Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 3, стр. 76-85

1. Введение. Анализу линейного и нелинейного изгиба круглых тонких пластин и мембран посвящена большая литература. То же самое относится к задаче устойчивости круглых пластин под действием радиально направленных сжимающих сил. Укажем, например, на работы [1–12]. В работах [13, 14] кроме упругой деформации пластин рассматривается упругопластический изгиб. В [13] исследован нелинейный изгиб круглых пластин, находящихся под действием давления и температуры, с позиций применения их в качестве предохранительных мембран, в [14] представлены результаты исследования нелинейного изгиба и устойчивости круглых пластин под действием давления нагретой или охлажденной сжимаемой рабочей среды.

Во всех этих работах принимается, что поперечная распределенная нагрузка q на тонкую пластину равна $q = \gamma h + {{p}_{2}} - {{p}_{1}}$, где γ – удельный вес материала, h – толщина, р₁, р₂ – избыточные давления газов на нижнюю и верхнюю поверхности пластины. В случае малой относительной толщины пластины и приложения давления только к одной из поверхностей или малом отношении среднего давления ${{p}_{m}} = {{({{p}_{1}} + {{p}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{p}_{1}} + {{p}_{2}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ к модулю упругости материала Е это значение q является достаточно точным.

Учет влияния разности площадей нижней и верхней поверхностей, среднего давления р_m на цилиндрический изгиб удлиненной пластины приводит к выражению для распределенной поперечной нагрузки [15–17]

где функция прогиба w(x) зависит от приведенной жесткости D(1 + α). Здесь D – изгибная жесткость пластины, α – безразмерный параметр, который для шарнирно закрепленной пластины длиной L равен

При получении (1.1), (1.2) предполагается, что кромки пластины изолированы от действия давлений р₁, р₂.

Для конструкций типа железобетонных, корабельных при атмосферном давлении или односторонних невысоких давлениях параметр α равен нулю или весьма мал. Но для конструкций оборудования нефтехимии, энергетики, глубоководных аппаратов, аэрокосмической техники могут быть немалые значения α. Если $E = 2 \cdot {{10}^{6}}$ бар (сталь), ${{p}_{m}} = 20$ бар, $L{\text{/}}h = {{10}^{2}}$, то $\alpha = 0.1$. Приведенная жесткость повышается на 10%. В случае $E = 2 \cdot {{10}^{5}}$ бар (магниевый сплав) параметр α = 1. При этом приведенная жесткость равна 2D, прогиб меньше в два раза, чем в случае, когда не учитывается разность площадей верхней и нижней поверхностей пластины.

Если средами снизу и сверху пластины являются жидкости с удельными весами γ₁ и γ₂, то в выражении (1.1) появляется член (γ₂ – γ₁)w. Учет этого фактора приводит к задаче взаимодействия упругой и гидродинамической неустойчивостей [15]. Такая постановка усложняет анализ и здесь не рассматривается.

2. Постановка задачи. Рассматривается статический упругий изгиб круглой пластины диаметром 2с и толщиной h, на нижнюю и верхнюю поверхности которой действуют давления газов р₀ + р₁ и р₀ + р₂, где р₀ – атмосферное давление, р₁, р₂ – избыточные давления. Давления р₁ и р₂ могут быть как положительными, так и отрицательными, причем отрицательные значения р₁, р₂ меньше, чем р₀. Не учитывается влияние плотностей газов на поперечную нагрузку (γ₁= γ₂= 0). При изгибе пластины давления р₁, р₂ остаются неизменными. Кромка пластины изолирована от действия избыточного давления (действует только р₀). До приложения давлений р₁, р₂ пластина под всесторонним давлением р₀ находится в ненапряженном плоском состоянии. Направление оси z, нагрузки q и прогиба w(r) положительно вниз. Рассматривается осесимметричный изгиб.

На фиг. 1 представлен элемент пластины площадью dS = rdφdr срединной поверхности. В соответствии с гипотезами Кирхгоффа при деформации поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным к срединной поверхности, толщина пластины не изменяется. При осесимметричном изгибе образующиеся кривизны вдоль радиуса κ_r и по углу κ_φ связаны с функцией прогиба w(r) формулами [10, с. 173]

При осесимметричном изгибе кривизна кручения равна нулю. Площади нижней и верхней поверхностей элемента равны

Поперечная распределенная сила, действующая на площадь dS срединной поверхности, равна

Здесь собственный вес отнесен к срединной поверхности. Подставляя выражения (2.2), (2.1) в (2.3) и отбрасывая нелинейные члены, получаем

Система нелинейных уравнений осесимметричного изгиба в обозначениях [10, с. 178] имеет вид

С учетом q из (2.4) выражению Ψ можно придать вид

В дальнейшем для функции прогиба w будут использованы условия шарнирного опирания пластины по контуру [10, с. 179]

и защемления

Граничные условия для функции напряжения Φ в случае отсутствия смещения контура пластины по радиусу (и = 0) и свободного перемещения (σ_r = 0) соответственно имеют вид:

Вопрос состоит о влиянии на изгиб пластины второго члена в (2.6), который появляется в результате учета разности площадей нижней и верхней поверхностей при определении поперечной распределенной силы. Для этого сначала рассмотрим линейную задачу.

