Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 1, стр. 72-87

Термоупругая неустойчивость в связанной квазистатической задаче термоупругости о скользящем контакте с разогревом от трения

В. Б. Зеленцов a, Б. И. Митрин a*

a Донской государственный технический университет
Ростов-на-Дону, Россия

* E-mail: bmitrin@dstu.edu.ru

Поступила в редакцию 07.08.2017
После доработки 07.08.2017
Принята к публикации 03.05.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается связанная квазистатическая контактная задача термоупругости о скользящем фрикционном контакте с учетом разогрева от трения. Точные решения задачи построены в виде сверток Лапласа, а после их вычисления – в виде бесконечных рядов по собственным числам задачи. Исследование собственных чисел задачи проводится в зависимости от трех безразмерных параметров задачи. На основании анализа полученных решений удается в пространстве безразмерных параметров выделить области устойчивых и неустойчивых решений. Свойства полученных решений изучаются в зависимости от размерных и безразмерных параметров задачи. В условиях основной задачи исследования формулируются и решаются частные задачи о мониторинге параметров скользящего контакта, а также задачи об управлении параметрами контакта для избежания термоупругой неустойчивости.

Ключевые слова: связанная термоупругость, квазистатика, скольжение, трение, тепловыделение от трения, термоупругая неустойчивость

DOI: 10.1134/S0572329919010124

1. Введение. Повышенный интерес к исследованию задач термоупругости с учетом взаимодействия полей деформации и температуры получил развитие в середине прошлого века [13]. Новое направление исследований – связанная термоупругость – получило развитие в [35] и других.

Для решения задач связанной термоупругости использовались как аналитические [4, 5], так и численные [6] методы: метод конечных элементов, метод граничных и интегральных уравнений и др. Для решения связанных задач термоупругости разрабатывались в основном конечно-элементные модели в [711] и других. Аналитические методы решения этого класса задач были подытожены в [12].

Несвязанные задачи термоупругости о скользящем контакте жесткого тела с упругим покрытием с учетом трения и разогрева от трения на контакте рассматривались как отечественными, так и зарубежными учеными [1323]. Исследование несвязанных задач термоупругости о скользящем контакте позволило установить наличие областей устойчивых и неустойчивых решений. Изучению свойств неустойчивых решений несвязанных задач термоупругости о скользящем контакте посвящены исследования, проводимые как аналитическими [13, 22, 23], так и численными методами [1421].

В настоящей работе в рамках связанной термоупругости аналитическими методами в пространстве безразмерных параметров задачи изучаются границы области устойчивых и области неустойчивых решений, которую на практике часто называют областью термоупругой неустойчивости скользящего контакта. Исследуются признаки возникновения и развития термоупругой неустойчивости. Формулируются частные задачи опосредованного мониторинга основных параметров скользящего контакта и задачи управления этими параметрами.

2. Постановка основной задачи. Рассматривается контактная задача связанной термоупругости о скольжении с постоянной скоростью V жесткой теплоизолированной полуплоскости I ($h \leqslant x < \infty $) по верхней поверхности ($x = h$) упругого теплопроводящего покрытия толщины $h$ ($0 \leqslant x \leqslant h$), нижняя поверхность которого жестко сцеплена с недеформируемой, нетеплопроводной подложкой в виде полуплоскости II ($ - \infty < x < 0$)фиг. 1. Скольжение полуплоскости I по поверхности упругого покрытия происходит с учетом кулоновского трения. Поток тепла, образующийся на контакте за счет трения, направлен в покрытие. С начального момента времени движущаяся вдоль оси $y$ полуплоскость I деформирует поверхность ($x = h$) упругого покрытия, смещаясь в направлении, противоположном направлению оси x, по закону $\Delta (t)$. До начального момента покрытие находится в покое, а его температура равняется ${{T}_{0}}$.

Фиг. 1

Рассматриваемая задача предполагает, что распределения температуры, смещений и напряжений в покрытии не зависят от выбора горизонтальной координаты по оси $y$, параллельной направлению движения полуплоскости I, и являются функциями только вертикальной координаты x и времени t. В этом случае дифференциальные уравнения термоупругости [24]:

(2.1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} = \frac{{1 + \text{v}}}{{1 - \text{v}}}\alpha \frac{{\partial T}}{{\partial x}},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0,\quad 0 < x < h,\quad t > 0$
совместно с дифференциальным уравнением связанной теплопроводности [24]:
(2.2)
$\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{1}{\kappa }\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{3\lambda + 2\mu }}{K}\alpha {{T}_{0}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x\partial t}},\quad 0 < x < h,\quad t > 0$
составляют систему дифференциальных уравнений связанной термоупругости, описывающих поведение упругого покрытия, в которых $u(x,t)$, $w(x,t)$ – вертикальные и горизонтальные смещения материала покрытия, $T(x,t)$ – температура в покрытии, $\lambda $$\mu $ – постоянные Ламе, $\nu $ – коэффициент Пуассона, $\alpha $ – коэффициент линейного теплового расширения материала покрытия, $\kappa $ – коэффициент температуропроводности, $K$ – коэффициент теплопроводности, ${{T}_{0}}$ – начальная температура в покрытии.

Граничные условия сформулированной задачи для дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) имеют вид:

(2.3)
$x = h{\text{:}}\quad u(h,t) = - \Delta (t),\quad {{\sigma }_{{xy}}}(h,t) = - f{{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$
(2.4)
$K\frac{{\partial T(h,t)}}{{\partial x}} = - fV{{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$
(2.5)
$x = 0{\text{:}}\quad u(0,t) = 0,\quad w(0,t) = 0,$
(2.6)
$K\frac{{\partial T(0,t)}}{{\partial x}} = k\left( {T(0,t) - {{T}_{0}}} \right)$
где $f$ – коэффициент трения, $k$ – коэффициент теплообмена, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$, ${{\sigma }_{{xy}}}(x,t)$ – нормальные и касательные напряжения в покрытии:

(2.7)
${{\sigma }_{{xx}}} = \left( {\lambda + 2\mu } \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \left( {3\lambda + 2\mu } \right)\alpha \left( {T - {{T}_{0}}} \right),\quad {{\sigma }_{{xy}}} = \mu \frac{{\partial w}}{{\partial x}}$

Начальные условия задачи на смещения $u$, $w$ – нулевые:

(2.8)
$u(x,0) = w(x,0) = 0,\quad \Delta (0) = 0$

Начальная температура в покрытии

(2.9)
$T(x,0) = {{T}_{0}}$

Следует заметить, что вертикальные смещения $u(x,t)$, нормальные напряжения ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ и температура $T(x,t)$ в упругом покрытии определяются независимо от горизонтальных смещений $w(x,t)$. Горизонтальные смещения определяются из второго уравнения в (2.1), граничных (2.3), (2.5) и начальных условий (2.8) через нормальные напряжения ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$.

