Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 8, стр. 1127-1133

ВВЕДЕНИЕ

Последние успехи ядерной физики в области синтеза новых изотопов во многом достигнуты благодаря реакциям с тяжелыми ионами. Синтез новых ядер невозможен без понимания процессов образования ядер, поэтому задача теоретического описания и моделирования ядерных реакций является актуальной.

Одной из основных задач, требующих решения при описании реакций с тяжелыми ионами, является определение потенциала взаимодействия в системе двух сталкивающихся ядер. Столкновение двух ионов может происходить в двух режимах [1]: адиабатическом, когда нуклоны за время взаимодействия успевают перераспределиться между ядрами и когда возможно слияние, и диабатическом, когда распределение нуклонных плотностей практически не изменяется. Разнообразные подходы к определению потенциала как в быстрых, так и медленных столкновениях можно найти в книге [2]. При вычислении потенциальной энергии большое значение имеет корректное описание распределения нуклонных плотностей [3, 4], поскольку распределение ядерного “вещества” определяет взаимодействие как разделенных, так и моноядер.

Цель данной работы – построение глобальных феноменологических соотношений для расчета диабатического ядро-ядерного потенциала. Расчет проводится в рамках процедуры фолдинга (свертки) с эффективным взаимодействием Мигдала для сферических ядер с Z, N ≥ 8. Для описания плотностей ядер применяется двухпараметрическое распределение Ферми. Основное внимание уделяется выбору параметров нуклонных плотностей и влиянию этих параметров на фолдинг-потенциал.

ПАРАМЕТРЫ НУКЛОННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Распределение плотностей нуклонов и заряда в сферических ядрах может быть описано с помощью распределения Ферми:

где r – радиальная координата, $R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{0}}}}}$ – радиус половинной плотности, a_i – диффузность. Индекс i = = p, n, ch соответствует протонной, нейтронной и зарядовой плотности. Распределение (1) называют двухпараметрическим, поскольку параметры $R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{0}}}}}$ и a_i являются свободными, а константа ${{\rho }_{{{{i}_{0}}}}}$ определяется из нормировки на соответствующее число нуклонов N или Z. Хотя плотности в виде (1) обычно применяются для ядер с A ≥ 22 [5], они являются достаточно универсальными, чтобы использовать их и для более легких ядер.

Необходимо различать точечные плотности ρ_n и ρ_p, соответствующие распределению центров нуклонов в ядре, и “объемные” плотности, которые учитывают, что нуклоны не являются точечными. Объемные плотности ρ^volume (называемые также “материальными”) рассчитывают как свертку точечной нуклонной плотности ρ^point с распределением массы или заряда в нуклоне $g$ [6]:

Зарядовая и протонная плотности

Распределение заряда ρ_ch в ядрах изучено достаточно хорошо благодаря доступности экспериментов с пучками заряженных частиц, а также потому, что электромагнитное взаимодействие поддается точному описанию. В работе [5] можно найти данные по радиусам половинной плотности $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{0}}}}}$ для 58 изотопов от Z = 9 до Z = 92. Кроме параметра $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{0}}}}},$ зарядовый размер ядра характеризуется среднеквадратичным зарядовым радиусом $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}},$ который определяется как

В компиляции [7] представлены экспериментальные данные по радиусу $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}$ для различных изотопов. Эти данные мы использовали, чтобы расширить массив используемых данных по радиусам ядер. Различные аналитические формулы для $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}$ можно найти в работах [8, 9]. Одной из наиболее точных зависимостей $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}$ от числа нуклонов в ядре является формула, предложенная в [10]:

На основе данных [7] для 813 ядер с Z, N ≥ 8 мы определили коэффициенты аппроксимации (4): r₀ = 0.9560(14) фм, b = – 0.1527(67), c = 2.326(63); среднеквадратичное (сркв.) отклонение составило 0.041 фм. В предположении exp(${{R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{{rms}}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{{rms}}}}}}} {{{a}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{i}}}}$) $ \gg $ 1, которое выполняется для всех ядер с Z ≥ 8, с учетом формулы (1) можно получить соотношение:

Полагая i = ch в (5), можно выразить $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{0}}}}}$ через $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}.$ Рисунок 1а демонстрирует качество описания аппроксимацией (4) данных [7]. Отклонение значений, полученных по аппроксимации (4), от экспериментальных данных для большинства ядер не превышает 0.1 фм и в среднем меньше, чем для значений, даваемых стандартной зависимостью $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}} = {{r}_{0}}{{A}^{{1{\text{/}}3}}}.$ Отметим, что наибольшие расхождения наблюдаются для легких и средних ядер 16 ≤ A ≤ 80. Эти расхождения можно объяснить влиянием оболочечной структуры ядра на зарядовый радиус (см. данные для ⁴⁸Ca в табл. 1).

