Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 1, стр. 115-140

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ВО ВРЕМЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАЗВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА (КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА)

М. В. Левский *

Научно-исследовательский институт космических систем имени А.А. Максимова – филиал Государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничев
Королев, Россия

* E-mail: dp940@mail.ru

Поступила в редакцию 28.06.2017
После доработки 26.03.2018
Принята к публикации 25.06.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуются вопросы оптимального управления кинетическим моментом твердого тела (например, космического аппарата) во время маневра переориентации из произвольного начального в заданное конечное угловое положение с учетом требований к энергетике вращения. Получено аналитическое решение задачи оптимального управления переориентацией твердого тела. Представлены формализованные уравнения и даны расчетные выражения для построения оптимальной программы управления. Задача управления разворотом решена с учетом ограничений на управляющие моменты. Найдена аналитическая зависимость между временем разворота и максимальной энергией вращения. Момент начала торможения определяется по фактическим параметрам движения (кватерниону рассогласования и кинетическому моменту), исходя из принципов терминального управления (используются информация об угловом положении и измерения угловой скорости). Созданные алгоритмы управления позволяют совершать развороты за заданное время с минимальной энергией вращения. Для динамически симметричного твердого тела поставленная задача управления решается до конца – получены зависимости, как явные функции времени, для управляющих переменных и соотношения для расчета ключевых параметров закона управления кинетическим моментом. Приведены численный пример и результаты математического моделирования движения космического аппарата при оптимальном управлении, которые демонстрируют практическую реализуемость разработанных алгоритмов управления ориентацией.

Ключевые слова: ориентация, кватернион, кинетический момент, управляющая функция, критерий оптимальности, принцип максимума, краевая задача

DOI: 10.1134/S0572329919010069

Введение. В статье решается задача приведения космического аппарата (КА) в положение заданной ориентации оптимальным образом. Способ решения и формализация описания кинематики вращательного движения КА основаны на методе кватернионов [1].

Проблеме управляемых вращений твердого тела вокруг центра масс посвящено достаточно много работ [115]. Вопросы создания эффективных режимов и алгоритмов управления ориентацией КА остаются актуальными и сегодня. Наиболее детально задача оптимального управления угловым движением КА решена лишь для двух частных случаев – плоских вращений КА вокруг одной из главных центральных осей инерции [2] и пространственного вращения сферически симметричного тела [1, 3]. Большинство существующих решений задачи пространственного разворота соответствуют вращению вокруг неподвижной оси [1, 2, 47]. И хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны (в том числе, используя прогнозирующие модели [5, 6]), результирующее управление приводит к развороту вокруг оси Эйлера. В то же время разворот в плоскости наименьшего угла разворота во многих практических случаях не является оптимальным, как бы точно он не исполнялся. В работе [7] также описывается построение управлений, стабилизирующих вращение КА вокруг мгновенной оси Эйлера. Однако требование, чтобы КА во время разворота вращался вокруг мгновенной оси Эйлера, – это слишком сильное ограничение на движение КА, делающее процесс переориентации во многих случаях далеким от оптимального.

Как отмечено многими авторами [8, 9], аналитическое решение задачи оптимального разворота в замкнутой форме, если бы оно было найдено, имело бы большой практический интерес, так как позволяет применять на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории движения КА (для осесимметричного КА некоторые решения известны [10, 11]). Однако аналитическое решение задачи пространственного разворота для КА с произвольным распределением масс при произвольных граничных условиях по угловому положению КА не найдено; известны лишь некоторые особые случаи решения задачи разворота (например, [1, 9]). Поэтому, в общем случае приходится рассчитывать только на приближенное численное решение задачи. При попытке найти численные решения оптимизационных краевых задач для задач оптимального разворота КА некоторые авторы столкнулись с трудностями, связанными с неоднородностью оптимальной управляющей функции. Часто при проектировании практических (адекватных реальности) алгоритмов управления ориентацией КА за отправную точку берется завершенное решение кинематической задачи разворота. Численное решение задачи оптимального разворота динамически симметричного КА подробно рассмотрено в [11] (авторы [11] решали краевую задачу принципа максимума путем замены переменных и сведением ее к краевой задаче разворота сферически симметричного тела).

Ниже исследуется задача управления переориентацией КА, когда критическим фактором является энергия вращения, которая должна учитываться при формировании оптимального движения (при этом КА считается абсолютно твердым телом). Для решения поставленной задачи используются метод кватернионов и условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина.

1. Уравнения углового движения и постановка задачи управления. Под пространственной переориентацией понимается перевод связанных с корпусом КА осей ОXYZ из одного известного углового положения в другое известное (обычно заданное) угловое положение за конечное время Т. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких до 180°). При этом угловая ориентация правой системы координат ОXYZ (равно как ее начальное ОXinYinZin и конечное ОXfYfZf положения) определяется относительно выбранного опорного базиса I. В работе рассматривается широко распространенный случай, когда опорной является инерциальная система координат ОXiYiZi (ИСК). В связи с этим исследуется вопрос оптимизации терминального управления, обеспечивающего за конечное время Т совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат ОXYZ с программным базисом, положение которого в инерциальном пространстве задано. Предполагается, что управление угловым положением КА осуществляется посредством исполнительных механизмов, создающих моменты относительно всех трех главных центральных осей инерции КА. Для описания пространственного движения КА воспользуемся математическим аппаратом кватернионов (параметров Родрига–Гамильтона). Движение связанного базиса ESC (связанной системы координат), образованного главными центральными осями инерции КА, относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Λ [1]. Угловое положение начальной и конечной ориентаций КА относительно опорного базиса I определяется кватернионами Λin и Λf соответственно. Для определенности базис I считается инерциальным. В этом случае имеют место следующие кинематические уравнения:

(1.1)
$\begin{gathered} 2{{{\dot {\lambda }}}_{0}} = - {{\lambda }_{1}}{{L}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} - {{\lambda }_{2}}{{L}_{2}}{\text{/}}{{J}_{2}} - {{\lambda }_{3}}{{L}_{3}}{\text{/}}{{J}_{3}},\quad 2{{{\dot {\lambda }}}_{1}} = {{\lambda }_{0}}{{L}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} + {{\lambda }_{2}}{{L}_{3}}{\text{/}}{{J}_{3}} - {{\lambda }_{3}}{{L}_{2}}{\text{/}}{{J}_{2}} \\ 2{{{\dot {\lambda }}}_{2}} = {{\lambda }_{0}}{{L}_{2}}{\text{/}}{{J}_{2}} + {{\lambda }_{3}}{{L}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} - {{\lambda }_{1}}{{L}_{3}}{\text{/}}{{J}_{3}},\quad 2{{{\dot {\lambda }}}_{3}} = {{\lambda }_{0}}{{L}_{3}}{\text{/}}{{J}_{3}} + {{\lambda }_{1}}{{L}_{2}}{\text{/}}{{J}_{2}} - {{\lambda }_{2}}{{L}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} \\ \end{gathered} $
где Li , i = 1, 2, 3 − проекции вектора L кинетического момента КА на оси связанного базиса ESC, Ji – главные центральные моменты инерции КА, λj, j = 0, 1, 2, 3 – компоненты кватерниона Λ (λ0 = sqalΛ – скалярная часть кватерниона Λ; vectΛ = λ1e1 + + λ2e2 + λ3e3 – векторная часть кватерниона Λ; e1, e2, e3 – орты осей связанного базиса ESC), причем $\left\| \Lambda \right\| = \lambda _{0}^{2} + \lambda _{1}^{2} + \lambda _{2}^{2} + \lambda _{3}^{2} = 1$. Кватернион Λ, задающий текущую ориентацию КА, принят нормированным [1] для удобства ($\left\| \Lambda \right\| = 1$). Запишем краевые условия задачи разворота КА:
(1.2)
Λ(0) = Λin
(1.3)
Λ(Т) = Λf
где Т – время окончания процесса переориентации. Кватернионы Λin и Λf, задающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные наперед заданные значения, удовлетворяющие условию ||Λin|| = ||Λf|| = 1 (предполагается, что Λin ≠ ±Λf). Нередко во время вращений КА приходится ограничивать скоростные параметры движения. Предположим, допустимым считается управление, при котором
(1.4)
${{L_{1}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L_{1}^{2}} {J_{1}^{{}}}}} \right. \kern-0em} {J_{1}^{{}}}} + {{L_{2}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L_{2}^{2}} {J_{2}^{{}}}}} \right. \kern-0em} {J_{2}^{{}}}} + {{L_{3}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L_{3}^{2}} {J_{3}^{{}}}}} \right. \kern-0em} {J_{3}^{{}}}} \leqslant Q$
где Q > 0 – заранее заданная максимально допустимая величина. Эффективность управления будем оценивать по длительности разворота Т, которая определяет степень маневренности КА. Задачу управления пространственной переориентацией сформулируем следующим образом: необходимо КА перевести из положения (1.2) в положение (1.3) в соответствии с уравнениями (1.1) и ограничением (1.4) за минимальное время. При нахождении оптимального закона движения полагаем, что L(t) – кусочно-непрерывная функция времени.

Ограничение в форме (1.4) приходится учитывать довольно часто (из физического смысла Q = 2Emax, где Еmax – максимально допустимая энергия вращения КА). Проблема повышения маневренности КА при ограниченных энергетических возможностях достаточно актуальна (под маневренностью обычно понимают быстроту выполнения маневров). Поэтому сформулированная выше задача управления представляет практический интерес.

2. Решение задачи оптимального управления. Критерий оптимальности в явном виде не зависит от момента М управляющих сил; ограничение (1.4) также не содержит составляющих Мi. Поэтому, искомыми функциями являются компоненты вектора кинетического момента Li, i = 1, 2, 3, а моменты Мi вычисляются путем подстановки найденных оптимальных функций Li(t) в динамические уравнения, которые имеют вид:

(2.1)
$\begin{gathered} {{{\dot {L}}}_{1}} + \left( {1{\text{/}}{{J}_{2}} - 1{\text{/}}{{J}_{3}}} \right){{L}_{2}}{{L}_{3}} = {{M}_{1}},\quad {{{\dot {L}}}_{2}} + \left( {1{\text{/}}{{J}_{3}} - 1{\text{/}}{{J}_{1}}} \right){{L}_{1}}{{L}_{3}} = {{M}_{2}} \\ {{{\dot {L}}}_{3}} + \left( {1{\text{/}}{{J}_{1}} - 1{\text{/}}{{J}_{2}}} \right){{L}_{1}}{{L}_{2}} = {{M}_{3}} \\ \end{gathered} $
где Мi, i = 1, 2, 3 – проекции главного момента сил М на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата. Наличие фазового ограничения ||Λ|| = 1 несущественно, так как оно всегда выполняется (при любых движениях КА вокруг центра масс). Переменные ${{\lambda }_{j}}$ (как компоненты кватерниона Λ) обладают характерным свойством – в силу уравнений (1.1) норма ||Λ|| кватерниона Λ есть величина постоянная, $\lambda _{0}^{2} + \lambda _{1}^{2} + \lambda _{2}^{2} + \lambda _{3}^{2}$ = = const. Докажем это утверждение. Возьмем производную по времени левой части указанного равенства

$2{{\lambda }_{0}}{{\dot {\lambda }}_{0}}\, + \,2{{\lambda }_{1}}{{\dot {\lambda }}_{1}}\, + \,2{{\lambda }_{2}}{{\dot {\lambda }}_{2}}\, + \,2{{\lambda }_{3}}{{\dot {\lambda }}_{3}}$ = –λ0λ1L1/J1 – λ0λ2L2/J2 – λ0λ3L3/J3 + λ0λ1L1/J1 + λ1λ2L3/J3
– λ1λ3L2/J2 + λ0λ2L2/J2 + λ2λ3L1/J1 – λ1λ2L3/J3 + λ0λ3L3/J3 + λ1λ3L2/J2 – λ2λ3L1/J1 ≡ 0

Значит, сделанное утверждение о постоянстве нормы кватерниона Λ, отражающего текущую ориентацию КА, истинно при любых вращениях КА как твердого тела. В начальный момент времени ||Λ(0)|| = ||Λin|| = 1, поэтому ||Λ(t)|| = 1 в любой момент времени t ∈ [0, T].