3. Точное решение задачи. Решение связанной контактной задачи термоупругости, поставленной в предыдущем пункте, определяется с помощью интегрального преобразования Лапласа [25] в виде сверток Лапласа для температуры $T(x,t)$, смещений $u(x,t)$ и напряжений ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ в покрытии

(3.1)
$T(x,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \text{v}}}{{1 + \text{v}}}\frac{1}{{\alpha h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{T}^{0}(x,t - \tau )d\tau } ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.2)
$f_{T}^{0}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{N_{T}^{0}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}},\quad {{t}_{\kappa }} = \frac{{{{h}^{2}}}}{\kappa }$
(3.3)
$N_{T}^{0}(x,z) = \hat {V}{{\beta }^{2}}\sqrt z \left( {{\text{Bi}}\;sh\sqrt z \frac{x}{h} + \sqrt z ch\sqrt z \frac{x}{h}} \right) + \hat {T}z\left( {r(z) - {\text{Bi}}\;ch\sqrt z \frac{{h - x}}{h}} \right)$
(3.4)
$R(z) = zr(z) - \hat {V}{{\beta }^{2}}\left( {r(z) - {\text{Bi}}} \right) + \hat {T}{\text{Bi}}\sqrt z sh\sqrt z $
$r(z) = {\text{Bi}}\;ch\sqrt z + \sqrt z sh\sqrt z $
(3.5)
$u(x,t) = - \int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{u}^{0}(x,t - \tau )d\tau } ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.6)
$f_{u}^{0}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{N_{u}^{0}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} $
(3.7)
$\begin{gathered} N_{u}^{0}(x,z) = zr(z)\frac{x}{h} - \hat {V}{{\beta }^{2}}\left( {\sqrt z sh\sqrt z \frac{x}{h} - {\text{Bi}}\left( {1 - ch\sqrt z \frac{x}{h}} \right)} \right) + \\ + \;\hat {T}{\text{Bi}}\sqrt z \left( {sh\sqrt z - sh\sqrt z \frac{{h - x}}{h}} \right) \\ \end{gathered} $
(3.8)
${{\sigma }_{{xx}}}(x,t) = - \frac{{2\mu (1 - \text{v})}}{{(1 - 2\text{v})h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{\sigma }^{0}(x,t - \tau )d\tau } ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.9)
$f_{\sigma }^{0}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{N_{\sigma }^{0}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} $
(3.10)
$N_{\sigma }^{0}(x,z) = (1 + \hat {T})zr(z)$
где

${\text{Bi}} = \frac{{kh}}{K},\quad \hat {V} = \frac{{fV\alpha }}{K}\frac{{2\mu (1 + \text{v})h}}{{(1 - 2\text{v})}},\quad \hat {T} = \frac{{2\mu {{{(1 + \text{v})}}^{2}}}}{{(1 - \text{v})(1 - 2\text{v})}}\frac{{\kappa {{\alpha }^{2}}}}{K}{{T}_{0}},\quad {{\beta }^{2}} = 1 + \hat {T}$,

Контур интегрирования $\Gamma = \{ z{\text{:}}\; - i\infty + d{{t}_{\kappa }},i\infty + d{{t}_{\kappa }}\} $ представляет собой прямую линию в комплексной плоскости переменной интегрирования $z$, параллельную мнимой оси и отстоящую вправо от нее на величину $d{{t}_{\kappa }} > 0$. Значение $d$ подбирается таким образом, чтобы контур интегрирования проходил правее всех изолированных особых точек подынтегральных функций. Следует заметить, что при $\hat {T} = 0$ полученные формулы (3.1)(3.10) совпадают с соответствующими формулами несвязанной задачи термоупругости о скользящем термофрикционном контакте [23].

В полученных формулах решения рассматриваемой задачи (3.1)–(3.10) для $T(x,t)$, $u(x,t)$, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ присутствуют контурные квадратуры (3.2), (3.6), (3.9). Подынтегральные функции этих квадратур в комплексной плоскости переменной интегрирования $z$ являются функциями мероморфными, содержащими счетное множество полюсов. На бесконечности в комплексной плоскости переменной интегрирования $z$ подынтегральные функции из (3.2), (3.6), (3.9) имеют следующие асимптотические оценки

(3.11)
$N_{T}^{0}(x,z){{R}^{{ - 1}}}(z) = \hat {T} + O({{z}^{{ - 1/2}}})\quad {\text{п р и }}\quad \left| z \right| \to \infty ,\quad 0 < x < h$
(3.12)
$N_{u}^{0}(x,z){{R}^{{ - 1}}}(z) = - \frac{x}{h} + O({{z}^{{ - 1/2}}})\quad {\text{п р и }}\quad \left| z \right| \to \infty ,\quad 0 < x < h$
(3.13)
$N_{\sigma }^{0}(x,z){{R}^{{ - 1}}}(z) = 1 + \hat {T} + O({{z}^{{ - 1/2}}})\quad {\text{п р и }}\quad \left| z \right| \to \infty ,\quad 0 < x < h$

Проведенные исследования показывают, что квадратуры (3.2), (3.6), (3.9) в обычном смысле не существуют и понимаются в обобщенном смысле [26]. После регуляризации подынтегральных функций контурных квадратур на бесконечности (при $\left| z \right| \to \infty $) с учетом асимптотических соотношений (3.11)–(3.13) контурные квадратуры записываются в виде суперпозиции регулярной части обобщенной составляющей и свертки Лапласа