Экспериментальные данные по диффузностям зарядовой плотности a_ch для двухпараметрического распределения (1) приводятся в [5]. Значения диффузности a_ch лежат в пределах 0.45–0.65 фм (см. рис. 1б). Отметим, что для одного ядра значения a_ch, полученные в разных работах, часто отличаются друг от друга на 0.05 фм, а иногда разница достигает 0.14 фм (ядро ¹⁵⁰Nd, [5]). Представляется разумным выбрать для оценки диффузности a_ch среднее значение в 0.55 фм.

Для расчета потенциала необходимо определить параметры распределения протонов ρ_p. Точная связь между распределением заряда ρ_ch и центрами протонов ρ_p дается формулой (2), где в качестве g следует взять распределение заряда в протоне. Обратный переход – от зарядовой плотности к плотности центров протонов – может быть осуществлен только численно, однако можно указать эффективный способ такого перехода. Согласно [11], сркв. радиусы распределения протонов ${{R}_{{{\kern 1pt} {{p}_{{rms}}}}}}$ и заряда $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}$ связаны соотношением:

где R_prot – сркв. зарядовый радиус протона, равный 0.847(8) фм [12]. Диффузность при преобразовании (2) меняется на 0.02–0.03 фм, поэтому, в силу экспериментальных неопределенностей и большого разброса значений относительно среднего, этим изменением можно пренебречь и считать a_p = a_ch. Параметр протонной плотности ${{\rho }_{{{{p}_{0}}}}}$ нормируется на число протонов Z, как и ${{\rho }_{{c{{h}_{0}}}}}.$

ФОЛДИНГ-ПОТЕНЦИАЛ

Ядро-ядерный потенциал может быть определен на основе эффективного нуклон-нуклонного взаимодействия, если известно распределение нуклонов в сталкивающихся ядрах. Взаимодействие двух ядер описывается с помощью процедуры фолдинга, когда полный потенциал V_fold(r) рассчитывают, интегрируя эффективное межнуклонное взаимодействие $v\left( r \right)$ c плотностям двух ядер:

где r – расстояние между центрами ядер, $\overrightarrow {{{r}_{{12}}}} = \vec {r} + \overrightarrow {{{r}_{2}}} - \overrightarrow {{{r}_{1}}} .$ Нуклонные плотности ρ_i для каждого ядра (i = 1,2) вычисляются как сумма протонной и нейтронной плотностей. Потенциал $v$ состоит из двух частей: кулоновской ${{v}_{C}}$ и ядерной части ${{v}_{N}}.$ Ядерная часть может быть описана потенциалом Мигдала с зависимостью от плотностей нуклонов [14]: где ${{F}_{{ex,in}}} = {{f}_{{ex,in}}} \pm f_{{ex,in}}^{'},$ причем знак “–” соответствует взаимодействию протонов с нейтронами, а знак “+” – взаимодействию тождественных нуклонов (n–n, p–p). Используемые значения параметров ${{f}_{{in}}}$ = 0.09, ${{f}_{{ex}}}$ = –2.59, $f_{{in}}^{'}$ = 0.42 и $f_{{ex}}^{'}$ = 0.54 основаны на данных [15] и соответствуют нормировочной константе C = 300 МэВ ⋅ фм^–3.

Потенциал рассчитывается в диабатическом приближении: предполагается, что за время реакции не происходит динамических изменений в распределении нуклонных плотностей взаимодействующих ядер [16]. Назовем точкой контакта расстояние между ядрами r = R_cont:

где $R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{0}}}}}$ – радиус половинной плотности для полной материальной плотности ядра i: $\rho _{{total}}^{{mat}}\left( r \right) = \rho _{p}^{{volume}}\left( r \right) + \rho _{n}^{{volume}}\left( r \right).$ В процессе сближения ядер в определенный момент распределения плотностей начинают перекрываться, и, когда ядра приближаются к точке контакта, образуется область повышенной ядерной плотности, которая приводит к отталкиванию ядер при их дальнейшем сближении в силу принципа Паули. В наших расчетах мы считаем плотности “замороженными”: распределение плотности в одном ядре не зависит от распределения в другом и поэтому не зависит от относительного расстояния между ядрами. Это предположение выполняется при быстрых (диабатических) столкновениях, когда относительная скорость движения ядер больше скорости внутриядерного движения нуклонов. При расстояниях r > R_cont диабатический и адиабатический потенциал совпадают. Результаты расчета диабатического потенциала изложены в следующем разделе.

