Известия РАН. Серия физическая. T. 87, Номер 12, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 87, № 12, 2023

Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1763-1766

Моделирование динамики лазерных пучков в массиве углеродных нанотрубок с использованием гидродинамического подхода

Н. Н. Конобеева 1, *, Р. Р. Трофимов 1, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: yana_nn@volsu.ru

Поступила в редакцию 24.07.2023
После доработки 14.08.2023
Принята к публикации 28.08.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выполнено моделирование распространения квазимонохроматического лазерного пучка в среде с углеродными нанотрубками. Получены уравнения, описывающие динамику лазерных пучков в массиве углеродных нанотрубок на основе гидродинамического подхода для нелинейного уравнения Шрёдингера. Данное уравнение решено численно с использованием метода сглаженных частиц. Проанализирована эволюция пучка в зависимости от частоты электрического поля.

ВВЕДЕНИЕ

Углеродные нанотрубки (УНТ) [1] и их композиты [2] обладают не только выдающимися механическими, электрическими и тепловыми свойствами, но и уникальными нелинейными оптическими свойствами, которые находят широкое применение в области нелинейно-оптических приложений [3], в том числе для генерации оптических импульсов малой длительности [4]. В последние годы даже выделилось направление, связанное с оптикой предельно коротких импульсов [5], одной из важных проблем которого является поиск условий для стабильного распространения электромагнитного излучения [6], а также генерации предельно коротких импульсов [7, 8]. Отметим, что есть уже и экспериментальные подтверждения успешного применения углеродных нанотрубок в этих целях, например, для генерации субнаносекундных световых импульсов [9], а также при создании волоконных лазеров [10].

С появлением все более сложных задач возникает необходимость в мощных вычислительных ресурсах и применении новых компьютерных технологий, в том числе параллельных. К таким задачам относится и моделирование динамики лазерного пучка в среде, содержащей углеродные нанотрубки.

Метод сглаженных частиц (SPH – smoothed-particle hydrodynamics) [11] является полностью лагранжевым и не использует пространственной сетки, позволяющей аппроксимировать производные. Это вносит существенный вклад в особенности нахождения решения. Также отметим, что в сеточных методах решение уравнения Шрёдингера сопряжено с прогонками, которые показывают плохие результаты при распараллеливании [12]. Поэтому в данной работе было решено остановить свой выбор на методе SPH, хорошо зарекомендовавшем себя в различных научных областях, в том числе астрофизике [13], механике сплошной среды [14] и др.

МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим распространение лазерного пучка в массиве зигзагообразных углеродных нанотрубок, помещенном в диэлектрическую среду, в перпендикулярном массиву направлении (ось OZ). Оси УНТ считаем соноправленными и параллельными оси OX (рис. 1).

Рис. 1.

Схематичное изображение геометрии задачи.

Энергетический спектр электронов в УНТ можно записать в виде [15]:

(1)
$\varepsilon \left( {{{p}_{x}},s} \right) = {{\gamma }_{0}}\sqrt {1 + 4{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {a{{p}_{x}}} \right){\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{\pi s}}{m}} \right) + 4{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}\left( {\frac{{\pi s}}{m}} \right)} ,$
где s = 1, … m, нанотрубка имеет тип (m, 0), px – проекция квазиимпульса электрона проводимости на ось УНТ, ${{\gamma }_{0}} \approx 2.7$ эВ – интеграл перескока, определяющий энергию, которую необходимо сообщить электрону для перемещения между соседними узлами в решетке, a = 3b/2ℏ, b = 0.142 нм – расстояние между соседними атомами углерода.

Электрическое поле лазерного пучка имеет вид: $\vec {E} = \left( {E\left( {y,z,t} \right),0,0} \right)$, плотность электрического тока $\vec {j} = \left( {j\left( {y,z,t} \right),0,0} \right)$.

