Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 1, стр. 63-71

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КИРША ДЛЯ ПЛАСТИНКИ ИЗ НЕОДНОРОДНОГО ПО ТОЛЩИНЕ МАТЕРИАЛА

Г. З. Шарафутдинов *

НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: sharaf@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 31.01.2017
После доработки 17.07.2017
Принята к публикации 08.11.2017

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача теории упругости об одноосном растяжении тонкой пластинки из неоднородного по ее толщине материала с центральным круглым отверстием. В классической теории упругости эта задача, получившая название задачи Кирша, рассматривается в рамках обобщенного плоского напряженного состояния. В работе указанная задача решается в пространственной постановке при помощи комплексных потенциалов. Приводятся основные соотношения метода и ее решение.

Ключевые слова: теория упругости неоднородных тел, задачи о плоском напряженном состоянии в пространственной постановке, функции комплексного переменного, метод решения, задача Кирша, аналитическое решение

DOI: 10.1134/S0572329919010100

Введение. Задача Кирша, как и многие другие плоские задачи классической теории упругости, играют важную роль в развитии механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в научном и прикладном аспектах [1]. Это связано с возможностью применения решений этих задач при оценке напряженно-деформированного состояния в деталях или конструкциях, с их использованием в целях верификации при разработке других методов решения задач теории упругости, например, численных, и в некоторых других случаях. В качестве примера приведем факт применения классического решения задачи Кирша при оценке остаточных напряжений в сварных конструкциях по измеряемому поперечному перемещению лицевой поверхности конструкции в перпендикулярном к ней направлении [2].

Вместе с тем обратим внимание на то, что методы решения задач о плоском напряженном состоянии, рассматриваемых в классической теории упругости в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, допускают получение только приближенных аналитических решений в силу неполного удовлетворения условиям совместности Бельтрами [3, 4]. Обратим также внимание на то обстоятельство, что при реализации усреднения по Л. Файлону перемещение поверхности деформируемой пластинки в перпендикулярном к ней направлении равно нулю [5]. Развиваемый в последнее время подход к решению задач о плоском напряженном состоянии в пространственной постановке [6, 7] позволяет устранять эти недостатки и получать точные аналитические решения задач этого класса. В работе [8] приведено точное аналитическое решение задачи Кирша при учете поперечного перемещения. При анализе этого решения обнаружено, что в силу неоднородности поля поперечного перемещения появляются касательные компоненты тензора деформаций, связанные с третьей координатой; при этом первую и вторую координатные оси будем считать расположенными в средней плоскости пластинки.

В настоящее время в МДТТ актуальны проблемы, связанные с учетом неоднородности прочностных и деформационных характеристик деформируемых материалов. Указанная неоднородность может быть следствием неоднородных температурных полей или напряженно-деформированных состояний, возникать вследствие технологических особенностей синтеза конструкционных материалов и в ряде других случаев. И в этом случае значительную роль играет наличие точных аналитических решений соответствующих задач теории упругости неоднородных тел. В силу этого распространение рассматриваемых в работе [7] подходов на задачи о плоском напряженном состоянии теории упругости неоднородных тел имеет большое значение.

Рассматриваемую здесь неоднородность материала будем считать зависящей только от третьей координаты. Такого рода неоднородность в тонких пластинках может возникать после операции упрочнения их лицевых поверхностей, в процессе остывания пластинок после литья или термической обработки и в некоторых других случаях. Нетрудно заметить, что основные уравнения задач теории упругости, рассматриваемых в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, не позволяют учесть неоднородность материала по толщине пластинки; это возможно только в рамках пространственного подхода к задачам о плоском напряженном состоянии, и именно этот подход будет далее использован.

1. Основные соотношения: пространственная постановка задач о плоском напряженном состоянии и введение комплексных потенциалов. Допустим, что имеется плоскопараллельная пластинка толщиной $2h$, изготовленная из неоднородного упругого материала. Введем систему прямоугольных декартовых координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, полагая координатную плоскость $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ совпадающей со средней плоскостью пластинки, а координатную ось $O{{x}_{3}}$ перпендикулярной к ней. Наряду с прямоугольной системой введем также цилиндрическую полярную систему координат $(r,\vartheta ,{{x}_{3}})$, полагая координатную плоскость $Or\vartheta $ совпадающей со средней плоскостью пластинки, а координатную ось $O{{x}_{3}}$ перпендикулярной к ней. Заметим, что при решении задачи Кирша должны быть задействованы обе системы координат.

Исследование задач о плоском напряженном состоянии в рамках обобщенного плоского напряженного состояния базируется, в первую очередь, на равенстве нулю, в силу нечетной зависимости от координаты ${{x}_{3}}$, среднего значения компоненты перемещения ${{u}_{3}}$, совместно с условием ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ [5].

Помимо того, что применение обобщенного плоского напряженного состояния не позволяет получать точные аналитические решения, такой подход игнорирует наличие перемещений лицевых поверхностей пластинок в перпендикулярном к средней плоскости направлении [5].

Предложенный в работах [6, 7] пространственный подход к задачам о плоском напряженном состоянии, базирующийся на использовании первого члена разложения компоненты перемещения

${{u}_{3}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) = g({{x}_{1}},{{x}_{2}}){{x}_{3}} + {{g}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})x_{3}^{3} + \cdots $
позволяет устранить указанные недостатки. При этом, исходя из сохранения плоскостности средней плоскости пластинки в процессе деформирования, в соответствии с полуобратным методом Сен-Венана, имеем дополнительное граничное условие:

${{u}_{3}} = 0\quad {\text{п р и }}\quad {{x}_{3}} = 0$

При таком подходе исследование задачи производится при помощи полной системы уравнений классической теории упругости, что, по нашему мнению, и оправдывает ее название как задачи о плоском напряженном состоянии в пространственной постановке.

Будем считать, что неоднородность материала определяется зависимостью модуля Юнга E от третьей координаты при постоянном значении коэффициента Пуассона $\text{v}$:

$E = E({{x}_{3}}),\quad \text{v} = {\text{const}}$

Оставаясь в рамках плоского напряженного состояния, предполагаем изменение упругих характеристик материала симметричным относительно средней плоскости пластинки. Таким образом, зависимость параметра Ламе ${\mu } = {\mu }({{x}_{3}})$ от третьей координаты, обеспечивающей это условие, будем считать заранее известной. Конкретная форма зависимости ${\mu } = {\mu }({{x}_{3}})$, обеспечивающая выполнение указанных условий, в достаточно общей форме имеет вид:

${\mu }({{x}_{3}}) = {{{\mu }}_{0}}\left[ {{\eta }{{{\left( {\frac{{{{x}_{3}}}}{h}} \right)}}^{{2k}}} + (1 - {\eta })} \right]$
где ${{{\mu }}_{0}} > 0$, $0 \leqslant {\eta } \leqslant 1$, $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ – числовые коэффициенты, которые могут изменяться в указанных областях значений. Предлагаемая форма зависимости модуля сдвига позволяет представить, например, изменение этой характеристики при остывании пластинки или при полимеризации материала – явлениях, как правило, наиболее интенсивно протекающих на лицевых поверхностях тонких пластинок. Другую форму зависимости модуля сдвига от третьей координаты следует использовать при наличии наклепа или в случае разупрочнения материала на лицевых поверхностях пластинки и в некоторой окрестности вблизи них – например, в виде:

${\mu }({{x}_{3}}) = {{{\mu }}_{0}}[1 + {\eta }{{({{x}_{3}}{\text{/}}h{\text{)}}}^{{2k}}}]$

Характер указанных изменений свойств материала в этих случаях регулируется выбором величин $k = 0,1,2,\; \ldots $ и $\left| {\eta } \right| \geqslant 0$.

Очевидно, что возможны и другие формы таких зависимостей, однако ставя перед собой цель получения точного аналитического решения задачи Кирша, выражение для модуля сдвига примем в упрощенной форме:

(1.1)
${\mu }({{x}_{3}}) = {{{\mu }}_{0}}M({{x}_{3}}),\quad M({{x}_{3}}) = {{({{x}_{3}}{\text{/}}h{\text{)}}}^{{2k}}},\quad {{{\mu }}_{0}} = {\text{const}}$

При пространственной постановке задачи о плоском напряженном состоянии перемещения в прямоугольной декартовой системе координат задаем в виде [6]:

(1.2)
${{u}_{1}} = {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad {{u}_{2}} = {{u}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad {{u}_{3}} = g({{x}_{1}},{{x}_{2}}){{x}_{3}}$

Компоненты тензора деформаций ${{{\varepsilon }}_{{ij}}}$ представим при помощи соотношений Коши

${{{\varepsilon }}_{{11}}} = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}},\quad {{{\varepsilon }}_{{22}}} = \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}},\quad {{{\varepsilon }}_{{33}}} = g$
${{{\varepsilon }}_{{12}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}} \right),\quad {{{\varepsilon }}_{{13}}} = \frac{1}{2}\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{1}}}}{{x}_{3}},\quad {{{\varepsilon }}_{{23}}} = \frac{1}{2}\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{2}}}}{{x}_{3}}$
а компоненты тензора напряжений ${{{\sigma }}_{{ij}}}$ – при помощи соотношений закона Гука
(1.3)
${{{\sigma }}_{{ij}}} = 2{\mu }({{x}_{3}})\left( {\frac{{\text{v}{{I}_{1}}}}{{1 - 2\text{v}}}{{{\delta }}_{{ij}}} + {{{\varepsilon }}_{{ij}}}} \right),\quad {{I}_{1}} = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} + g,\quad (i,j = 1,2,3)$
где ${{{\delta }}_{{ij}}}$ – символ Кронекера.

Пространственная постановка задач о плоском напряженном состоянии альтернативна, поскольку возможна как при выполнении условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ по всему телу пластинки, так и при его нарушении. Последнее имеет место, например, при деформировании тонкой пластинки с вклеенной жесткой шайбой в условиях плоского напряженного состояния. Задача Кирша относится к первому типу, в силу чего условие ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ будем считать выполненным.

Используя соотношения (1.3), уравнения равновесия ${{{\sigma }}_{{ij,j}}} = 0$, при учете условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$, приводим к виду

(1.4)
$\begin{gathered} 2{\mu }\left( {\frac{\text{v}}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{I}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}}}{{\partial x_{1}^{2}}}} \right) + {\mu }\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{2}}}}} \right) + {\mu }\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{1}}}} + {{x}_{3}}\frac{{d{\mu }}}{{d{{x}_{3}}}}\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{1}}}} = 0 \\ {\mu }\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}}} \right) + 2{\mu }\left( {\frac{\text{v}}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{I}_{1}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}} \right) + {\mu }\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{2}}}} + {{x}_{3}}\frac{{d{\mu }}}{{d{{x}_{3}}}}\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0 \\ \end{gathered} $
$\frac{{{{\partial }^{2}}g}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}g}}{{\partial x_{2}^{2}}} = 0$

Систему уравнений (1.4) нетрудно преобразовать

$\nabla _{2}^{2}{{u}_{1}} + \frac{1}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{{\theta }}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + F({{x}_{3}})\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{1}}}} = 0$
(1.5)
$\nabla _{2}^{2}{{u}_{2}} + \frac{1}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{{\theta }}_{1}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} + F({{x}_{3}})\frac{{\partial g}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0$
$\nabla _{2}^{2}g = 0$
где $\nabla _{2}^{2} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}$, ${{{\theta }}_{1}} = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}$, $F({{x}_{3}}) = \frac{1}{{1 - 2\text{v}}} + {{x}_{3}}\frac{1}{{\mu }}\frac{{d{\mu }}}{{d{{x}_{3}}}}$

Учитывая следующее из условия ${{{\sigma }}_{{33}}} = 0$ соотношение

(1.6)
$g = - \frac{\text{v}}{{1 - \text{v}}}{{{\theta }}_{1}}$
и зависимость (1.1), систему (1.5) приводим к виду:

(1.7)
$\nabla _{2}^{2}{{u}_{1}} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{{\theta }}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} = 0,\quad \nabla _{2}^{2}{{u}_{2}} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{1 - 2\text{v}}}\frac{{\partial {{{\theta }}_{1}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0,\quad \nabla _{2}^{2}{{{\theta }}_{1}} = 0$

Для определения напряженно-деформированного состояния в данном случае эффективно использование комплексных потенциалов. Для реализации такого подхода умножим второе из уравнений (1.7) на мнимую единицу и сложим с первым из них. При учете соотношений

$\nabla _{2}^{2} = 4\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial z\partial{ \bar {z}}}},\quad \frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}} + i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}} = 2\frac{\partial }{{\partial \overline z }}$
где $z = {{x}_{1}} + i{{x}_{2}}$, $\bar {z} = {{x}_{1}} - i{{x}_{2}}$ – комплексные переменные, приходим к уравнению

$\frac{{{{\partial }^{2}}({{u}_{1}} + i{{u}_{2}})}}{{\partial z\partial \overline z }} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{2(1 - \text{v})}}\frac{{\partial {{{\theta }}_{1}}}}{{\partial \overline z }} = 0$

Это уравнение, при обозначении $D = {{u}_{1}} + i{{u}_{2}}$ для комплексного перемещения, примет вид

$\frac{\partial }{{\partial \overline z }}\left[ {\frac{{\partial D}}{{\partial z}} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{2(1 - \text{v})}}{{{\theta }}_{1}}} \right] = 0$

Интегрируя его, имеем

(1.8)
$\frac{{\partial D}}{{\partial z}} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{2(1 - \text{v})}}{{{\theta }}_{1}} = {\alpha }(z)$
где ${\alpha }(z)$ – некоторая аналитическая функция. В силу гармоничности функции ${{{\theta }}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ можно представить при помощи аналитической функции ${\beta }(z)$:

(1.9)
${{{\theta }}_{1}} = {\beta }(z) + \overline {{\beta }(z)} $

Тогда уравнение (1.8) примет вид

(1.10)
$\frac{{\partial D}}{{\partial z}} + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{2(1 - \text{v})}}[{\beta }(z) + \overline {{\beta }(z)} ] = {\alpha }(z)$

Прибавляя к нему комплексно сопряженное выражение, имеем

$\left( {\frac{{\partial D}}{{\partial z}} + \frac{{\partial{ \bar {D}}}}{{\partial \overline z }}} \right) + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{2(1 - \text{v})}}[{\beta }(z) + \overline {{\beta }(z)} ] = {\alpha }(z) + \overline {{\alpha }(z)} $

Отсюда, в силу равенства

$\frac{{\partial D}}{{\partial z}} + \frac{{\partial{ \bar {D}}}}{{\partial \overline z }} = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} = {{{\theta }}_{1}}$
имеем:

(1.11)
$[{\beta }(z) + \overline {{\beta }(z)} ] = \frac{{1 - \text{v}}}{{2 - \text{v} - 2\text{v}k}}[{\alpha }(z) + \overline {{\alpha }(z)} ]$

При учете соотношения (1.11) уравнение (1.10) примет вид

$2(2 - \text{v} - 2\text{v}k)\frac{{\partial D}}{{\partial z}} = (3 - 2\text{v} - 2\text{v}k){\alpha }(z) - (1 - 2\text{v}k)\overline {{\alpha }(z)} $

Заменив в этом соотношении ${\alpha }(z)$ на производную аналитической функции $\varphi {\text{'}}(z)$, после интегрирования находим комплексное перемещение

(1.12)
${{u}_{1}} + i{{u}_{2}} = \frac{1}{{2{{A}_{1}}}}[{{A}_{2}}\varphi (z) - {{A}_{3}}z\overline {\varphi {\text{'}}(z)} - \overline {{\psi }(z)} ]$
где ${{A}_{1}} = 2 - \text{v} - 2\text{v}k$, ${{A}_{2}} = 3 - 2\text{v} - 2\text{v}k$, ${{A}_{3}} = 1 - 2\text{v}k$. Здесь ${\psi }(z)$ – также некоторая аналитическая функция. Аналитические функции $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$ представляют собой, по общепринятой терминологии [9], комплексные потенциалы, применяемые при решении задач МДТТ.

Соотношение (1.12) в полярной системе координат $(r,\vartheta )$ примет вид

(1.13)
${{u}_{r}} + i{{u}_{\vartheta }} = \frac{{{{e}^{{ - i\vartheta }}}}}{{2{{A}_{1}}}}[{{A}_{2}}\varphi (z) - {{A}_{3}}z\overline {\varphi {\text{'}}(z)} - \overline {{\psi }(z)} ]$

2. Выражение компонент тензоров деформаций и напряжений при помощи комплексных потенциалов. При наличии комплексного перемещения (1.12) компоненты тензора деформаций по отдельности или в виде некоторых удобных комбинаций могут быть представлены при помощи комплексных потенциалов, после чего компоненты тензора напряжений можно определить при помощи закона Гука.

В силу соотношений (1.9), (1.11), (1.6) и (1.3) соответственно имеем:

(2.1)
${{{\varepsilon }}_{{11}}} + {{{\varepsilon }}_{{22}}} = {{{\theta }}_{1}} = \frac{{1 - \text{v}}}{{{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{'}}(z) + \overline {\varphi {\text{'}}(z)} ]$
(2.2)
${{{\varepsilon }}_{{33}}} = g = - \frac{\text{v}}{{{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{'}}(z) + \overline {\varphi {\text{'}}(z)} ]$
(2.3)
${{I}_{1}} = \frac{{1 - 2\text{v}}}{{{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{'}}(z) + \overline {\varphi {\text{'}}(z)} ]$

При помощи соотношения

$2\frac{{\partial D}}{{\partial \overline z }} = \left( {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}} + i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)({{u}_{1}} + i{{u}_{2}}) = {{{\varepsilon }}_{{11}}} - {{{\varepsilon }}_{{22}}} + 2i{{{\varepsilon }}_{{12}}}$
и выражения (1.12) для комплексного перемещения, находим:

(2.4)
${{{\varepsilon }}_{{11}}} - {{{\varepsilon }}_{{22}}} + 2i{{{\varepsilon }}_{{12}}} = - \frac{{{{A}_{3}}z\overline {\varphi {\text{''}}(z)} + \overline {{\psi '}(z)} }}{{{{A}_{1}}}}$

Поскольку

${{{\varepsilon }}_{{13}}} + i{{{\varepsilon }}_{{23}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}} + i\frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}} \right)g({{x}_{1}},{{x}_{2}}){{x}_{3}} = \frac{\partial }{{\partial{ \bar {z}}}}g{{x}_{3}}$
при учете соотношения (2.2) имеем:

(2.5)
${{{\varepsilon }}_{{13}}} + i{{{\varepsilon }}_{{23}}} = - \frac{{\text{v}{{x}_{3}}}}{{{{A}_{1}}}}\overline {\varphi {\text{''}}(z)} $.

Отсюда находим деформации ${{{\varepsilon }}_{{13}}},\;{{{\varepsilon }}_{{23}}}$:

${{{\varepsilon }}_{{13}}} = - \frac{{\text{v}{{x}_{3}}}}{{2{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{''}}(z) + \overline {\varphi {\text{''}}(z)} ],\quad {{{\varepsilon }}_{{23}}} = - \frac{{i\text{v}{{x}_{3}}}}{{2{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{''}}(z) - \overline {\varphi {\text{''}}(z)} ]$

В цилиндрической полярной системе координат $(r,\vartheta ,{{x}_{3}})$ имеем

(2.6)
${{{\varepsilon }}_{{r3}}} + i{{{\varepsilon }}_{{\vartheta 3}}} = ({{{\varepsilon }}_{{13}}} + i{{{\varepsilon }}_{{23}}}){{e}^{{ - i\vartheta }}}$

Компоненты тензора напряжений также представим при помощи комплексных потенциалов в виде удобных комбинаций, используя которые нетрудно найти выражения отдельных компонент тензора напряжений. Используя в этих целях соотношения (1.1), (1.3), (2.1)–(2.6), находим:

(2.7)
${{{\sigma }}_{{rr}}} + {{{\sigma }}_{{\vartheta \vartheta }}} = {{{\sigma }}_{{11}}} + {{{\sigma }}_{{22}}} = 2{\mu }({{x}_{3}})\frac{{1 + \text{v}}}{{{{A}_{1}}}}[\varphi {\text{'}}(z) + \overline {\varphi {\text{'}}(z)} ]$
(2.8)
${{{\sigma }}_{{\vartheta \vartheta }}} - {{{\sigma }}_{{rr}}} + 2i{{{\sigma }}_{{r\vartheta }}} = ({{{\sigma }}_{{22}}} - {{{\sigma }}_{{11}}} + 2i{{{\sigma }}_{{12}}}){{e}^{{2i\vartheta }}} = 2{\mu }({{x}_{3}})\frac{{{{e}^{{2i\vartheta }}}}}{{{{A}_{1}}}}\left[ {{{A}_{3}}\bar {z}\varphi {\text{''}}(z) + {\psi '}(z)} \right]$
(2.9)
${{{\sigma }}_{{r3}}} + i{{{\sigma }}_{{\vartheta 3}}} = ({{{\sigma }}_{{13}}} + i{{{\sigma }}_{{23}}}){{e}^{{ - i\vartheta }}} = - 2{\mu }({{x}_{3}})\frac{{\nu {{x}_{3}}}}{{{{A}_{1}}}}\overline {\varphi {\text{''}}(z)} {{e}^{{ - i\vartheta }}}$

Заметим, что если деформируемая пластинка содержит круговую область или круговой контур, удобно использовать приводимую ниже комбинацию, получаемую вычитанием соотношения (2.8) из соотношения (2.7):

(2.10)
${{{\sigma }}_{{rr}}} - i{{{\sigma }}_{{r\vartheta }}} = {\mu }({{x}_{3}})\frac{1}{{{{A}_{1}}}}\{ (1 + \text{v})[\varphi {\text{'}}(z) + \overline {\varphi {\text{'}}(z)} ] - \left[ {{{A}_{3}}\bar {z}\varphi {\text{''}}(z)) + {\psi '}(z)} \right]{{e}^{{2i\vartheta }}}\} $

3. Решение задачи об одноосном растяжении тонкой пластинки с центральным круглым отверстием, изготовленной из неоднородного по ее толщине материала. Полученные выше выражения для различных комбинаций компонент вектора перемещений и тензора напряжений используются в сочетаниях, определяемых постановкой и содержанием решаемых задач. При определении напряженно-деформированного состояния в бесконечной пластинке с круглым отверстием радиуса $R$ при одноосном растяжении вдоль координатной оси ${{x}_{1}}$ удобно использовать декартову систему координат при реализации граничных условий на бесконечности и полярную цилиндрическую – в окрестности контура круглого отверстия. Начала указанных систем координат расположим в центре отверстия.

Будем считать, что на бесконечности приложено растягивающее напряжение ${{{\sigma }}_{{11}}}$, распределенное симметрично относительно средней плоскости пластинки по закону

(3.1)
${{\left. {{{{\sigma }}_{{11}}}} \right|}_{\infty }} = {{p}_{0}}{{\left( {{{x}_{3}}{\text{/}}h} \right)}^{{2k}}}$

Заметим, что в силу принципа Сен-Венана это предположение не оказывает влияния на распределение напряжений на некотором удалении от места приложения растягивающей силы. Кроме того, на бесконечности будем считать справедливыми условия:

(3.2)
${{\left. {{{{\sigma }}_{{22}}}} \right|}_{\infty }} = {{\left. {{{{\sigma }}_{{12}}}} \right|}_{\infty }} = 0$

На контуре свободного кругового отверстия имеем граничное условие

(3.3)
${{\left. {({{{\sigma }}_{{rr}}} - i{{{\sigma }}_{{r\vartheta }}})} \right|}_{{r = R}}} = 0$

Используемые для решения задачи комплексные потенциалы ${\Phi }(z) = \varphi {\text{'}}(z)$ и Ψ(z) = ${\psi '}(z)$ зададим в виде разложений:

(3.4)
${\Phi }(z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{a}_{m}}{{z}^{{ - m}}}} ,\quad {\Psi }(z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{b}_{m}}{{z}^{{ - m}}}} $

Из соотношений (2.7)–(2.9) видно, что комплексные потенциалы ${\Phi }(z)$ и ${\Psi }(z)$ вполне позволяют определить компоненты тензора напряжений, однако для представления перемещений (1.12) или (1.13) необходимо иметь выражения для комплексных потенциалов $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$ [9]:

(3.5)
$\varphi (z) = {{a}_{0}}z + {{a}_{1}}\ln z - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{a}_{{m + 1}}}}}{m}{{z}^{{ - m}}}} ,\quad {\psi }(z) = {{b}_{0}}z + {{b}_{1}}\ln z - \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{b}_{{m + 1}}}}}{m}{{z}^{{ - m}}}} $

Реализуя граничные условия (3.1) и (3.2) при помощи соотношений (2.7) и (2.8), имеем

$2{{{\mu }}_{0}}\frac{{1 + \text{v}}}{{{{A}_{1}}}}({{a}_{0}} + {{\bar {a}}_{0}}) = {{p}_{0}},\quad 2{{{\mu }}_{0}}\frac{{{{b}_{0}}}}{{{{A}_{1}}}} = - {{p}_{0}}$

Принимая во внимание вид соотношений (2.1)–(2.3) и (2.7), считаем, следуя [9], что мнимая часть коэффициента ${{a}_{0}}$ равна нулю. Тогда получим первые коэффициенты разложений (3.4):

(3.6)
${{a}_{0}} = \frac{{{{A}_{1}}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{4{{{\mu }}_{0}}}},\quad {{b}_{0}} = - {{A}_{1}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}$

Остальные коэффициенты определяются при помощи граничного условия (3.3) путем приравнивая выражений при одинаковых значениях показателей экспоненциальной функции, производимого при помощи соотношения (2.10), в котором использованы представления (3.4):

(3.7)
$\begin{gathered} (1 + \text{v})\left[ {\sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{a}_{m}}}}{{{{R}^{m}}}}{{e}^{{ - im\vartheta }}}} + \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{{\overline a }}_{m}}}}{{{{R}^{m}}}}{{e}^{{im\vartheta }}}} } \right] + \\ + \;{{e}^{{2i\vartheta }}}\left[ {{{A}_{3}}\overline z \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{m{{a}_{m}}}}{{{{R}^{{m + 1}}}}}{{e}^{{ - (m + 1)\vartheta }}}} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\frac{{{{b}_{m}}}}{{{{R}^{m}}}}{{e}^{{ - im\vartheta }}}} } \right] = 0 \\ \end{gathered} $

В первую очередь обратим внимание на следующее обстоятельство. В комплексные потенциалы $\varphi (z)$ и ${\psi }(z)$, задаваемые соотношениями (3.5), коэффициенты ${{a}_{1}}$ и ${{b}_{1}}$ входят в качестве множителей при функции $\ln (z)$, в силу чего для обеспечения однозначности комплексных потенциалов в рассматриваемой задаче указанные коэффициенты должны быть равны нулю [9]. Действительно, коэффициенты при ${{e}^{{i\vartheta }}}$ в формуле (3.7) удовлетворяют соотношению

$(1 + \text{v}){{\bar {a}}_{1}} - {{b}_{1}} = 0$

Дополняя его условием однозначности перемещений, следующим из соотношения (1.12):

${{A}_{2}}{{a}_{1}} - {{\bar {b}}_{1}} = 0$
находим, что коэффициенты

(3.8)
${{a}_{1}} = {{b}_{1}} = 0$

Приравнивая далее выражения при одинаковых показателях экспоненциальной функции ${{e}^{{im\vartheta }}}$ для $m = 0; - 1;2; - 2$, соответственно имеем:

$(1 + \text{v})({{a}_{0}} + {{\bar {a}}_{0}}) - \frac{{{{b}_{2}}}}{{{{R}^{2}}}} = 0,\quad (1 + \text{v})\frac{{{{a}_{1}}}}{R} + {{A}_{3}}\frac{{{{a}_{1}}}}{R} - \frac{{{{b}_{3}}}}{{{{R}^{3}}}} = 0$
$(1 + \text{v})\frac{{{{{\bar {a}}}_{2}}}}{{{{R}^{2}}}} - {{b}_{0}} = 0,\quad (1 + \text{v})\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{R}^{2}}}} + 2{{A}_{3}}\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{R}^{2}}}} - \frac{{{{b}_{4}}}}{{{{R}^{4}}}} = 0$

Из этих соотношений, при учете выражений (3.6) и (3.8), последовательно находим:

(3.9)
${{b}_{2}} = {{A}_{1}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}{{R}^{2}},\quad {{b}_{3}} = 0,\quad {{\bar {a}}_{2}} = - \frac{{{{A}_{1}}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}{{R}^{2}},\quad {{b}_{4}} = - (1 + \text{v} + 2{{A}_{3}})\frac{{{{A}_{1}}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}{{R}^{4}}$

Все остальные коэффициенты разложений (3.4) равны нулю.

Используя соотношения (3.6), (3.8), (3.9), разложения (3.5) представим в виде:

(3.10)
$\varphi (z) = \frac{{{{A}_{1}}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}\left( {\frac{z}{2} + \frac{{{{R}^{2}}}}{z}} \right)$
(3.11)
${\psi }(z) = - {{A}_{1}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}\left[ {z + \frac{{{{R}^{2}}}}{z} - \frac{{1 + \text{v} + 2{{A}_{3}}}}{{3(1 + \text{v})}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{z}^{3}}}}} \right]$

Компоненты тензора напряжений находим при помощи соотношений (2.7)–(2.9) с использованием выражений (3.10) и (3.11):

${{{\sigma }}_{{rr}}} = M({{x}_{3}})\frac{{{{p}_{0}}}}{2}\left\{ {\left( {1 - \frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right) + \left[ {1 - 2\left( {1 + \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}} \right)\frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} + \frac{{3 + \text{v} - 4\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{r}^{4}}}}} \right]\cos 2\vartheta } \right\}$
${{{\sigma }}_{{\vartheta \vartheta }}} = M({{x}_{3}})\frac{{{{p}_{0}}}}{2}\left\{ {\left( {1 + \frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right) - \left[ {1 + 2\left( {1 - \frac{{1 - 2\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}} \right)\frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} + \frac{{3 + \text{v} - 4\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{r}^{4}}}}} \right]\cos 2\vartheta } \right\}$
(3.12)
${{{\sigma }}_{{r\vartheta }}} = - M({{x}_{3}})\frac{{{{p}_{0}}}}{2}\left[ {1 + 2\frac{{1 - 2\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} - \frac{{3 + \text{v} - 4\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{r}^{4}}}}} \right]\sin 2\vartheta $
${{{\sigma }}_{{r3}}} = - 2M({{x}_{3}}){{p}_{0}}\frac{\text{v}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{2}}{{x}_{3}}}}{{{{r}^{3}}}}\cos 2\vartheta $
${{{\sigma }}_{{\vartheta 3}}} = - 2M({{x}_{3}}){{p}_{0}}\frac{\text{v}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{2}}{{x}_{3}}}}{{{{r}^{3}}}}\sin 2\vartheta $,
в которых вид функции $M({{x}_{3}})$ устанавливается соотношением (1.1).

Приведем также определяемые при помощи соотношений (1.13), (1.2) и (2.2) компоненты вектора перемещений:

${{u}_{r}} = \frac{{{{p}_{0}}}}{{4{{{\mu }}_{0}}}}\left[ {\frac{{1 - \text{v}}}{{1 + \text{v}}}r + \frac{{{{R}^{2}}}}{r} + \left( {r + 2\frac{{2 - \text{v} - 2\text{v}k}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{2}}}}{r} - \frac{{3 + \text{v} - 4\text{v}k}}{{3(1 + \text{v})}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{r}^{3}}}}} \right)\cos 2\vartheta } \right]$,
(3.13)
${{u}_{\vartheta }} = - \frac{{{{p}_{0}}}}{{4{{{\mu }}_{0}}}}\left[ {r + \frac{{1 - \text{v}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{R}^{2}}}}{r} + \frac{{3 + \text{v} - 4\text{v}k}}{{3(1 + \text{v})}}\frac{{{{R}^{4}}}}{{{{r}^{3}}}}{\text{sin}}2\vartheta } \right]$
${{u}_{3}} = - \frac{{\text{v}{{x}_{3}}}}{{1 + \text{v}}}\frac{{{{p}_{0}}}}{{2{{{\mu }}_{0}}}}\left( {1 - 2\frac{{{{R}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}{\text{cos}}2\vartheta } \right)$

Для однородной по толщине пластинки компоненты напряжений и перемещений определяются соотношениями (3.12) и (3.13), в которых коэффициент k = 0, а $M({{x}_{3}}) \equiv 1$.

Таким образом, полученное решение описывает напряженное состояние, реализуемое в задаче Кирша при заданной в виде соотношения (1.1) неоднородности. Для случая k = 0 приводимые выражения для компонент напряжений и вектора перемещений представляют собой решение задачи Кирша для однородного материала в пространственной постановке [8]. Выражения для компонент напряжений, получаемые при помощи классического решения задачи Кирша в рамках обобщенного плоского напряженного состояния, следуют из представленного решения (3.12) при задании коэффициента Пуассона $\text{v} = 0$.

Список литературы

  1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.

  2. Гольдштейн Р.В., Попов А.Л., Козинцев В.М. и др. Исследование остаточных напряжений методом электронной спекл-интерферометрии //Актуальные проблемы механики.: Механика деформ. тверд. тела. Сб. тр. / Отв. ред. Р.В. Гольдштейн; ИПМех РАН. М.: Наука, 2009. С. 479–494.

  3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

  4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.

  5. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1974. 272 с.

  6. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 659–669.

  7. Шарафутдинов Г.З. Некоторые плоские задачи теории упругости. М.: Научный мир, 2014. 464 с.

  8. Шарафутдинов Г.З. Решение задачи Кирша в трехмерной постановке // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 2001. № 6. С. 20–25.

  9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.