Фолдинг-потенциал, рассчитанный по формуле (9), сравнивается с потенциалом Басса [17]:

где $\xi = r - \left( {R{{{\kern 1pt} }_{1}} + R{{{\kern 1pt} }_{2}}} \right),$ а радиусы ядер $R{{{\kern 1pt} }_{{1,2}}}$ определяются как $R{{{\kern 1pt} }_{i}} = 1.16A{\kern 1pt} _{i}^{{1{\text{/}}3}} - 1.39A{\kern 1pt} _{i}^{{ - 1{\text{/}}3}}.$ Потенциал Басса описывает потенциальный барьер, определяемый кулоновской и ядерной частью взаимодействия, при расстояниях r ≈ R_cont. Параметры A, B, d₁, d₂ можно найти в [17].

Также для сравнения приводится феноменологический потенциал “проксимити” [18]:

где b = 1 фм – параметр толщины поверхностного слоя, ${{P}_{{sph}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\overline {{{R}_{1}}} }}} \right. \kern-0em} {\overline {{{R}_{1}}} }} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\overline {R{{{\kern 1pt} }_{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\overline {R{{{\kern 1pt} }_{2}}} }}$ – фактор, учитывающий кривизну поверхностей ядер и $\overline {R{{{\kern 1pt} }_{i}}} = R{{{\kern 1pt} }_{i}}\left( {1 + {{{\left( {{b \mathord{\left/ {\vphantom {b {R{{{\kern 1pt} }_{i}}}}} \right. \kern-0em} {R{{{\kern 1pt} }_{i}}}}} \right)}}^{2}}} \right).$ $F\left( x \right)$ – универсальная функция “проксимити”. Под радиусами $R{{{\kern 1pt} }_{i}}$ понимаются материальные радиусы половинной плотности ядер $R{{{\kern 1pt} }_{{{{i}_{0}}}}},$ как в формуле (11). Несмотря на то, что потенциал “проксимити” содержит всего один свободный параметр b, расчеты с этим потенциалом позволяют достигать согласия с экспериментальными данными по сечениям слияния [19].

РАСЧЕТ ФОЛДИНГ-ПОТЕНЦИАЛА

Параметры нуклонных плотностей, полученные по формулам (4)–(8) и используемые для расчета потенциалов, представлены в табл. 1. Приводятся параметры распределений центров нуклонов ($R{{{\kern 1pt} }_{{{{p}_{0}}}}},$ ${{R}_{{{\kern 1pt} {{n}_{0}}}}},$ сумма нормировочных констант ${{\rho }_{{{{p}_{0}}}}} + {{\rho }_{{{{n}_{0}}}}}$). Также для сравнения приводятся экспериментальные значения сркв. зарядового радиуса $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}$ и диффузности зарядового распределения a_ch.

Радиусы нуклонных распределений, необходимых для расчета фолдинг-потенциала по формулам (9), (10), определяются следующим образом. В качестве исходных данных используется аппроксимация (4), по которой определяются среднеквадратичные зарядовые радиусы $R{{{\kern 1pt} }_{{c{{h}_{{rms}}}}}}.$ Эта аппроксимация позволяет единым образом описывать зарядовые радиусы всех ядер с Z ≥ 8 и имеет точность не ниже 0.1 фм. Формулы (6)–(8) позволяют перейти от среднеквадратичных зарядовых радиусов к среднеквадратичным нейтронным и протонным, а соотношение (5) – к радиусам половинной плотности ${{R}_{{{{p}_{0}}}}},$ ${{R}_{{{{n}_{0}}}}}$ протонного и нейтронного распределений, которые непосредственно входят в выражение для нуклонных плотностей.