3. Линейный изгиб. Из (2.5), (2.6) имеем уравнение

а) В случае защемления контура, принимая приближенное решение, удовлетворяющее условиям (2.8), в виде [10, с. 186]

и, интегрируя (3.1) по методу Бубнова–Галеркина, получаем следующее выражение для амплитуды относительного прогиба

Таким образом, безразмерным параметром α определяется вклад второго члена в уравнении (3.1). При $E = 2 \cdot {{10}^{6}}$ бар (сталь), $\nu = 0.3$, $c{\text{/}}h = {{10}^{2}}$, ${{p}_{m}} = 2$ бар параметр $\alpha = 0.0068$. Если при тех значениях Е, ν принять $c{\text{/}}h = {{10}^{3}}$, ${{p}_{m}} = 20$ бар, то $\alpha = 6.8$. В первом случае среднее давление не играет никакой роли, классическая теория изгиба тонких пластин дает правильный результат. Во втором случае большее сопротивление изгибу оказывает среднее давление р_m, чем модуль упругости Е (вернее, величина р_mс², чем Еh²). Это объясняется тем, что собственная изгибная жесткость пластины пропорциональна h³, а влияние среднего давления пропорционально h. Изогнутая под собственным весом γh пластина при ${{p}_{1}} = {{p}_{2}} = {{p}_{m}} = 20$ бар выпрямляется, при этом прогиб уменьшается почти в семь раз.

На фиг. 2 представлена кривая зависимости среднего давления от отношения радиуса к толщине пластины при значении параметра $\alpha = {{10}^{{ - 2}}}$ в (3.3), что означает однопроцентную поправку к значению амплитуды прогиба. Если при данных входных параметрах отображающая точка попадает в область ниже кривой, то влияния среднего давления на изгиб нет, выше кривой это влияние становится заметным.

При больших и близких значениях давлений р₁ и р₂, когда среднее давление р_m также большое, а разность р₂ – р₁ мала, реализуется наибольшее влияние р_m и параметра α на изгиб (для одинаковых значений Е, с, h). Наименьшее влияние их имеет место при одностороннем давлении. Пусть ${{p}_{1}} = 0$, ${{p}_{m}} = {{p}_{2}}{\text{/}}2$ и не учитывается собственный вес (γ = 0). Ограничим значение р₂ применимостью линейного уравнения (3.1) и его решения (3.3). Полагая в (3.3) ξ ≤ 1, получаем

С учетом (3.4) и р_m = р₂/2 из (3.3) имеем наибольшее возможное значение параметра

Положив здесь α = 10 ^–2, получаем, что при с/h ≤ 14 отображающая точка на фиг. 2 находится выше кривой, а при с/h > 14 – ниже кривой (влияния среднего давления нет). Объясняется это тем, что с уменьшением относительной толщины изгибная жесткость и допустимое одностороннее давление быстро падают. При этом мало и отношение р_m/Е.

Есть кажущееся противоречие между общим параметром α по (3.3), пропорциональным (с/h)², и параметром α по (3.5), пропорциональным при ${{(c{\text{/}}h)}^{2}} \gg 2$ величине (h/с)². В первом случае среднее давление р_m может меняться в широких пределах при постоянном перепаде р₂ – р₁, во втором случае р₁ = 0, поэтому р_m жестко определяется давлением р₂, величина которого ограничивается прогибом, не превышающим толщину пластины.

б) Условия шарнирного опирания (2.7) удовлетворяются при функции прогиба [10, с. 191]

Относительный прогиб равняется

Таким образом, параметр α в случае шарнирного опирания равняется значению (3.3) для случая защемленного края пластины, деленному на коэффициент β, зависящий только от ν. Для ν = 0.3 коэффициент β = 0.26. Следовательно, по (3.7) параметр α почти в четыре раза больше, чем по (3.3). Влияние среднего давления на изгиб шарнирно закрепленной пластины в четыре раза больше, чем в случае защемления. Это объясняется тем, что согласно (2.4) поперечная сила q зависит также от кривизны, образующейся при изгибе. В случае шарнирного закрепления знак кривизны не меняется по всей площади, поэтому вклад последнего члена выражения q в решение является наибольшим. В случае защемления вблизи опоры и в центральной части пластины знаки кривизны разные. Согласно аппроксимации (3.2) точка перегиба находится на радиусе r ≈ 0.58 c.

Наибольшее значение одностороннего давления р₂, дающее относительный прогиб ξ = 1, равно

что при ν = 0.3 в четыре раза меньше, чем по (3.4). Вместо (3.5) получаем где сомножитель при (с/h)² равен 0.53 (ν = 0.3).

Эти оценки показывают, что в случае шарнирного закрепления пластины среднее давление р_m оказывает большее влияние на изгиб, чем при защемленном крае. Как указывалось выше, положительное среднее давление р_m приводит к уменьшению прогиба. Отрицательное значение р_m (вакуумирование) и соответственно отрицательное значение параметра α приводят к увеличению прогиба при одном и том же значении собственного веса и разности избыточных давлений р₂ – р₁.

Как видно из (3.3) и (3.7), эти решения справедливы только при α > –1. Значение α = –1 можно считать критическим, когда линейное решение неограниченно возрастает. Соответствующие критические значения среднего избыточного давления по (3.3) и (3.7) равны

Представляет интерес выяснить, могут ли реальные значения входных параметров Е, h, с дать значения $p_{m}^{*} > - {{p}_{0}} = - 1$ бар. Принятый выше первый вариант числовых данных ($E = 2 \cdot {{10}^{6}}$ бар, $\nu = 0.3$, $c{\text{/}}h = {{10}^{2}}$) приводит к большим значениям критического среднего избыточного давления в обоих случаях закрепления. Они лишены физического смысла. При втором варианте числовых данных ($E = 2 \cdot {{10}^{6}}$ бар, $\nu = 0.3$, $c{\text{/}}h = {{10}^{3}}$) из (3.10) получаем соответственно $p_{m}^{*} = - 2.93$ бар, $p_{m}^{*} = - 0.76$ бар. При принятых данных критическое значение среднего давления для защемленной пластины лишено физического смысла, в то время как для случая шарнирного закрепления представляется вполне приемлемым. Естественно, приведенное линейное решение справедливо только при прогибах, меньших толщины пластины.

4. Нелинейный изгиб. Принимаем те же аппроксимирующие функции для прогиба w, что в линейном решении.

а) В случае защемленного края, подставив функции (3.2) во второе уравнение (2.5), получаем следующее ограниченное при r = 0 выражение [10, с. 187]

В том случае, когда край пластины свободно смещается по радиусу, из второго условия (2.9) следует С = Еf  ²/c². Подставим в первое уравнение (2.5) и в (2.6) выражения

После интегрирования по методу Бубнова–Галеркина получаем уравнение

где q* и α представлены в (3.3).

В нелинейном решении влияние среднего давления может быть значительным даже в случае одностороннего давления. Принимая по-прежнему ν = 0.3, γ = 0, р₁ = 0, р_m = = р₂/2, представим (4.2) в виде

Наибольшие возможные значения р₂/Е и α определим, например, из условия ξ = 4. Тогда из (4.3) следует

По (4.4) заключаем, что при с/h ≥ 51 (принято α = 10^–2) нет влияния среднего давления на изгиб, в то время как, например при с/h = 4, имеется сильное влияние (α ≈ 3.2). При этом по линейной теории (3.5) α ≈ 0.14. Таким образом, при нелинейном изгибе под односторонним давлением влияние среднего давления больше, чем при линейном изгибе.

Рассмотрим пример изгиба, когда при одном и том же перепаде давлений р₂ – р₁ (или q*) среднее избыточное давление р_m = ±0.9 бар. Пусть при этом значения Е, с/h такие, что q* = 2, α = ±1.2. Если при α = 1.2 реализуется относительный прогиб ξ < 1, то справедливо линейное решение (3.3) ξ = 0.155. При α = –1.2 прогиб не может быть определен по (3.3), необходимо обратиться к нелинейному решению (4.3), из которого находим ξ = 1.570. Отметим, по классической теории изгиба ξ = 0.341 (α = 0). Как видно, имеется не только количественное отличие между этими решениями. При вакуумировании поверхностей пластины, когда коэффициент α приближается к (–1) и меньше, прогиб нужно определять, исходя из нелинейной теории.

б) При шарнирном закреплении вместо (4.1) имеем

Из второго условия (2.9) следует С = (Еf ²a²/3c²)(6 – 4b + b²). Тем же путем, что выше, получаем уравнение относительно ξ, которое при ν = 0.3 приводится к виду

В случае α = –1 ± ε ($\varepsilon \ll 1$) решение уравнений (4.3) и (4.6) в двух приближениях

В табл. 1 даны значения прогиба в центре пластины при рассмотренных граничных условиях (ГУ) для ряда значений модуля Юнга с учетом ($\alpha \ne 0$) и без учета ($\alpha = 0$) влияния среднего давления на линейный и нелинейный изгиб (подчеркнутые данные) пластины. Заданы близкие значения давлений ${{p}_{1}} = 1$ бар, ${{p}_{2}} = 1.001$ бар при параметрах: $c{\text{/}}h = 100$, $\nu = 0.3$, γ = 0. Из таблицы видно, что в данной задаче влияние среднего давления на прогиб в центре пластины из оргстекла для линейного решения при шарнирном закреплении достигает 56%, в случае защемленного края − 25%, а при нелинейном решении 29 и 21%, соответственно. Следует отметить, что влияние среднего давления на изгиб пластин, как из магниевого сплава, так и стали при ГУ защемления не наблюдается, а при шарнирном закреплении края пластины из магниевого сплава − не превышает 11%.

На фиг. 3a, 3b представлены зависимости безразмерного параметра нагрузки q* и прогиба в центре пластины для условий (2.7) и (2.8), соответственно. Сплошной линией отмечены решения с учетом геометрической нелинейности для $\alpha = - 0.3$; 0; 0.3, штриховой − линейные решения. Видно, что при фиксированном значении $q{\text{*}}$ при увеличении $\alpha $ максимальный прогиб уменьшается, а при отрицательном значении α − возрастает, при этом прогиб пластины в случае шарнирного опирания почти в четыре раза больше, чем при защемлении края пластины для всех рассмотренных значений параметра $\alpha $ линейного решения.

5. Заключение. 1. В классической теории изгиба тонких круглых пластин отношение стрелы прогиба f к толщине h определяется безразмерным параметром нагрузки q* = =  (р_е/Е)(h/с)⁴, зависящим от отношения распределенной поперечной силы ${{p}_{e}} = \gamma h + {{p}_{2}} - {{p}_{1}}$ к модулю упругости Е материала и от относительной толщины h/с (γ – удельный вес, p₁, p₂ – избыточные давления снизу и сверху пластины). Учет разности площадей выпуклой и вогнутой поверхностей пластины, среднего избыточного давления р_m = (p₁ + p₂)/2 приводит к зависимости  f /h также от безразмерного параметра α = (κр_m/Е)(c/h)². Здесь число κ зависит от условий закрепления пластины (для ν = 0.3 при защемлении κ = 0.68, шарнирном закреплении κ = 2.62).

2. При постоянном значении q* увеличение параметра α приводит к уменьшению прогиба (классической теории соответствует α = 0). Избыточные давления могут иметь и отрицательные значения, что имеет место при вакуумировании поверхностей пластины (должно быть p₀ + p₁ > 0, p₀ + p₂ > 0, где p₀ – атмосферное давление). Поэтому р_m и α также могут быть отрицательными, причем $\alpha > - 1$ в линейной задаче. В нелинейной задаче это ограничение снимается. При отрицательном значении α прогиб возрастает. Из условия $\alpha = - 1$ определяется критическое значение среднего избыточного давления $p_{m}^{*}$ при вакуумировании поверхностей пластины. Закритический изгиб происходит при α < –1, однако, р_m должно оставаться меньше, чем атмосферное давление p₀.

3. Наибольшее влияние среднего давления р_m на изгиб имеет место при равенстве больших давлений p₁ и p₂, а наименьшее – при одностороннем давлении. В последнем случае поправка на значение прогиба за счет среднего давления может быть при малых отношениях с/h. Это объясняется ограничением допустимого значения разности p₂ – p₁ для данной пластины.

4. Имеется сильная зависимость прогиба пластины от действия давления на ее кромку. Приведенные выше результаты получены при действии на кромку только атмосферного давления p₀. Если, например, при p₁ = p₂ = р_m на кромку действует среднее избыточное давление р_m, то исчезает его влияние на изгиб. Реализуется абсолютная устойчивость формы пластины, изогнутой под собственным весом. В целом, требуется дальнейшее изучение влияния среднего избыточного давления на изгиб круглой пластины и его экспериментальное исследование.

Авторы выражают благодарность М.С. Ганеевой за обсуждение.

Работа частично выполнена в рамках государственного задания (проекты № 0246-2019008, № 0049-2015-0040 и по грантам РФФИ № 17-41-02040017-р_а, № 18-01-00150.