Коллоидный журнал, 2021, T. 83, № 6, стр. 676-681
Влияние разогрева парогазовой среды теплом конденсации на стадию нуклеации многокомпонентных капель
А. Е. Кучма 1, А. К. Щёкин 1, *, А. А. Михеев 1
1 Санкт-Петербургский государственный университет
199034 Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9, Россия
* E-mail: a.shchekin@spbu.ru
Поступила в редакцию 01.06.2021
После доработки 04.06.2021
Принята к публикации 05.06.2021
Аннотация
Описано влияние тепла фазового перехода на температуру замкнутой многокомпонентной парогазовой метастабильной фазы, на растущие закритические капли и их распределение по размерам на стадии гомогенного образования и роста (стадии нуклеации) закритических капель. Предполагается, что между существенно закритическими каплями и парогазовой средой устанавливается стационарный диффузионный перенос молекул конденсирующихся паров и тепла, при котором как состав капли, так и ее температура остаются уже постоянными и одинаковыми для всех закритических капель. Получена система уравнений, определяющих состав и температуру существенно закритических капель, скорость их роста через начальную температуру и пересыщения паров. Построены выражение для отклонения температуры парогазовой среды от ее начального значения и выражение для функции распределения капель по размерам в зависимости от времени.
ВВЕДЕНИЕ
Исследованию неизотермической гомогенной нуклеации в пересыщенных парах посвящено довольно много работ. Обычно, когда идет речь о тепловых эффектах неизотермической нуклеации, обсуждается роль нагревания однокомпонентных капель околокритического размера и возникающее вследствие этого тепловое торможение скорости нуклеации [1, 2], нагревание, изменение состава и тепловое торможение скорости роста однокомпонентных и многокомпонентных закритических капелек в условиях стационарного и нестационарного обмена веществом и теплом с парогазовой средой [3–9], влияние тепла фазового перехода в замкнутой однокомпонентной парогазовой метастабильной фазе на растущие закритические капли и их распределение по размерам на стадии гомогенного образования и роста (стадии нуклеации) закритических капель [10–12].
В данной статье мы хотели бы включить описание тепловых эффектов неизотермической конденсации в замкнутой парогазовой метастабильной фазе в теорию стадии нуклеации закритических капель в многокомпонентных парах, построенную недавно нами в работах [13, 14]. При этом мы не будем обсуждать эволюцию распределения многокомпонентных околокритических капель в условиях неизотермической конденсации на инкубационной стадии формирования стационарной скорости нуклеации, рассматривая эту задачу как требующую отдельного исследования. Фактором, значительно упрощающим изучение стадии нуклеации закритических капель, будет установление стационарного состава и температуры существенно закритических капель вместе с установлением стационарной диффузии паров в растущие капли.
1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть исходная система содержит $k$ компонентов конденсирующихся паров и неконденсирующийся пассивный газ. Считаем заданными начальные концентрации паров ${{n}_{{i,0}}}$, концентрацию пассивного газа ${{n}_{{\text{g}}}}$ и абсолютную начальную температуру парогазовой смеси ${{T}_{0}}$.
По мере монотонного роста образующихся закритических капель концентрации паров ${{n}_{i}}\left( t \right)$ как функции времени $t$ уменьшаются, а тепло, выделяющееся в результате конденсации, приводит к повышению температуры $T\left( t \right)$ парогазовой среды. При этом скорость генерации новых закритических капель постепенно снижается вследствие уменьшения пересыщений конденсирующихся паров и повышения температуры метастабильной фазы. Для текущих значений пересыщений паров ${{\zeta }_{i}}(t)$ имеем
(1)
${{\zeta }_{i}}(t) = \frac{{{{n}_{i}}\left( t \right) - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( T \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( T \right)}},\,\,\,\,i = 1,2,...,k,$(2)
${{\zeta }_{{i,0}}} = \frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)}},\,\,\,\,i = 1,2,...,k.$Скорость нуклеации $J$ многокомпонентных капель может быть записана в следующем виде [13–16]:
где $\Delta {{F}_{{\text{c}}}}$ – работа образования критической капли (значение работы образования капли в седловой точке при неустойчивом равновесии капли с многокомпонентной парогазовой средой), а $C$ – предэкспоненциальный множитель, зависящий от пути перехода через седловую точку работы, от температуры околокритических капель и пересыщений паров, но мало изменяющийся со временем на стадии нуклеации. Выражение для работы $\Delta {{F}_{{\text{c}}}}$ имеет вид [14]:(4)
$\Delta {{F}_{{\text{c}}}}\left( t \right) = \Delta {{F}_{{\text{c}}}}\left( {\left\{ {{\zeta }} \right\},T} \right) = \frac{{16{{\pi }}{{{{\sigma }}}^{3}}\left( {\left\{ {{\zeta }} \right\},T} \right){{v}^{2}}\left( {\left\{ {{\zeta }} \right\},T} \right)}}{{3{{{\left( {{{k}_{{\text{B}}}}T} \right)}}^{3}}}},$Как показано в [14], для нахождения мольных долей $\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\} = ({{x}_{{1{\text{c}}}}},{{x}_{{2{\text{c}}}}},...,{{x}_{{k{\text{c}}}}})$ компонентов в критической капле и параметра $v$ в зависимости от пересыщений можно получить систему нелинейных уравнений
(5)
$\begin{gathered} {{x}_{{i{\text{c}}}}} = \frac{{{{{{\zeta }}}_{i}} + 1}}{{{{{{\gamma }}}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)}}\exp \left( { - \frac{{{{v}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)}}{v}} \right), \\ i = 1,2,...,k. \\ \end{gathered} $(6)
$\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{{{{\zeta }}}_{i}} + 1}}{{{{{{\gamma }}}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)}}\exp \left( { - \frac{{{{v}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)}}{v}} \right)} = 1.$В этих уравнениях ${{v}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)$ – парциальный объем $i$-го компонента в капле, ${{{{\gamma }}}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{c}}}}} \right\},T} \right)$ – соответствующий коэффициент активности.
Определим относительные изменения пересыщений паров на стадии нуклеации как
(7)
${{\varphi }_{i}}(t) \equiv \frac{{{{\zeta }_{{i,0}}} - {{\zeta }_{i}}(t)}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}}},\,\,\,\,i = 1,2,...,k,$(8)
${{\bar {\zeta }}_{0}} \equiv \sum\limits_{i = 1}^k \left( {{{\zeta }_{{i,0}}} + 1} \right) - 1.$Имея в виду малость относительных изменений пересыщений ${{\varphi }_{i}}(t) \ll 1$ и температуры ${{\Delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta T} {{{T}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{0}}}} = {{\left( {T - {{T}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {T - {{T}_{0}}} \right)} {{{T}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{0}}}}$ парогазовой среды на стадии нуклеации, можно положить
(9)
$\Delta {{F}_{{\text{c}}}}\left( t \right) \approx \Delta {{F}_{{{\text{c}},0}}} + \sum\limits_i {{{\Gamma }_{i}}{{\varphi }_{i}}} \left( t \right) + {{\Gamma }_{T}}\frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}},$(10)
$J(t) = {{J}_{0}}\exp \left( { - \sum\limits_i {{{\Gamma }_{i}}{{\varphi }_{i}}\left( t \right) - {{\Gamma }_{T}}\frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}}} } \right).$Здесь ${{J}_{0}} = {{\left. J \right|}_{{\left\{ {{{\zeta }_{0}}} \right\},{{T}_{0}}}}}$ – скорость нуклеации при начальных значениях пересыщений и в пренебрежении разогревом парогазовой среды, но с учетом нагрева околокритических капель, $\Delta {{F}_{{{\text{c}},0}}} \equiv {{\left. {\Delta {{F}_{{\text{c}}}}} \right|}_{{\left\{ {{{\zeta }_{0}}} \right\},{{T}_{0}}}}}$,
(11)
${{\Gamma }_{i}} = - {{\bar {\zeta }}_{0}}{{\left( {\frac{{\partial \Delta {{F}_{c}}}}{{\partial {{\zeta }_{i}}}}} \right)}_{{\left\{ {{{\zeta }_{0}}} \right\},{{T}_{0}}}}},$(12)
${{\Gamma }_{T}} = {{\left( {\frac{{\partial \Delta {{F}_{c}}\left( {\left\{ {{{\zeta }_{0}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{\partial \ln {{T}_{0}}}}} \right)}_{{\left\{ {{{\zeta }_{0}}} \right\},{{T}_{0}}}}}.$По мере роста закритической капли ее состав и температура изменяются, при этом постепенно устанавливается стационарный режим роста и обмена теплом с парогазовой средой, в котором как состав капли, характеризуемый набором мольных долей $\left\{ {x = {{x}_{{\text{s}}}}} \right\}$, так и ее температура ${{T}_{{\text{d}}}}$ остаются уже постоянными и одинаковыми для всех закритических капель. Если время установления стационарного режима роста капли мало по сравнению с общей продолжительностью стадии нуклеации (это будет так, если максимальный размер капель к концу стадии нуклеации достаточно велик), то можно приближенно полагать, что этот режим реализуется на всем протяжении времени роста закритических капель. Такое приближение мы используем в нашем рассмотрении в разделе 2.
2. СТАЦИОНАРНЫЙ СОСТАВ $\left\{ {{{x}_{\operatorname{s} }}} \right\}$, ТЕМПЕРАТУРА ${{T}_{d}}$ И СКОРОСТЬ РОСТА ЗАКРИТИЧЕСКОЙ КАПЛИ
В условиях стационарности диффузии частиц паров для скорости изменения числа ${{N}_{i}}$ частиц $i$-го компонента в капле радиуса $R$ имеем следующее выражение [14]:
(13)
$\begin{gathered} {{{\dot {N}}}_{i}} = 4\pi {{R}^{2}}{{D}_{i}}\frac{{{{n}_{i}}\left( t \right) - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{x}_{{i{\text{s}}}}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{R} \approx \\ \approx 4\pi {{R}^{2}}{{D}_{i}}\frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{x}_{{i{\text{s}}}}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{R}, \\ \end{gathered} $Соответственно
(15)
${{N}_{i}} = {{x}_{{i{\text{s}}}}}{{N}_{R}},\,\,\,\,{{\dot {N}}_{i}} = {{x}_{{i{\text{s}}}}}{{\dot {N}}_{R}},$(16)
$\frac{{{{{\dot {N}}}_{1}}}}{{{{x}_{{1{\text{s}}}}}}} = \frac{{{{{\dot {N}}}_{2}}}}{{{{x}_{{2{\text{s}}}}}}} = ... = \frac{{{{{\dot {N}}}_{k}}}}{{{{x}_{{k{\text{s}}}}}}}.$Из (16) и (13) получаем
(17)
$\begin{gathered} {{D}_{1}}\left( {\frac{{{{n}_{{1,0}}}}}{{{{x}_{{1{\text{s}}}}}}} - {{\gamma }_{1}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{1}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)} \right) = ... = \\ = {{D}_{k}}\left( {\frac{{{{n}_{{k,0}}}}}{{{{x}_{{k{\text{s}}}}}}} - {{\gamma }_{k}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{k}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $Учтем теперь, что хорошим приближением для ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }_{i}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)$ при $\Delta {{T}_{{\text{d}}}} = {{T}_{{\text{d}}}} - {{T}_{0}} \ll {{T}_{0}}$ служит формула
(18)
$\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)}} = {{e}^{{\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}},$(19)
$\begin{gathered} {{D}_{1}}{{n}_{{1,0}}}\left( {\frac{1}{{{{x}_{{1{\text{s}}}}}}} - {{\gamma }_{1}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{e}^{{\frac{{{{q}_{{1,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right) = ... = \\ = {{D}_{k}}{{n}_{{k,0}}}\left( {\frac{1}{{{{x}_{{k{\text{s}}}}}}} - {{\gamma }_{k}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{e}^{{\frac{{{{q}_{{k,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right) \\ \end{gathered} $Система (19), (20) состоит из $k$ уравнений и дополняется условием стационарного баланса тепла, которое для растущей одиночной капли имеет вид
(21)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^k {{{D}_{i}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)\left( {{{\zeta }_{{i,0}}} + 1 - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{x}_{{i{\text{s}}}}}{{e}^{{\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right)} \times \\ \times \,\,{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right) = \kappa \Delta {{T}_{{\text{d}}}}, \\ \end{gathered} $В итоге уравнения (19)–(21) формируют искомую полную систему уравнений для стационарного состава капли $\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\}$ и ее температуры ${{T}_{{\text{d}}}}$. Эта система в общем случае требует знания коэффициентов активности для раствора в закритической капле и даже в приближении идеальности раствора при конденсации более чем двух паров может быть решена только численно.
Найдем теперь выражение для скорости стационарного роста существенно закритической капли. Для такой капли ее радиус $R$ и полное число молекул ${{N}_{R}}$ конденсата в ней, очевидно, связаны как
(22)
$\frac{{4\pi {{R}^{3}}}}{3} = {{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{N}_{R}},$(23)
${{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^k {{{x}_{{i{\text{s}}}}}{{v}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)} ,$(24)
$R\dot {R} = {{D}_{i}}{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)\frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{x}_{{i{\text{s}}}}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}}}.$Используя вытекающее из (2) соотношение ${{n}_{{i,0}}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)\left( {{{\zeta }_{{i,0}}} + 1} \right)$ и формулу (18), перепишем (24) как
(25)
$\begin{gathered} R\dot {R} = {{D}_{i}}{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{s}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right) \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{{{\zeta }_{{i,0}}} + 1}}{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}}} - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{e}^{{\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right) \equiv \frac{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{2}, \\ \end{gathered} $(26)
${{R}^{2}}\left( t \right) = A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)t.$Видим, что, как и в изотермическом случае, квадрат радиуса многокомпонентной капли растет линейно во времени. Подставляя в функции ${{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)$ и ${{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)$ решения $\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\}$ и $\Delta {{T}_{{\text{d}}}}$ уравнений (19)–(21), с помощью (25) и (26) можем численно найти радиус растущей капли в любой момент времени на стадии нуклеации. При изотермической нуклеации $\Delta {{T}_{{\text{d}}}} = 0$, и (25) переходит в соотношение (4.30) из [3]. Заметим, что с учетом тождества $\sum\nolimits_{i = 1}^k {{{x}_{{i{\text{s}}}}}} = 1$ выражение для величины $R\dot {R}$ можно переписать в эквивалентном виде как
(27)
$\begin{gathered} R\dot {R} = {{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 1}^k {{{D}_{i}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}\left( {{{T}_{0}}} \right)\left( {{{\zeta }_{{i,0}}} + 1 - {{\gamma }_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{x}_{{i{\text{s}}}}}{{e}^{{\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta {{T}_{{\text{d}}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right)} \,. \\ \end{gathered} $3. ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПАРОГАЗОВОЙ СРЕДЫ
Найдем теперь явное выражение для температуры парогазовой среды. Полагаем, что все выделяющееся при конденсации паров тепло отводится в парогазовую среду. Запишем соответствующий баланс тепла в виде
(28)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^k {{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)\left( {{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)} \right)} \approx \\ \approx \left( {{{c}_{{\text{g}}}}{{n}_{{\text{g}}}} + \sum\limits_{i = 1}^k {{{c}_{i}}{{n}_{{i,0}}}} } \right){{k}_{{\text{B}}}}\Delta T\left( t \right), \\ \end{gathered} $(30)
${{c}_{{\text{g}}}}{{n}_{{\text{g}}}} + \sum\limits_{i = 1}^k {{{c}_{i}}{{n}_{{i,0}}}} \equiv c$(31)
$\frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}} = \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{c{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}}}\left( {{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)} \right)} .$Выразим ${{\Delta T\left( t \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta T\left( t \right)} {{{T}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{0}}}}$ через величины ${{\varphi }_{i}}\left( t \right)$. Используя определения (7), (2) и формулу (18), при ${{{{q}_{{i,0}}}\Delta T} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{i,0}}}\Delta T} {{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}} \ll 1$ получаем
(32)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{i}}(t) = \frac{1}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}}}\left( {\frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}} + \frac{{{{n}_{i}}\left( t \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}} - \frac{{{{n}_{i}}\left( t \right)}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}(T)}}} \right) \approx \\ \approx \frac{1}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\left( {{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right) + {{n}_{i}}\left( t \right)\left( {1 - {{e}^{{ - \frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta T}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}}}}} \right)} \right) \approx \\ \approx \frac{1}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\left( {{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right) + {{n}_{{i,0}}}\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta T}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}} \right). \\ \end{gathered} $Выражая разность ${{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)$ из (32) через ${{\varphi }_{i}}(t)$, находим
(33)
${{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right) = {{\bar {\zeta }}_{0}}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }_{i}}({{T}_{0}}){{\varphi }_{i}}(t) - {{n}_{{i,0}}}\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta T}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}.$Подставляя этот результат в (31), получаем
(34)
$\begin{gathered} \frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}} = \\ = \,\,\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{c{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}}}\left( {{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{\varphi }_{i}}(t) - {{n}_{{i,0}}}\frac{{{{q}_{{i,0}}}\Delta T}}{{{{k}_{{\text{B}}}}T_{0}^{2}}}} \right)} . \\ \end{gathered} $Решая уравнение (34) относительно ${{\Delta T\left( t \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta T\left( t \right)} {{{T}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{0}}}}$, имеем
(35)
$\begin{gathered} \frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}} = \frac{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}}}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right){{\varphi }_{i}}(t)} }}{{c + \sum\limits_{i = 1}^k {{{n}_{{i,0}}}\frac{{{{q}_{{i,0}}}{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{{\left( {{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}} \right)}}^{2}}}}} }} = \\ = {{{\bar {\zeta }}}_{0}}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{\beta }_{i}}\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}{{\varphi }_{i}}(t)} }}{{c + \sum\limits_{j = 1}^k {{{n}_{{j,0}}}\beta _{j}^{2}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{q}_{{j,0}}}}}} }}, \\ \end{gathered} $В приближении ${{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right) \approx {{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)$ выражение (35) сводится к
(37)
$\frac{{\Delta T\left( t \right)}}{{{{T}_{0}}}} \approx {{\bar {\zeta }}_{0}}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{\beta }_{i}}\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}{{\varphi }_{i}}(t)} }}{{c + \sum\limits_{j = 1}^k {{{n}_{{j,0}}}\beta _{j}^{2}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{j,0}}}}}} }}.$Используя соотношение (37), выражение (10) для зависящей от времени скорости нуклеации $J(t)$ можно переписать в виде
(38)
$J(t) = {{J}_{0}}\exp \left( { - \sum\limits_i {{{{\tilde {\Gamma }}}_{i}}{{\varphi }_{i}}\left( t \right)} } \right),$(39)
${{\tilde {\Gamma }}_{i}} = {{\Gamma }_{i}} + {{\Gamma }_{T}}{{\bar {\zeta }}_{0}}\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{\beta }_{i}}\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}}}{{c + \sum\limits_{j = 1}^k {{{n}_{{j,0}}}\beta _{j}^{2}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{j,0}}}}}} }}.$4. БАЛАНС МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ВЕЩЕСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКРИТИЧЕСКИХ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ
Функцию распределения существенно закритических капель по размерам можем представить как
где согласно (26)(41)
${{R}^{2}}\left( {t,\tau } \right) = A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)\left( {t - \tau } \right).$Подставляя (41) в (40), получаем
(42)
$\begin{gathered} f({{R}^{2}},t) = \int\limits_0^t {d\tau J\left( \tau \right)\delta \left( {{{R}^{2}} - A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)\left( {t - \tau } \right)} \right)} = \\ = \int\limits_0^t {d\tau \delta \left( {{{R}^{2}} - A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)\tau } \right)} J\left( {t - \tau } \right) = \\ = \frac{{J\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right)}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}. \\ \end{gathered} $Используя в (42) выражение (38) для скорости нуклеации $J\left( t \right)$, имеем
(43)
$\begin{gathered} f({{R}^{2}},t) = \frac{{{{J}_{0}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\exp \left( { - \sum\limits_i {{{{\tilde {\Gamma }}}_{i}}{{\varphi }_{i}}\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right)} } \right). \\ \end{gathered} $Уравнение баланса вещества для $i$-го конденсирующегося компонента может быть записано в следующем виде:
(44)
${{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right) = \frac{{4\pi }}{3}\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}}}{{{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}\int\limits_0^{R_{{\text{m}}}^{2}\left( t \right)} {{{R}^{3}}f({{R}^{2}},t)d{{R}^{2}}} ,$Следуя [10], введем обозначение
(45)
${{\psi }_{i}}\left( t \right) \equiv \frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}.$Используя (45) и выражение (43) для $f({{R}^{2}},t)$ в (44), перепишем уравнение баланса вещества для $i$-го конденсирующегося компонента в виде
(46)
$\begin{gathered} {{\psi }_{i}}\left( t \right) = \frac{{4\pi }}{3}\frac{{{{J}_{0}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^{{{R}^{2}}\left( t \right)} {{{R}^{3}}{{e}^{{ - \sum\limits_j {{{{\tilde {\Gamma }}}_{j}}{{\varphi }_{j}}\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right)} }}}d{{R}^{2}}} . \\ \end{gathered} $Теперь необходимо выразить функции {$\varphi \left( t \right)$} че-рез функции {$\psi \left( t \right)$}. Используя (31) в (32), получаем
(47)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{i}}(t) = \frac{{{{n}_{{i,0}}} - {{n}_{i}}\left( t \right)}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}} + \\ + \,\,\frac{{{{n}_{{i,0}}}}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\frac{{{{q}_{{i,0}}}}}{{{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}}}\sum\limits_{j = 1}^k {\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{c{{k}_{{\text{B}}}}{{T}_{0}}}}\left( {{{n}_{{j,0}}} - {{n}_{j}}\left( t \right)} \right)} . \\ \end{gathered} $Подставляя (45) в (47) и используя обозначения (36), приходим к искомому соотношению
(48)
${{\varphi }_{i}}(t) = \sum\limits_{j = 1}^k {\left( {{{\delta }_{{ij}}} + \beta _{i}^{2}\frac{{{{n}_{{i,0}}}}}{c}\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{j}}({{T}_{0}})}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}} \right){{\psi }_{j}}\left( t \right)} .$С учетом соотношения (48) перепишем $\sum\nolimits_j {{{{\tilde {\Gamma }}}_{j}}{{\varphi }_{j}}\left( t \right)} $ как
(49)
$\sum\limits_i {{{{\tilde {\Gamma }}}_{i}}{{\varphi }_{i}}\left( t \right)} = \sum\limits_j {\Gamma _{j}^{'}} {{\psi }_{j}}\left( t \right),$(50)
$\Gamma _{j}^{'} \equiv \sum\limits_i {{{{\tilde {\Gamma }}}_{i}}\left( {{{\delta }_{{ij}}} + \beta _{i}^{2}\frac{{{{n}_{{i,0}}}}}{c}\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{j}}({{T}_{0}})}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}} \right)} .$С учетом определения (39) для ${{\tilde {\Gamma }}_{i}}$ соотношение (50) может быть записано в виде
(51)
$\Gamma _{j}^{'} = \sum\limits_i \begin{gathered} \left( {{{\Gamma }_{i}} + {{\Gamma }_{T}}{{{\bar {\zeta }}}_{0}}\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{\beta }_{i}}\frac{{{{q}_{i}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}}}{{c + \sum\limits_{m = 1}^k {{{n}_{{m,0}}}\beta _{m}^{2}\frac{{{{q}_{m}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{0}}} \right)}}{{{{q}_{{m,0}}}}}} }}} \right) \times \\ \times \,\,\left( {{{\delta }_{{ij}}} + \beta _{i}^{2}\frac{{{{n}_{{i,0}}}}}{c}\frac{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{j}}({{T}_{0}})}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}\frac{{{{q}_{j}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{q}_{{i,0}}}}}} \right) \\ \end{gathered} .$Соотношение (49) позволяет в итоге свести (46) к замкнутой системе уравнений для функций ${{\psi }_{i}}\left( t \right)$:
(52)
$\begin{gathered} {{\psi }_{i}}\left( t \right) = \frac{{4\pi {{J}_{0}}}}{3}\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}{{A}^{{3/2}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}}){{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^t {d\tau {{\tau }^{{3/2}}}\exp \left( { - \sum\limits_j {\Gamma _{j}^{'}{{\psi }_{j}}\left( {t - \tau } \right)} } \right)} . \\ \end{gathered} $(53)
$\begin{gathered} \sum\limits_i {\Gamma _{i}^{'}{{\psi }_{i}}\left( t \right)} = \frac{{4\pi {{J}_{0}}{{A}^{{3/2}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{3{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_i {\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}\Gamma _{i}^{'}}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}} \int\limits_0^t {d\tau {{\tau }^{{3/2}}}\exp \left( { - \sum\limits_j {\Gamma _{i}^{'}{{\psi }_{j}}\left( {t - \tau } \right)} } \right)} . \\ \end{gathered} $Ограничиваясь первой итерацией в решении этого уравнения, находим
(54)
$\sum\limits_i {\Gamma _{i}^{'}{{\psi }_{i}}\left( t \right)} \approx \frac{{8\pi {{J}_{0}}{{A}^{{3/2}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{15{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}\sum\limits_i {\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}\Gamma _{i}^{'}}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}{{t}^{{5/2}}}} .$Подставляя (54) в (43), в результате получаем искомое выражение для зависящей от времени функции распределения капель по размерам в виде
(55)
$\begin{gathered} f({{R}^{2}},t) \approx \frac{{{{J}_{0}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}\exp \left( { - \frac{{8\pi {{J}_{0}}{{A}^{{3/2}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{15{{{\bar {\zeta }}}_{0}}{{v}_{{\text{s}}}}\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right. \times \\ \times \,\,\left. {\sum\limits_i {\frac{{{{x}_{{i{\text{s}}}}}{{{\Gamma '}}_{i}}}}{{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} }}_{i}}({{T}_{0}})}}{{{\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{A\left( {\left\{ {{{x}_{{\text{s}}}}} \right\},{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right)}}^{{5/2}}}} } \right). \\ \end{gathered} $В пренебрежении тепловыми эффектами величины$A$ и ${{v}_{{\text{s}}}}$ находятся при условии ${{T}_{{\text{d}}}} = {{T}_{0}}$, а из (51) имеем $\Gamma _{i}^{'} = {{\Gamma }_{i}}$, так что распределение (55) сводится, естественно, к распределению, полученному ранее в изотермическом приближении [14] (формула (5.15) в [14], которая содержит, к сожалению, лишний множитель 2 в знаменателе).
В частном случае конденсации однокомпонентного пара из (55) следует выражение для функции распределения, полученное для этого случая в [11] при условии стационарности диффузионного потока пара (формула (37) в [11]). В однокомпонентном случае (55) можно записать в виде
(56)
$\begin{gathered} f({{R}^{2}},t) \approx \frac{{{{J}_{0}}}}{{A\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\exp \left( { - \frac{{8\pi {{J}_{0}}{{A}^{{3/2}}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}{{15{{\zeta }_{0}}{{v}_{{\text{l}}}}\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}\frac{{\Gamma {\kern 1pt} '}}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{n} ({{T}_{0}})}}{{{\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{A\left( {{{T}_{{\text{d}}}}} \right)}}} \right)}}^{{5/2}}}} \right), \\ \end{gathered} $(57)
$\begin{gathered} f({{R}^{2}},t) \approx \frac{{{{J}_{0}}}}{{2Da}} \times \\ \times \,\,\exp \left( { - {{2}^{{5/2}}}\frac{{4\pi {{a}^{{3/2}}}}}{{15{{a}_{0}}}}\Gamma {\kern 1pt} '{{J}_{0}}{{D}^{{3/2}}}{{{\left( {t - \frac{{{{R}^{2}}}}{{2Da}}} \right)}}^{{5/2}}}} \right). \\ \end{gathered} $Кроме того, для величины $\Gamma {\kern 1pt} '$ из формулы (51) с учетом соотношений (2) и (11) в однокомпонентном случае получаем
(58)
$\Gamma ' = \Gamma \left( {1 + {{\beta }^{2}}\frac{{{{n}_{0}}}}{c}} \right)\left( {1 + \frac{{{{\Gamma }_{T}}}}{{\beta \Gamma }}\frac{{{{\zeta }_{0}}}}{{{{\zeta }_{0}} + 1}}\frac{{{{{{n}_{0}}{{\beta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{0}}{{\beta }^{2}}} c}} \right. \kern-0em} c}}}{{1 + {{{{n}_{0}}{{\beta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{0}}{{\beta }^{2}}} c}} \right. \kern-0em} c}}}} \right).$Используя выражение (4) для работы образования критической капли и определения параметров $\Gamma $и ${{\Gamma }_{T}}$, в рассматриваемом однокомпонентном случае нетрудно убедиться, что связь (58) между $\Gamma {\kern 1pt} '$ и $\Gamma $ тождественна связи между величинами $\Gamma _{0}^{'}$ и ${{\Gamma }_{0}}$ в работе [11] (формула (23) в [11]). Таким образом, выражение (57) действительно тождественно полученному ранее в [11] выражению для функции распределения в случае конденсации однокомпонентного пара (формула (37) в [11]).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы получили термодинамические уравнения и соотношения, полностью описывающие устанавливающиеся состав, температуру и скорость диффузионного роста существенно закритических капель на стадии неизотермического фазового перехода, на которой происходит гомогенная нуклеация закритических капель в замкнутой метастабильной многокомпонентной парогазовой фазе. Параметрами этих уравнений и соотношений являются начальные значения пересыщений паров и начальная температура парогазовой среды. Мы также связали текущее изменение температуры парогазовой среды на стадии нуклеации с начальными значениями пересыщений и температуры среды. Эти результаты позволили найти текущее распределение закритических капель по квадрату радиуса на стадии нуклеации.
Полученные соотношения расширяют и дополняют общее теоретическое описание стадии гомогенной нуклеации в многокомпонентных пересыщенных парах [13, 14] на случай неизотермической нуклеации.
Список литературы
Куни Ф.М. Неизотермические эффекты нуклеации. Препринт ИТФ АН УССР, 1983.
Куни Ф.М. // Коллоид. журн. 1984. Т. 46. С. 682.
Куни Ф.М. // Коллоид. журн. 1985. Т. 47. С. 284.
Щёкин А.К., Куни Ф.М., Лезова А.А. // Коллоид. журн. 2011. Т. 73. С. 392.
Kuchma A.E., Martyukova D.S., Lezova A.A., Shchekin A.K. // Colloids Surf. A. 2013. V. 432. P. 147.
Кучма А.Е., Щёкин А.К., Лезова А.А., Мартюкова Д.С.// Коллоид. журн. 2014. Т.76. С. 626.
Кучма А.Е., Щёкин А.К., Мартюкова Д.С., Лезова А.А. // Коллоид. журн. 2016. Т. 78. С. 324.
Мартюкова Д.С., Щёкин А.К., Кучма А.Е., Лезова А.А. // Коллоид. журн. 2016. Т. 78. С. 338.
Kuchma A.E., Shchekin A.K., Martyukova D.S. // J. Aerosol Sci. 2016. V. 102. P. 72.
Куни Ф.М. // Коллоид. журн. 1985. Т. 47. С. 498.
Кучма А.Е., Щёкин А.К., Марков М.Н. // Коллоид. журн. 2014. Т. 76. С. 752.
Kuchma A.E., Shchekin A.K., Markov M.N. // Colloids Surf. A. 2015. V. 483. P. 307.
Kuchma A.E., Shchekin A.K. // J. Chem. Phys. 2019. V. 150. 054104.
Щёкин А.К., Кучма А.Е. // Коллоид. журн. 2020. Т. 82. С. 263.
Русанов А.И. Фазовые равновесия и поверхностные явления. Л.: Химия, 1967.
Русанов А.И. Лекции по термодинамике поверхностей. СПб.: Лань, 2013.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Коллоидный журнал
Пн.-пт.: 10.00-19.00