Прежде всего продемонстрируем, как влияет изменение параметров плотностей на вид фолдинг-потенциала. На рис. 2 представлены результаты расчета фолдинг-потенциала для системы ⁴⁸Ca + ²⁰⁸Pb. Сплошная линия соответствует параметрам плотностей, представленным в табл. 1 и полученным описанным выше способом. В частности, для ядра ⁴⁸Ca получены следующие значения радиусов: ${{R}_{{{{p}_{0}}}}}$ = 3.59 фм, ${{R}_{{{{n}_{0}}}}}$ = 3.78 фм. Пунктирные линии соответствуют случаю изменения протонного радиуса ${{R}_{{{{p}_{0}}}}}$ ядра ⁴⁸Ca на ±0.2 фм и связанного с ним нейтронного радиуса ${{R}_{{{{n}_{0}}}}}$ также на ±0.2 фм (радиусы изменены на 5–6% вручную, диффузность постоянна, плотности нормированы). Как видно из рис. 2а, изменение радиусов оказывает значительное влияние на форму барьера: при увеличении радиуса одного из ядер притягивающее действие ядерных сил начинает проявляться на бόльших относительных расстояниях, и потенциальный барьер становится более пологим, а локальный минимум менее выраженным.

Аналогичное изменение диффузности a_p у ядра ⁴⁸Ca на ±0.06 фм (относительное изменение около 11%) при фиксированных радиусах приводит к согласованному смещению максимума и минимума по энергетической шкале, оставляя форму барьера без изменений (рис. 2б). Увеличение диффузности приводит к понижению потенциальной энергии, поскольку диффузный слой распределения плотности простирается на большее расстояние.

В качестве итоговых результатов представим расчет фолдинг-потенциала для двух систем: ²⁰⁸Pb + ⁴⁰Ca и ²⁰⁸Pb + ⁶⁰Ni. Фолдинг-потенциал для системы ²⁰⁸Pb + ⁴⁰Ca представлен на рис. 3а в сравнении с другими потенциалами. Расчеты с фолдинг-потенциалом и с потенциалом “проксимити” дают близкие значения потенциальной энергии.

Результат расчета потенциальной энергии для системы ²⁰⁸Pb + ⁶⁰Ni представлен на рис. 3б. Фолдинг-потенциал не имеет экстремумов, что говорит о преобладании кулоновского отталкивания при любых расстояниях. Также наблюдается значительное расхождение с потенциалом Басса. Это можно объяснить фиксированным значением диффузности a_p = a_n = 0.55 фм: как было показано на рис. 2б, выбор большего значения диффузности для одного/двух ядер позволил бы снизить значения потенциальной энергии в области контакта и достичь согласия с барьером Басса. В работе [20] диффузности ядер подобраны так, чтобы фолдинг-потенциал максимально совпадал с барьером Басса. Однако при таком подходе диффузности могут достигать неоправданно больших значений: например, согласно [20], a_p для ядра ²⁰⁸Pb достигает значения 0.71 фм, которое значительно превышает как среднее a_p = 0.55 фм, применяемое в этой работе, так и экспериментальное значение a_ch = 0.54 фм [21].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе определены параметры глобальных феноменологических соотношений для описания радиусов и диффузностей распределения нуклонов, выбранного в форме распределения Ферми. Представлены результаты расчетов диабатического фолдинг-потенциала с силами Мигдала для двух систем: ²⁰⁸Pb + ⁶⁰Ni и ²⁰⁸Pb + ⁴⁰Ca.

В дальнейшем качество описания радиусов протонного и зарядового распределений может быть улучшено, если к аналитической аппроксимации добавить оболочечную поправку. Скорректировать значения параметров для распределения нейтронов в ядрах можно с помощью теоретических расчетов, например с помощью метода Хартри–Фока. Также теоретические оценки могут служить ориентиром, если распространять подход, изложенный в данной работе, в область тех ядер, для которых измерения по распределениям нуклонов отсутствуют.

Фолдинг-потенциал лучше согласуется с барьером потенциала Басса для пары ²⁰⁸Pb + ⁴⁰Ca и более легких систем. Возможные отличия для более тяжелых систем типа ²⁰⁸Pb + ⁶⁰Ni связаны с большим количеством условий, наложенных на параметры нуклонных плотностей. Для экспериментальных данных по диффузностям протонного распределения и всем параметрам нейтронного распределения характерны большие неопределенности, которые позволяют изменять используемые для расчета потенциала параметры в некоторых пределах. Варьируя эти параметры, можно достичь большего согласия фолдинг-потенциал с барьером Басса. Оригинальная аппроксимация Басса для ядерных радиусов может быть приведена в соответствие новым экспериментальным данным. Кроме того, в качестве эффективного потенциала Мигдала можно взять потенциал, более полно отражающий свойства межнуклонных сил.

Работа Симонова М.В. поддержана стипендией Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”.