Задача оптимального управления (1.1)–(1.4) рассматривается как классическая кинематическая задача разворота [1] (на угловую скорость граничные условия не накладываются). Вопросы технической реализации оптимального управления с учетом динамики и точности исполнения требуемого (программного) кинетического момента КА – это отдельная проблема, и их проработка требует самостоятельного (и, возможно, достаточно детального) изучения; в рамках кинематической задачи разворота данные вопросы не рассматриваются [1].

Будем решать поставленную задачу управления (1.1)–(1.4), применив принцип максимума Л.С. Понтрягина [16]. Управляющими переменными считаем компоненты кинетического момента Li. Так как критерий оптимальности не включает позиционных координат λj, мы можем использовать универсальные переменные ri, i = 1, 2, 3 [12], заменяющие сопряженные переменные ψj, соответствующие компонентам λj кватерниона Λ. Для задачи максимального быстродействия (или максимальной маневренности КА) функция Гамильтона Н равна

(2.2)
$H = - 1 + {{L}_{1}}{{r}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} + {{L}_{2}}{{r}_{2}}{\text{/}}{{J}_{2}} + {{L}_{3}}{{r}_{3}}{\text{/}}{{J}_{3}}$

Оптимальные функции ri , как компоненты вектора r, удовлетворяют уравнениям

(2.3)
${{\dot {r}}_{1}} = {{L}_{3}}{{r}_{2}}{\text{/}}{{J}_{3}} - {{L}_{2}}{{r}_{3}}{\text{/}}{{J}_{2}},\quad {{\dot {r}}_{2}} = {{L}_{1}}{{r}_{3}}{\text{/}}{{J}_{1}} - {{L}_{3}}{{r}_{1}}{\text{/}}{{J}_{3}},\quad {{\dot {r}}_{3}} = {{L}_{2}}{{r}_{1}}{\text{/}}{{J}_{2}} - {{L}_{1}}{{r}_{2}}{\text{/}}{{J}_{1}}$

Функция Гамильтона Н составлена без учета ограничения ||Λ|| = 1 для фазовых переменных в силу равенства ||Λ(0)|| = 1, о чем договорились выше. Вектор r неподвижен относительно инерциального базиса I, из-за чего |r| = const ≠ 0 (постоянство модуля |r| следует из свойств уравнений (2.3)). Решение r(t) системы (2.3) определяется начальным Λin и конечным Λf положениями КА. Оптимальная функция r(t) вычисляется через кватернион Λ(t) [1, 12]:

r =$\tilde {\Lambda } \circ $ cE$ \circ $ Λ, где cE = const = Λin$ \circ $ r(0) $ \circ \,{{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}}$
(составляющие вектора cE – проекции вектора r на оси инерциального базиса I). Символ “$ \circ $” – знак умножения кватернионов; $\tilde {\Lambda }$– кватернион, сопряженный кватерниону Λ [1, с. 11–20]. Здесь и далее операция кватернионного умножения на вектор понимается как умножение на кватернион с нулевой скалярной частью; в частности $\Lambda \circ {\mathbf{r}} = \Lambda \circ \Omega $, где Ω – кватернион, у которого sqalΩ = 0, vectΩ = r. Направление вектора cE зависит от начального и конечного положений КА. Для того, чтобы КА имел требуемую ориентацию на правом конце Λ(T) = Λf, необходимо определить вектор cE (или значение вектора r в начальный момент времени) исходя из получающихся при этом решений системы (1.1). Система уравнений (2.3) совместно с требованием максимальности гамильтониана H и условиями трансверсальности r(0) ≠ 0, r(T) ≠ 0 и Н(Т) = 0 являются необходимыми условиями оптимальности (заметим, что соответствующим выбором оптимального значения |r| всегда можно добиться, чтобы H (T) = 0).

Условия максимума функции H определяют искомое решение L(t); граничные условия по положению (для Λ(0) и Λ(Т)) определяют решения Λ(t) и r(t). Краевая задача принципа максимума заключается в определении значения r(0), при котором решение системы дифференциальных уравнений (1.1), (2.3) с одновременной максимизизацией в каждый момент времени функции Гамильтона Н удовлетворяет условиям разворота Λ(0) = Λin и Λ(Т) = Λf.

Для нахождения функциональной зависимости оптимальных функций Li от компонент ri вектора r введем новые переменные ${{y}_{i}} = {{{{L}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{i}}} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}$ и ${{z}_{i}} = {{{{r}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{i}}} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}$, i = 1, 2, 3. После замены переменных гамильтониан Н примет вид: H = y1z1 + y2z2 + y3z3 – 1. В условиях ограничения |y|2Q функция Н максимальна, если векторы y = {y1, y2, y3} и z = {z1, z2, z3} имеют одинаковое направление. Поэтому искомые функции Li удовлетворяют соотношениям

(2.4)
${{L}_{i}} = {{r}_{i}}\sqrt {Q{\text{/}}(r_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + r_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + r_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}})} ,\quad i = 1,\;2,\;3$

Задача определения оптимального управления свелась к решению системы уравнений углового движения КА (1.1) и уравнений (2.3) при условии, что управление L выбрано из требования (2.4). Сформулированная задача управления (1.1)–(1.4) решается до формализованной системы уравнений, описывающих оптимальное движение; эта система позволяет обнаружить закономерности оптимального движения в явном виде. Найдем характерные свойства решения задачи (1.1)–(1.4). Поскольку оптимальные функции Li не зависят от |r|, для удобства перейдем к нормированному вектору р = r/|r| и обозначим r0 = |r| = const = |r(0)| ≠ 0. Для проекций pi орта р на оси связанной системы координат справедливы уравнения

(2.5)
${{\dot {p}}_{1}} = {{L}_{3}}{{p}_{2}}{\text{/}}{{J}_{3}} - {{L}_{2}}{{p}_{3}}{\text{/}}{{J}_{2}},\quad {{\dot {p}}_{2}} = {{L}_{1}}{{p}_{3}}{\text{/}}{{J}_{1}} - {{L}_{3}}{{p}_{1}}{\text{/}}{{J}_{3}},\quad {{\dot {p}}_{3}} = {{L}_{2}}{{p}_{1}}{\text{/}}{{J}_{2}} - {{L}_{1}}{{p}_{2}}{\text{/}}{{J}_{1}}$

В дальнейшем будем использовать компоненты pi вектора р, а переменные ri равны ri = r0pi, где r0 – константа, которую необходимо определить в процессе оптимизации (|p| = 1).

Гамильтониан Н не зависит явно от времени, и длительность Т не фиксирована. Поэтому Н = 0 в любой момент времени t, а не только Н(Т) = 0 в конечный момент времени t = T [17]. Подставив оптимальные значения управляющих функций Li, вычисленные по соотношениям (2.4), в выражение (2.2) для функции Н с учетом равенств ri = r0pi получим уравнение $r_{0}^{2}Q(p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})$ = 1, из которого следует $p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}}$ = const и ${{r}_{0}} = 1{\text{/}}\left( {С \sqrt Q } \right)$ – оптимальное значение модуля вектора универсальных переменных r, где $C = \sqrt {p_{{10}}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{{20}}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{{30}}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}}} $; р10, р20, р30 – компоненты вектора р0 = p(0).

Условия максимума гамильтониана H определили оптимальное решение L(t). Уравнения (1.1) и (2.5) совместно с равенствами (2.4) и ri = r0pi образуют замкнутую систему уравнений. Необходимое условие оптимальности запишем в виде

(2.6)
Li = bpi
где b > 0 – скалярная величина. Кинетический момент L и Еmax связаны соотношением

${{E}_{{\max }}} = {{\left| L \right|}^{2}}{{(p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$

На всем интервале движения 0 < t < Т ограничение (1.4) переходит в строгое равенство и КА вращается с постоянным по модулю кинетическим моментом |L| = const (поэтому во время идеального по маневренности разворота b = const ). Значение параметра С зависит от вектора р(0), который, в свою очередь, определяется граничными значениями Λ(0), Λ(Т) и моментами инерции J1, J2, J3. Оптимальное решение определяется замкнутой системой уравнений (1.1), (2.5), (2.6). Система уравнений (2.5), (2.6) формализует необходимые условия оптимальности для исходной задачи оптимального управления (1.1)–(1.4).

Для получения функциональной зависимости управляющих функций Li(t) от фазовых координат необходимо решить уравнения (2.5), которые для закона (2.6) принимают вид

(2.7)
${{\dot {p}}_{1}} = b\frac{{J_{2}^{{}} - J_{3}^{{}}}}{{J_{2}^{{}}J_{3}^{{}}}}{{p}_{2}}{{p}_{3}},\quad {{\dot {p}}_{2}} = b\frac{{J_{3}^{{}} - J_{1}^{{}}}}{{J_{1}^{{}}J_{3}^{{}}}}{{p}_{1}}{{p}_{3}},\quad {{\dot {p}}_{3}} = b\frac{{J_{1}^{{}} - J_{2}^{{}}}}{{J_{1}^{{}}J_{2}^{{}}}}{{p}_{1}}{{p}_{2}}$
где b = const = |L| (в рамках кинематической задачи разворота |L| = const = Lmax = = ${{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } C}} \right. \kern-0em} C}$).

Таким образом, задача построения оптимального управления L(t) состоит, главным образом, в нахождении такого значения вектора p(0), при котором в результате движения КА в соответствии с уравнениями (1.1), (2.5), (2.6) и Λ(0) = Λн выполнялось равенство Λ(Т) = Λf. Общее решение приведенной системы уравнений найти практически невозможно. Трудность заключается в определении граничных значений p(0) и p(T), которые связаны выражением

(2.8)
Λf$ \circ $ p(Т ) $ \circ \,{{\tilde {\Lambda }}_{{\text{f}}}}$ = Λн$ \circ $ p(0) $ \circ \,{{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}}$
или p(Т) = ${{\tilde {\Lambda }}_{{\text{t}}}} \circ $ р(0) $ \circ \,{{\Lambda }_{{\text{t}}}}$ , где ${{\Lambda }_{{\text{t}}}} = {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}} \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}}$ – кватернион разворота. Задача оптимального управления с учетом ограничения (1.4) будет решена, если мы найдем решение системы уравнений (1.1), (2.6), (2.7), удовлетворяющее граничным условиям Λ(0) = Λin и Λ(Т) = Λf. Оптимальный кинетический момент L связан с кватернионом ориентации Λ равенством:
(2.9)
$L = {{L}_{{\max }}}\tilde {\Lambda } \circ {{c}_{P}} \circ \Lambda $
где cР = const = Λin$ \circ $ p0 $ \circ {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}}$. Ключевой искомой характеристикой является значение вектора р0 = p(0) (напомним рi0 = рi(0)). Решение L(t) во время кинематически оптимального разворота (без ограничений на моменты Мi) обладает свойствами (интегралами движения):

(2.10)
$L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2} = {\text{const,}}\quad L_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + L_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + L_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}} = {\text{const}}$

Уравнения для управляющих функций Li формализуются следующим образом:

(2.11)
${{\dot {L}}_{1}} = {{L}_{2}}{{L}_{3}}({{J}_{2}} - {{J}_{3}}){\text{/}}{{J}_{2}}{{J}_{3}},\quad {{\dot {L}}_{2}} = {{L}_{1}}{{L}_{3}}({{J}_{3}} - {{J}_{1}}){\text{/}}{{J}_{1}}{{J}_{3}},,\quad {{\dot {L}}_{3}} = {{L}_{1}}{{L}_{2}}({{J}_{1}} - {{J}_{2}}){\text{/}}{{J}_{1}}{{J}_{2}}$

Они справедливы, так как при развороте за минимальное время при ограничении (1.4) выполняется условие |L| = const (и как следствие b = const). Поскольку искомой функцией принят вектор L кинетического момента КА, то поставленную задачу оптимального управления (кинематическую задачу разворота) можно считать решенной – уравнения (1.1), (2.6) и (2.7) с учетом граничных условий (1.2), (1.3) полностью определяют искомое решение L(t).

Оптимальное управление пространственным разворотом заключается в сообщении КА начальных условий движения (расчетного кинетического момента вначале разворота), поддержании вращения КА с требуемым (программным) изменением кинетического момента L(t), при котором его модуль имеет постоянное значение |L| = const, и сбросе имеющегося кинетического момента до нуля в момент времени t = Т, когда Λ(t) = Λf (при достижении КА конечного положения Λf). Основная задача – нахождение закона изменения вектора p(t), чтобы в результате решения системы уравнений (1.1), (2.5), (2.6) с начальными условиями Λ(0) = Λin граничное условие Λ(T) = Λf на правом конце траектории Λ(t) было выполнено (определение вектора p(0) – самостоятельная и достаточно непростая задача).

Теперь определим управляющие моменты Мi, которые обеспечивают оптимальный режим вращения КА в интервале времени 0 < t < T в процессе разворота. Подставим производные функции ${{\dot {L}}_{i}}$, вычисленные по уравнениям (2.11), в динамические уравнения (2.1) и получим М1 = М2 = М3 = 0. Следовательно, идеальным движением (с точки зрения кинематической задачи разворота) является вращение по инерции (движение Эйлера–Пуансо).

Нетрудно показать, что для вращений твердого тела (и, в частности, космического аппарата), удовлетворяющих зависимостям (2.6), в которых b > 0 – скалярная величина, а функции pi являются решением системы уравнений (2.5) с удовлетворением (2.8), значение интеграла

(2.12)
$F = \int\limits_0^T {\left| {{\mathbf{L}}(t)} \right|dt} $
не зависит от длительности разворота Т и равно [13]
$\int\limits_0^T {\left| {{\mathbf{L}}(t)} \right|dt} = {{K}_{{\text{c}}}}{{t}_{{{\text{pr}}}}}$
где tpr – прогнозируемое время достижения положения Λf (то есть когда выполнится равенство Λ = Λf) при вращении твердого тела с кинетическим моментом |L| = Kc из положения Λ(0) = Λin в соответствии с уравнениями (1.1), (2.1), в которых М = 0. Характеристика F определяется только условиями разворота Λin, Λf и инерционными характеристиками КА J1, J2, J3. Длительность оптимального разворота равна Topt = = ${{FC} \mathord{\left/ {\vphantom {{FC} {\sqrt Q }}} \right. \kern-0em} {\sqrt Q }}$ = F/Lmax.

Во многих случаях перед разворотом (когда Λ(t) = Λin) LLcal, а по завершении разворота (когда Λ(t) = Λf) кинетический момент КА должен быть равен нулю. Задача бортовой системы управления заключается в сообщении КА начальных условий движения – расчетного кинетического момента Lcal на момент времени t = 0 и сбросе имеющегося кинетического момента до нуля в момент времени t = Т, когда Λ(t) = Λf (при достижении КА конечного положения Λf). С момента достижения необходимого начального кинетического момента Lcal и до окончания разворота, когда КА окажется в окрестности требуемого положения Λf, момент сил, воздействующих на КА, равен нулю (то есть неуправляемое вращение). Создание начального кинетического момента и ликвидация конечного кинетического момента происходят импульсно (максимально быстро, насколько позволяют это сделать исполнительные органы КА).

3. Построение оптимальной программы пространственного разворота КА. Заметим, что левая часть неравенства (1.4) пропорциональна энергии вращения E = = $(L_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}}\, + \,L_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}}\, + \,L_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}}){\text{/}}2$ и поэтому ограничение (1.4) означает разворот КА с ограниченной энергией (из физического смысла Q = 2Emax). Задача построения оптимального управления сводится к нахождению закона изменения вектора p(t), при котором в результате движения КА согласно уравнениям (1.1), (2.5), (2.6) с начальным условием (1.2) было выполнено граничное условие (1.3). Определяющим в решении задачи оптимального разворота (при построении оптимального программного движения Λ(t)) является нахождение начальных условий p(0) и соответствующего кинетического момента L(0+), равного L(0+) = Lmaxp(0). Вектор p(0) зависит от параметров разворота Λt и моментов инерции КА J1, J2, J3. Для произвольных значений J1J2J3 решение поставленной задачи пространственного разворота КА найти достаточно сложно. Трудность состоит в нахождении граничных векторов p(0) и p(T), которые связаны соотношением (2.8). Система уравнений (1.1), (2.5), (2.6) имеет аналитическое решение в элементарных функциях только для динамически симметричного и динамически сферического тел.

Для динамически симметричного КА (когда, например, J2 = J3) задача оптимального управления решается до конца. В этом частном случае система (2.7) распадается на две независимые линейные системы дифференциальных уравнений, одна из которых ${{\dot {p}}_{1}} = 0$ (и как следствие р1 = const = p10), а вторая описывает линейный осциллятор (с параметром р10), у которого переменные р2 и р3 – гармонические функции времени. Система (2.11) также разделяется на две автономные системы уравнений, одна из которых ${{\dot {L}}_{1}} = 0$ (если J2 = J3), и как следствие L1 = const = L1(0), а вторая описывает гармонические колебания функций L2, L3. Характеристические уравнения и постоянные времени у систем (2.7) и (2.11) одинаковы; при этом циклическая частота для переменных р2, р3 и L2, L3 составляет f = |(J2J1)L1(0)/J1J2. Функции р1, L1 соответствуют продольному движению, а функции р2, р3 и L2, L3 соответствуют поперечному движению. Условие J2 = J3 делает как бы независимыми продольное и поперечное движения твердого тела. Такое поведение оптимальных функций р1, р2, р3 и L1, L2, L3 указывает на то, что оптимальный разворот динамически симметричного тела происходит в форме регулярной прецессии. Оптимальное движение в этом частном, но достаточно распространенном случае представляет собой одновременное вращение КА как твердого тела вокруг своей продольной оси ОХ и вокруг некоторого направления η, неподвижного в инерциальном пространстве и составляющего с продольной осью КА определенный постоянный угол. Угловые скорости относительно осей ОХ и η имеют постоянное соотношение. Для динамически симметричного тела (в варианте ${{J}_{1}} \ne {{J}_{2}} = {{J}_{3}}$) решение p(t) запишем следующим образом:

(3.1)
${{p}_{1}} = {{p}_{{10}}} = \cos \vartheta ,\quad {{p}_{2}} = {{p}_{{20}}}\cos \kappa + {{p}_{{30}}}\sin \kappa ,\quad {{p}_{3}} = - {{p}_{{20}}}\sin \kappa + {{p}_{{30}}}\cos \kappa $
где p0 = p(0), $\kappa = \dot {\alpha }t$ ($\dot {\alpha } = {\text{const}} = {{L}_{1}}{\text{/}}{{J}_{1}} - {{\sqrt {L_{2}^{2} + L_{3}^{2}} {{p}_{{10}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {L_{2}^{2} + L_{3}^{2}} {{p}_{{10}}}} {\left( {{{J}_{2}}\sqrt {1 - p_{{10}}^{2}} } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{J}_{2}}\sqrt {1 - p_{{10}}^{2}} } \right)}}$ – скорость собственного вращения); ϑ – угол отклонения продольной оси КА от вектора p.

Конкретное значение р0 определяется исключительно тем, чтобы в результате вращения КА согласно уравнениям (1.1), (2.5), (2.6) выполнялись граничные условия (1.2), (1.3). Программные значения управляющих функций Li, i = 1, 2, 3 (проекций кинетического момента L на связанные оси) имеют следующий вид:

L1 = L10 = J1 ($\dot {\alpha }$ + $\dot {\beta }$p10) = сonst, L2 = J2$\dot {\beta }$p2, L3 = J3$\dot {\beta }$p3
или
(3.2)
L1 = J1($\dot {\alpha }$+ $\dot {\beta }$cosϑ), L2 = J2$\dot {\beta }$sinϑsin($\dot {\alpha }$t + σ0), L3 = J2$\dot {\beta }$sinϑcos($\dot {\alpha }$t + σ0)
где σ0 = arctg(p20/p30); $\dot {\alpha }$ − угловая скорость собственного вращения (вокруг продольной оси): $\dot {\beta }$ – угловая скорость прецессии (вокруг вектора p). Угловые скорости вращения вокруг осей ОХ и η будут равны: $\dot {\alpha } = \alpha {\text{/}}T$, $\dot {\beta } = \beta {\text{/}}T$ (так как |L| = const, а значит $\dot {\alpha } = {\text{const}}$ и $\dot {\beta } = {\text{const}}$). Для случая регулярной прецессии справедливо соотношение
${{\Lambda }_{{\text{f}}}} = {{\Lambda }_{{{\text{in}}}}} \circ {{e}^{{{{{\mathbf{p}}}_{{\text{o}}}}\beta /2}}} \circ {{e}^{{{{{\mathbf{e}}}_{{\text{1}}}}\alpha /2}}}$
где р0 = p(0); е1 – орт продольной оси КА; α – угол поворота КА вокруг своей продольной оси; β – угол поворота КА вокруг вектора р. При этом считается, что |α| ≤ π, 0 ≤ β ≤ π.

В случае динамической симметрии КА (когда J2 = J3 = J) соотношения (3.1) совместно с равенствами (3.2) образуют решение системы уравнений (1.1), (2.5) при условии (2.6). Необходимое для синтеза управления решение системы (2.5), (2.6) и (1.1) находится в форме регулярной прецессии. При этом вектор p также описывает конус вокруг продольной оси ОХ в связанной системе координат. При таком типе управления модуль кинетического момента КА сохраняет постоянное значение, а осесимметричное тело движется по “конической траектории”. Перевод КА из положения Λin в положение Λf осуществляется одновременным поворотом его вокруг вектора cЕ, неподвижного относительно инерциального базиса I, на угол β и вокруг своей продольной оси на угол α. Используя математический аппарат кватернионов для описания поворотов твердого тела вокруг центра масс, получим соотношения, отражающие связь между величинами p0, α и β. Зависимость оптимальных значений параметров p0, α , β от граничных угловых положений Λin и Λf определяется системой уравнений:

(3.3)
$\begin{gathered} \alpha = \frac{{J - {{J}_{1}}}}{{{{J}_{1}}}}{{p}_{{10}}}\beta ;\quad \cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2} - {{p}_{{10}}}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2} = {{\nu }_{0}} \\ \cos \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2} + {{p}_{{10}}}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2} = {{\nu }_{1}} \\ {{p}_{{20}}}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2} + {{p}_{{30}}}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2} = {{\nu }_{2}} \\ - {{p}_{{20}}}\sin \frac{{\beta }}{2}\cos \frac{{\alpha }}{{\text{2}}} + {{p}_{{30}}}\sin \frac{{\beta }}{2}\cos \frac{{\alpha }}{2} = {{{\nu }}_{3}}, \\ \end{gathered} $
где ${{\nu }_{0}}$, ${{\nu }_{1}}$, ${{\nu }_{2}}$, ${{\nu }_{3}}$ – компоненты кватерниона разворота ${{\Lambda }_{{\text{t}}}} = {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}} \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}}$; а углы α и β удовлетворяют неравенствам |α| ≤ π, 0 ≤ β ≤ π. Оптимизация в этом частном случае сводится к нахождению значений параметров ϑ , α , β и вектора p0, удовлетворяющих системе (3.3) (и, соответственно, условиям разворота (1.2), (1.3)). Время маневра переориентации Т пропорционально интегралу (2.12), соответствующему повороту КА из положения Λin в положение Λf. Когда КА совершает регулярную прецессию интеграл F равен

$F = T\sqrt {J_{1}^{2}{{{(\dot {\alpha } + \dot {\beta }\cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{{\dot {\beta }}}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta } = \sqrt {J_{1}^{2}{{{(\alpha + \beta \cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{\beta }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta } $

Время оптимального разворота рассчитывается по формуле

${{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = \sqrt {J_{1}^{2}{{{(\alpha + \beta \cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{\beta }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta } } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = \sqrt {J_{1}^{2}{{{(\alpha + \beta \cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{\beta }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta } } {{{L}_{{\max }}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{\max }}}}}$ или ${{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = \sqrt {(J_{1}^{2}{{{(\alpha + \beta \cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{\beta }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta )({{{\cos }}^{2}}\vartheta {\text{/}}{{J}_{1}} + {{{\sin }}^{2}}\vartheta {\text{/}}{{J}_{2}})} } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = \sqrt {(J_{1}^{2}{{{(\alpha + \beta \cos \vartheta )}}^{2}} + J_{2}^{2}{{\beta }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta )({{{\cos }}^{2}}\vartheta {\text{/}}{{J}_{1}} + {{{\sin }}^{2}}\vartheta {\text{/}}{{J}_{2}})} } {\sqrt Q }}} \right. \kern-0em} {\sqrt Q }}$
(ϑ – угол между продольной осью КА и вектором p).

Таким образом, кинематическая задача переориентации КА (как твердого тела) полностью решена. Оптимальное управление угловым положением КА реализуется по способу [14]. Оптимальные значения углов α, β и ϑ, удовлетворяющие заданным граничным значениям Λin и Λf в соответствии с уравнениями (3.3), могут быть определены с помощью устройства [18].

Для сферически симметричного КА (когда J1 = J2 = J3) решение задачи (1.1)–(1.4) значительно упрощается. В этом случае уравнения (2.7) принимают вид ${{\dot {p}}_{i}} \equiv {\text{0}}$ (i = 1, 2, 3), откуда оптимальным является вектор p = const = p0. Кинематические уравнения (1.1) также приводятся к более простой форме $2\dot {\Lambda } = \Lambda \circ {\mathbf{L}}{\text{/}}{{J}_{1}}$. Условия оптимальности (2.6) выглядят так L = Lmaxp0. Приходим к выводу, что для КА, у которого J1 = J2 = J3, оптимальным разворотом (в смысле быстродействия) является вращение вокруг оси Эйлера в направлении наименьшего угла поворота из положения Λin в положение Λf; причем оптимальный вектор р0 совпадает с ортом положительного направления оси Эйлера. Для КА с идеальной симметрией (в форме сферически симметричного твердого тела, у которого J1 = J2 = J3) решение p(t), L(t) есть частный случай регулярной прецессии. В этом варианте сочетания J1, J2, J3 отличительной особенностью оптимального движения является то, что $\dot {\alpha } = 0$ и α = 0; во время оптимального разворота КА вращается вокруг мгновенной оси Эйлера и поэтому

$\vartheta = \arccos ({{\nu }_{1}}{\text{/}}\sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2}} );\quad \beta = 2\arccos {{\nu }_{0}};\quad {{p}_{i}} = {{{{\nu }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{i}}} {\sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2}} }}$

Из вышесказанного запишем решение задачи (1.1)–(1.4) в явном виде:

${{L}_{i}} = {{{{\nu }_{i}}\sqrt {{{J}_{1}}Q} } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{i}}\sqrt {{{J}_{1}}Q} } {\sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\nu _{1}^{2} + \nu _{2}^{2} + \nu _{3}^{2}} }}$

Задача оптимального разворота сферически симметричного тела рассматривалась неоднократно (в частности, в [1, 3] и в других работах и исследованиях). Так как КА в форме сферически симметричного тела встречаются крайне редко (практически не бывает КА с идеальной симметрией и с одинаковыми моментами инерции относительно всех трех осей), то этот случай управления пространственным разворотом подробно не изучается.

Для произвольного КА (${{J}_{1}} \ne {{J}_{2}} \ne {{J}_{3}}$) решение системы уравнений (1.1), (2.5), (2.6) находится только численными методами (например, методом последовательных приближений). Определение вектора p0 производится путем решения краевой задачи с граничными условиями (1.2), (1.3) с учетом накладываемых на движение связей (1.1), (2.1), в которых Mi = 0. В результате получим значение кинетического момента в начальный момент времени Lcal, при котором обеспечивается перевод КА из состояния Λ(0) = Λin, L(0) = Lcal в состояние Λ(Т) = Λf при вращении по инерции (L(Т) при этом принципиального значения не имеет). Значение вектора p0 связано с найденным Lcal соотношениями pi0 = Lical/|Lcal|.

Кватернионы Λin и Λf, задающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные наперед заданные значения (но при этом ||Λin|| = ||Λf|| = 1). Разумеется, в моменты времени t = 0 и t = T кинетический момент для номинальной программы вращения КА, определяемый уравнением (2.9), не равен нулю. Следовательно, неизбежны переходные участки: разгон – переход из состояния покоя (когда L = 0) в режим вращения с максимальной энергией Emax = Q/2 и торможение – гашение кинетического момента КА до нуля. Если начальное Λin и конечное Λf положения и величина Lmax таковы, что времена разгона и торможения пренебрежимо малы (по сравнению с временем Т всего разворота), то сообщение КА необходимого кинетического момента L = Lmaxр0, и гашение имеющегося кинетического момента до нуля можно считать импульсным. В этом случае основным будет этап между разгоном и торможением, на котором выполняются условия (2.10). Необходимые условия оптимальности для участка движения с постоянной энергией вращения Е имеют форму (2.5), (2.6). Из динамических уравнений (2.1) следует, что для оптимальных функций Li(t) управляющие моменты Мi, необходимые для поддержания оптимального режима движения, равны нулю. Определяющим при нахождении оптимальных решений p(t), L(t) является значение вектора p в момент времени t = 0. Решив с учетом уравнений (1.1) и (2.5), в которых соблюдаются соотношения (2.6), кинематическую задачу разворота КА из положения Λ(0) = Λin в положение Λf , найдем расчетное значение вектора p0 и соответствующий ему вектор cР = const. На участке движения КА с постоянной энергией вращения управляющий момент М = 0 (так как временные функции Li(t) подчиняются (2.11)).

При оптимальном движении разворот КА из одного углового положения Λin в другое положение Λf состоит из кратковременного сообщения КА расчетной угловой скорости (номинального кинетического момента), неуправляемого вращения КА и кратковременного (импульсного) гашения угловой скорости до нуля. Для оптимального движения КА время разворота Т и модуль кинетического момента Lmax во время вращения КА связаны обратно-пропорциональной зависимостью; то есть для оптимальных значений Lmax и Т выполняется соотношение LmaxТ = const.

Ограничение величины располагаемого управляющего момента приводит к появлению ограниченных по времени участков набора и гашения кинетического момента. Следовательно, время разворота Т станет больше, чем Тopt = Kctpr/Lmax, которое соответствует идеальному управлению (даже при неизменном значении интеграла (2.12) из-за наличия участков, когда |L(t)| < Lmax, длительность разворота увеличивается); напомним, Kctpr – значение интеграла (2.12) при вращении КА по инерции. Необходимо, чтобы времена разгона и торможения были минимальными. Если на этапах разгона и торможения модуль момента М постоянен, временные характеристики программы движения могут быть определены достаточно точно.

4. Оптимальное управление разворотом с учетом ограниченности момента сил. Рассмотренный выше случай является предельным и соответствует варианту решения задачи разворота, когда существенным (переходящим в строгое равенство) является лишь ограничение (1.4). Практическое значение имеют задачи, в которых L(0) = L(Т) = 0 (такие условия разворота КА наиболее характерны). Поэтому необходимы этапы раскрутки КА до вращения с максимальным кинетическим моментом Lmax и гашения кинетического момента КА до нуля. Между разгоном и торможением выполняются уравнения (2.5) и (2.6), в которых $b = {{L}_{{\max }}} = {{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } C}} \right. \kern-0em} C} = {\text{const}}$. Если условия разворота Λin, Λf и время Т таковы, что времена разгона и торможения пренебрежимо малы (по сравнению с длительностью всего разворота), то сообщение КА необходимого кинетического момента Lmax и гашение имеющегося кинетического момента до нуля можно считать импульсным, и почти на всем развороте (между разгоном и торможением) |L(t)| = const = Lmax с выполнением уравнений (2.5), (2.11) (условие (1.4) переходит в строгое равенство). Определяющим при нахождении оптимальных решений p(t), L(t) является значение вектора р на момент времени t = 0.

Если момент управления М ограничен, то сообщение требуемого кинетического момента до уровня |L| = Lmax в начале разворота и гашение имеющегося кинетического момента до нуля в конце разворота занимают некоторое конечное (отличное от нуля) время. Интерес представляет общий случай, когда условия разворота Λin и Λf таковы (при известных инерционных характеристиках КА J1, J2, J3), что переходными участками (разгоном и торможением) нельзя пренебречь. Пусть управляющий момент М ограничен условием

(4.1)
${{M_{1}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{1}^{2}} {{{J}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{1}}}} + {{M_{2}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{2}^{2}} {{{J}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{2}}}} + {{M_{3}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{3}^{2}} {{{J}_{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{3}}}} \leqslant u_{0}^{2}$
где u0 > 0 – некоторая наперед заданная положительная величина (u0 ≠ 0).

Исследуем оптимальное движение КА на этапах набора и гашения кинетического момента. При решении задач набора и гашения кинетического момента фазовыми переменными будем считать компоненты вектора L кинетического момента. Рассмотрение начнем с гашения угловой скорости КА за минимальное время. Задача формулируется следующим образом: необходимо перевести КА из состояния L(t0) ≠ 0 в состояние покоя L(Т) = 0 в соответствии с уравнениями (2.1) в условиях ограничения (4.1) за минимальное время; здесь t0 – момент начала остановки вращения.

Решим задачу наискорейшего гашения исходного кинетического момента L0, используя принцип максимума Л.С. Понтрягина [16]. Введем сопряженные переменные φ i, i = 1, 2, 3, соответствующие переменным Li, и составим функцию Гамильтона

Г = –1 + φ1(M1 + (J2J3 )L2L3/J2J3) + φ2(M2 + (J3J1)L1L3/J1J3) + φ3(M3 + (J1J2)L1L2/J1J2).

Согласно [16] уравнения для сопряженных функций φi таковы:

Сопряженная система уравнений имеет вид

${{\dot {\varphi }}_{1}}$ = L3φ2(J1J3)/J1J3 + L2φ3(J2J1)/J1J2
(4.2)
${{\dot {\varphi }}_{2}}$ = L3φ1(J3J2)/J2J3 + L1φ3(J2J1)/J1J2
${{\dot {\varphi }}_{3}}$ = L2φ1(J3J2) /J2J3 + L1φ2(J1J3)/J1J3

Найдем максимум функции Гамильтона Г по управлению М = {М1, М2, М3} с учетом ограничения (4.1). Для удобства перейдем к переменным ${{u}_{i}} = {{{{M}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{i}}} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{i}}} }}$ и перепишем функцию Г в виде $\Gamma = {{u}_{1}}{{\varphi }_{1}}\sqrt {{{J}_{1}}} + {{u}_{2}}{{\varphi }_{2}}\sqrt {{{J}_{2}}} + {{u}_{3}}{{\varphi }_{3}}\sqrt {{{J}_{3}}} + {{\Gamma }_{{{\text{inv}}}}}$, где Гinv не зависит от искомых функций Мi. В условиях ограничения |u| ≤ u0 функция Г максимальна, если ${{u}_{i}} = a{{\varphi }_{i}}\sqrt {{{J}_{i}}} $, где а > 0 (здесь u = {u1, u 2, u3}). При оптимальном управлении ограничение (4.1) переходит в строгое равенство; поэтому оптимальными являются функции

(4.3)
${{M}_{i}} = {{{{u}_{0}}{{J}_{i}}{{\varphi }_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}{{J}_{i}}{{\varphi }_{i}}} {\sqrt {{{J}_{1}}\varphi _{1}^{2} + {{J}_{1}}\varphi _{1}^{2} + {{J}_{3}}\varphi _{3}^{2},} \quad i = 1,2,3}}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{1}}\varphi _{1}^{2} + {{J}_{1}}\varphi _{1}^{2} + {{J}_{3}}\varphi _{3}^{2},} \quad i = 1,2,3}}$

Система (2.1), (4.2), (4.3) имеет единственное решение, которое удовлетворяет соотношениям

(4.4)
φi = ρ Li/Ji, i = 1, 2, 3
где ρ – скалярная величина. Подставляя функции φi, вычисленные по формулам (4.4), в уравнения (4.2), получаем

${{\dot {\varphi }}_{1}}$ = ρL2L3(J1J3)/J1J2J3 + ρL2L3(J2J1)/J1J2J3 = ρ(${{\dot {L}}_{1}}$M1 )/J1

Для всех i = 1, 2, 3 имеем ${{\dot {\varphi }}_{i}} = \rho ({{\dot {L}}_{i}} - {{M}_{i}}){\text{/}}{{J}_{i}}$. С другой стороны, из (4.4) следует ${{\dot {\varphi }}_{i}} = (\rho {{\dot {L}}_{i}} + \dot {\rho }{{L}_{i}}){\text{/}}{{J}_{i}}$. Приравнивая оба выражения, получаем ρMi = –${\dot {\rho }}$Li. При оптимальном торможении функции Li(t) и φi(t) связаны соотношениями (4.4) (очевидно М L < 0). Отсюда с учетом уравнений (4.3), (4.4) и ограничения (4.1) оптимальное управление находится по выражению

(4.5)
${{M}_{i}} = {{ - {{u}_{0}}{{L}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{u}_{0}}{{L}_{i}}} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}$

Оптимальное решение L(t) для участка торможения определяется условием М || L.

Покажем, что на всем отрезке времени от t = t0 до t = Т вектор φ = {φ1, φ2, φ3} сопряженных переменных отличен от нуля. Нетрудно видеть, что для функции ρ(t) справедливо уравнение $\dot {\rho }\sqrt {2E} $u0ρ = 0. Его решением будет ρ(t) = $ - {{C}_{1}}{\text{/}}\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}}\, + \,L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}}\, + \,L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} $, где С1 = const > 0 (ρ < 0, так как М L < 0). Заметим, что $\sqrt {2E(t)} = {{E}_{0}} - {{C}_{2}}(t - {{t}_{0}})$, где ${{E}_{0}} = \sqrt {2E({{t}_{0}})} $, С2 = const > 0. Подставив ρ(t) в равенства (4.4) и приняв во внимание зависимости (4.5), получим u0φi = С1Мi/Ji, $i = \overline {1,3} $. Так как М ≠ 0, то и φ ≠ 0 (потому, что С1 > 0).

Функция Г не зависит явно от времени, и время остановки вращения Т не фиксировано. Поэтому необходимо выполнение условия Г = 0 [17]. Проверим оптимальность найденного решения (4.4), (4.5) с точки зрения требования Г = 0. Подставим φi и Мi, вычисленные по формулам (4.4), (4.5) с учетом оптимальной функции ρ(t), в функцию Г и получим

Г  = –1 + φ1M1 + φ2M2 + φ3M3 + ρL1L2L3 (J2J3 + J3J1 + J1J2)/J1J2J3 = С1u0 – 1

Значит С1 = 1/u0 – оптимальное значение коэффициента С1. Является доказанным, что функции φi(t) и Li(t), обладающие свойством (4.4), удовлетворяют необходимым условиям оптимальности (системе уравнений (4.2), условию максимума функции Г и условиям трансверсальности φ(0) ≠ 0, φ(T) ≠ 0 и Г(Т) = 0). Таким образом, связь момента сил М с кинетическим моментом L при оптимальном управлении на участке торможения выражается в виде

(4.6)
${\mathbf{М }} = --{{и }_{0}}{\mathbf{L}}{{({\mathbf{L}} \cdot J_{{{\text{SC}}}}^{{ - 1}}{\mathbf{L}})}^{{ - 1/2}}}$
где JSC = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции КА. В оптимальном движении управляющий момент не меняет своего направления в инерциальной системе координат, а кинетический момент КА составляет с управляющим моментом 180 град. Для энергии вращения E, как функции времени, справедливо уравнение $\dot {E} = - {{u}_{0}}\sqrt {2E} $ (поэтому С2 = и0). Учитывая, что L(Т) = 0, находим $\sqrt {2E(t)} = {{E}_{0}}(T - t){\text{/}}(T - {{t}_{0}})$; откуда Е(t) = Е(t0)(Т – ‒ t)2/(Тt0)2.

Рассмотренная задача соответствует торможению КА (гашению имеющегося кинетического момента L до нуля) наиболее эффективным образом. Задача сообщения требуемого кинетического момента корпусу КА за минимальное время решается аналогично. Для оптимальной раскрутки КА справедливо то же решение M || L и (4.4), только М L > 0 (и поэтому ρ > 0). Оптимальное управление на участке разгона запишем следующим образом:

(4.7)
${\mathbf{М }} = {{и }_{0}}{\mathbf{L}}{{({\mathbf{L}} \cdot J_{{{\text{SC}}}}^{{ - 1}}{\mathbf{L}})}^{{ - 1/2}}}$

Как при разгоне, так и при торможении оптимальным по быстродействию является управление, при котором управляющий момент все время параллелен кинетическому моменту КА.

Полученный результат легко объясняется из физического смысла. Исследуем поведение энергии вращения $E = (L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}){\text{/}}2$. Производная равна

dE/dt = ${{\dot {L}}_{1}}$L1/J1+ ${{\dot {L}}_{2}}$L2/J2+ ${{\dot {L}}_{3}}$L3/J3 = L1М1/J1+ L2М2/J2+ L3М3/J3 = М $J_{{{\text{SC}}}}^{{ - 1}}$L
что соответствует механической мощности. Используя переменные ui , получим

${{dE{\text{/}}dt = {{u}_{1}}{{L}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{dE{\text{/}}dt = {{u}_{1}}{{L}_{1}}} {\sqrt {{{J}_{1}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{1}}} }} + {{{{u}_{2}}{{L}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{2}}{{L}_{2}}} {\sqrt {{{J}_{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{2}}} }} + {{{{u}_{3}}{{L}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{3}}{{L}_{3}}} {\sqrt {{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {{{J}_{3}}} }}$

Величина $\left| {dE{\text{/}}dt} \right|$ максимальна в каждый момент времени (при |u| ≤ u0), если ui = = $\mu {{L}_{i}}{\text{/}}\sqrt {{{J}_{i}}} $, где μ – скалярная величина. Откуда Mi = μLi, то есть M || L. Если μ < 0, то торможение; если μ > 0, то разгон. Управляющие моменты Mi при оптимальном движении L(t) равны

(4.8)
${{M}_{i}} = \pm {{{{u}_{0}}{{L}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}{{L}_{i}}} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }},\quad i = 1,\;2,\;3$
(“+” соответствует разгону, “–” – торможению) или в векторной форме M = = ${{ \pm {{u}_{0}}{\mathbf{L}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ \pm {{u}_{0}}{\mathbf{L}}} {\sqrt {2E} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2E} }}$.

Функция Е(t) подчиняется дифференциальному уравнению $\dot {E} \pm {{u}_{0}}\sqrt {2E} = 0$ (здесь, в этом уравнении, знак “+” берется для этапа торможения, а знак “–” – для этапа разгона). Его решением будут следующие функции: Е(t) = $u_{0}^{2}$t2/2 (для разгона) и Е(t) = = $u_{0}^{2}$(Тt)2/2 (для торможения). Вариант Е(t) ≡ 0 не рассматривается, так как функция энергии Е(t) должна быть такой, чтобы Е(tac) = Е(τ) ≠ 0 и Е(tbr) ≠ 0, где τ – длительность разгона (торможения); и tbr – момент начала торможения. Заметим, что при любых условиях разворота Е(Т/2) > 0, из-за чего функция Е(t) не может быть тождественно равна нулю. Общее решение таково

Е(t) = $u_{0}^{2}$(t + Сt)2/2, где Сt = const

На участке разгона Е(t = 0) = 0, а Е(t > 0) > 0; следовательно Сt = 0 и Е(t) = $u_{0}^{2}$t2/2.

На участке торможения Е(t = Т) = 0, а Е(t < Т) > 0; значит Сt = –Т и Е(t) = $u_{0}^{2}$(tТ)2/2. Отмечаем, что $\sqrt {2E} = {{u}_{0}}(T - t)$, а $\dot {E} = u_{0}^{2}(t - T)$, и поэтому для энергии Е(t) остается справедливым правило $\dot {E} = - {{u}_{0}}\sqrt {2E} $, записанное ранее при решении задачи оптимальной остановки вращения КА.

Запишем динамические уравнения (2.1), подставив в них уравнения (4.8) для моментов Mi , соответствующие оптимальному движению (по критерию максимального быстродействия)

${{\dot {L}}_{1}} + ({{J}_{2}} - {{J}_{3}}){{L}_{2}}{{L}_{3}}{\text{/}}{{J}_{2}}{{J}_{3}} = \pm {{{{u}_{0}}{{L}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}{{L}_{1}}} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}$

Из (4.8) найдем ${{L}_{i}} = \pm {{M}_{i}}\sqrt {2E} {\text{/}}{{u}_{0}}$, где знак “+” соответствует разгону, а знак “–” – торможению. Далее (после дифференцирования)

${{\dot {L}}_{i}} = \pm ({{\dot {M}}_{i}}\sqrt {2E} + {{M}_{i}}d(\sqrt {2E} ){\text{/}}dt){\text{/}}{{u}_{0}} = \pm ({{\dot {M}}_{i}}\sqrt {2E} \pm {{u}_{0}}{{M}_{i}}){\text{/}}{{u}_{0}}$
так как $d(\sqrt {2E} ){\text{/}}dt = \pm {{u}_{0}}$. С другой стороны (из уравнений (2.1)) ${{\dot {L}}_{1}}$ = M1 + (J2 – ‒ J3)L2L3/J2J3. Приравняем оба выражения М1 ± ${{\dot {M}}_{1}}\sqrt {2E} $/u0 = М1 + (J2J3)L2L3/J2J3; откуда (J2J3 )L2L3/J2J3 = ±${{\dot {M}}_{1}}\sqrt {2E} $/u0. Из (4.8) вычислим L2L3/J3 = ±L3M2$\sqrt {2E} $/J3u0 и L2L3/J2 = ±L2M3$\sqrt {2E} $/J2u0. В итоге ±${{\dot {M}}_{1}}\sqrt {2E} $/u0 = ±(L3M2$\sqrt {2E} $/J3u0L2M3$\sqrt {2E} $/J2u0). Сокращая на ±$\sqrt {2E} $/u0, получим уравнение ${{\dot {M}}_{1}}$ = L3М2/J3L2М3/J2. Аналогично рассуждая, определим уравнения для переменных М2, М3. Окончательный их вид будет таким

(4.9)
${{\dot {M}}_{1}}$ = L3М2/J3L2М3/J2, ${{\dot {M}}_{2}}$ = L1М3/J1L3М1/J3, ${{\dot {M}}_{3}}$ = L2М1/J2L1М2/J1

Переписав (4.9) в векторной форме, приходим к следующим соотношениям для вектора М:

(4.10)
${\mathbf{\dot {M}}}$ = –ω × М, Λ $ \circ $ М $ \circ \,\tilde {\Lambda }$ = const
где ω – вектор абсолютной угловой скорости КА. Из уравнений (4.10) следует равенство |М| = const. А значит и пропорция Е/|L|2 остается постоянной на всем этапе разгона (а также торможения); этот вывод следует из формул (4.8), записанных для оптимального управления. Дифференциальные уравнения (4.9) для момента сил М указывают на то, что, изменяясь относительно связанной системы координат КА, оптимальный вектор М остается неизменным относительно инерциальной системы координат. В результате получили, что при оптимальном движении КА во время разгона и торможения управляющий момент М должен быть постоянным (зафиксированным) относительно инерциальной системы координат (и поэтому величина |М| = const). При оптимальном движении (на участках разгона и торможения):
$\dot {E} = \pm {{u}_{0}}\sqrt {L_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + L_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + L_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} = \pm {{u}_{0}}\sqrt {2E} $
поскольку $M = {{ \pm {{u}_{0}}{\mathbf{L}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ \pm {{u}_{0}}{\mathbf{L}}} {\sqrt {2E} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2E} }}$ ($\dot {E}$ = Мω = ${{ \pm {{u}_{0}}\omega \cdot {\mathbf{L}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ \pm {{u}_{0}}\omega \cdot {\mathbf{L}}} {\sqrt {2E} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2E} }} = \pm {{u}_{0}}\sqrt {2E} $, так как ω L = 2E).

Приходим к заключению – как при разгоне, так и при торможении оптимальным по быстродействию является управление, при котором управляющий момент все время параллелен кинетическому моменту КА. Управляющий момент М при оптимальном разгоне (торможении) описывается зависимостями (4.8), в которых знак “+” соответствует участку разгона КА до требуемого кинетического момента, а “–” – участку гашения имеющейся угловой скорости (при торможении ρ < 0, а при разгоне ρ > 0). Если l – орт вектора L кинетического момента КА, то с учетом свойств (4.8), (4.10) и равенства Li = |L|li делаем вывод: на участках разгона и торможения $l_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}}\, + \,l_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}}\, + \,l_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}$ = = const.

Обозначим ${{m}_{0}} = {{{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}} {\sqrt {l_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + l_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + l_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {l_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + l_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + l_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}$. Тогда |M| = m0. Оптимальные управления равны Mi = ±m0li = ±m0Li/|L| .