(3.14)
$T(x,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \text{v}}}{{1 + \text{v}}}\frac{1}{{\alpha h}}\left( {\hat {T}\Delta (t) + \int\limits_0^t {\Delta (\tau ){{f}_{T}}(x,t - \tau )d\tau } } \right),\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.15)
${{f}_{T}}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{{{N}_{T}}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad {{N}_{T}}(x,z) = N_{T}^{0}(x,z) - \hat {T}R(z)$
(3.16)
$u(x,t) = - \Delta (t)\frac{x}{h} - \int\limits_0^t {\Delta (\tau ){{f}_{u}}(x,t - \tau )d\tau } ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.17)
${{f}_{u}}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{{{N}_{u}}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad {{N}_{u}}(x,z) = N_{u}^{0}(x,z) - \frac{x}{h}R(z)$
(3.18)
${{\sigma }_{{xx}}}(x,t) = - \frac{{2\mu (1 - \text{v})}}{{(1 - 2\text{v})h}}\left( {(1 + \hat {T})\Delta (t) - \int\limits_0^t {\Delta (\tau ){{f}_{\sigma }}(x,t - \tau )d\tau } } \right),\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(3.19)
${{f}_{\sigma }}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{{{N}_{\sigma }}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad {{N}_{\sigma }}(x,z) = N_{\sigma }^{0}(x,z) - (1 + \hat {T})R(z)$
в которых $N_{T}^{0}(x,z)$, $N_{u}^{0}(x,z)$, $N_{\sigma }^{0}(x,z)$, $R(z)$ из формул (3.3), (3.7), (3.10), (3.4) соответственно.

Квадратуры в (3.15), (3.17), (3.19) являются регулярными, подынтегральные функции квадратур являются мероморфными и на бесконечности имеют степенное убывание

(3.20)
$N_{{T,u,\sigma }}^{0}(x,z){{R}^{{ - 1}}}(z) = O({{z}^{{ - 1/2}}}),\quad \left| z \right| \to \infty ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h$

Для их вычисления можно использовать методы теории функций комплексного переменного [27]. В связи с этим возникает задача определения полюсов подынтегральных функций в квадратурах (3.15), (3.17), (3.19) в комплексной плоскости переменной интегрирования.

4. Полюсы подынтегральных функций. Полюсы подынтегральных функций в (3.15), (3.17), (3.19) совпадают с нулями $R(z)$ из (3.4) за исключением тех нулей $R(z)$, которые являются устранимыми особыми точками подынтегральных функций. Для определения нулей знаменателя подынтегральных функций $R(z)$ необходимо решить уравнение

(4.1)
$R(z) = zr(z) - \hat {V}{{\beta }^{2}}\left( {r(z) - {\text{Bi}}} \right) + \hat {T}{\text{Bi}}\sqrt z sh\sqrt z = 0$
в комплексной плоскости $z = \xi + i\eta $, где ${{\beta }^{2}}$, Bi, $\hat {T}$, $\hat {V}$ даны после (3.10).

В уравнении (4.1) нули $R(z)$ зависят от трех безразмерных параметров задачи $\hat {V}$, Bi, $\hat {T}$, так как четвертый безразмерный параметр ${{\beta }^{2}}$ выражается через $\hat {T}$. Исследование поведения нулей $R(z)$ из (4.1) проводилось, используя опыт [22, 23] в зависимости от $\hat {V} \in \left[ {0,\infty } \right)$ при фиксированных Bi, $\hat {T}$. Вычисления показали, что уравнение (4.1) имеет счетное множество действительных корней ${{\zeta }_{k}}$ $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $, которые являются полюсами подынтегральных функций (3.15), (3.17), (3.19), На фиг. 1 показано изменение действительной части полюсов ${{\zeta }_{k}}$ $k = 0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 4$ для Bi = 100. Сплошной линией показана величина полюса при значении параметра связанности $\hat {T} = 0$, что соответствует несвязанной задаче термоупругости [23]; штриховая линия соответствует $\hat {T} = 0.25$, а штрихпунктирная – $\hat {T} = 0.5$.

На фиг. 1 видно, что ${{\zeta }_{k}}(\hat {V}) < 0$ k = 1, 2, 3, … при любых значениях $\hat {V} \in [0,\infty )$. Знак полюса ${{\zeta }_{0}}$ зависит от значения $\hat {V}$: при $\hat {V} < {{\hat {V}}_{{\text{c}}}}$ где

(4.2)
${{\hat {V}}_{{\text{c}}}} = \frac{{{\text{2Bi}}}}{{{\text{2}} + {\text{Bi}}}}$
величина ${{\zeta }_{0}}(\hat {V}) < 0$, при $\hat {V} = {{\hat {V}}_{{\text{c}}}}$ полюс находится в начале координат ${{\zeta }_{0}}({{\hat {V}}_{{\text{c}}}}) = 0$, в то время как при $\hat {V} > {{\hat {V}}_{{\text{c}}}}$ полюс становится положительным ${{\zeta }_{0}}({{\hat {V}}_{{\text{c}}}}) > 0$ и при неограниченном увеличении $\hat {V}$ $\mathop {\lim }\limits_{\hat {V} \to \infty } {{\zeta }_{0}}(\hat {V}) = \infty $.

5. Эффективные решения задачи. В предположении, что полюсы подынтегральных функций ${{\zeta }_{k}}$ $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ из (3.15), (3.17), (3.19) однократны и известны, формулы вычисления перечисленных квадратур принимают вид

(5.1)
$\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{{{N}_{{T,u,\sigma }}}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{B}_{{T,u,\sigma }}}\left( {x,{{\zeta }_{k}}} \right){{e}^{{{{\zeta }_{k}}\tilde {t}}}}} ,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
(5.2)
${{B}_{{T,u,\sigma }}}(x,z) = \frac{{{{N}_{{T,u,\sigma }}}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R{\text{'}}(z)}}$
где $R{\text{'}}(z)$ – производная от $R(z)$.

С учетом (3.14)–(3.19) и (5.2) получается, что

(5.3)
${{f}_{a}}(x,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{{{N}_{a}}(x,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{B}_{a}}\left( {x,{{\zeta }_{k}}} \right){{e}^{{{{\zeta }_{k}}\tilde {t}}}}} ,\quad a = T,u,\sigma $

Решения задачи $T(x,t)$, $u(x,t)$, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ при этом записываются в виде рядов по полюсам ${{\zeta }_{k}}$ k = 0, 1, 2, …

(5.4)
$T(x,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \text{v}}}{{1 + \text{v}}}\frac{1}{{\alpha h}}\left( {\hat {T}\Delta (t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{B}_{T}}\left( {x,{{\zeta }_{k}}} \right)D\left( {{{\zeta }_{k}},t} \right)} } \right),\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(5.5)
$u(x,t) = - \Delta (t)\frac{x}{h} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{B}_{u}}\left( {x,{{\zeta }_{k}}} \right)D\left( {{{\zeta }_{k}},t} \right)} ,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
(5.6)
${{\sigma }_{{xx}}}(x,t) = - \frac{{2\mu (1 - \text{v})}}{{(1 - 2\text{v})h}}\left[ {(1 + \hat {T})\Delta (t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{B}_{\sigma }}\left( {x,{{\zeta }_{k}}} \right)D\left( {{{\zeta }_{k}},t} \right)} } \right],\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$
где ${{B}_{a}}(x,z)$ вычисляется по формуле (5/2), $D(z,t)$ по формуле

(5.7)
$D(z,t) = \int\limits_0^t {\Delta (\tau )\exp \left( {z(t - \tau ){\text{/}}{{t}_{\kappa }}} \right)d\tau } ,\quad t > 0$

Горизонтальные смещения $w(x,t)$ определяются из (2.1) и вторых условий в (2.3), (2.5) и даются формулой

(5.8)
$w(x,t) = - f{{\mu }^{{ - 1}}}{{\sigma }_{{xx}}}(h,t)x,\quad 0 \leqslant x \leqslant h,\quad t > 0$

6. Анализ решений задачи. Области устойчивых и неустойчивых решений. При анализе свойств полученных решений $T(x,t)$, $u(x,t)$, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ используются разные их формы, как в виде свертки Лапласа (3.14), (3.16), (3.18), где одна из подынтегральных функций представляется в виде контурной квадратуры (3.15), (3.17), (3.19), так и в виде функциональных рядов (5.4)–(5.6). Исследование решений задачи $T(x,t)$, $u(x,t)$, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$, представленных как формулами (3.14), (3.16), (3.18), так и формулами (5.4)(5.6), показывает, что при ${{\zeta }_{k}} < 0$ $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ решения задачи устойчивы и стремятся с увеличением времени $t$ к стационарному состоянию. Если хотя бы один из ${{\zeta }_{k}}$ $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ при изменении параметров задачи становится положительным ${{\zeta }_{k}} > 0$, то амплитуда $T(x,t)$, $u(x,t)$, ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ неограниченно возрастает при $t \to \infty $, что свидетельствует о неустойчивости решения задачи, о термоупругой неустойчивости скользящего контакта. В предположении, что внедрение $\Delta (t)$ является функцией ограниченной

$m < \Delta (t) < M,\quad 0 < t < \infty $
для интеграла (5.7) при ${{\zeta }_{k}} > 0$ $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ справедлива оценка
(6.1)
$\left| {D\left( {{{\zeta }_{k}},t} \right)} \right| \geqslant m\left| {\frac{{1 - {{e}^{{{{\zeta }_{k}}\tilde {t}}}}}}{{{{\zeta }_{k}}}}} \right|,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
свидетельствующая о том, что при $t \to \infty $ решения задачи (5.4)–(5.6) становятся неограниченными $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left\{ {T(x,t),p(x,t)} \right\} = \infty $, где $p(x,t) = - {{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$.

В комплексной плоскости $z$ траектории ${{\zeta }_{0}}(\hat {V})$ для $\hat {V} \in [0,{{\hat {V}}_{{\text{c}}}})$, где ${{\hat {V}}_{{\text{c}}}}$ из (4.2), и ${{\zeta }_{k}}$ k = = 1, 2, ... для $\hat {V} \in \left[ {0,\infty } \right)$ и любых Bi и $\hat {T}$ находятся в левой полуплоскости на отрицательной части действительной оси (фиг. 1) и образуют область устойчивых решений задачи. При $\hat {V} > {{\hat {V}}_{{\text{c}}}}$ полюс ${{\zeta }_{0}}(\hat {V})$ становится положительным, и хотя все остальные полюса ${{\zeta }_{k}}$ $k = 1,\;2,\;3,\; \ldots $ отрицательны решение задачи согласно (6.1) неустойчиво.

На фиг. 2 на плоскости $\hat {V}$, Bi представлены области устойчивых (не закрашена) и неустойчивых (закрашена) решений задачи. Граница между указанными областями определяется из условия обнуления ${{\zeta }_{{\text{0}}}}(\hat {V}) = 0$ или ${\text{Bi}} = 2\hat {V}{\text{/}}(2 - \hat {V})$ и не зависит от параметра термомеханической связанности $\hat {T}$.

Фиг. 2

7. Асимптотический и численный анализ полученных решений. Формулы решения рассматриваемой связанной задачи термоупругости о скользящем контакте, полученные для температуры $T(x,t)$ (3.14), смещений $u(x,t)$ (3.16) и напряжений ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ (3.18), позволяют провести сравнительный асимптотический анализ изменения этих характеристик при малых $t$ в условиях связанной и соответствующей несвязанной задачи. Формулы решения задачи (3.14), (3.16), (3.18) с учетом оценок (3.20) в области устойчивых решений записываются для малых $t$ в виде следующих асимптотических соотношений

(7.1)
$T(x,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \nu }}{{1 + \nu }}\frac{{\hat {T}}}{\alpha }\frac{{\Delta (t)}}{h} + O({{t}^{{3/2}}}\Delta (t))\quad {\text{п р и }}\quad t \to 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant h$
(7.2)
$u(x,t) = - x\frac{{\Delta (t)}}{h} + O({{t}^{{3/2}}}\Delta (t))\quad {\text{п р и }}\quad t \to 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant h$
(7.3)
${{\sigma }_{{xx}}}(x,t) = - \frac{{2\mu (1 - \text{v})}}{{(1 - 2\text{v)}}}(1 + \hat {T})\frac{{\Delta (t)}}{h} + O({{t}^{{3/2}}}\Delta (t))\quad {\text{п р и }}\quad t \to 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant h$

Первый член асимптотики (7.2) для смещения $u(x,t)$ совпадает с соответствующим членом несвязанной задачи [23]. После дифференцирования $u(x,t)$ в (7.2) по $x$ и по $t$ скорость деформации на контакте ${{\dot {\varepsilon }}_{{xx}}}(h,t)$ имеет вид

(7.4)
${{\dot {\varepsilon }}_{{xx}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x\partial t}} = - \frac{{\dot {\Delta }(t)}}{h} + O({{t}^{{3/2}}}\dot {\Delta }(t)),\quad t \to 0$

Отсюда следует, что в связанной задаче интенсивность изменения температуры на контакте $\dot {T}(h,t)$ при малых $t$ пропорциональна скорости деформации ${{\dot {\varepsilon }}_{{xx}}}$ с коэффициентом пропорциональности

(7.5)
$ - \frac{{1 - \nu }}{{1 + \nu }}\frac{{\hat {T}}}{{\alpha h}}$
пропорциональном $\hat {T}$. Напряжения на контакте ${{\sigma }_{{xx}}}(x,t)$ при малых $t$ пропорциональны скорости деформации ${{\dot {\varepsilon }}_{{xx}}}$ с коэффициентом пропорциональности
(7.6)
$ - \frac{{2\mu (1 - \text{v})}}{{(1 - 2\text{v})h}}(1 + \hat {T})$
также зависящим от $\hat {T}$. Формулы (7.5), (7.6), как и формулы (7.1), (7.3), демонстрируют влияние связанности на основные параметры контакта и позволяют указать параметры задачи, которые способствуют усилению этого влияния.

Численный анализ полученных решений рассматриваемой связанной задачи термоупругости о скользящем контакте в условиях разогрева от трения сводится к расчетам температуры $T(h,t)$ по формуле (5.4) и контактных напряжений $p(t) = - {{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ (5.6) в пространстве безразмерных параметров $\hat {V}$, Bi, $\hat {T}$. Расчеты проводятся в предположении, что максимальный уровень проседания жесткой полуплоскости I в упругое покрытие равен ${{\Delta }_{0}}$. Закон $\Delta (t)$ внедрения полуплоскости I, состоящий из активной фазы (на временном интервале $0 < t < {{t}_{\varepsilon }}$) и пассивной фазы (на интервале ${{t}_{\varepsilon }} < t < \infty $) принимается в виде

(7.7)
$\Delta (t) = {{\Delta }_{0}}\left\{ \begin{gathered} - 1 + {{e}^{{\varepsilon t}}},\quad 0 < t < {{t}_{\varepsilon }} \hfill \\ 1,\quad {{t}_{\varepsilon }} < t < \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где ${{t}_{\varepsilon }} = {{\varepsilon }^{{ - 1}}}\ln 2$ – время окончания активной фазы внедрения, $\varepsilon $ – параметр закона внедрения.

Характер неустойчивых решений связанной задачи качественно не отличается от соответствующих неустойчивых решений несвязанной задачи [23], а области неустойчивых решений связанной и несвязанной задач совпадают. Ниже исследуется влияние параметров $V$ – скорости скольжения полуплоскости I и ${{T}_{0}}$ – температуры окружающей среды на развитие температуры на контакте $T(h,t)$ и контактных напряжений $p(t) = - {{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$, возникающих и развивающихся во времени на скользящем контакте между жесткой полуплоскостью I и покрытием из алюминиевого сплава со следующими термомеханическими $\mu = 24.8$ ГПа, $\text{v} = 0.34$, κ = 88.09 × 10–6 м2/с, α = 22.9 × 10–6 1/град, $K = 209.3$ Вт/(м ⋅ град), $f = 0.15$, $k = 100$ кВт/(м2 ⋅ град) и геометрическими h = 25 мм, ${{\Delta }_{0}} = 0.01h = 0.25$ мм характеристиками. Рассматриваются три скорости скольжения $V$: ${{V}_{1}} = 3.5$ мм/с, ${{V}_{2}} = 7$ мм/с, ${{V}_{3}} = 10.5$ мм/с, и два значения начальной температуры ${{T}_{0}}$ : $T_{0}^{1} = 0$, $T_{0}^{2} = 525$ K, которые соответствуют следующим безразмерным параметрам $\hat {V}$ и $\hat {T}$: ${{\hat {V}}_{1}} = 0.298266$, ${{\hat {V}}_{2}} = 0.596530$, ${{\hat {V}}_{3}} = 0.894794$ и ${{\hat {T}}_{1}} = 0$, ${{\hat {T}}_{2}} = 0.000093$ из области устойчивых решений (фиг. 2). Параметр Bi фиксирован и равен 11.9446.

На фиг. 3 представлены графики ${{T}_{*}}(h,t) = T(h,t) - {{T}_{0}}$ (K), на фиг. 4 – графики p(t) = = $ - {{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ (ГПа) при $\hat {T} = {{\hat {T}}_{1}}$ (сплошной линией) и $\hat {T} = {{\hat {T}}_{2}}$ (штриховой) для различных ${{\hat {V}}_{k}}$, номера $k$ которых указаны цифрами 1–3 на кривых. По горизонтальной оси на фиг. 3 и последующих фигурах отмечено время t (с). Время окончания активной фазы внедрения ${{t}_{\varepsilon }}$ составляет 45 с.

Фиг. 3
Фиг. 4

Расчеты показали, что заметное влияние на физические характеристики контакта $T(h,t)$ и $p(t) = - {{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ оказывает толщина покрытия $h$ и время активной фазы внедрения ${{t}_{\varepsilon }}$. На фиг. 5–6 представлены графики ${{T}_{*}}(h,t) = T(h,t) - {{T}_{0}}$ (K) и $p(t) = - {{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ (ГПа) для трех значений $h = 12.5$ мм (отмечен цифрой 1), 25 мм (2), 50 мм (3) и фиксированного ${{\Delta }_{0}} = 0.25$ мм для покрытия из алюминиевого сплава. Скорость скольжения $V = 7$ мм/с. Сплошной линией изображены графики при начальной температуре $T_{0}^{1} = 0$, штриховой – $T_{0}^{2} = 525$ K. Из графиков на фиг. 6 видно, что увеличение толщины покрытия приводит к уменьшению значений контактного давления $p(t)$ (фиг. 6).

Фиг. 5
Фиг. 6

Горизонтальные смещения поверхности покрытия $w(h,t)$ и скорости $\dot {w}(h,t)$ приобретают влияние связанности через нормальные напряжения ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ на контакте согласно формулам (5.8) и асимптотики ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ (7.3). На фиг. 7–8 приведены графики $w(h,t)$ (мм) и $\dot {w}(h,t)$ (мм/с) при трех значениях $h = 12.5$ мм (отмечен цифрой 1), 25 мм (2), 50 мм (3) и тех же значениях параметров контакта, которые использовались при построении графиков на фиг. 5–6. Из фиг. 7–8 видно, что с увеличением толщины покрытия величины горизонтальных смещений и их скорости увеличиваются.

Фиг. 7
Фиг. 8

8. Мониторинг и управление параметрами контакта. Размещение пленочных наноразмерных датчиков в изделиях из композитных, функционально-градиентных и многослойных материалов вносит исчезающе малый вклад при расчетах напряженно-деформируемого состояния на макроуровне. В рамках постановки основной задачи макроисследования скользящего контакта появляется возможность решения частных задач об отслеживании основных параметров контакта по данным датчиков, расположенных на произвольной глубине контактирующих материалов. К частным задачам такого типа относятся задачи о мониторинге основных параметров скользящего контакта при эксплуатации триботехнических устройств, а также задачи управления этими параметрами с целью недопущения возникновения термоупругой неустойчивости. Полученные в результате мониторинга данные с датчиков, расположенных на глубине под скользящим контактом, пересчитываются по формулам, заранее полученным при решении соответствующих частных задач, на значения основных параметров контакта.

Частные задачи мониторинга параметров скользящего контакта формулируются следующим образом: по данным датчиков а) давления, б) температуры, установленных, к примеру, между покрытием и подложкой, определить значения основных параметров скользящего контакта – контактных напряжений, температуры разогрева контакта. При этом предполагается, что сами датчики в силу их малости не вносят искажений в напряженно-деформированное состояние изделия.

В случае а) для получения формул пересчета напряжений между покрытием и подложкой ${{\sigma }_{{xx}}}(0,t)$ на температуру $T(h,t) - {{T}_{0}}$ на контакте используются формулы (3.1)(3.3) и (3.8)(3.10), из которых следует

(8.1)
${{\sigma }_{{xx}}}(0,t) = - \frac{{2\mu (1 - \nu )}}{{(1 - 2\nu )h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{\sigma }^{0}(0,t - \tau )d\tau } $
(8.2)
$T(h,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \nu }}{{1 + \nu }}\frac{1}{{\alpha h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{T}^{0}(h,t - \tau )d\tau } ,\quad t > 0$
где $f_{\sigma }^{0}(0,t)$ и $f_{\sigma }^{0}(h,t)$ вычисляются по формуле (3.9), $f_{T}^{0}(h,t)$ вычисляется по формуле (3.2) через функцию $N_{T}^{0}(h,z)$ из (3.3).

Исключая $\Delta (t)$ из (8.1), (8.2) с помощью преобразования Лапласа получим соотношение для пересчета ${{\sigma }_{{xx}}}(0,t)$ на $T(h,t) - {{T}_{0}}$ в виде

(8.3)
$T(h,t) - {{T}_{0}} = - \frac{{1 - 2\nu }}{{2(1 + \nu )}}\frac{1}{{\mu \alpha }}\left[ {\frac{{\hat {T}}}{{1 + \hat {T}}}{{\sigma }_{{xx}}}(0,t) + \int\limits_0^t {{{\sigma }_{{xx}}}(0,\tau ){{g}_{{T,\sigma }}}} (t - \tau )d\tau } \right]$
(8.4)
${{g}_{{T,\sigma }}}(t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{\tilde {N}_{T}^{0}(z)}}{{{{t}_{\kappa }}\tilde {N}_{\sigma }^{0}(0,z)}}} {{e}^{{z\tilde {t}}}}dz,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
$\tilde {N}_{T}^{0}(z) = \hat {V}{{\beta }^{2}}zch\sqrt z - \hat {T}{\text{Bi}}z + {\text{Bi}}\sqrt z sh\sqrt z $
$\tilde {N}_{\sigma }^{0}(0,z) = {{z}^{{ - 1}}}N_{\sigma }^{0}(0,z) = {{\beta }^{2}}r(z)$

Вычисляя интеграл в (8.4), получим соотношение (8.3) в новой форме

$T(h,t) - {{T}_{0}} = - \frac{{1 - 2\nu }}{{2(1 + \nu )}}\frac{1}{{\alpha \mu }}\left[ {\frac{{\hat {T}}}{{1 + \hat {T}}}{{\sigma }_{{xx}}}(0,t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {B_{\sigma }^{T}({{\zeta }_{k}})} \int\limits_0^t {{{\sigma }_{{xx}}}(0,\tau ){{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{{t - \tau }}{{{{t}_{\kappa }}}}}}}d\tau } } \right]$
$B_{\sigma }^{T}(z) = \frac{{\tilde {N}_{T}^{0}(z)}}{{{{t}_{\kappa }}(\tilde {N}_{\sigma }^{0}(0,z))_{z}^{'}}}$
где ${{\zeta }_{k}}$ k = 0, 1, 2, … являются корнями уравнения $\tilde {N}_{\sigma }^{0}(0,z) = 0$, причем $\operatorname{Re} ({{\zeta }_{k}}) < 0$, k = 0, 1, 2, …

В случае б) для получения формулы пересчета температуры $T(0,t) - {{T}_{0}}$ между покрытием и подложкой на контактные напряжения ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ воспользуемся формулами (3.1)(3.3) и (3.8)(3.10), из которых следует, что

(8.5)
${{\sigma }_{{xx}}}(h,t) = - \frac{{2\mu (1 - \nu )}}{{(1 - 2\nu )h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{\sigma }^{0}(h,t - \tau )d\tau } $
(8.6)
$T(0,t) - {{T}_{0}} = \frac{{1 - \nu }}{{1 + \nu }}\frac{{\hat {V}{{\beta }^{2}}}}{{\alpha h}}\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{T}^{0}} (0,t - \tau )d\tau ,\quad t > 0$
где $f_{T}^{0}(0,t)$ вычисляется по формуле (3.2) через $N_{T}^{0}(0,z)$ из (3.3).

Исключая из (8.5) и (8.2) функцию $\Delta (t)$ с помощью преобразования Лапласа, получим формулу пересчета $T(0,t) - {{T}_{0}} = {{T}_{0}}(t)$ на ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$

(8.7)
${{\sigma }_{{xx}}}(h,t) = - \frac{{2\mu (1 + \nu )\alpha }}{{1 - 2\nu }}\left[ {\frac{{{{\beta }^{2}}{{h}^{2}}}}{{\hat {T}}}{{T}_{0}}(t) + \int\limits_0^t {{{T}_{0}}(\tau ){{g}_{{\sigma ,T}}}(t - \tau )d\tau } } \right]$
(8.8)
$\tilde {g}_{{\sigma ,T}}^{0}(t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{\tilde {N}_{\sigma }^{0}(z)}}{{{{t}_{\kappa }}\tilde {N}_{T}^{0}(0,z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
$z\tilde {N}_{\sigma }^{0}(z) = N_{\sigma }^{0}(h,z) - \frac{{1 + \hat {T}}}{{\hat {T}}}N_{T}^{0}(0,z) = {{\beta }^{2}}\left( {{\text{Bi}}ch\sqrt z - {{\beta }^{2}}\frac{{\hat {V}}}{{\hat {T}}}} \right)$
$\tilde {N}_{T}^{0}(z) = {{z}^{{ - 1}}}N_{T}^{0}(h,z) = \hat {T}\sqrt z sh\sqrt z + \hat {V}{{\beta }^{2}}$

После вычисления интеграла в (8.8) получим формулу пересчета в более простой форме

${{\sigma }_{{xx}}}(h,t) = - \frac{{2\mu (1 + \nu )\alpha }}{{1 - 2\nu }}\left[ {\frac{{(1 + \hat {T}){{h}^{2}}}}{{\hat {T}}}{{T}_{0}}(t)} \right.\left. { + \sum\limits_{k = 0}^\infty {B_{\sigma }^{0}({{\zeta }_{k}})} \int\limits_0^t {{{\sigma }_{{xx}}}(0,\tau ){{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{{t - \tau }}{{{{t}_{\kappa }}}}}}}d\tau } } \right]$
$B_{T}^{\sigma }(z) = \frac{{\tilde {N}_{\sigma }^{0}(z)}}{{{{t}_{\kappa }}(\tilde {N}_{T}^{0}(h,z))_{z}^{'}}},\quad t > 0$
где ${{\zeta }_{k}}$ k = 0, 1, 2, … являются корнями уравнения $\tilde {N}_{T}^{0}(h,z) = 0$, а $\operatorname{Re} ({{\zeta }_{k}}) < 0$, k = 0, 1, 2, ….

Управление параметрами скользящего контакта – напряжениями и температурой – может достигаться, в том числе, за счет подбора закона внедрения штампа $\Delta (t)$ в упругое покрытие. Пусть требуется подобрать закон внедрения $\Delta (t)$ таким образом, чтобы: в) напряжения ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ на контакте изменялись по заранее заданному закону ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t)$ = = –p(t), в том числе и при $p(t) = {\text{const}}$; г) на контакте температура $T(h,t)$ изменялась бы по заранее заданному закону $T(h,t) - {{T}_{0}} = {{T}_{h}}(t)$ или была бы постоянной заранее установленной величиной ${{T}_{h}}(t) = T = {\text{const}}$.

В случае в) для определения $\Delta (t)$ при заданном ${{\sigma }_{{xx}}}(h,t) = - p(t)$ решение задачи с помощью формулы (3.8) сводится к интегральному уравнению Вольтерры [28]

(8.9)
$\int\limits_0^t {\Delta (\tau )f_{\sigma }^{0}(h,t - \tau )d\tau = \frac{{(1 - 2\nu )h}}{{2\mu (1 - \nu )}}} p(t),\quad t > 0$
(8.10)
$f_{\sigma }^{0}(h,t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{N_{\sigma }^{0}(h,z)}}{{{{t}_{\kappa }}R(z)}}{{e}^{{z\tilde {t}}}}dz} ,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
где $N_{\sigma }^{0}(h,z)$ определена в (3.10), а $R(z)$ в (3.4).

Для обращения интегрального уравнения (8.9) используется преобразование Лапласа, с помощью которого определяется

(8.11)
$\Delta (t) = \frac{{(1 - 2\nu )h}}{{2\mu (1 - \nu ){{\beta }^{2}}}}\left[ {p(t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {B_{{^{\sigma }}}^{R}({{\zeta }_{k}})} \int\limits_0^t {p(\tau ){{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{{t - \tau }}{{{{t}_{\kappa }}}}}}}} d\tau } \right],\quad t > 0$
$B_{\sigma }^{R}(z) = \frac{{R(z)}}{{{{t}_{\kappa }}{{\zeta }_{k}}(\tilde {N}_{\sigma }^{0}(h,z))_{z}^{'}}}$
где ${{\zeta }_{k}}$ k = 0, 1, 2, … – все корни уравнения $\tilde {N}_{\sigma }^{0}(h,z) = {{\beta }^{2}}r(z) = 0$, причем $\operatorname{Re} ({{\zeta }_{k}}) < 0$ k = 0, 1, 2, …

При $p(t) = {{p}_{0}} = {\text{const}}$, когда напряжение на контакте при $t > 0$ удерживается постоянным, $\Delta (t)$ принимает вид

(8.12)
$\Delta (t) = \frac{{(1 - 2\nu )h{{p}_{0}}}}{{2\mu (1 - \nu ){{\beta }^{2}}}}\left( {H(t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{t}_{\kappa }}}}{{{{\zeta }_{k}}}}B_{\sigma }^{R}({{\zeta }_{k}})\left( {{{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}}}} - 1} \right)} } \right),\quad t > 0$
где $H(t)$ – функция Хевисайда.

В случае г) для определения $\Delta (t)$ по заданному $T(h,t) - {{T}_{0}} = {{T}_{h}}(t)$ решение задачи с помощью формулы (3.1) сводится к интегральному уравнению Вольтерры

(8.13)
$\int\limits_0^t {\Delta (t)f_{T}^{0}(h,t - \tau )d\tau = \frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}} \alpha h{{T}_{h}}(t),\quad t > 0$
где $f_{T}^{0}(h,t)$ вычисляется по формуле (3.2) через функцию $N_{T}^{0}(h,z)$ из (3.3).

Обращение интегрального уравнения (8.13) определяется с помощью преобразования Лапласа

(8.14)
$\Delta (t) = \frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}\frac{{\alpha h}}{{\hat {T}}}\left( {{{T}_{h}}(t) + \int\limits_0^t {{{T}_{h}}(\tau )\tilde {g}_{T}^{0}(t - \tau )d\tau } } \right),\quad t > 0$
(8.15)
$\tilde {g}_{T}^{0}(t) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{R(z)}}{{{{t}_{\kappa }}z\tilde {N}_{T}^{0}(h,z)}}} {{e}^{{z\tilde {t}}}}dz,\quad \tilde {t} = \frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}$
$\tilde {N}_{T}^{0}(h,z) = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{T} r(z) + \hat {V}{{\beta }^{2}}\left( {{\text{Bi}}\frac{{sh\sqrt z }}{{\sqrt z }} + ch\sqrt z } \right) - \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{T} {\text{Bi}}$
где $r(z)$ из (3.4).

После вычисления интеграла в (8.15) и подстановки результата в (8.14) получим формулу

(8.16)
$\Delta (t) = \frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}\frac{{\alpha h}}{{\hat {T}}}\left( {{{T}_{h}}(t) + \sum\limits_{k = 1}^\infty {B_{T}^{R}({{\zeta }_{k}})} \int\limits_0^t {{{T}_{h}}(\tau ){\text{ }}{{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{{t - \tau }}{{{{t}_{\kappa }}}}}}}d\tau } } \right)$
$B_{T}^{R}(z) = \frac{{R(z)}}{{z(\tilde {N}_{T}^{0}(h,z))_{z}^{'}}}$
где ${{\zeta }_{k}}$ k = 0, 1, 2, … – все корни уравнения $\tilde {N}_{T}^{0}(h,z) = 0$, причем $\operatorname{Re} ({{\zeta }_{k}}) < 0$ k = 0, 1, 2, …

Для поддержания на скользящем контакте постоянной температуры ${{T}_{h}}(t) = {{T}_{h}}$ = const получается следующая зависимость внедрения $\Delta (t)$ от ${{T}_{h}}$

(8.17)
$\Delta (t) = \frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}\frac{{\alpha h{{T}_{h}}}}{{\hat {T}}}\left[ {H(t) + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{t}_{\kappa }}}}{{{{\zeta }_{k}}}}B_{{^{T}}}^{R}({{\zeta }_{k}})\left( {{{e}^{{{{\zeta }_{k}}\frac{t}{{{{t}_{\kappa }}}}}}} - 1} \right)} } \right],\quad t > 0$

9. Заключение. Точные решения связанной задачи термоупругости о скользящем термофрикционном контакте позволяют:

– установить области устойчивых и неустойчивых решений в области безразмерных параметров задачи;

– установить влияние связанности задачи на изменение границы областей устойчивых и неустойчивых решений, на собственные числа задачи, на основные параметры контакта – температуру и напряжения;

– решить частные задачи опосредованного мониторинга основных параметров скользящего контакта;

– решить частные задачи управления параметрами контакта за счет подбора закона внедрения жесткого тела.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (госзадание 9.1481.2017/4.6) и РФФИ (гранты 16-07-00929-а, 17-07-01376-а).

Список литературы

  1. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. 1956. V. 27. № 3. P. 240–253.

  2. Deresiewicz H. Solution of the equations of thermoelasticity // Proc. 3rd Nat. Congr. Appl. Mech. ASME. Providence: Brown University, 1958. P. 287–291.

  3. Chadwick P. Thermoelasticity. The dynamical theory // Progress in Solid Mechanics / I.N. Sneddon, R. Hill (eds.) Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1960. P. 263–328.

  4. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. Пер. с англ. 518 с.

  5. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. Пер. с пол. 256 с.

  6. Nickell R.E., Sackman J.L. Approximate solutions in linear, coupled thermoelasticity // J. Appl. Mech. 1968. V. 35. № 2. P. 255–266.

  7. Oden J.T. Finite element analysis of nonlinear problems in the dynamical theory of coupled thermoelasticity // Nucl. Eng. Des. 1969. V. 10. № 4. P. 465–475.

  8. Prevost J.H., Tao D. Finite element analysis of dynamic coupled thermoelasticity problems with relaxation times // J. Appl. Mech. 1983. V. 50. № 4a. P. 817–822.

  9. Carter J.P., Booker J.R. Finite element analysis of coupled thermoelasticity // Comput. Struct. 1989. V. 31. № 1. P. 73–80.

  10. Hacquin A., Montmitonnet P., Guillerault J.P. A steady state thermo-elastoviscoplastic finite element model of rolling with coupled thermo-elastic roll deformation // J. Mater. Process. Technol. 1996. V. 60. № 1. P. 109–116.

  11. Repka M., Lion A. Simulation of the coupled thermo-elastic behavior of constrained films in differential scanning calorimetry using the finite element method // Thermochim. Acta. 2014. V. 581. P. 62–69.

  12. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. М.: Машиностроение, 1984. 151 с.

  13. Слоновский Н.В. О термоупругой устойчивости при трении скольжения // Прикл. мат. мех. 1969. Т. 33. № 1. С. 117–121.

  14. Dow T.A., Burton R.A. Thermoelastic instabilities of sliding contact in the absence of wear // Wear. 1972. V. 19. № 3. P. 315–328.

  15. Dow T.A., Burton R.A. The role of wear in the initiation of thermoelastic instabilities of rubbing contact // J. Lubr. Technol. 1973. V. 95. № 1. P. 71–75.

  16. Dow T.A. Thermoelastic effects in a thin sliding seal – a review // Wear. 1980. V. 59. P. 31–52.

  17. Burton R.A., Nerlikar V., Kilaparti S.R. Thermoelastic instability in a seal-like configuration // Wear. 1973. V. 24. № 2. P. 177–188.

  18. Chen C.P., Burton R.A. Thermoelastic effects in brushes with high current and high sliding speeds // Wear. 1979. V. 5. № 1. P. 277–288.

  19. Burton R.A., Bryant M.D. Transient thermal deformation in electrical brushes // J. Therm. Stress. 1981. V. 4. № 2. P. 223–235.

  20. Afferrante L., Ciavarella M. A note on thermoelastodynamic instability (TEDI) for a 1D elastic layer: Force control // Int. J. Solids Struct. 2007. V. 44. № 5. P. 1380–1390.

  21. Afferrante L., Ciavarella M. Thermo-elastic dynamic instability (TEDI) in frictional sliding of two elastic half-spaces // J. Mech. Phys. Solids. 2007. V. 55. № 4. P. 744–764.

  22. Зеленцов В.Б., Митрин Б.И., Васильев А.С., Волков С.С. Термоупругодинамическая неустойчивость решения контактной задачи для покрытия с учетом тепловыделения от трения // Вестник Донского гос. техн. унив-та. 2014. Т. 14. № 4. С. 17–29.

  23. Зеленцов В.Б., Митрин Б.И., Айзикович С.М. Динамическая и квазистатическая неустойчивость скользящего термофрикционного контакта // Трение и износ. 2016. Т. 37. № 3. С. 280–289.

  24. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. К.: Наук. думка, 1965. 204 с.

  25. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 407 с.

  26. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287 с.

  27. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. 463 с.

  28. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1968. 448 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.