frac{{\xi {\kern 1pt} h}}{2} \times \\ \times \,\,\left[ {(1 - a)\sin ({\varphi } + {\tau }) + (1 + a)\sin ({\varphi } - {\tau })} \right] - \\ - \,\,\frac{{{{h}^{2}}}}{4}\left[ {(1 - {{a}^{2}})\sin 2{\varphi } + {{{\frac{{(a + 1)}}{2}}}^{2}}\sin 2({\varphi } - {\tau }) + } \right. \\ \left. { + \,\,{{{\frac{{(a - 1)}}{2}}}^{2}}\sin 2({\varphi } + {\tau })} \right], \\ \end{gathered} $
где введены следующие величины:
(4)
$\begin{gathered} \tau = \omega t,\,\,\,\,\zeta = {{q}_{0}}z,\,\,\,\,h = \frac{H}{{{{q}_{0}}}}\sqrt {\frac{{{{\chi }_{a}}}}{{{{K}_{{22}}}}}} , \\ \xi = \frac{{{{M}_{S}}f}}{{{{q}_{0}}\sqrt {{{K}_{{22}}}{{\chi }_{a}}} }},\,\,\,\,\Omega = \frac{{2{{\gamma }_{1}}\omega }}{{{{K}_{{22}}}q_{0}^{2}}}, \\ \end{gathered} $
здесь $\tau ,$ $\zeta ,$ $h$ – безразмерные время, координата и напряженность магнитного поля, $\xi $ – параметр влияния магнитного поля, $\Omega $ – безразмерная угловая скорость вращения поля. В отсутствие поля ($h = 0$) равновесное решение ${{\phi }_{0}}(\zeta ) = \zeta $ уравнения (3) описывает геликоидальную структуру ФХ с безразмерным шагом спирали ${{p}_{0}} = 2\pi .$

УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ ВРАЩЕНИЯ ФЕРРОХОЛЕСТЕРИКА

Рассмотрим установившийся режим ($\tau \to \infty $) вращения спиральной структуры ФХ в слабом поле ($h < 1$). Решение линеаризованного по $h$ уравнения (3) имеет вид

(5)
$\begin{gathered} {\varphi } = \zeta + \frac{{\xi h}}{{\sqrt {{{\Omega }^{2}} + 4} }}\left[ {(a + 1)\sin (\tau - \zeta - \gamma ) + } \right. \\ \left. { + \,\,(a - 1)\sin (\tau + \zeta - \gamma )} \right], \\ \end{gathered} $
где $\gamma = {\text{arctg}}(\Omega {\text{/}}2).$ Как видно из (5), при включении вращающегося поля ортогонально оси спирали ФХ в зависимости от знака хиральности ${{q}_{0}}$ вдоль спирали распространяется возмущение ориентационной структуры директора в виде бегущей волны. Если ${{q}_{0}} > 0,$ то возмущение вдоль спирали будет двигаться в положительном направлении оси $z,$ а при ${{q}_{0}} < 0$ – в отрицательном направлении оси $z.$ Аналогичного эффекта можно добиться, изменив направление вращения поля на противоположное. Кроме того, угол поворота директора линейно зависит от напряженности магнитного поля, в то время как соответствующее решение для ХЖК [14] имеет квадратичную зависимость.

Воспользовавшись полученным решением (5), найдем шаг спирали ФХ

(6)
$\begin{gathered} \frac{p}{{{{p}_{0}}}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^p {d{\varphi }} \approx \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{d\zeta }}{{{\varphi }{\kern 1pt} {\text{'}}}}} = \\ = 1 + \frac{{2{{\xi }^{2}}{{h}^{2}}}}{{{{\Omega }^{2}} + 4}}\left[ {1 + ({{a}^{2}} - 1){{{\sin }}^{2}}(\tau - \gamma )} \right]. \\ \end{gathered} $

Видно, что зависимость шага спирали от времени (6) носит осциллирующий характер и не зависит от направления вращения магнитного поля. При круговой поляризации ($a = 1$) результат совпадает с полученным ранее в работе [10].