В момент времени t = 0 кинетический момент КА L = 0, и условие (1.4) выполняется при любом М. Поэтому оптимальным по быстродействию будет управление (4.7). Пока 2Е(t) < Q, управляющий момент М = m0L/|L| будет оптимальным. В момент времени tp наступает равенство 2Е(t) = Q, и дальнейший рост энергии Е невозможен (управление в виде (4.7) будет недопустимым в силу ограничения (1.4)). Оптимальным по быстродействию будет управление, при котором 2Е(t) = Q и функция Гамильтона Н максимальна. Функция Н принимает максимальное значение в условиях ограничения (1.4) на движениях, удовлетворяющих уравнениям (2.11). Очевидно, что вращение КА с максимальной энергией будет оптимальным по быстродействию, при этом управляющий момент M = 0, что не приводит к нарушению требования (4.1). Так же очевидно, что из-за наличия граничного условия L(Т) = 0 должен существовать такой момент времени tт, начиная с которого производят гашение кинетического момента с максимальным моментом управления М. Как только 2 Е(t) < Q, так в последующем движении КА ограничение (1.4) становится несущественным и, следовательно, может не учитываться при t > tт. В силу симметричности участков разгона и торможения оптимальным для наискорейшего гашения кинетического момента является управление М = –m0L/|L|. Момент времени tт выбирается с таким расчетом, чтобы к моменту полной остановки L = 0 КА занял требуемое угловое положение Λf. Упрощающим обстоятельством является разделение по времени (чередование) участков, когда существенно одно из ограничений (4.1), (1.4) для переменных Мi и Li. При развороте КА лишь одно из условий (1.4) или (4.1) переходит в строгое равенство; отрезки времени, на которых одно из неравенств (1.4) или (4.1) становится строгим равенством, чередуются. На участках разгона и торможения предельно максимальным является управляющий момент М, строгим равенством становится условие (4.1), а в интервале между разгоном и торможением условие (1.4) выполняется как равенство, предельно максимальной будет энергия вращения Е. Точки излома tp, tт модуля кинетического момента – единственные моменты времени, когда оба ограничения (1.4) и (4.1) переходят в строгие равенства.

Таким образом, для нулевых граничных условий L(0) = L(Т) = 0 оптимальный разворот КА включает две фазы, в течение которых действует максимальный по величине управляющий момент – разгон (увеличение угловой скорости) и торможение (гашение угловой скорости до нуля), и фазу неуправляемого вращения, при котором справедливы уравнения (2.11). На участке разгона векторы М и L имеют одинаковое направление, а на участке торможения векторы М и L имеют противоположные направления; вектор кинетического момента L имеет постоянное направление в инерциальном пространстве, но меняется по величине (на участке разгона он увеличивается с нуля до максимального значения Lmax, а на участке торможения – уменьшается до нуля). В силу того, что начальная и конечная угловые скорости равны нулю, а величина управляющего момента постоянна |M| = const = m0, длительность этапов разгона и торможения будет одинакова. В интервале времени между набором и гашением кинетического момента энергия вращения максимальна и постоянна Е = const = = Q/2. Искомое решение L(t) на участке номинального движения (между разгоном и торможением) обладает свойствами (2.10). Максимальное значение Lmax модуля кинетического момента равно ${{L}_{{\max }}} = {{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } C}} \right. \kern-0em} C}$.

Продемонстрируем, что все три участка движения – разгон, неуправляемое вращение, торможение – объединяет одно общее свойство: кинетический момент L на всех отрезках времени [0, tac], [tac, tbr], [tbr, T] (а значит на всем интервале управления [0, T] ) параллелен одной и той же прямой, неподвижной в инерциальной системе координат (здесь tac – момент окончания разгона, tbr – момент начала торможения). На участке разгона ${\mathbf{\dot {l}}}$ = –ω × l и Λ $ \circ $ l $ \circ \,\tilde {\Lambda }$ = const. На участке торможения ${\mathbf{\dot {l}}}$ = –ω × l и Λ $ \circ $ l $ \circ \,\tilde {\Lambda }$ = = const . Между разгоном и торможением ${\mathbf{\dot {p}}}$= –ω × p, Λ $ \circ $ p $ \circ \,\tilde {\Lambda }$ = cР = const и pl . В силу непрерывности функции l (t) заключаем, что ${\mathbf{\dot {l}}}$ = –ω × l, Λ $ \circ $ l $ \circ \,\tilde {\Lambda }$ = const = cР и l = p на всем отрезке времени от t = 0 до t = Т. Таким образом, на всем интервале управления t ∈ [0, T] для орта кинетического момента l выполняется условие l = $\tilde {\Lambda } \circ $ cP$ \circ $ Λ, где cР = const . Доказано, что на протяжении всего разворота направление кинетического момента относительно инерциальной системы координат остается постоянным.

Для участка разгона cI = Λ $ \circ $ l(t) $ \circ \tilde {\Lambda }$ = const . Откуда l (tac) = $\tilde {\Lambda }({{t}_{{{\text{ac}}}}}) \circ $ cI$ \circ $ Λ(tac), где tac – время начала неуправляемого вращения КА. На участке вращения по инерции [tac, tbr] орт кинетического момента совпадает с вектором p, и в момент времени t = tac будет p(tac) = l(tac) = $\tilde {\Lambda }({{t}_{{{\text{ac}}}}}) \circ $ cI(tac) $ \circ $ Λ(tac), то есть на время t = tac имеем cI(tac) = cP. В момент начала торможения t = tbr будет p(tbr) = $\tilde {\Lambda }({{t}_{{{\text{br}}}}}) \circ $ cI(tac ) $ \circ $ Λ(tbr), так как cI(tbr) = cI(tac) (при вращении по инерции направление кинетического момента относительно инерциальной системы координат не меняется). Так как l (tac) = p(tac), то l (tbr) = p(tbr). При торможении l(t) = $\tilde {\Lambda } \circ $ cI(tbr) $ \circ $ Λ; причем l(tbr) = p(tbr). Найдем p(t) = $\tilde {\Lambda } \circ $ cI(tbr) $ \circ $ Λ = l (t), так как cI(tbr) = cI(tac) = cP. Поэтому p(Т) = l(Т). Убедились, что на всем отрезке времени [0, T] будет Λ $ \circ $ l(t) $ \circ \tilde {\Lambda }$ = const и p(t) ≡ l(t).

При оптимальном управлении КА вращается по “траектории свободного движения”. Под “траекторией свободного движения” понимается совокупность угловых положений (значений Λ), занимаемых твердым телом в процессе вращения его по инерции. В геометрической интерпретации “траектория свободного движения” есть след изображающей точки Λ(t), где Λ(t) является решением системы дифференциальных уравнений (1.1), (2.1) при M = 0 и L ≠ 0. Вектор p параллелен орту кинетического момента; из чего вытекает равенство модуля управляющего момента на участке разгона и участке торможения, а значит равенство длительности разгона и торможения. Управляющий момент М во время всего разворота от t = 0 до t = Т параллелен кинетическому моменту L или равен нулю. Поэтому направление кинетического момента относительно инерциальной системы координат неизменно. Постоянная cI, характеризующая “траекторию свободного движения”, одна и та же на всей оптимальной траектории вращения КА во время оптимального разворота (на всем отрезке времени 0 ≤ tT). На основе указанных свойств оптимального движения L(t), заключаем, что решение краевой задачи и определение вектора р0 и характеристики F упрощается и совпадает с решением той же краевой задачи для кинематически оптимального разворота, когда |L| = const .

Оценим “проигрыш” по времени (в маневренности) из-за наличия участков разгона и торможения продолжительностью Δtac и Δtbr. Для идеального маневра время разворота ${{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = FC} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{{{\text{opt}}}}} = FC} {\sqrt Q }}} \right. \kern-0em} {\sqrt Q }}$, а с учетом длительности переходных участков (из-за ограничения (4.1)) время

(4.11)
${{T = FC} \mathord{\left/ {\vphantom {{T = FC} {\sqrt Q }}} \right. \kern-0em} {\sqrt Q }} + {{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}$

Так как увеличение длительности разворота ΔТ составляет ΔТ = Lmax/m0 = ${{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}$, то относительный “проигрыш” в маневренности равен $\delta T = \Delta T{\text{/}}{{T}_{{{\text{opt}}}}} = {Q \mathord{\left/ {\vphantom {Q {({{u}_{0}}FC)}}} \right. \kern-0em} {({{u}_{0}}FC)}}$.

Таким образом, для задачи пространственной переориентации определены тип траектории и ключевые свойства оптимального движения КА. Задача оптимального по времени управления разворотом КА в условиях ограничения (1.4) полностью решена. Предельными случаями управления являются: (a) кинематически оптимальный разворот; и (b) управление с одной точкой переключения, при котором отсутствуют интервалы времени, когда М = 0.

Так как при торможении КА момент М направлен строго против кинетического момента L, то момент начала торможения может быть спрогнозирован достаточно точно. Длительность остановки вращения равна $\tau = {{\sqrt {2E} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {2E} } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}$. Начало участка торможения определяется условием

$2\arccos {{q}_{0}} = \frac{{\sqrt {{{J}_{1}}\omega _{1}^{2} + {{J}_{2}}\omega _{2}^{2} + {{J}_{3}}\omega _{3}^{2}} }}{{2{{u}_{0}}}} \cdot \sqrt {1 + \frac{{q_{1}^{2}}}{{q_{2}^{2} + q{}_{3}^{2}}}} \cdot \sqrt {\omega _{2}^{2} + \omega _{3}^{2}} $
или
${\text{4arcsin}}\frac{{K\sqrt {q_{2}^{2} + q_{3}^{2}} }}{{\sqrt {{{{({{J}_{2}}{{\omega }_{2}})}}^{2}} + {{{({{J}_{3}}{{\omega }_{3}})}}^{2}}} }} = \frac{{{{K}^{2}}\sqrt {\omega _{2}^{2} + \omega _{3}^{2}} }}{{{{m}_{0}}\sqrt {{{{({{J}_{2}}{{\omega }_{2}})}}^{2}} + {{{({{J}_{3}}{{\omega }_{3}})}}^{2}}} }}$
где q j − компоненты кватерниона рассогласования $\tilde {\Lambda }(t) \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}}$ (j = 0, 1, 2, 3); ωi – проекции вектора угловой скорости КА ω на оси связанной с КА системы координат; К = = |JSC ω| – величина кинетического момента КА (так как τ = |L|/m0). Предлагаемый закон управления кинетическим моментом улучшает маневренность КА при ограниченной энергии вращения.

Если Q > Qcr = Fu0C, то ограничение (1.4) становится несущественным, и время оптимального разворота равно $T = 2\sqrt {FC{\text{/}}{{u}_{0}}} $ (при этом максимальная энергия Emax = Fu0C/2).

Рассмотренная выше задача управления достаточно актуальна. Не менее важной и интересной является и обратная задача – перевод КА из состояния Λ(Т) = Λin, L(0) = 0 в состояние Λ(Т) = Λf, L(Т) = 0 за заданное время Т = Тsp таким образом, чтобы величина

(4.12)
$G = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} (L_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + L_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + L_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})$
была минимальной. Если бы нам удалось найти связь максимальной энергии вращения Emax с длительностью маневра переориентации Т, то решив задачу максимального быстродействия (1.1)–(1.4), (4.1), в которой Q = 2Emax, мы получим искомое решение L(t) задачи оптимального разворота из состояния Λ(Т) = Λin, L(0) = 0 в состояние Λ(Т) = Λf, L(Т) = 0 за заданное время Т = Тsp с минимальной энергией вращения.

Опираясь на ключевые свойства оптимального движения, найдем функциональную зависимость между временем разворота Т и максимальной энергией вращения Emax. Напомним, что для оптимального разворота КА, как вращения по “траектории свободного движения”, когда направление кинетического момента КА неизменно относительно инерциальной системы координат, известна характеристика F (интеграл от модуля кинетического момента за время разворота); она как и вектор р0 определяется только значениями Λin, Λf и моментами инерции J1, J2, J3 и не зависит от функции |L(t)|. На основании данного свойства запишем уравнение

(4.13)
Lmax(TLmax/m0) = F
(так как длительности разгона и торможения одинаковы и равны τ = Lmax/m0). Отсюда Т = F/Lmax + Lmax/m0 при условии Lmaxm0T/2, где m0 = u0/C (константа C = = $\sqrt {p_{{10}}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}}\, + \,p_{{20}}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}}\, + \,p_{{30}}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}}} $). Энергия вращения $E = {{\left| L \right|}^{2}}{{(p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. Используя свойство $p_{1}^{2}{\text{/}}J_{1}^{{}} + p_{2}^{2}{\text{/}}J_{2}^{{}} + p_{3}^{2}{\text{/}}J_{3}^{{}}$ = const, получаем соотношение Emax = = $L_{{\max }}^{2}{{C}^{2}}{\text{/}}2$, связывающее параметры Lmax и Еmax оптимального разворота. Следовательно
(4.14)
${{T = FC} \mathord{\left/ {\vphantom {{T = FC} {\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} + {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}}}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} + {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}}}$
(так как ${{L}_{{\max }}} = {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {2{{E}_{{\max }}}} } C}} \right. \kern-0em} C}$). Функция F/Lmax + Lmax/m0 имеет одну точку экстремума ${{L}_{{{\text{cr}}}}} = \sqrt {{{m}_{0}}F} $ (критическое значение уровня Lmax), которой соответствует Еcr = Fu0C/2 и время ${{T}_{{{\text{cr}}}}} = 2\sqrt {F{\text{/}}{{m}_{0}}} $. Ранее было показано, что время разворота Т не может быть меньше ${{T}_{{{\text{fast}}}}} = 2\sqrt {FC/{{u}_{0}}} $, где Тfast – минимально возможное время разворота КА с моментами инерции J1, J2, J3 из положения Λin в положение Λf с учетом ограничения (4.1) (при определении значения Тfast ограничение (1.4) игнорируется). Зная взаимозависимость u0 и m0 находим Tcr = Тfast.