Для компоненты электрического поля, направленной вдоль оси УНТ с учетом замены: $\vec {E} = - {{c}^{{ - 1}}}{{\partial{ \vec {A}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {A}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ и разложения энергетического спектра электронов в ряд Фурье, волновое уравнение имеет вид [16]:

(2)
$\begin{gathered} \frac{{ea}}{c}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{z}^{2}}}}} \right) - \frac{{ea\varepsilon }}{{{{c}^{3}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \\ - \,\,\omega _{0}^{2}\sum\limits_{q = 1}^\infty {\sum\limits_{s = 1}^m {{{b}_{{s,q}}}{\text{sin}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{qae}}{c}A} \right)} } = 0, \\ \end{gathered} $
где c – скорость света в вакууме, ε – диэлектрическая проницаемость среды,${{\omega }_{0}}$ – характеристическая частота, e – заряд электрона,
(3)
${{b}_{{s,q}}} = - q\frac{{{{\alpha }_{{s,q}}}}}{{{{\gamma }_{0}}}}\frac{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {qr} \right){\text{exp}}\left( { - \sum\limits_{q = 1}^\infty {\frac{{{{\alpha }_{{s,q}}}{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {qr} \right)}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T}}} } \right)dr} }}{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {{\text{exp}}\left( { - \sum\limits_{q = 1}^\infty {\frac{{{{\alpha }_{{s,q}}}{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {qr} \right)}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T}}} } \right)dr} }},$
kB – постоянная Больцмана, T – температура, αs,q – коэффициенты в разложении закона дисперсии электронов (1) в ряд Фурье.

Введем безразмерную проекцию векторного потенциала на ось Ox следующим образом:

(4)
$\tilde {A} = \frac{{ea}}{c}A = {{\tilde {A}}_{0}}\left( {y,z} \right){\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {\omega t - kz - \varphi } \right),$
${{\tilde {A}}_{0}}\left( {y,z} \right)$ – огибающая проекции векторного потенциала на ось Ox, $k = {{\omega \sqrt \varepsilon } \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \sqrt \varepsilon } c}} \right. \kern-0em} c}$ – модуль волнового вектора, $\varphi $ – начальная фаза.

Подставляем (4) в уравнение (2) и применяем приближение медленно меняющихся амплитуд и фаз [17]. При помощи формулы для функции Бесселя целого порядка и ее разложения получаем эффективное уравнение для функции $\psi \left( {y,z} \right)$ = = ${{\tilde {A}}_{0}}\left( {y,z} \right){\text{exp}}\left( {i\varphi } \right)$, определяющей амплитуду векторного потенциала с учетом перехода к безразмерным величинам:

(5)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{\varsigma }^{2}}}} + 2i\kappa \frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \\ - \,\,\psi \sum\limits_{q = 1}^\infty {\sum\limits_{s = 1}^m {\left( {{{b}_{{s,q}}}\sum\limits_{r = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{r}}{{q}^{{2r + 1}}}{{{\left| \psi \right|}}^{{2r}}}}}{{{{2}^{{2r + 1}}}\Gamma \left( {r + 1} \right)\Gamma \left( {r + 2} \right)}}} } \right)} } = 0, \\ \end{gathered} $
здесь Г(r) – гамма-функция, $\kappa = k{{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {\omega _{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {\omega _{0}^{2}}}$, $\varsigma = y{{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} c}} \right. \kern-0em} c}$, $\tau = z{{{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{0}}} c}} \right. \kern-0em} c}$.

Далее воспользуемся преобразованием Маделунга [18] и перепишем уравнение (5) в виде, аналогичном уравнениям гидродинамики:

(6)
$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {{\rho }_{\tau }} + \frac{\partial }{{\partial \varsigma }}\left( {\rho u} \right) = 0, \hfill \\ {{u}_{\tau }} + \left( {u\frac{\partial }{{\partial \varsigma }}} \right)u = - \frac{1}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varsigma }}\left( {P + {{P}_{{CNT}}}} \right), \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ P = - \frac{1}{{4{{\kappa }^{2}}}}\left( {{{\rho }_{{\varsigma \varsigma }}} - \frac{{\rho _{\varsigma }^{2}}}{\rho }} \right),\,\,\,\,{{P}_{{{\text{CNT}}}}} = \\ = \frac{1}{{2{{\kappa }^{2}}}}\sum\limits_{q = 1}^\infty {\sum\limits_{s = 1}^m {\left( {{{b}_{{s,q}}}\sum\limits_{r = 0}^\infty {\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{r}}r{{q}^{{2r + 1}}}{{\rho }^{{r + 1}}}}}{{{{2}^{{2r + 1}}}\left( {r + 1} \right)\Gamma \left( {r + 1} \right)\Gamma \left( {r + 2} \right)}}} } \right)} } \\ \end{gathered} $
здесь ρ = |ψ|2, u = κ–1 ∂φ/∂ζ, PCNT – слагаемое, определяемое нелинейностью, связанной с УНТ, P – аналог квантового давления. Поскольку уравнение (5) имеет вид аналогичный нелинейному уравнению Шрёдингера, которое описывает волновую функцию квантово-механической системы, поэтому и давление в подходе Маделунга принято называть квантовым. Стоит отметить, что член квантового давления также можно записать в терминах квантового потенциала Бома [19], который управляет движением квантовых частиц. Но для используемого в данной работе метода такая формулировка неудобна.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Мы будем исследовать интенсивность лазерного ручка, пропорциональную величине ρ. Уравнение (6) решалось численно методом SPH с ядром в виде, предложенным Монаганом [20, 21]:

(7)
$W\left( {x,h} \right) = \frac{2}{{3h}}\left\{ \begin{gathered} 1 - 1.5\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{h}^{2}}}} + 0.75\frac{{{{x}^{3}}}}{{{{h}^{3}}}},\,\,\,\,0 \leqslant x < 1, \hfill \\ 0.25{{\left( {2 - \frac{x}{h}} \right)}^{3}},\,\,\,\,1 \leqslant x < 2, \hfill \\ 0,\,\,\,\,x \geqslant 2. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Любая физическая величина B(x) в методе SPH в одномерном случае будет задаваться в виде:

(8)
$B\left( x \right) = \sum\limits_j {\frac{{{{m}_{j}}}}{{{{\rho }_{j}}}}} A\left( {{{x}_{j}}} \right)W\left( {x - {{x}_{j}},h} \right),$
здесь mj – масса j-ой частица, которая определяется согласно формуле:

(9)
${{m}_{j}} = a_{0}^{2}{{d}_{0}}{\text{exp}}\left( { - \frac{{2x_{j}^{2}}}{{l_{\varsigma }^{2}}}} \right),$

что соответствует начальному условию: $\psi \left( {\varsigma ,0} \right)$ = = ${{a}_{0}}{\text{exp}}\left( { - {{{{\varsigma }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varsigma }^{2}}} {l_{\varsigma }^{2}}}} \right. \kern-0em} {l_{\varsigma }^{2}}}} \right)$, a0 – начальная амплитуда электрического поля пучка, ${{l}_{\varsigma }}$ – начальная полуширина пучка.

Отметим, что первое уравнение системы (6) – это закон сохранения массы, которому удовлетворяет наша дискретизация. Таким образом, необходимо решить второе уравнение системы, которое описывает движение частиц и позволяет определить ускорение каждой частицы.

Типичное распределение интенсивности лазерного пучка (|ψ|2/|a0|2) при его распространении по образцу представлено на рис. 2. Полученные зависимости позволяют говорить о стабильном распространении электромагнитного пучка, который проходит расстояние больше дифракционной длины.

Рис. 2.

Распределение интенсивности лазерного пучка в различные моменты времени: сплошная линия соответствует τ = 0, точечная линия – τ = 15, пунктирная линия – τ = 35, штрихпунктирная линия – τ = = 50. Единица по оси ζ соответствует 3 · 10–6 м.

Также нами исследовано влияние частоты электрического поля импульса на динамику пучка в нелинейной среде с УНТ. Зависимость формы лазерного пучка от координаты для разных значений величины ω показана на рис. 3.

Рис. 3.

Распределение интенсивности лазерного пучка для разных значений частоты поля: сплошная линия соответствует ω = 4 · 1014 с–1; точечная линия – ω = 8 · 1014 с–1; τ = 30 (а), 50 (б). Единица по оси ζ соответствует 3 · 10–6 м.