Среднее за период поворота поля значение шага $\left\langle p \right\rangle $ спирали ФХ можно получить аналитически, проинтегрировав выражение (6) по времени:

(7)
$\frac{{\left\langle p \right\rangle }}{{{{p}_{0}}}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{p}{{{{p}_{0}}}}d\tau } = 1 + \frac{{{{\xi }^{2}}{{h}^{2}}({{a}^{2}} + 1)}}{{{{\Omega }^{2}} + 4}}.$

В эллиптически поляризованном вращающемся магнитном поле $(a \ne 1)$ шаг спирали ФХ $p$ (рис. 1а) осциллирует около среднего значения $\left\langle p \right\rangle ,$ причем$p(\tau ) > {{p}_{0}}.$ Максимальная амплитуда колебаний достигается при линейно поляризованных колебаниях поля ($a = 0$). С увеличением параметра эллиптичности $a$ амплитуда колебаний уменьшается и при круговой поляризации $(a = 1)$ осцилляции шага исчезают. При возрастании параметра влияния поля $\xi $ (рис. 1б) увеличивается амплитуда колебаний шага спирали и его среднее значение $\left\langle p \right\rangle .$ Последнее с ростом эллиптичности $a$ монотонно увеличивается (рис. 2) при всех значениях скорости вращения, достигая максимального значения при круговой поляризации поля $(a = 1)$. При высоких скоростях $(\Omega = 10)$ среднее значение шага слабо зависит от параметра эллиптичности $a.$ С ростом скорости вращения $\Omega $ среднее значение шага уменьшается во всем диапазоне изменения параметра эллиптичности $a$.

Рис. 1.

Зависимость приведенного шага спирали ${p \mathord{\left/ {\vphantom {p {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ от времени $\tau $ при $h = 0.1,$ $\Omega = 1{\text{:}}$ а – различные значения параметра эллиптичности $a$ для $\xi = 3,$ б – различные значения параметра влияния поля $\xi $ для $a = 0.7.$

Рис. 2.

Зависимость приведенного среднего шага спирали ${{\left\langle p \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle p \right\rangle } {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$ от параметра эллиптичности $a$ при $h = 0.1,$ $\xi = 3$ и различных значениях скорости вращения Ω.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Минобрнауки РФ по госзаданию № 0750-2020-0008.

Список литературы

  1. Brochard F., de Gennes P.G. // J. Phys. 1970. V. 31. P. 691.

  2. Gdovinová V., Tomašovičová N., Jeng S.-C. et al. // J. Mol. Liq. 2019. V. 263. P. 375.

  3. Naruta T., Akita T., Uchida Y. et al. // Opt. Expr. 2019. V. 27. P. 24426.

  4. Raikher Y.L., Stepanov V. I. // J. Mol. Liq. 2018. V. 267. P. 367.

  5. Shoarinejad S., Ghazavi M. // Soft Mater. 2017. V. 15. P. 173.

  6. Potisk T., Pleiner H., Svenšek D. et al. // Phys. Rev. E. 2018. V. 97. Art № 042705.

  7. Zakhlevnykh A.N., Sosnin P.A. // J. Magn. Magn. Mater. 1995. V. 146. P. 103.

  8. Zakhlevnykh A.N., Shavkunov V.S. // J. Magn. Magn. Mater. 2000. V. 210. P. 279.

  9. Захлевных А.Н., Макаров Д.В., Новиков А.А. // ЖЭТФ. 2017. Т. 152. № 4. С. 799; Zakhlevnykh A.N., Makarov D.V., Novikov A.A. // JETP. 2017. V. 125. № 4. P. 679.

  10. Makarov D.V., Mandrykin S.D., Novikov A.A. et al. // J. Magn. Magn. Mater. 2018. V. 468. P. 287.

  11. deGennes P.G., Prost J. The physics of liquid crystals. Oxford: Clarendon Press, 1995. 596 p.

  12. Blinov L.M. Structure and properties of liquid crystals. Dordrecht: Springer, 2011. 439 p.

  13. Raikher Y.L., Stepanov V.I. // J. Intell. Mater. Syst. Struct. 1996. V. 7. P. 550.

  14. Makarov D.V., Novikov A.A., Zakhlevnykh A.N., Mandrykin S.D. // J. Mol. Liq. 2018. V. 263. P. 375.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал