Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 10, стр. 1385-1391

ВВЕДЕНИЕ

Одномерные фотонно-кристаллические микрорезонаторы (МКР) в последние годы привлекают пристальное внимание исследователей, что связано с широкими возможностями их практического использования при создании многочисленных устройств управления электромагнитным излучением различных диапазонов [1–6]. Для формирования симметричного фотонно-кристаллического МКР требуется в центре бездефектной периодической структуры смена порядка следования слоев в одном из образовавшихся диэлектрических брэгговских зеркал и создание резонаторной полости [7–9]. Важной для практического применения МКР является возможность перестройки резонансной частоты, что достигается внедрением в полость между зеркалами слоев, материальные параметры которых зависят от легко изменяемых внешних факторов (в частности, электрическое поле, температура).

Одним из перспективных материалов фотоники является графен и различные планарные структуры на его основе. Управление параметрами графен-содержащих структур возможно за счет изменения его химического потенциала (энергии Ферми) [10–14]. В настоящей работе исследуются особенности спектров отражения, пропускания и поглощения (усиления) МКР-структуры, в рабочую полость которой вводится слой активного материала с управляемыми внешним электрическим полем материальными параметрами. В качестве такого материала выбрана мелкослоистая среда графен-${\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}$, слой которого имеет полуволновую толщину, а графен может находиться как в пассивном, так и активном (допированном, инвертированном) состояниях.

МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Рассмотрим симметричную структуру ${{({{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}} {{\text{Si}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Si}}}})}^{5}}\left( {{{{\text{Gr}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Gr}}} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}}} \right){{({{{\text{Si}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Si}}} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}})}^{5}}$, образованную двумя брэгговскими зеркалами (БЗ) и заполняющей резонаторную полость мелкослоистой средой, состоящей из чередующихся слоев графена и окиси кремния. Каждое из БЗ состоит из пяти периодов структуры $\left( {{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}} {{\text{Si}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Si}}}}} \right)$, которая включает оптически изотропный слой окиси кремния с диэлектрической проницаемостью (ДП) ${{\varepsilon }_{{{\text{Si}}{{{\text{О}}}_{{\text{2}}}}}}},$ толщиной ${{L}_{1}}$ и слой чистого кремния с ДП ${{\varepsilon }_{{{\text{Si}}}}}$ и толщиной ${{L}_{2}}$. Мелкослоистая периодическая среда $\left( {{{{\text{Gr}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Gr}}} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{2}}}}} \right)$ состоит из слоев графена толщиной ${{d}_{{gr}}}$ и окиси кремния толщиной ${{d}_{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}}.$ Покровной средой и подложкой для структуры считаем вакуум. Магнитные проницаемости всех материалов структуры равны единице. Подобная структура обладает выделенным направлением (ось $OZ$), что определяет одноосную анизотропию ее свойств.

На рис. 1 для рассматриваемой резонаторной структуры c указанными выше параметрами приведены распределения вдоль оси симметрии структуры ДП и амплитуды электрического поля волны (штриховая и сплошная линии). Распределение амплитуды электрического поля отвечает центральной частоте ${{f}_{0}}$ первой фотонной запрещенной зоны БЗ. Видно, что амплитуда электрического поля достигает максимума в центре структуры, а на боковых границах полости – минимума (при этом амплитуда волнового магнитного поля в центре полости достигает минимума, а на ее границах – максимума).

Тензор эффективной ДП мелкослоистой графеновой среды имеет отличные от нуля компоненты ${{\varepsilon }_{{xx}}} = {{\varepsilon }_{{yy}}} = {{\varepsilon }_{{ef}}},$ ${{\varepsilon }_{{zz}}} = \varepsilon _{{ef}}^{0}.$ B длинноволновом приближении (${{d}_{{gr}}} + {{d}_{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}} \ll \lambda $) указанные компоненты эффективной ДП могут быть представлены в виде

где параметр $\theta = {{{{d}_{{gr}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{{gr}}}} {{{d}_{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{d}_{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}}}}{\kern 1pt} .$ При записи ${{\varepsilon }_{{ef}}}$ учтено, что для графена ДП ${{\varepsilon }_{{gr}}}$связана с его поверхностной проводимостью соотношением ${{\varepsilon }_{{gr}}} = {{i4\pi \sigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{i4\pi \sigma } {\omega {{d}_{{gr}}}}}} \right. \kern-0em} {\omega {{d}_{{gr}}}}}{\kern 1pt} ,$ где $\omega $ – частота. В реальных структурах ${{d}_{{gr}}} \ll {{d}_{{{\text{Si}}{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}}$ (так как ${{d}_{{gr}}} \cong 0.335$ нм) и параметр $\theta \ll 1$, поэтому выражения (1) совпадают с выражениями, полученными в работах [15, 16]:

Слои графена могут находиться как в пассивном, так и в активном состояниях. Пассивным будем считать графен, для которого энергия Ферми (химический потенциал) равна нулю. При этом валентная зона полностью заполнена, зона проводимости – полностью свободна, а запрещенная зона отсутствует. Для активного графена энергия Ферми отлична от нуля и характер заполнения энергетических зон иной. Различают допированный и инвертированный графены, для которых различным является заполнение зоны проводимости и валентной зоны [17, 18]. Частотные зависимости динамической поверхностной проводимости допированного и инвертированного графена в рамках модели Кубо определяются соответственно следующими выражениями [19, 20]:

где G – функция двух переменных: альфа и бета, $G\left( {\alpha ,\beta } \right) = \frac{{{\text{sh}}\left( {{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right)}}{{{\text{ch}}\left( {{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right) + {\text{ch}}\left( {{\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right)}},$ $R = \frac{{4\hbar \omega }}{{i\pi }} \times $ $ \times \,\,\int_0^\infty {\frac{{G\left( {E,{{E}_{F}}} \right) - G\left( {{{\hbar \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \omega } 2}} \right. \kern-0em} 2},{{E}_{F}}} \right)}}{{{{{(\hbar \omega )}}^{2}} - 4{{E}^{2}}}}} {\kern 1pt} dE$.

Здесь ${{\sigma }_{0}} = {{{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}} {4\hbar }}} \right. \kern-0em} {4\hbar }}$ – фундаментальная (статическая) проводимость графена, $e$ – заряд электрона, $\hbar $ – постоянная Планка, ${{k}_{B}}$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура, ${{E}_{F}}$ – энергия Ферми (для допированного графена) и квазиэнергия Ферми (для инвертированного графена). Оба выражения при ${{E}_{F}} = 0$ приводят к одной зависимости $\sigma \left( \omega \right)$ для пассивного графена.

Анализ соотношений (3) и (4) показывает, что для допированного графена действительная и мнимая части проводимости принимают только положительные значения при всех энергиях Ферми во всем частотном диапазоне. Для инвертированного графена при значениях ${{E}_{F}} > 10$ мэВ действительная часть проводимости принимает отрицательные значения в области частот $f = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }} \approx 5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 50$ ТГц. Отметим возможность управления величиной ${{E}_{{\text{F}}}}$ с помощью внешнего электрического поля, что является важным моментом для практического использования различных планарных структур на основе графена.

На рис. 2 приведены частотные зависимости действительной и мнимой части (сплошная и штриховая кривые) эффективной ДП мелкослоистой среды ${{\varepsilon }_{{ef}}},$ полученные для $\theta = 0.01$ и $Т = 300$ К (эти значения используются и далее) в случае допированного графена при ${{E}_{F}} = 0,~\,100,\,~300~$ мэВ (а), в случае инвертированного графена – при ${{E}_{F}} = 0,~\,30,~\,70$ мэВ (б) (кривые, соответственно, черная, красная и синяя). Видна существенная зависимость спектров от величины возбуждения графена, т.е. энергии (квазиэнергии) Ферми. Важно, что в обоих спектрах имеется область частот, где величина $\varepsilon _{{ef}}^{'}$ отрицательна. В этой области графеновая среда является непрозрачной, и объемная волна при распространении в ней должна затухать. На частотах, где действительная часть проводимости является отрицательной, мнимая часть эффективной ДП также отрицательна, что реализуется лишь для инвертированного графена. В указанной области частот должно наблюдаться усиление проходящих и отраженных от структуры волн; с увеличением квазиэнергии Ферми эта область значительно расширяется.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЕ В СТРУКТУРЕ

Будем считать, что на вход структуры нормально к ее поверхности падает плоская монохроматическая волна. Ввиду симметрии структуры относительно нормали к поверхности слоев в каждом из слоев возможно распространение двух собственных ТЕМ волн с ортогональной поляризацией. Для резонаторной структуры с управляемым слоем, заполняющим полость резонатора, передаточная матрица, связывающая поле волны на входе и выходе из структуры, имеет вид $G = {{({{N}_{1}}{{N}_{2}})}^{a}}{{N}_{{ef}}}{{({{N}_{2}}{{N}_{1}})}^{а}}$, где $a$ – число периодов в БЗ. Передаточные матрицы отдельных слоев имеют вид [21]:

где для БЗ $j = 1,2$ и ${{k}_{j}} = {{k}_{0}}\sqrt {{{\varepsilon }_{j}}} $ – константы распространения в диэлектрических слоях, ${{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega с}} \right. \kern-0em} с}$, $с$ – скорость волны в вакууме. Для слоя, заполняющего резонаторную полость, $j = 3$ и ${{\varepsilon }_{3}} = {{\varepsilon }_{{ef}}},$ ${{k}_{3}} = {{k}_{0}}\sqrt {{{\varepsilon }_{{ef}}}.} $

Амплитудные коэффициенты отражения и прохождения для всей МКР структуры определяются через матричные элементы передаточной матрицы:

Энергетические коэффициенты отражения и прохождения в этом случае имеют вид $R = {{\left| r \right|}^{2}}$, $T = {{\left| t \right|}^{2}}$.

Для выявления спектральных особенностей рассматриваемого МКР, возникающих при введении в полость слоя графен-содержащей среды, рассмотрим распределение волнового поля по резонаторной структуре с полностью свободной рабочей полостью, т.е. $G = {{({{N}_{1}}{{N}_{2}})}^{a}}{{N}_{3}}{{({{N}_{2}}{{N}_{1}})}^{а}}$, где ${{N}_{3}}$ – передаточная матрица вакуумной полости с ${{\varepsilon }_{3}} = 1$, ${{k}_{3}} = {{k}_{0}}$ и ${{L}_{3}} = {{{{\lambda }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. Как отмечалось выше, период брэгговских зеркал состоит из двух слоев изотропных диэлектриков ${\text{Si}}{{{\text{О}}}_{{\text{2}}}}$ и ${\text{Si}}$ с ДП, ${{\varepsilon }_{1}} = {{\varepsilon }_{{{\text{Si}}{{{\text{О}}}_{{\text{2}}}}}}} = 5.07$ и ${{\varepsilon }_{2}} = {{\varepsilon }_{{{\text{Si}}}}} = 10.9$ [22] и одинаковыми оптическими толщинами ${{L}_{0}} = {{L}_{1}}\sqrt {{{\varepsilon }_{1}}} = $ $ = {{L}_{2}}\sqrt {{{\varepsilon }_{2}}} = {{{{\lambda }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{0}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}$, где ${{\lambda }_{0}} = {{2\pi с} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi с} {{{\omega }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }_{0}}}} = $  10 мкм (на частоте ${{f}_{0}} = 30$ ТГц). При этом реальные толщины слоев ${{L}_{1}} = 1.11$ мкм и ${{L}_{2}} = 0.76$ мкм, а оптическая толщина ${{L}_{0}} = 2.5$ мкм. В каждом из зеркал число периодов $a = 5$, период ${{L}_{1}} + {{L}_{2}} = 1.87$ мкм, толщина каждого зеркала $L = 9.35$ мкм.

На рис. 3 представлены спектры отражения, прохождения (а, б) и поглощения (в) для двух типов структуры $G = {{({{N}_{1}}{{N}_{2}})}^{a}}{{N}_{3}}{{({{N}_{2}}{{N}_{1}})}^{а}}$, когда полость не заполнена (а) и когда полость заполнена эффективной графен-содержащей средой (б, в), в которой слои графена находятся в невозбужденном состоянии (т.е. ${{E}_{F}} = 0$). У резонатора со свободной полостью спектр содержит хорошо разрешимые зоны пропускания и непропускания, первые фотонные запрещенные зоны (ФЗЗ) лежат в терагерцовом диапазоне. Центральная частота первой ФЗЗ ${{f}_{1}} = {{f}_{0}} = 3 \cdot {{10}^{{13}}}$ Гц, а ширина составляет $\Delta {{f}_{1}} = 12.7~$ ТГц. В центрах ФЗЗ из-за нарушения периодичности структуры возникают узкие пики прохождения (дефектные моды). Их можно использовать для оценки добротности исследуемой резонаторной структуры, которая связывает резонансную частоту с шириной резонансной кривой (на ее полувысоте), в области первой ФЗЗ ${{Q}_{1}} \simeq {{{{f}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{1}}} {\Delta {{f}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {\Delta {{f}_{1}}}}$. Оценка добротности для исследуемого резонатора на указанной частоте дает величину ${{Q}_{1}} \approx 107$. Отметим, что с увеличением числа периодов в брэгговских зеркалах, оптического контраста в соседних слоях зеркал и толщины полости добротность МКР возрастает [3]. В рассматриваемом случае непоглощающих зеркал поглощение отсутствует и во всем частотном диапазоне выполняется условие $R\left( \omega \right) + T\left( \omega \right) = 1$.

СПЕКТРЫ МКР С ГРАФЕНОВОЙ СРЕДОЙ

Рассмотрим теперь трансформацию представленных выше спектров при заполнении полости резонатора пассивной графеновой средой, в которой графен находится в невозбужденном состоянии (с ${{E}_{F}} = 0$). Видно, что даже пассивный графен в мелкослоистой среде приводит к существенной перестройке указанных спектров. Так, в спектре поглощения наблюдаются сильные осцилляции во всем частотном диапазоне, на низких частотах среднее значение коэффициента поглощения $A$ растет, в области между первой и второй ФЗЗ поглощение в среднем практически не изменяется, в центрах ФЗЗ возникают локальные максимумы поглощения. При этом поглощение в структуре приводит к практически полному подавлению пиков пропускания в центрах ФЗЗ и значительному уменьшению амплитуды осцилляций коэффициентов R и T в интервалах между ФЗЗ (рис. 3 б и 3в).

На рис. 4 представлены спектры R, T, и А резонатора, полость которого заполнена активной графеновой средой, в которой графен является допированным с ${{E}_{F}}\,\,{\text{ = }}\,{\text{100}},{\text{\;}}30{\text{0\;}}$ мэВ (а, б); в спектре поглощения (в) указанным значениям ${{E}_{F}}$ отвечают кривые 1, 2. Видна существенная зависимость спектров от степени допирования, т.е. от величины энергии Ферми ${{E}_{F}}$. Так, при ${{E}_{F}} = {\text{100\;}}$ мэВ (а) изменения коэффициентов $R$ и $T$ (по сравнению с МКР с пассивным графеном) наиболее значительны на низких частотах ($f \leqslant 20\;$ ТГц) терагерцового диапазона, где прохождение отсутствует, а отражение существенно возрастает. С ростом частоты отличия $R$, $T$ и $A$ от соответствующих коэффициентов в случае структуры с пассивным графеном незначительны. При увеличении степени допирования графена изменения в частотных зависимостях указанных коэффициентов более существенны. Так, при ${{E}_{F}} = 3{\text{00\;}}$ мэВ в области частот $f \leqslant 40$ ТГц прохождение полностью подавляется, отражение, за исключением слабых интерференционных осцилляций, становится близким к полному (б), а поглощение, также за исключением слабых всплесков, отсутствует (в). На более высоких частотах средние значения отражения и поглощения падают, а прохождения растет. В области $f \approx 40\;$ ТГц поглощение резко возрастает, что связано с возрастанием в этой области внутризонных переходов в графене.

На рис. 5 представлены спектры отражения и прохождения резонатора, полость которого заполнена инвертированной графеновой средой, в которой графен находится в инвертированном состоянии (например, в результате инжекционной накачки) с квазиэнергией Ферми ${{E}_{F}}\,{\text{ = }}\,{\text{30}},{\text{\;}}70~$ мэВ (а, б). Отличительной чертой обоих приведенных спектров является наличие в терагерцовой области частот усиления взаимодействующих со структурой волн. В этой области коэффициенты отражения и прохождения оказываются существенно больше единицы. При более высоких значениях квазиэнергии Ферми, т.е. при более высоких уровнях накачки эффект усиления проявляется сильнее. На рис. 5в и 5г для случая ${{E}_{F}} = {\text{70\;}}$ мэВ в увеличенном масштабе приведена часть спектров $R$ и $T$ из рис. 5б в диапазоне, где наблюдается усиление. Видно, что коэффициенты отражения и прохождения оказываются существенно больше единицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного анализа выявлены особенности спектров отражения, пропускания и поглощения микрорезонатора с диэлектрическими брэгговскими зеркалами, в рабочую вакуумную полость которого вводится слой полуволновой толщины эффективной графен-содержащей среды. Исследованы случаи, когда заполненная полость имеет полуволновую толщину, а графен может находиться как в невозбужденном, так и в возбужденном (допированном, инвертированном) состояниях. Наличие в структуре двух различных видов дефектов (инверсии и внедрения) приводит к появлению минизоны пропускания в ФЗЗ бездефектного кристалла. Присутствие в МКР-структуре эффективной графеновой среды приводит к появлению в спектре поглощения и частичному или полному подавлению дефектной моды, а также к существенной зависимости характера спектров от энергетического состояния графена. Варьирование энергией (квазиэнергией) Ферми позволяет не только осуществлять перестройку фотонных спектров, изменяя в широких пределах отражение, прохождение и поглощение падающего на структуру излучения, но и создавать условия для усиления взаимодействующего со структурой излучения. В зависимости от типа возбуждения графена в спектрах МКР появляются области как полного отражения, так и области с высокой прозрачностью, либо поглощением. Отличительной чертой спектров с инвертированным состоянием графена является наличие в терагерцовой области усиления взаимодействующих со структурой волн, где коэффициенты отражения и прохождения оказываются существенно больше единицы.

Работа поддержана Министерством науки и высшего образования РФ в рамках темы государственного задания № 0830-2020-0009.