Видно, что увеличение частоты электрического поля импульса приводит к замедлению распространения лазерного пучка в среде с углеродными нанотрубками. Ширина пучка при этом остается неизменной. Общие выводы из результатов моделирования для лазерных пучков методом SPH совпадают с полученными ранее результатами на основе решения обобщенного уравнения Шредингера при помощи неявной численной схемы [22]. Также отметим, что метод SPH устойчив и не приводит к расходимостям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в рамках гидродинамического подхода выведено эффективное уравнение, описывающее распространение монохроматического лазерного пучка в среде с углеродными нанотрубками. Продемонстрирована возможность применения метода сглаженных частиц с использованием параллельных технологий для моделирования динамики монохроматического пучка в массиве нанотрубок. Установлено, что лазерный пучок стабильно распространяется в среде углеродных нанотрубок с незначительными потерями по амплитуде вследствие уширения. Увеличение частоты электрического поля импульса влияет на скорость распространения пучка, что проявляется в ее уменьшении.

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-71-00016, https://rscf.ru/project/23-71-00016/). Работа выполнена с использованием оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М.В. Ломоносова.

Список литературы

  1. Iijima S. // Nature. 1991. V. 354. P. 56.

  2. Vasilevsky P.N., Savelyev M.S., Tolbin A.Yu. et al. // Photonics. 2023. V. 10(5). P. 537.

  3. Yamashita S. // APL Photonics. 2019. V. 4. Art. No. 034301.

  4. Wang J., Chen Y., Blau W.J. // J. Mater. Chem. 2009. V. 19. P. 7425.

  5. Kärtner F.X. Few-cycle laser pulse generation and its applications. Berlin: Springer, 2004.

  6. Konobeeva N.N., Fedorov E.G., Rosanov N.N. et al. // J. Appl. Phys. 2019. V. 126. Art. No. 203103.

  7. Архипов Р.М., Архипов М.В., Пахомов А.В. и др. // Письма в ЖЭТФ. 2021. Т. 113. № 4. С. 237; Arhipov R.M., Arhipov M.V., Pahomov A.V. et al. // JETP Lett. 2021. V. 113. No. 4. P. 242.

  8. Шахмуратов Р.Н. // Письма в ЖЭТФ. 2023. Т. 117. № 3. С. 193; Shakhmuratov R.N. // JETP Lett. 2023. V. 117. No. 3. P. 189.

  9. Pyatkov F., Khasminskaya S., Kovalyuk V. et al. // Beilstein J. Nanotechnol. 2017. V. 8. P. 38.

  10. Zhan J., Qin J., Tan S. et al. // Modern Instrum. 2018. V. 7. P. 24.

  11. Gingold R.A., Monaghan J.J. // Month. Notes. Royal. Astron. Soc. 1977. V. 181. P. 375.

  12. Вшивков В.А., Тарнавский Г.А., Неупокоев Е.В. // Автометрия. 2002. Т. 38(4). С. 74.

  13. Cabezón R.M., García-Senz D., Figueira J. // Astronom. Astrophys. 2017. V. 606. Art. No. A78.

  14. Shutov A., Klyuchantsev V. // J. Phys. Conf. Ser. 2019. V. 1268. Art. No. 012077.

  15. Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. No. 9. P. 899.

  16. Эпштейн Э.М. // ФТТ. 1977. Т. 19. С. 3456.

  17. Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. М.: Физматлит, 2003.

  18. Mocz P., Succi S. // Phys. Rev. E. 2015. V. 91. Art. No. 053304.

  19. Bohm D. // Phys. Rev. 1952. V. 85. No. 2. P. 166.

  20. Потапов И.И., Решетникова О.В. // Комп. иссл. и модел. 2021 Т. 13. № 5. С. 979.

  21. Monaghan J.J., Lattanzio J.C. // Astron. Astrophys. 1985. V. 149. No. 1. P. 135.

  22. Zhukov A.V., Bouffanais R., Belonenko M.B. et al. // Mod. Phys. Lett. B. 2013. V. 27. No. 7. Art. No. 1350045.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал