Коллоидный журнал, 2021, T. 83, № 5, стр. 548-556

ВВЕДЕНИЕ

Испарение капель является предметом изучения в течение длительного времени. Тем не менее, это направление исследований продолжает быть актуальным [1, 2], в том числе, в связи с возможными приложениями. Среди них – получение наночастиц методом LPSP (low-pressure spray pyrolysis), включающим испарительное охлаждение капель с образованием в них пересыщенного раствора и его последующим распадом по нуклеационному механизму [3, 4]. Капельные кластеры, образующиеся над локально нагретой поверхностью воды, имеют, по мнению авторов [5], потенциал использования в качестве уникальных биохимических микрореакторов. Результаты исследования процессов испарения–конденсации в таких кластерах представлены в [6]. Моделирование процесса горения в двигателях и топках котлов, работающих на жидком топливе, невозможно без корректного описания процессов нагрева и испарения капель применительно к указанным объектам [7–9]. Газокапельные потоки, в том числе импульсные, предлагается использовать для испарительного охлаждения поверхностей различных аппаратов, включая мощные светодиоды [10–12]. Способность испаряющихся капель охлаждать окружающий их газ используется в кондиционировании. По аналогии предлагается использовать этот эффект для пожаротушения с помощью “водяного тумана” (water mist fire suppression systems) [13–15], а также как способ охлаждения потока газа в многоступенчатых компрессорах [16]. В химической технологии зачастую возникает необходимость быстрого охлаждения продуктов реакции для предотвращения образования нежелательных побочных продуктов. В этом случае также может быть предложено охлаждение реакционного объема испаряющимися каплями. Результаты численного моделирования капельного охлаждения продуктов конверсии метана в синтез-газ представлены в [17]. Быстрое охлаждение в рассмотренном случае требуется для предотвращения образования сажи.

Объектом рассмотрения данной работы является смесь горячего газа (азота) и холодных капель воды в замкнутом теплоизолированном объеме. Цель работы – получить соотношения, связывающие время охлаждения газа в заданном температурном интервале, начальные значения радиуса и массовой доли капель. Будет использовано обобщение результатов численного моделирования. На основе указанных соотношений, полученных без привязки к конкретному объекту, можно будет оценивать возможности охлаждения газа испаряющимися каплями воды в различных практических приложениях.

В первой части данной работы описана использованная математическая модель исследуемого процесса, во второй – представлены результаты моделирования и их обсуждение, заключение содержит выводы по работе.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается облако неподвижных капель, равномерно распределенных в замкнутом теплоизолированном объеме V, заполненном газом. В начальный момент времени температура газа выше температуры капель, что определяет тепло- и массообмен между каплями и газом в процессе установления термодинамического равновесия. В рассматриваемых условиях сохраняющимися величинами являются суммарная масса M и внутренняя энергия смеси газ/капли/пар U, а также удельные (на единицу объема смеси) значения массы и внутренней энергии

где ${{{{\rho }}}_{i}}$ – плотность i-го компонента, ${{u}_{i}}$ – внутренняя энергия единицы массы i-го компонента; индексы ${\text{g}}$, d, v относятся соответственно к газу, каплям и пару, верхним индексом 0 отмечены величины в начальный момент времени. В общем случае масса капель в единице объема – плотность капель ${{{{\rho }}}_{{\text{d}}}}$ – определяется как где ${{r}_{{\text{d}}}}$ – радиус капли, ${{{{\rho }}}_{{\text{l}}}}$ – плотность вещества капли, $f({{r}_{{\text{d}}}})$ – нормированная на число капель в единице объема функция распределения капель по размерам

В процессе охлаждения газа число капель не изменяется. В данной работе будет рассмотрен случай монодисперсного распределения, для которого

С учетом баланса массы компонентов смеси

и быстрого выравнивания температур пара и газа в молекулярных столкновениях (${{{{\tau }}}_{{{\text{vg}}}}}$ ~ 10^–8 с) из выражения (2) следуют уравнения энергии для смеси в целом

и ее компонентов

Здесь ${{c}_{i}}$ – изохорная теплоемкость i-го компонента, T – температура, ${{Q}_{{{\text{gd}}}}}$ – количество тепла, передаваемое в единицу времени в единице объема от газа к каплям, $\Delta {{u}_{{{\text{vd}}}}}$ – изменение внутренней энергии в процессе испарения, связанное с теплотой испарения L и давлением $p_{{\text{v}}}^{{\text{s}}}$ и плотностью пара ${{\rho }}_{{\text{v}}}^{{\text{s}}}$ в состоянии насыщения соотношением

Теплообмен газа и капель в общем случае включает конвективную и радиационную составляющие,

Согласно оценкам по формулам нестационарной теплопроводности [18], в капле воды радиусом ~10 мкм относительная разность температур меньше 5% достигается за время t > ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{c}}} \approx $ 5.5 мкс. Имея в виду рассматривать именно такие капли, при определении конвективной составляющей будем считать профиль температуры в каплях однородным и используем выражение

где ${{{{\lambda }}}_{{\text{g}}}}$ – коэффициент теплопроводности газа, Nu – число Нуссельта; при отсутствии обдува капель газом Nu = 2. Полученное в расчетах с использованием (12) время нагрева капель будет сопоставлено со значением ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{c}}}$ для выяснения допустимости предположения об однородном профиле температуры в каплях.

Оценку сверху влияния теплообмена излучением на нагрев капель в случае прозрачного газа дает соотношение

где ${{T}_{{{\text{wal}}}}}$ – температура стенки, ограничивающей рассматриваемый объем, ${{\sigma }}$ – постоянная Стефана–Больцмана. Принимая равенство температур стенки и газа, получим

Для смеси азота ($T_{{\text{g}}}^{{\text{0}}} = $ 973 K, ${{{{\lambda }}}_{{\text{g}}}}$ = 0.055 Вт/(м K)) и капель воды ($T_{{\text{d}}}^{{\text{0}}} = $ 293 K) имеем ${{Q_{{{\text{gd}}}}^{{\text{R}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Q_{{{\text{gd}}}}^{{\text{R}}}} {Q_{{{\text{gd}}}}^{{\text{c}}}}}} \right. \kern-0em} {Q_{{{\text{gd}}}}^{{\text{c}}}}} \approx {{10}^{3}}{{r}_{{\text{d}}}}$. Следовательно, для капель радиусом 10 мкм (10^–5 м) вкладом радиационной составляющей можно пренебречь. Разумеется, такое утверждение не относится к модели, описывающей поведение капельного кластера под действием излучения лазера [6].

Предполагается, что имеет место независимое испарение отдельных капель. Данное предположение накладывает ограничение на плотность капель. Исходя из требования n-кратного превышения среднего расстояния между каплями по отношению к диаметру капли, имеем

Для капель воды при n = 10 ${{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}} \leqslant $ 0.52 кг/м³. Отметим, что накладываемое ограничение удовлетворяется для любых начальных размеров капель. В то же время размер капель определяет режим испарения. Для капель с начальным радиусом ~10 мкм, которые будут рассмотрены в данной работе, скорость испарения определяется процессом диффузии пара от капли. При этом квазистационарное изменение радиуса одиночной капли с учетом стефановского течения описывается выражением [19]

Здесь

где ${{{{\mu }}}_{i}}$ – молярная масса i-го компонента смеси.

Скорость нестационарного испарения капли может быть определена следующим образом [19]:

Следуя [19], на основе (18) определяем значение ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{D}}}$, обеспечивающее (при t > ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{D}}}$) вклад нестационарности менее 5%:

Для капель воды радиусом 10 мкм и коэффициенте диффузии паров воды в азоте 0.26 × × 10^–4 м²/с значение ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{D}}}$ ≈ 0.49 мс. В дальнейшем будем использовать для определения скорости испарения капель выражение (16). Полученное в расчетах с использованием (16) время испарения капель будет сопоставлено со значением ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{D}}}$ для выяснения допустимости предположения о квазистационарном испарении.

Согласно (5) и при условии ${{n}_{{\text{d}}}} = {\text{const}}$ уравнение материального баланса для капель в единице объема имеет вид

Решение системы уравнений (8), (9), (16), (20) с учетом (12) позволяет определить изменение температуры и массы компонентов смеси в зависимости от времени. В состоянии теплового равновесия указанные величины можно найти непосредственно из балансовых соотношений согласно (1) и (2). В частности, при неполном испарении капель, когда ${{{{\rho }}}_{{\text{v}}}} \leqslant {{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}$, выражение для температуры смеси ${{\theta }}$ и распределение компонентов в состоянии теплового равновесия имеют вид

При полном испарении капель до достижения теплового равновесия

Здесь ${{\bar {c}}_{{\text{g}}}}$ и ${{\bar {c}}_{{\text{v}}}}$ – средне-интегральные значения теплоемкости газа и пара:

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Представленная выше модель была применена для смеси азота ($T_{{\text{g}}}^{{\text{0}}} = $ 973 K, ${{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}$ = 1.21 кг/м³) и капель воды ($T_{{\text{d}}}^{0} = $ 293 K). Варьируемыми величинами были начальные значения плотности и радиуса капель – ${{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}$ и $r_{{\text{d}}}^{0}$. Для выяснения роли процесса испарения в расчетах наряду с каплями рассмотрены неиспаряющиеся шарики, радиус которых равен начальному радиусу капель, а материал, как и капли, обладает плотностью и теплоемкостью воды. Необходимые справочные данные о свойствах азота, водяного пара и воды взяты из [20].

Результаты расчета параметров теплового равновесия в смеси согласно (21)–(24) представлены на рис. 1. Видно, что с точки зрения термодинамики влияние испарения проявляется в возможности достижения более низкой равновесной температуры газа. При увеличении суммарной массы вводимых частиц разность достижимых значений температуры в случае капель и шариков возрастает в области частичного испарения капель и падает в области полного испарения капель, достигая максимальной величины на границе областей. Увеличение массовой доли вводимых капель для снижения равновесной температуры в области полного испарения неэффективно: при увеличении ${{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}{\text{/}}{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}$ вдвое снижение ${{\theta }}$ составляет менее 1%.

Результаты численного интегрирования системы уравнений (8), (9), (16), (20) с учетом (12) для указанных выше условий представлены на рис. 2–6. Использовалась авторская программа COND-KINET-1 [21].

Изменения температуры газа и капель для случая полного (рис. 2) и частичного (рис. 3) испарения капель показаны на рис. 2, 3. Видно, что с учетом испарения не только достигается более низкая, чем для шариков, стационарная температура, но и охлаждение газа происходит быстрее. Указанный эффект имеет место и для полного испарения капель, и для частичного. В расчетах полное испарение капель моделировалось прекращением счета при уменьшении начального радиуса капли до размера ~1 мкм. Неиспарившаяся часть исходной массы капель (~0.1%) не влияла на близость результатов термодинамического (равновесная температура) и кинетического (стационарная температура) подходов. При этом оставалось неизменным количество капель, что было использовано при выводе уравнения (20), и сохранялась возможность использовать выражение для скорости испарения в виде (16).

Рисунки 4, 5 демонстрируют изменение температуры газа в процессе охлаждения испаряющимися каплями при различных начальных значениях массовой доли капель в смеси (рис. 4) и их радиуса (рис. 5). Согласно данным рис. 4, начальная массовая доля капель в смеси влияет на скорость охлаждения. Если значение величины ${{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}$ соответствует области полного испарения капель, ее увеличение позволяет достичь более низкой температуры в конце охлаждения (рис. 4, кривые 1 и 2). Для значений ${{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}$ области частичного испарения капель (рис. 4, кривые 3 и 4) температура в конце охлаждения слабо зависит от ${{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}$. Из результатов расчетов выяснилось, что при перенормировке оси времени множителем ${{({{10} \mathord{\left/ {\vphantom {{10} {r_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}}}} \right. \kern-0em} {r_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}}})}^{2}}$ кривые ${{T}_{{\text{g}}}}(t)$ для различных значений $r_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}$ совмещаются с соответствующей кривой для $r_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}$ = 10 мкм (см. рис. 5). По-видимому, это отражает тот факт, что согласно (8) и (12) в начальный момент времени скорость охлаждения газа обратно пропорциональна квадрату начального радиуса капли.

Изменение температуры и плотности капель при охлаждении газа испаряющимися каплями представлено на рис. 6. Обращает на себя внимание, что нагрев капель происходит намного быстрее их испарения. Аналогичный эффект отмечен в [4, 17]. Стационарная температура капель слабо зависит от соотношения начальных масс капель и газа. Видно, что характерные времена процессов нагрева и испарения капель более чем на порядок превышают величины ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{c}}}$ и ${{\tau }}_{{{\text{0}}{\text{.05}}}}^{{\text{D}}}$ соответственно, что подтверждает справедливость использованных допущений об однородном температурном профиле в каплях и квазистационарном испарении. Представленные результаты получены с использованием предположения о монодисперсном распределении капель. Результаты моделирования испарения полидисперсного ансамбля капель в работе [22] сопоставлены с аналогичными результатами для монодисперсного приближения и с экспериментальными данными [23]. Можно сказать, что три группы результатов достаточно близки. Аналогичный вывод сделан в [24] при сравнении результатов моделирования гетерогенной конденсации пара на моно- и полидисперсных центрах.

На основании проведенных расчетов получены данные о времени снижения температуры газа от начального значения $T_{{\text{g}}}^{{\text{0}}}$ до заданного значения ${{T}_{g}}$. Использованы различные значения массовой доли капель в смеси и их начального радиуса. Для случая $r_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}$ = 10 мкм эти данные демонстрирует рис. 7. Видно, что испаряющиеся капли быстрее охлаждают газ, чем шарики, и до более низких температур. Время охлаждения газа уменьшается с ростом начального значения массовой доли капель ${{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}$. Для каждого значения ${{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\rho }}}_{{\text{g}}}}}}$ время охлаждения описывается полиномом третьей степени аргумента y = ($T_{{\text{g}}}^{{\text{0}}}$ − ${{T}_{g}}$)/1000. В целом полученные данные могут быть аппроксимированы выражением

Здесь $\Delta {{t}_{T}}$ – время охлаждения газа от начального значения $T_{{\text{g}}}^{{\text{0}}}$ до заданного значения ${{T}_{g}}$, начальный радиус капель выражен в мкм, а величина A и время охлаждения выражены в мс. Найденные по результатам численного моделирования значения A и n представлены на рис. 8. Они также описываются полиномами третьей степени:

Видно, что с учетом погрешности вычислений при определении времени охлаждения выражения (27) и (28) обеспечивают правильное асимптотическое поведение параметров A и n: при условии ${{T}_{{\text{g}}}} \to T_{{\text{g}}}^{0}$ следует $A \to 0$, $n \to 1$, $\Delta {{t}_{T}} \sim {{\left( {r_{{\text{d}}}^{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{{\rho }}_{{\text{d}}}^{{\text{0}}}} \right)}^{{ - 1}}}$, что соответствует уравнению энергии для газа (8) с учетом (12). Выражения (26)–(28) позволяют определить время охлаждения газа испаряющимися каплями в заданном температурном интервале в зависимости от начальных значений массовой доли и радиуса капель, что соответствует заявленной цели данной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современные возможности численного моделирования позволяют, с одной стороны, дать детальное описание процессов в изучаемом объекте с получением результатов, зачастую применимых только к рассмотренной ситуации. С другой стороны, имеется возможность, упростив постановку задачи, на основе результатов численного моделирования получить обобщающие зависимости. В данной работе была реализована именно такая возможность.

Использована упрощенная модель процесса установления теплового равновесия в смеси горячего газа и холодных капель воды в замкнутом объеме. На основе компьютерной реализации модели определены температура газа, а также масса и температура капель в зависимости от времени. Обобщение данных численного моделирования позволило определить искомые зависимости для времени охлаждения газа. Справедливость принятых упрощающих предположений о квазистационарном испарении и однородном температурном профиле в каплях подтверждена результатами расчетов. Потенциальное влияние учета полидисперсного распределения капель оценено на основе сопоставления с литературными данными.

Можно предположить, что учет такого неучтенного в модели фактора, как обдув капель газом, привел бы к снижению времени охлаждения. Следовательно, результаты, полученные на основе (26)–(28), дают оценку сверху времени охлаждения газа испаряющимися каплями. Эта информация, полученная без привязки к конкретному объекту, может служить ориентиром при оценке возможностей охлаждения газа испаряющимися каплями воды в различных приложениях. Задачей дальнейших исследований является определение зависимости времени охлаждения от отношения теплоты испарения к начальному теплосодержанию газа, а также рассмотрение процесса охлаждения газа в газокапельном потоке.