Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 6, стр. 895-900
Об оценке скорости ротационных волн в простой кубической решетке кристалла фуллерита
И. С. Павлов 1, 2, *, В. И. Ерофеев 1, А. В. Муравьева 2, А. А. Васильев 3
1 Институт проблем машиностроения РАН – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения “Федеральный исследовательский центр Институт прикладной физики Российской академии наук”
Нижний Новгород, Россия
2 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
“Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского”
Нижний Новгород, Россия
3 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
“Тверской государственный университет”
Тверь, Россия
* E-mail: ispavlov@mail.ru
Поступила в редакцию 09.12.2020
После доработки 25.01.2021
Принята к публикации 26.02.2021
Аннотация
Методом структурного моделирования построена трехмерная математическая модель простой кубической решетки кристалла фуллерита. Получены аналитические зависимости скоростей акустических и вращательных (ротационных) волн от параметров микроструктуры такой среды. Показано, что в зависимости от значений параметров микроструктуры скорость ротационных волн может превосходить скорость поперечных волн.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время интенсивно развиваются технологии создания метаматериалов – нового класса веществ со сложно организованной внутренней структурой (микроструктурой), обладающих уникальными физико-механическими свойствами [1]. Впервые они появились в области оптики и фотоники [2], но сейчас все чаще встречаются и в других областях. Например, широко применяются акустические метаматериалы [3–7], используемые, в частности, как акустические поглотители [8].
Одним из примеров материала с уникальными физико-механическими свойствами являются фуллериты – твердотельные структуры, образованные на основе фуллеренов (как С60, так и высших фуллеренов – С70, С76, С78, С80, С82 и т.д.) [9]. Принадлежность фуллеритов к кристаллам молекулярного типа позволяет рассматривать образующие их фуллерены подобно молекулам, причем при тепловом движении они могут легко менять относительную пространственную ориентацию даже в условиях кристаллического окружения, т.е. совершать так называемые ориентационные фазовые переходы. Такая способность фуллеренов обусловлена их высокосимметричной, почти сферической формой. Смена ориентации фуллеренов происходит в том случае, когда они, совершая крутильные колебания, преодолевают определенный энергетический барьер и переходят к псевдовращению. В частности, фуллерены С60 в кристалле находятся в состоянии почти свободного вращения с тремя степенями свободы [9].
Сверх- и ультра-твердые фуллериты характеризуются уникально высокими значениями скоростей продольных упругих волн и широким диапазоном этих значений в пределах от 11 до 26 км/с в зависимости от их структуры, определяемой условиями синтеза [10]. Измеренное в одной из фуллеритовых фаз значение 26 км/с является рекордным – оно почти на 20% больше скорости продольных волн в графите вдоль атомных слоев, равной 21.6 км/с (до последнего времени это значение было наибольшим для всех известных веществ) и на 40% больше соответствующей скорости в алмазе (18.6 км/с). Скорости поперечных волн в твердых фуллеритовых фазах также высоки (их значения лежат в пределах от 7 до 9.7 км/с), но все же они меньше, чем в алмазе (11.6–12.8 км/с), которые по-прежнему остаются рекордными среди известных в настоящее время веществ.
Экспериментальные данные показывают [9], что фуллерены С60 при комнатной температуре кристаллизуются с образованием гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) – самой плотноупакованной из кубических решеток с постоянной решетки а = 1.417 нм. Расстояние между центрами ближайших фуллеренов С60 в кристаллической структуре 1.002 нм, плотность фуллерита составляет 1.72 г/см3. При понижении температуры до 250 К, кристаллическая структура фуллерита С60 испытывает фазовое превращение первого рода, при котором ГЦК-решетка перестраивается в простую кубическую (ПК) решетку [11].
Однако создание метаматериалов и исследование протекающих в них линейных и нелинейных волновых процессов [12–14] при отсутствии адекватных математических моделей крайне затруднительно. Одним из наиболее эффективных методов построения математических моделей метаматериалов является метод структурного моделирования [15–19]. Этот метод в явном виде учитывает микроструктуру среды и позволяет строить не только дискретные, но и континуальные модели среды в различных приближениях. Микроструктура среды в таких моделях, как правило, описывается частицами конечного размера, их взаимным расположением по отношению друг к другу (т.е. структурой решетки), а также параметрами силового и моментного взаимодействия между частицами. Сами же взаимодействия обычно моделируются стержнями, балками [20, 21] или пружинами [16, 22]. В отличие от обобщенных континуумов типа среды Коссера [23], математические модели метаматериалов, построенные таким методом, позволяют не только получить представление о качественном влиянии локальной структуры на эффективные модули упругости соответствующей среды, но и проводить количественные оценки этих величин.
В данной работе методом структурного моделирования разрабатывается трехмерная математическая модель простой кубической решетки кристалла фуллерита, состоящего из сферических частиц, обладающих тремя трансляционными и тремя ротационными (вращательными) степенями свободы. В рамках такой модели удалось установить аналитические зависимости между параметрами микроструктуры и макрохарактеристиками среды и, как следствие, произвести теоретические оценки скоростей ротационных волн.
ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ КРИСТАЛЛА ФУЛЛЕРИТА
Рассмотрим кубическую решетку из жестких шарообразных частиц (зерен) массы M, имеющих форму шара диаметром d (рис. 1). В исходном состоянии они сосредоточены в узлах решетки с периодом a. Каждая частица обладает шестью степенями свободы: центр масс частицы с номером N = N(i, j, k) может смещаться вдоль осей x, y и z (трансляционные степени свободы ${{u}_{{i,j,k}}},$ ${{\nu }_{{i,j,k}}}$ и ${{w}_{{i,j,k}}}$), а сама частица может поворачиваться вокруг каждой из этих осей (ротационные степени свободы ${{\theta }_{{i,j,k}}},$ ${{\psi }_{{i,j,k}}}$ и ${{\varphi }_{{i,j,k}}}$) (рис. 2). В этом случае кинетическая энергия частицы N описывается следующей формулой:
(1)
$T = \frac{M}{2}\left( {u_{t}^{2} + \nu _{t}^{2} + w_{t}^{2}} \right) + \frac{J}{2}\left( {\varphi _{t}^{2} + \theta _{t}^{2} + \psi _{t}^{2}} \right),$Пространство между частицами представляет собой безмассовую упругую среду, через которую передаются силовые и моментные воздействия, моделируемые упругими пружинами. Считается, что частица N = N (i, j, k) взаимодействует лишь с ближайшими соседями, удаленными от нее на расстояние а (частицы 1-й координационной сферы: (i – 1, j, k), (i, j – 1, k), (i, j + 1, k), (i + 1, j, k)), $a\sqrt 2 $ (частицы 2-й координационной сферы: (i – 1, j – 1, k), (i – 1, j + 1, k), (i + 1, j – 1, k), (i + 1, j + 1, k)) и $a\sqrt 3 $ (частицы 3-й сферы: (i – 1, j – 1, k – 1), (i – 1, j – 1, k + 1), (i – 1, j + 1, k – 1), (i – 1, j + 1, k + 1), (i + 1, j – 1, k – 1), (i + 1, j – 1, k + 1), (i + 1, j + 1, k – 1), (i + 1, j + 1, k + 1)) (рис. 1).
Центральные и нецентральные взаимодействия соседних частиц моделируются упругими пружинами пяти типов: центральными (с жесткостью K0), нецентральными с жесткостью K1 (рис. 3), диагональными (K2), а также пружинами с жесткостями K3 и K4, соединяющими центральную частицу с зернами, соответственно, второй и третьей координационных сфер. Центральные пружины K0 соединяют центры соседних частиц, точки соединения с частицами пружин вида K1 и K2 лежат в вершинах куба со стороной b, вписанного в шар диаметра $d = b\sqrt 3 $ (на рис. 3 ${{{\text{A}}}_{{\text{2}}}}{\text{B}}_{1}^{'},$ ${{{\text{B}}}_{{\text{2}}}}{\text{A}}_{1}^{'},$ ${{{\text{E}}}_{{\text{2}}}}{\text{C}}_{1}^{'},$ ${{{\text{C}}}_{{\text{2}}}}{\text{E}}_{1}^{'}$ – пружины с жесткостью K1, ${{{\text{A}}}_{{\text{2}}}}{\text{C}}_{1}^{'},$ ${{{\text{E}}}_{{\text{2}}}}{\text{B}}_{1}^{'},$ ${{{\text{B}}}_{{\text{2}}}}{\text{E}}_{1}^{'},$ ${{{\text{C}}}_{{\text{2}}}}{\text{A}}_{1}^{'}$ – пружины вида K2), а пружины с жесткостями K3 и K4 прикреплены к серединам ближайших друг к другу ребер кубов, геометрические центры которых в исходном состоянии расположены на расстояниях $a\sqrt 2 $ и $a\sqrt 3 .$
Рис. 3.
Схема силовых взаимодействий между ближайшими соседями по решетке (частицами первой координационной сферы).

Пружины с жесткостями K0, K1, K2 и K3 описывают взаимодействия частиц внутри одного слоя. Так, центральные (K0) и нецентральные (K1) пружины характеризуют взаимодействия при растяжении–сжатии материала. Через пружины K1 передаются также моменты при поворотах частиц. Пружины с жесткостью K1 и K2 характеризуют силовые взаимодействия частиц при сдвиговых деформациях в материале. Заметим, что выбранная схема силовых взаимодействий внутри одного слоя аналогична введенной в двумерной решетке из круглых частиц [17].
Предполагается, что смещения зерен малы по сравнению с размерами элементарной ячейки рассматриваемой решетки. Взаимодействие частиц при отклонениях от положения равновесия определяется относительными удлинениями пружин. Потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием частицы N c восемью ближайшими соседями по решетке, описывается формулой
(2)
$\begin{gathered} {{U}_{N}} = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{n = 1}^4 {\frac{{{{K}_{0}}}}{2}D_{{0n}}^{2}} + \sum\limits_{n = 1}^{16} {\frac{{{{K}_{1}}}}{2}D_{{1n}}^{2}} + \sum\limits_{n = 1}^{16} {\frac{{{{K}_{2}}}}{2}D_{{2n}}^{2}} + } \right. \\ \left. { + \,\,\sum\limits_{n = 1}^4 {\frac{{{{K}_{3}}}}{2}D_{{3n}}^{2}} + \sum\limits_{n = 1}^4 {\frac{{{{K}_{4}}}}{2}D_{{4n}}^{2}} } \right), \\ \end{gathered} $КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ КРИСТАЛЛА ФУЛЛЕРИТА
В случае длинноволновых возмущений, когда λ $ \gg $ a функция Лагранжа L рассматриваемой среды из сферических частиц с точностью до квадратичных слагаемых примет вид:
(3)
$\begin{gathered} L = \frac{M}{2}\left( {u_{t}^{2} + \nu _{t}^{2} + w_{t}^{2}} \right) + \frac{J}{2}\left( {\varphi _{t}^{2} + \theta _{t}^{2} + \psi _{t}^{2}} \right) - \\ - \,\,\frac{M}{2}\left[ {c_{1}^{2}\left( {u_{x}^{2} + \nu _{y}^{2} + w_{z}^{2}} \right) + c_{2}^{2}\left( {\nu _{x}^{2} + \nu _{z}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2} + } \right.} \right. \\ \left. { + \,\,w_{x}^{2} + w_{y}^{2}} \right) + {{s}^{2}}({{\nu }_{y}}{{w}_{z}} + {{\nu }_{z}}{{w}_{y}} + {{u}_{x}}{{w}_{z}} + {{u}_{z}}{{w}_{x}} + \\ + \,\,{{u}_{x}}{{\nu }_{y}} + {{u}_{y}}{{\nu }_{x}}) + \beta _{1}^{2}({{\varphi }^{2}} + {{\theta }^{2}} + {{\psi }^{2}}) + \\ + \,\,\beta _{2}^{2}({{\nu }_{x}}\varphi - {{w}_{x}}\psi + {{w}_{y}}\theta - {{u}_{y}}\varphi + {{u}_{z}}\psi - {{\nu }_{z}}\theta ) + \\ + \,\,{{b}^{2}}c_{3}^{2}\left( {\varphi _{z}^{2} + \theta _{x}^{2} + \psi _{y}^{2}} \right) + \\ + \,\,{{b}^{2}}c_{4}^{2}\left( {\varphi _{x}^{2} + \varphi _{y}^{2} + \theta _{y}^{2} + \theta _{z}^{2} + } \right.\left. {\left. {\psi _{x}^{2} + \psi _{z}^{2}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $Здесь введены обозначения: ci (i = 1–4) – характерные скорости распространения соответственно продольной, поперечной и ротационных волн, s – коэффициент связи между продольными и сдвиговыми деформациями, β1 и β2 – параметры связи микроповоротов с поперечной и продольной волнами.
С помощью вариационного принципа Гамильтона–Остроградского из функции Лагранжа (3) получена система дифференциальных уравнений, описывающая распространение акустических и ротационных волн в кубической решетке из сферических частиц:
(4)
$\begin{gathered} {{u}_{{tt}}} - с_{1}^{2}{{u}_{{xx}}} - с_{2}^{2}\left( {{{u}_{{yy}}} + {{u}_{{zz}}}} \right) - {{s}^{2}}\left( {{{\nu }_{{xy}}} + {{w}_{{xz}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{\beta _{2}^{2}}}{2}\left( {{{\varphi }_{y}} - {{\psi }_{z}}} \right) = 0, \\ {{\nu }_{{tt}}} - с_{1}^{2}{{\nu }_{{yy}}} - с_{2}^{2}\left( {{{\nu }_{{xx}}} + {{\nu }_{{zz}}}} \right) - \\ - \,\,{{s}^{2}}\left( {{{u}_{{xy}}} + {{w}_{{yz}}}} \right) + \frac{{\beta _{2}^{2}}}{2}\left( {{{\theta }_{z}} - {{\varphi }_{x}}} \right) = 0, \\ {{w}_{{tt}}} - с_{1}^{2}{{w}_{{zz}}} - с_{2}^{2}\left( {{{w}_{{xx}}} + {{w}_{{yy}}}} \right) - {{s}^{2}}({{u}_{{xz}}} + {{\nu }_{{yz}}}) + \\ + \,\,\frac{{\beta _{2}^{2}}}{2}\left( {{{\psi }_{x}} - {{\theta }_{y}}} \right) = 0, \\ {{\theta }_{{tt}}} - c_{3}^{2}{{\theta }_{{xx}}} - с_{4}^{2}\left( {{{\theta }_{{yy}}} + {{\theta }_{{zz}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{\beta _{2}^{2}}}{{2J}}\left( {{{w}_{y}} - {{\nu }_{z}}} \right) + \frac{{\beta _{1}^{2}}}{J}\theta = 0, \\ {{\psi }_{{tt}}} - c_{3}^{2}{{\psi }_{{yy}}} - \,\,c_{4}^{2}\left( {{{\psi }_{{xx}}} + {{\psi }_{{zz}}}} \right) + \frac{{\beta _{2}^{2}}}{{2J}}\left( {{{u}_{z}} - {{w}_{x}}} \right) + \frac{{\beta _{1}^{2}}}{J}\psi = 0, \\ {{\varphi }_{{tt}}} - c_{3}^{2}{{\varphi }_{{zz}}} - c_{4}^{2}\left( {{{\varphi }_{{xx}}} + {{\varphi }_{{yy}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{\beta _{2}^{2}}}{{2J}}\left( {{{\nu }_{x}} - {{u}_{y}}} \right) + \frac{{\beta _{1}^{2}}}{J}\varphi = 0. \\ \end{gathered} $Система (4) аналогична уравнениям динамики континуума Коссера, состоящего из центрально-симметричных частиц с тремя трансляционными и тремя ротационными степенями свободы [24]. Отличия наблюдаются лишь в коэффициентах. Коэффициенты уравнений системы (4), т.е. макропараметры среды, выражаются через силовые постоянные K0, K1, K2, K3, K4, период решетки a и размер частицы $b = {d \mathord{\left/ {\vphantom {d {2\sqrt 3 }}} \right. \kern-0em} {2\sqrt 3 }}$ следующим образом:
(5)
$\begin{gathered} c_{1}^{2} = \frac{1}{{a\rho }}\left( {{{K}_{0}} + \frac{{8{{{(a - b)}}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}}{{K}_{1}} + \frac{{4{{{(a - b)}}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}} \right. \times \\ \left. { \times \,\,{{K}_{2}} + \frac{{{{K}_{3}}}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{2{{K}_{4}}}}{3}} \right), \\ c_{2}^{2} = \frac{1}{{a\rho }}\left( {\frac{{4{{b}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}}{{K}_{1}} + } \right. \\ \left. { + \,\,\frac{{4{{b}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}{{K}_{2}} + \frac{{{{K}_{3}}}}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{2{{K}_{4}}}}{3}} \right), \\ {{s}^{2}} = \frac{1}{{a\rho }}\left( {\frac{{{{K}_{3}}}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{4{{K}_{4}}}}{3}} \right), \\ \beta _{1}^{2} = \frac{{8{{b}^{2}}}}{{a\rho }}\left( {\frac{{{{K}_{1}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}} + } \right.\left. {\frac{{{{K}_{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}} \right), \\ \beta _{2}^{2} = \frac{{8{{b}^{2}}}}{{a\rho }}\left( {\frac{{{{K}_{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}} \right), \\ c_{3}^{2} = \frac{{2{{b}^{2}}}}{{a\rho }}\left( {\frac{{{{K}_{1}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}}} \right), \\ c_{4}^{2} = \frac{1}{{a\rho }}\left( {\frac{{{{K}_{1}}({{a}^{2}} + {{{(a - b)}}^{2}})}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}} + \frac{{{{K}_{2}}{{a}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $Таким образом, в данной анизотропной среде имеется лишь 5 независимых макроконстант, причем при переходе к изотропной среде (в этом случае $с_{1}^{2} = c_{2}^{2} + {{s}^{2}}$) останется лишь 4 константы. Данная среда становится изотропной при выполнении следующего соотношения:
(7)
$\begin{gathered} {{K}_{0}} = \frac{{4{{b}^{2}} - 8{{{(a - b)}}^{2}}}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + {{b}^{2}}}}{{K}_{1}} + \frac{{4a(2b - a)}}{{{{{(a - b)}}^{2}} + 2{{b}^{2}}}}{{K}_{2}} - \\ - \,\,\frac{{{{K}_{3}}}}{{4\sqrt 2 }} + \frac{4}{3}{{K}_{4}}. \\ \end{gathered} $В данной модели ${{\beta }_{2}} \equiv 0$ при отсутствии пружин K2, в результате чего исчезает связь между трансляционными и ротационными степенями свободы частиц в линейном приближении, присутствующая в континууме Коссера. Если K1 = 0, то ${{с}_{3}} \equiv 0,$ в то время как в континууме Коссера этот коэффициент является ненулевым. Введение центральных пружин (с жесткостью K0) обеспечивает превосходство скорости продольных волн над скоростями остальных волн. Пружины K3 и K4 кажутся, на первый взгляд, дублирующими друг друга. Однако, как следует из формул (5), пружины этих двух типов в количественном отношении по-разному влияют на параметры ${{с}_{1}},$ ${{с}_{2}}$ и s. Кроме того, соотношение (7) показывает их разное качественное влияние на выполнение условия изотропии среды.
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТЕЙ АКУСТИЧЕСКИХ И РОТАЦИОННЫХ ВОЛН ОТ ПАРАМЕТРОВ МИКРОСТРУКТУРЫ
В отличии от классической теории упругости, рассматриваемая здесь трехмерная модель кристаллической среды учитывает ротационные степени свободы. Но наблюдать экспериментально в лабораторных условиях распространение ротационных волн в твердых телах до сих пор никому не удавалось [25]. Известно лишь, что их близкими аналогами являются спиновые волны в ферромагнетиках [26] и волны директора в жидких кристаллах [27]. В связи с этим вызывают интерес теоретические оценки скоростей таких волн. Анализ соотношений (5) с учетом положительных жесткостей пружин Ki ($i = 0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 4$) показывает, что из скоростей с1, с2, с3, с4 наибольшей является скорость продольных волн с1, а наименьшей – скорость ротационных волн с3.
На рис. 4 приведены зависимости отношения скорости поперечных волн с2 к скорости ротационных волн с4 от относительного размера частиц d/a при K10 = 0.5, K30 = 1.2, K40 = 1.4 (здесь и далее Ki0 = Ki/K0). Из этого рисунка видно, что увеличение параметра моментных взаимодействий K20 приводит к тому, что с4 > с2. Кроме того, численный анализ показывает, что увеличение параметров K30 и K40, а также уменьшение параметра K10 ведет к противоположному результату – с2 > с4. Таким образом, в рассматриваемой среде скорости с2 и с4 одного порядка. При этом в кристалле фуллерита с простой кубической решеткой c1 = = 2943 м/c, c2 = 2325 м/c [28].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе методом структурного моделирования построена трехмерная математическая модель простой кубической решетки кристалла фуллерита из сферических частиц, обладающих тремя трансляционными и тремя ротационными степенями свободы. Найдено условие на параметры микроструктуры такой среды, при выполнении которого среда становится изотропной. Получены аналитические зависимости скоростей акустических и ротационных волн от параметров микроструктуры. Наибольшей среди всех скоростей является скорость продольных волн с1, а наименьшей – скорость ротационных волн с3. Скорость ротационных волн с4 может превосходить скорость поперечных волн с2. Соотношению с4 > с2 способствуют увеличение параметров моментных взаимодействий K10 и K20, а также уменьшение параметров K30 и K40.
Работа выполнена в рамках государственного задания ИПФ РАН на проведение фундаментальных научных исследований на 2021–2023 гг. по теме № 0030-2021-0025, а также при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 19-08-00965-а и 18-29-10073-мк).
Список литературы
Гуляев Ю.В., Лагарьков А.Н., Никитов С.А. // Вестн. РАН. 2008. Т. 78. № 5. С. 438.
Shining Zhu, Xiang Zhang // Nat. Sci. Rev. 2018. V. 5. No. 2. P. 131.
Бобровницкий Ю.И. // Акуст. журн. 2014. Т. 60. № 4. С. 347; Bobrovnitskii Yu.I. // Acoust. Phys. 2014. V. 60. No. 4. P. 371.
Бобровницкий Ю.И. // Акуст. журн. 2015. Т. 61. № 3. С. 283; Bobrovnitskii Yu.I. // Acoust. Phys. 2015. V. 61. No. 3. P. 255.
Федотовский В.С. // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 5. С. 547; Fedotovskii V.S. // Acoust. Phys. 2018. V. 64. No. 5. P. 548.
Cummer S.A., Christensen J., Alù A. // Nat. Rev. Mater. 2016. V. 1. Art. No. 16001.
Zhou L., Jiang H. // Phys. Stat. Sol. B. 2016. V. 253. No. 7. P. 1331.
Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 5. С. 517; Bobrovnitskii Yu.I., Tomilina T.M. // Acoust. Phys. 2018. V. 64. No. 5. P. 519.
Сидоров Л.Н., Юровская М.А., Борщевский А.Я. и др. Фуллерены. Уч. пособ. М.: Экзамен, 2005. 688 с.
Бланк В.Д., Левин В.М., Прохоров В.М. и др. // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. С. 1364. Blank V.D., Levin V.M., Prokhorov V.M. et al. // J. Exp. Theor. Phys. 1998. V. 87. P. 741.
Кобелев Н.П., Моравский А.П., Сойфер Я.М. и др. // ФТТ. 1994. Т. 36. № 9. С. 2732.
Руденко О.В. // Изв. РАН. Сер. физ. 2015. Т. 79. № 10. С. 1369; Rudenko O.V. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2015. V. 79. No. 10. P. 1215.
Ерофеев В.И., Герасимов С.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. // Изв. РАН. Сер. физ. 2016. Т. 80. № 10. С. 1333; Erofeev V.I., Gerasimov S.I., Kazhaev V.V., Pavlov I.S. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2016. V. 80. No. 10. P. 1203.
Ерофеев В.И., Леонтьева А.В., Мальханов А.О. // Изв. РАН. Сер. физ. 2018. Т. 82. № 5. С. 591; Erofeev V.I., Leonteva A.V., Malhanov A.O. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2018. V. 82. No. 5. P. 520.
Chunyu Li, Tsu-Wei Chou // Int. J. Sol. Struct. 2003. V. 40. No. 10. P. 2487.
Павлов И.С., Потапов А.И. // ДАН. 2008. Т. 421. № 3. С. 348; Pavlov I.S., Potapov A.I. // Dokl. Phys. 2008. V. 53. No. 7. P. 408.
Pavlov I.S., Potapov A.I., Maugin G.A. // Int. J. Sol. Struct. 2006. V. 43. No. 20. P. 6194.
Ерофеев В.И., Павлов И.С. Структурное моделирование метаматериалов. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2019. 196 с.
Vasiliev A.A., Pavlov I.S. // IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Engin. 2018. V. 447. Art. No. 012079.
Spadoni A., Ruzzene M. // J. Mech. Phys. Sol. 2012. V. 60. P. 156.
Конек Д.А., Войцеховски К.В., Плескачевский Ю.М., Шилько С.В. // МКМК. 2004. Т. 10. № 1. С. 35.
Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E., Dmitriev S.V. // Eur. J. Mech. A. 2014. V. 46. P. 96.
Altenbach H., Maugin G.A., Erofeev V.I. Mechanics of generalized continua. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 350 p.
Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
Erofeev V.I., Pavlov I.S., Vikulin A.V. // Mater. Phys. Mech. 2018. V. 35. No. 1. P. 53.
Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.
Lee J.D., Eringen A.C. // J. Chem. Phys. 1971. V. 54. No. 12. P. 5027.
Yildirim T., Harris A.B. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. Art. No. 7878.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Серия физическая