Так как при ${{L}_{{\max }}} \leqslant \sqrt {{{m}_{0}}F} = {{L}_{{{\text{cr}}}}}$ время разворота Т – монотонно убывающая функция максимального кинетического момента Lmax (значения ${{L}_{{\max }}} \geqslant \sqrt {{{m}_{0}}F} $ не рассматриваются, поскольку должно быть Lmax/m0F/Lmax, и цель оптимизации управления – минимизация показателя (4.12)), то и обратная функция – зависимость Lmax от времени Т – монотонно убывающая функция. Как следствие, G(Т) и Еmax(T) – монотонно убывающие функции длительности разворота Т. Поэтому каждому конкретному значению Т соответствует единственное минимально возможное значение Еmax (и показателя (4.12)). Если время разворота Т задано, то из уравнений (4.13), (4.14) легко найти оптимальные значения Lmax и Еmax

$\begin{gathered} {{L}_{{\max }}} = {{{{m}_{0}}T(1 - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}T(1 - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} 2}} \right. \kern-0em} 2} \\ {{E}_{{\max }}} = u_{0}^{2}{{T}^{2}}{{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} 4}} \right. \kern-0em} 4} \\ \end{gathered} $

Откуда оптимальное (минимально возможное) значение (4.12) равно

${{G}_{{{\text{opt}}}}} = u_{0}^{2}{{T}^{2}}{{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} 2}} \right. \kern-0em} 2}$

На основании свойства оптимального движения, которое заключается в том, что Еmax – монотонно убывающая функция длительности Т, заключаем, что оптимальным разворотом в смысле минимума энергии Еmax (при фиксированном времени Т) является вращение по “траектории свободного движения”, при котором выполняется соотношение

L = b(t)$\tilde {\Lambda } \circ $ cP$ \circ $ Λ (причем cР = const = Λin$ \circ $ p0$ \circ {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}}$)
в котором b(t) – скалярная непрерывная кусочно-линейная функция времени с двумя точками излома t = tac и t = tbr, причем $\dot {b} = {{m}_{0}}$ при t < tac, $\dot {b} = - {{m}_{0}}$ при t > tbr, а на отрезке [tac, tbr] имеем b(t) = const и М = 0. Условием реализуемости разворота является требование Т 2 ≥ 4F/m0.

В случае, если Q неограниченно большое и 4F = m0Т2, будет tac = tbr = Т/2, в оптимальном развороте участок вращения по инерции отсутствует (|М| = m0 на всем интервале управления [0, T]), реализуется оптимальный по быстродействию разворот КА (с учетом одного ограничения (4.1)). На всем отрезке времени [0, T] момент М максимально возможный (|M| = const = Mmax), но меняет свой знак – первую половину разворота направление момента М совпадает с направлением кинетического момента, а вторую половину разворота (начиная с момента времени t = Т/2) направление момента М противоположно направлению кинетического момента (момент М меняет знак на обратный в момент времени t = Т/2).

Если 4F > m0Т2, то разворот КА (с известными значениями параметров J1, J2, J3) из положения Λin в положение Λf за отведенное время Т невозможен.

Для заданного времени разворота Т = Тsp описанное выше управление (раскрутка КА по закону (4.7), вращение по инерции с М = 0, торможение в соответствии с (4.6)) удовлетворяет условию (1.4), если QGopt. Значит, минимально возможная энергия вращения Eopt для разворота КА из состояния Λ(0) = Λin, L(0) = 0 в состояние Λ(Т) = = Λf, L(Т) = 0 за заданное время Т при ограничении (4.1) равна

(4.15)
${{E}_{{{\text{opt}}}}} = u_{0}^{2}{{T}^{2}}{{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} 4}} \right. \kern-0em} 4}$

Меньшего уровня энергии Е добиться невозможно, так как для Q < 2Eopt на разворот из (1.2) в (1.3) при условии L(0) = L(Т) = 0 и ограничениях (1.4), (4.1) потребуется время Т > Тsp.

Можно утверждать, что для граничных значений L(0) = L(T) = 0 решение L(t) задачи оптимального разворота из положения (1.2) в положение (1.3) с минимальным значением (4.12) при наличии ограничения (4.1) совпадает с решением L(t) задачи максимального быстродействия (1.1)–(1.4), (4.1) при условии, что Q = 2Eopt, вычисленное по формуле (4.15).

Доказательство. Допустим, существует такое движение L(t), Λ(t) из положения Λin в положение Λf, удовлетворяющее уравнениям (1.1), (2.1), ограничению (4.1) и граничным условиям (1.2), (1.3), L(0) = L(T) = 0 для заданного времени Т, при котором максимальная энергия вращения Еmax будет меньше, чем при найденном управлении, включающем раскрутку КА в соответствии с законом (4.7), неуправляемое вращение с М = 0 и последующее торможение в соответствии с законом управления (4.6). Тогда мы можем ограничить такое движение условием (1.4), в котором Q = 2Еmax < 2Eopt. Но в этом случае минимально возможное время разворота, определяемое уровнем Q на основе формулы (4.11), окажется больше заданного по условиям разворота значения Тsp (из-за отрицательности производной dT/dQ всюду в интервале 0 < Q < Qcr = Fu0C), что противоречит первоначально сделанному предположению. Следовательно, не существует других решений, кроме описанного выше, и полученное оптимальное управление разворотом КА с минимальной энергией вращения за заданное время – действительно оптимально, так как оно единственное.

Оценим относительный рост энергии Еmax из-за отличного от нуля времени набора и гашения кинетического момента. Для идеального разворота (когда Е(t) = const) энергия вращения будет Emin = F2C2/2T2. Если времена разгона Δtac и торможения Δtbr не равны нулю, то энергия вращения при оптимальном управлении определяется выражением (4.15). Следовательно, относительное увеличение энергии Еmax (как и показателя G) составляет

$\delta E = \Delta E{\text{/}}{{E}_{{\min }}} = \delta G = m_{0}^{2}{{T}^{4}}{{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - 2F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}} - \sqrt {1 - 4F{\text{/}}{{m}_{0}}{{T}^{2}}} )} {2{{F}^{2}} - 1}}} \right. \kern-0em} {2{{F}^{2}} - 1}}$

Очевидно, значения G и Еmax минимальны, когда Δtac + Δtbr = 0. Функция ΔE/Emin возрастает с увеличением длительности переходных участков τ.

В случае, когда u0 → ∞ (и, соответственно, m0 → ∞), времена Δtac → 0 и Δtbr → 0, что является предельным случаем управления. Другим предельным случаем является управление, при котором τ = Т/2. Этот вариант разворота реализуется, если 4F = m0T2 (напомним, что если момент М ограничен требованием (4.1), то параметр m0 = = ${{{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}} {\sqrt {l_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + l_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + l_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {l_{1}^{2}{\text{/}}{{J}_{1}} + l_{2}^{2}{\text{/}}{{J}_{2}} + l_{3}^{2}{\text{/}}{{J}_{3}}} }}$).

Описанный выше метод управления ориентацией КА применим для ограничения в форме |M| ≤ М0, если $F = {{K}_{{\text{c}}}}{{t}_{{{\text{pr}}}}} \ll {{M}_{0}}{{T}^{2}}{\text{/}}4$, где М0 – заданная константа (М0 > 0). В этом случае все расчетные формулы, приведенные выше, справедливы, если в них заменить m0 на М0.

5. Результаты математического моделирования. Приведем численное решение задачи оптимального управления программным разворотом КА. В качестве примера возьмем разворот КА на 180° из начального положения Λin, при котором оси КА совмещены (совпадают по направлению) с осями опорного базиса I, в заданное конечное положение Λf = Λsp. При этом считалось, что начальные и конечные угловые скорости нулевые ω(0) = ω(Т) = 0. Значения элементов кватерниона Λsp, характеризующего требуемое угловое положение КА, приняты равными: λ0 = 0; λ1 = 0.707107; λ2 = 0.5; λ3 = 0.5. Определим оптимальную программу управления кинетическим моментом L(t) для перевода КА из состояния Λ(0) = Λin, L(0) = 0 в состояние Λ(Т) = Λf, L(Т) = 0. Будем полагать, что главные центральные моменты инерции КА имеют значения, кг ⋅ м2: J1 = = 63559.2; J2 = 192218.5; J3 = 176808.9. Пусть мощность исполнительных органов характеризуется величиной u0 = 0.0712493 ${\text{H/}}\sqrt {{\text{к г }}} $, а длительность разворота Т = 400 с. Заметим, что принятый кватернион разворота Λt соответствует варианту, когда вектор конечного поворота (ось Эйлера) составляет с продольной осью ОХ угол примерно такой же, как с плоскостью, перпендикулярной оси ОХ. Такой разворот отражает достаточно трудный случай пространственного разворота КА, не обладающего сферической симметрией.

Найдем численное решение задачи оптимального управления переориентацией КА с минимальным значением (4.12) за заданное время Т. Краевая задача принципа максимума – определение вектора p0 для оптимального движения – решается методом последовательных приближений. Поиск расчетного значения вектора p0 начинаем с решения той же краевой задачи для динамически симметричного КА с моментами инерции J1 и J, где J – момент инерции относительно поперечной оси, принимаемый равным

$J = \frac{{{{J}_{2}}{{J}_{3}}}}{{{{J}_{2}} + {{J}_{3}} - {{J}_{1}}}}(\sqrt {(1 - {{J}_{1}}{\text{/}}{{J}_{2}})(1 - {{J}_{1}}{\text{/}}{{J}_{3}})} + 1)$

В предположении динамической симметричности КА решение p0 определяется системой (3.3).

Полученные из уравнений (3.3) значения p0 и β являются начальным приближением к истинному решению. Они уточняются до тех пор, пока не будут удовлетворять системе уравнений (1.1), (2.1), в которых момент сил отсутствует (M = 0), с учетом накладываемых на движение КА ограничений Λ(0) = Λin, Λ(tpr) = Λf, а компоненты Liin начального кинетического момента определяются вектором p0 и углом β по выражениям:

(5.1)
${{L}_{{1{\text{in}}}}} = \frac{{J\beta }}{T}{{p}_{{10}}},\quad {{L}_{{2{\text{in}}}}} = \frac{{J\beta }}{T}{{p}_{{20}}},\quad {{L}_{{3{\text{in}}}}} = \frac{{J\beta }}{T}{{p}_{{30}}}$
где Т – время разворота. Прогнозирование “свободного” движения осуществляется интегрированием системы уравнений (1.2), (2.1), описывающих вращение КА, при начальных условиях Λ(0) = Λin, L(0) = Lin и с учетом того, что M = 0. Степень приближения найденных р0 и β к искомому решению характеризуется мерой $\varepsilon = {\text{sqal}}({{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{app}}}}} \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}})$, где Λapp – наиболее близкое к Λf положение, полученное в ходе моделирования движения КА около центра масс (согласно уравнений (1.1), (2.1), в которых Mi = 0). Вектор р0 уточняется до тех пор, пока ε < εthrthr – некоторое близкое к единице пороговое значение, отражающее точность найденного решения). Как только условие ε ≥ εthr достигнуто (прогнозируемая ошибка соответствует требуемой точности), истинные значения p0 и β, удовлетворяющие граничным условиям Λ(0) = Λin, Λ(tpr) = Λf, будут найдены, и краевая задача решена. Вектор p0 уточняется с использованием следующего рекуррентного соотношения
$\Lambda _{{\text{t}}}^{{{\text{(}}k + {\text{1)}}}} = \Lambda _{{\text{t}}}^{{{\text{(}}k{\text{)}}}} \circ {{\tilde {\Lambda }}_{{\text{f}}}} \circ {{\Lambda }_{{{\text{app}}}}}$
где $\Lambda _{{\text{t}}}^{{(k)}}$ – значение кватерниона разворота на k-й итерации, используемое в системе (3.3). “Свободное” движение прогнозируется интегрированием системы уравнений (1.2), (2.1), описывающей вращение КА с начальными условиями Λ(0) = Λin, L(0) = Lin и с учетом того, что M = 0. На каждом k-м шаге итераций обновляются элементы кватерниона разворота $\Lambda _{{\text{t}}}^{{(k)}}$ (правые части системы (3.3)), и из уравнений (3.3) мы получаем p0 и β, а также соответствующий начальный кинетический момент Lin (согласно (5.1)) и прогноз Λapp. Если ε < εthr, то вычисляется кватернион разворота $\Lambda _{{\text{t}}}^{{{\text{(}}k + {\text{1)}}}}$ для следующего (k + 1)-го шага итераций, и процесс уточнения вектора p0 повторяется. За начальное приближение в правых частях системы (3.3) берутся элементы кватерниона $\Lambda _{{\text{t}}}^{{{\text{(0)}}}} = {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}} \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}}$. Итерационный процесс прекращается, когда ε ≥ εthr.

Принятая схема итераций аналогична итерационному методу решения уравнения вида x = g(x) для скалярной функции g(x) скалярного (одномерного) аргумента x. В нашем случае, аргумент – гиперкомплексное число (кватернион) Λt. Функцией является кватернионная величина ${{\Lambda }_{{\text{t}}}} \circ {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}} \circ {{\Lambda }_{{{\text{app}}}}}$, где Λf – постоянный (не зависящий от аргумента Λt) кватернион; Λapp зависит от аргумента Λt через систему уравнений (3.3), (5.1) посредством модели движения (1.2), (2.1) (в уравнениях (2.1) принимается Мi = 0). С изменением Λt изменяются вектор p0 (в соответствии с (3.3)) и компоненты Li in кинетического момента, а значит изменится и значение Λapp, что вызовет изменение функции ${{\Lambda }_{{\text{t}}}} \circ {{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{in}}}}} \circ {{\Lambda }_{{{\text{app}}}}}$. Как только ${\text{sqal}}({{\tilde {\Lambda }}_{{{\text{app}}}}} \circ {{\Lambda }_{{\text{f}}}}) \geqslant {{\varepsilon }_{{{\text{thr}}}}}$, итерационный процесс прекращается, а решение p0 считается найденным. Так как ${\text{|vect}}({{\tilde {\Lambda }}_{{\text{f}}}} \circ \Lambda _{{{\text{app}}}}^{{(k)}}){\text{|}} < {\text{|vect}}\Lambda _{t}^{{(k)}}{\text{|}}$ для всех k, то итерационный процесс приближения p0 к искомому решению сходится. Аналогичный метод определения значения р0 в решении краевой задачи принципа максимума использовался в известной задаче оптимального управления ориентацией КА [15]. Необходимо отметить, что это лишь один из возможных (но далеко не единственный) итерационных алгоритмов поиска оптимального вектора р0.

В результате решения краевой задачи разворота из положения Λ(0) = Λin в положение Λ(Т) = Λf получили расчетные значения вектора p0 = {0.4953506; –0.1172565; 0.8607431} и интеграла F = 355400 кг ⋅ м2. Поэтому максимальная величина управляющего момента равна m0 = 25.0 Н ⋅ м. Готовое решение (значение вектора р0 как решение краевой задачи принципа максимума) найдено за три итерации – первое приближение и два шага уточнений (после 2-го уточнения получено решение р0, удовлетворяющее требуемой точности позиционирования). Исходя из заданного времени разворота Т, по формуле (4.15) вычисляем оптимальную энергию вращения Еopt и значение Q, которое равно Q = 7.88 Дж. Соответственно номинальные значения $\tau = {{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } {{{u}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{0}}}}$ = 39.4 с и ${{L}_{{\max }}} = {{\sqrt Q } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt Q } C}} \right. \kern-0em} C} = 985$ Н⋅м⋅с (константа С зависит только от р0). Решая задачу оптимального управления (1.1)–(1.4), (2.1) с учетом (4.1) и условия L(0) = = L(T) = 0, получаем оптимальные функции Li(t), λj(t) и pi(t), приведенные на фиг. 1–3.

Фиг. 1
Фиг. 2
Фиг. 3

Результаты математического моделирования процесса разворота при оптимальном управлении представлены фиг. 1–4. На фиг. 1 изображены графики изменения проекций кинетического момента на оси связанной с КА системы координат L1(t), L2(t), L3(t) по времени (переменные Li даны в Н⋅м⋅с). Максимальная величина кинетического момента составляет Lmax = 985 Н⋅м⋅с, а длительность разгона (торможения) τ = 39.4 с. Соответственно Еmax = 3.94 Дж (так как значение (4.12) равно 7.88 Дж). На фиг. 2 отображены графики изменения компонент кватерниона Λ(t), определяющего текущую ориентацию КА в процессе совершаемого поворотного маневра: λ0(t), λ1(t), λ2(t), λ3(t). И на фиг. 3 приведена динамика изменения составляющих р1(t), р2(t), р3(t) вектора p во времени (значения рi, как и λj, − безразмерные величины). Характерным является незначительное изменение проекции р1 (составляющая кинетического момента L1 на участке номинального вращения также меняется гораздо меньше, чем составляющие кинетического момента L2 и L3). Это свидетельствует о том, что ось ОХ – продольная ось КА. Необходимо также отметить, что переменные L1(t) и р1(t), соответствующие продольной оси КА, – знакопостоянные функции времени (это свойство наблюдается при любых сочетаниях граничных значений Λin и Λf). При оптимальном управлении в отличие от кинетического момента L переменные рi и λj являются гладкими функциями времени. Наконец, фиг. 4 демонстрирует поведение энергии вращения во время оптимального разворота (величина Е приведена в Дж). Значение показателя (4.12), отражающего энергетическую экономичность программы L(t) управления кинетическим моментом, составило 7.88 Дж.

Фиг. 4

Заключение. В статье рассмотрена и решена задача оптимального управления пространственным разворотом КА из произвольного начального в требуемое конечное угловое положение, когда критическим фактором является энергия вращения.

В случае особых требований к энергетике вращения КА для правильного планирования программы полета и корректного назначения приемлемой длительности разворота необходимо решить задачу оптимального быстродействия при наличии ограничений на энергию вращения (чтобы заданное время разворота не было меньше минимально возможного). Постановка задачи имеет традиционную форму, в которой управление положено кусочно-непрерывной функцией времени. Пространственное движение КА относительно центра масс описывается кватернионными переменными, что значительно упрощает расчетные процедуры и существенно снижает вычислительные затраты алгоритма управления, делая его удобным для бортовой реализации. Синтез оптимального управления основан на кватернионном дифференциальном уравнении, связывающем вектор кинетического момента КА с кватернионом ориентации связанной системы координат, в силу чего рассматриваемая задача управления переориентацией приобретает новое качество, а ее решение меняется кардинально (по сравнению с известным решением [1], использующим в качестве управления вектор угловой скорости).

На основании принципа максимума и использовании универсальных переменных ri [12] получены выражения для оптимального управления, функции Гамильтона и сопряженной системы уравнений для исходной задачи. Определены ключевые свойства оптимального движения и тип траектории, оптимальной по выбранному критерию. Кинематическая задача разворота решена полностью. Найдены необходимые условия оптимальности и определена структура оптимального управления; получены формализованные соотношения для определения программного движения КА. Показано, что оптимальным движением является вращение по инерции. Затем приводится построение программы управления, когда ограничения для управляющего момента становятся существенными (если участками набора и гашения кинетического момента нельзя пренебречь в сравнении с длительностью всего разворота). Задача управления разворотом решена для типовой формы ограничения на управляющий момент. Получена зависимость управляющих переменных от фазовых координат.

Найдена связь между временем разворота и максимальной энергией вращения, позволяющая совершать развороты за заданное время с минимальной энергией вращения. Вопросы оптимального управления с минимумом энергии вращения остаются актуальными и сегодня. Представлены формализованные уравнения и даны расчетные выражения для построения оптимальной программы управления. Описывается процедура реализации оптимального режима управления. Структура построенного управления сравнительно проста, и оно легко может быть реализовано бортовыми системами управления движением КА. Момент начала торможения определяется по фактическим параметрам движения (кватерниону рассогласования и кинетическому моменту), исходя из принципов терминального управления (используются информация об угловом положении и измерения угловой скорости). В статье также дается описание конструктивной схемы решения краевой задачи принципа максимума для произвольных условий разворота и инерционных характеристик КА. Созданные алгоритмы управления позволяют совершать развороты КА за заданное время с минимальной энергией вращения.

Энергетический критерий оптимальности всегда был важен при разработке и оптимизации алгоритмов управления, и поэтому полученное решение представляет особый интерес. Одним из основных свойств оптимального разворота КА является следующее: во все время движения (на всем отрезке времени [0, T]) отношение кинетической энергии вращения к квадрату модуля кинетического момента КА постоянно. Приводятся пример и результаты математического моделирования, которые иллюстрируют характер движения КА при оптимальном управлении пространственным разворотом. Они демонстрируют практическую реализуемость разработанных алгоритмов управления. Для динамически симметричного КА представлено полное решение задачи переориентации в замкнутой форме, выписаны аналитические зависимости для управляющих функций и соотношения для расчета ключевых параметров закона управления; при этом оптимальные значения параметров закона управления могут быть вычислены устройством [18]. Разработанный алгоритм управления пространственной переориентацией КА позволяет применять данный метод на практике, поскольку реальные КА по своим массово-инерционным характеристикам близки к телам с осевой симметрией.

Список литературы

  1. Бpанец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

  2. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 600 с.

  3. Молоденков A.В., Сапунков Я.Г. Особые режимы управления в задаче оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2009. № 6. С. 47–54.

  4. Levskii M.V. About method for solving the optimal control problems of spacecraft spatial orientation // International Journal “Problems of nonlinear analysis in engineering systems”. 2015. V. 21. № 2. P. 61–75.

  5. Зубов Н.Е. Оптимальное управление терминальной переориентацией КА на основе алгоритма с прогнозирующей моделью // Космич. исслед. 1991. Т. 29. Вып. 3. С. 340–351.

  6. Ваньков А.И. Адаптивное робастное управление угловым движением КА с использованием прогнозирующих моделей // Космич. исслед. 1994. Т. 32. Вып. 4–5. С. 13–21.

  7. Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Синтез алгоритмов переориентации космического аппарата на основе концепции обратной задачи динамики // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 5. С. 156–163.

  8. Liu S., Singh T. Fuel/time optimal control of spacecraft maneuvers // Journal of Guidance. 1996. V. 20. № 2. P. 394–397.

  9. Scrivener S., Thompson R. Survey of time-optimal attitude maneuvers // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1994. V. 17. № 2. P. 225–233.

  10. Shen H., Tsiotras P. Time-optimal control of axi-symmetric rigid spacecraft with two controls // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1999. V. 22. № 5. P. 682–694.

  11. Молоденков A.В., Сапунков Я.Г. Решение задачи оптимального разворота осесимметричного космического аппарата с ограниченным и импульсным управлением при произвольных граничных условиях // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 2. С. 90–105.

  12. Левский М.В. Использование универсальных переменных в задачах оптимального управления ориентацией космических аппаратов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 1. С. 53–59.

  13. Левский М.В. Синтез оптимального управления терминальной ориентацией космического аппарата с использованием метода кватернионов // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 2. С. 7–24.

  14. Левский М.В. Система управления пространственным разворотом космического аппарата. Патент на изобретение РФ № 2006431 // Бюллетень “Изобретения. Заявки и патенты”. 1994. № 2. Опубликован 20.01.1994.

  15. Левский М.В. Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина к задачам оптимального управления ориентацией космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 6. С. 144–157.

  16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

  17. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

  18. Левский М.В. Устройство формирования параметров регулярной прецессии твердого тела. Патент на изобретение РФ № 2146638 // Бюллетень “Изобретения. Заявки и патенты”. 2000. № 8. Опубликован 20.03.2000.

Дополнительные материалы отсутствуют.