Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 664-666

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия довольно активно стала развиваться тематика, связанная с описанием особенностей решений гидродинамических уравнений, которые являются типичными в математической теории катастроф [1] (cм., например, [2–11]). В частности, в [5] было показано, что процессы зарождения ударных волн общего положения, присущих решениям системы уравнений движения изоэнтропического газа ($\rho \geqslant 0$ – плотность газа)

описываются корнями кубического уравнения катастрофы сборки.

В предположении, что при $\rho \to 0$ квадрат скорости звука имеет вид

в настоящей работе мы показываем, что решениям (1) присущи и особенности общего положения типа сборки, которым соответствуют такие точки градиентных катастроф $T = {{T}_{*}},$ $X = {{X}_{*}},$ что $\rho ({{T}_{*}},{{X}_{*}}) = 0.$

ПРОВАЛЬНАЯ ГРАДИЕНТНАЯ КАТАСТРОФА

Рассматривая $X$ и $T$ как функции независимых переменных $\rho $ и ${v},$ получим следующую линейную систему уравнений:

Точкам градиентных катастроф (точкам обращения в бесконечность производных решений (1)) отвечают нули якобиана $J = X_{{\rho }}^{'}T_{{v}}^{'} - T_{{\rho }}^{'}X_{{v}}^{'}$ гладкого отображения $(\rho ,{v}) \to (X,T),$ который, согласно (3), можно записать в виде

В свою очередь, с помощью соотношений

решения (3) выражаются [11] через решения $B(\rho ,{v})$ уравнения второго порядка

(6)

Значение $\rho = 0$ особенное для решений уравнения (6). Физически ему соответствует провал плотности газа до нуля. В настоящей работе, исходя из гладких в окрестности точек ${v} = {{{v}}_{*}},$ $\rho = 0$ решений уравнения (6)

мы описываем типичные точки нулей якобиана (4) вида $({{{v}}_{*}},0).$ Поэтому, согласно идеологии теории катастроф [1, гл. 2–4], при рассмотрении ситуации “общего положения” далее можно будет наложить лишь одно ограничение в виде равенства на коэффициенты ${{b}_{{ij}}}$ рядов Тейлора (7), которое не следует из справедливости (6). Эта возможность используется ниже при обнулении (4).

Подстановка рядов (2) и (7) в (6) c последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях ${{({v} - {{{v}}_{*}})}^{n}}{{\rho }^{m}}$ дает соотношения:

Из (5) следует, что координаты ${{T}_{*}} = T({{{v}}_{*}},0),$ ${{X}_{*}} = X({{{v}}_{*}},0)$ и коэффициенты ${{b}_{{00}}},$ ${{b}_{{10}}}$ разложения Тейлора (7) связаны формулами

Рассмотрим ситуацию обращения в нуль якобиана (4) в точке $({{{v}}_{*}},0),$ которая соответствует равенству

(10)

В таком случае с учетом соотношений (8)–(10) переменные

выражаются в виде степенных рядов

коэффициенты которых ${{\tau }_{{ij}}}$ и ${{\xi }_{{ij}}}$ однозначно выражаются через ${{b}_{{ij}}}.$ В ситуации “общего положения” коэффициент ${{b}_{{11}}} \ne 0.$ Тогда из (11) и (12) следует вывод о том, что

А это уравнение заменой $({v} - {{{v}}_{*}}) = {{C}_{0}}(\tau )\tau $ + Q + + $\sum\nolimits_{j = 2}^\infty {{{C}_{j}}(\tau ){{Q}^{j}}} ,$ где ${{C}_{j}}(\tau )$ – ряды вида ${{C}_{j}}(\tau )$ = = $\sum\nolimits_{i + j = 0}^\infty {{{C}_{{ij}}}{{\tau }^{j}}} ,$ сводится [1] каноническому уравнению катастрофы сборки

с управляющими параметрами $\delta (\xi ,\tau )$ = = $\xi \left( {1 + \sum\nolimits_{j = 1}^\infty {{{\delta }_{{1j}}}{{\tau }^{i}}{{\xi }^{j}}} } \right)$ + $\sum\nolimits_{j = 2}^\infty {{{\delta }_{{0j}}}{{\tau }^{j}}} $ и $\sigma (\tau ) = \tau $ + + $\sum\nolimits_{j = 2}^\infty {{{\sigma }_{j}}{{\tau }^{j}}} .$

Плотность $\rho $ не может принимать отрицательные значения. Поэтому, исходя из (12), приходим к заключению об отрицательности постоянной ${{b}_{{11}}}.$

Отметим, что частный случай (1), система уравнений мелкой воды

обладает точным решением, определяемым полиномиальным решением $B(\rho ,{v})$ = $ - {{{v}}^{3}} - 12{v}\rho $ уравнения (6) с $\alpha (\rho ) = 4.$ В этом частном случае формулы (5) принимают вид соотношений T = = $ - 3{{{v}}^{2}} - 12\rho $ и $X = - 2{{{v}}^{3}} + 12{v}\rho ,$ из которых следует, что ${v}$ тогда определяется из кубического уравнения сборки (см. рис. 1)

Рис. 1.

График уравнения сборки (14).

При ${{T}_{*}} = {{X}_{*}} = {{{v}}_{*}} = 0,$ ${{b}_{{11}}} = 12$ уравнение (14) в главном для малых значений $\tau $ и $\xi $ порядке совпадает с уравнением сборки (13).

При $T \geqslant 0$ уравнение (14) имеет единственное решение, а при $T < 0$ его решение единственно лишь вне интервала перехлеста $\left| X \right| < 10{{( - T{\text{/}}15)}^{{3{\text{/}}2}}}.$ Кроме того, на кривых $X = \pm 2{{( - T{\text{/}}3)}^{{{\text{3/2}}}}}(T < 0)$ плотность ρ, соответствующая этому единственному решению, обращается в нуль и становится отрицательной выше этих кривых (рис. 2).

Рис. 2.

Кривые провала интенсивности $X = \pm 2{{( - T{\text{/}}3)}^{{{\text{3/2}}}}}(T < 0)$ (сплошная линия) и кривая нулей якобиана (4) (штриховая линия) $X = \pm 10{{( - T{\text{/}}15)}^{{{\text{3/2}}}}}.$

В заключение укажем на то, что ранее похожая особенность решений эллиптического варианта системы (1) с $\alpha (\rho ) < 0$ исследовалась в работе [4]. Однако качественно поведение решений из [4] и поведение асимптотических решений, описанных в данной работе, сильно разнятся.