Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 2, стр. 10-21

ОБ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ МЕХАНИЗМАХ ПРОИЗВОДСТВА БОЛЬШИХ НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В УСЛОВИЯХ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ

Л. В. Ковтанюк a*, Г.Л. Панченко a

a Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Владивосток, Россия

* E-mail: lk@iacp.dvo.ru

Поступила в редакцию 15.07.2019
После доработки 10.08.2019
Принята к публикации 04.09.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках теории больших деформаций получено решение задачи о деформировании материала с нелинейными упругими, пластическими и вязкими свойствами, находящегося в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Внешняя поверхность остается неподвижной, а внутренняя прямолинейно движется с переменной скоростью. При равноускоренном движении поверхности первоначально необратимые деформации накапливаются за счет вязких свойств материала в качестве деформаций ползучести, а при выходе напряженного состояния на поверхность нагружения рассмотрено возникновение и развитие области вязкопластического течения. Исследовано дальнейшее развитие течения при постоянной скорости и его торможение при равнозамедленном движении поверхности до полной остановки. Рассчитаны параметры напряженно-деформированного состояния среды, исследована релаксация напряжений после полной остановки цилиндра.

Ключевые слова: большие деформации, ползучесть, упругость, вязкость, пластичность, релаксация напряжений

DOI: 10.31857/S0572329920020099

1. Введение. Исследование посвящено изучению процессов интенсивного деформирования материалов, когда накапливаемые ими необратимые деформации могут быть как деформациями ползучести, так и пластичности. Примером такого технологического процесса может служить холодная формовка [1], когда необратимые деформации накапливаются за счет медленного процесса ползучести, однако, это не исключает возникновение локальных областей пластического течения обычно в местах контакта деформируемого материала с оснасткой. Наличие таких областей приводит к значительному перераспределению полей напряжений и, следовательно, влияет на процесс ползучести. Таким образом, при моделировании таких процессов необходимо использовать теорию ползучести при одновременном учете возможностей возникновения и развития зон пластического течения. Учет же упругих деформаций позволяет при этом рассчитывать упругий отклик при разгрузке, в том числе остаточные напряжения и их релаксацию после полной разгрузки.

Учитывая, что в большинстве технологических процессов приобретаемые материалом деформации, как правило, большие, соответствующая модель должна быть моделью больших деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами.

Математических моделей больших упругопластических деформаций предложено достаточно много [213]. Здесь будем использовать математическую модель, в которой обратимые и необратимые деформации определяются дифференциальными уравнениями изменения [9, 12]. Обобщение модели на случай, когда большие необратимые деформации последовательно накапливаются сначала в условиях ползучести и потом пластического течения проведено недавно [14, 15]. Предложено разделять накапливаемые в материале необратимые деформации на деформации ползучести и пластического течения механизмом их производства. Таким образом, уравнение изменения необратимых деформаций является одним и тем же и для деформаций ползучести, и пластичности, различие заключается только в задании источника необратимых деформаций. Для деформаций ползучести источником являются скорости деформаций ползучести, а для пластических деформаций – скорости пластических деформаций. На упругопластических границах изменяется механизм накопления необратимых деформаций с вязкого на пластический и наоборот. Непрерывность в таком росте необратимых деформаций обеспечивается соответствующим заданием потенциалов ползучести и пластичности.

Первые решения краевых задач, учитывающих последовательное накопление необратимых деформаций ползучести и пластичности в рамках модели больших упруговязкопластических деформаций, получены в [15, 16], без учета вязкости при пластическом течении подобный подход в случае малых деформаций применялся в [17]. Здесь с использованием модели больших деформаций с последовательным изменением в механизме накопления необратимых деформаций приведем решение краевой задачи об антиплоском деформировании цилиндрического слоя в условиях ползучести с последующим пластическим течением.

2. Основные модельные соотношения. В прямоугольной системе пространственных декартовых координат Эйлера ${{x}_{i}}$ кинематика среды задается соотношениями [12]

$\begin{gathered} {{d}_{{ij}}} = \frac{1}{2}({{u}_{{i,j}}} + {{u}_{{j,i}}} - {{u}_{{k,i}}}{{u}_{{k,j}}}) = {{e}_{{ij}}} + {{p}_{{ij}}} - \frac{1}{2}{{e}_{{ik}}}{{e}_{{kj}}} - {{e}_{{ik}}}{{p}_{{kj}}} - {{p}_{{ik}}}{{e}_{{kj}}} + {{e}_{{ik}}}{{p}_{{km}}}{{e}_{{mj}}} \\ \frac{{D{{e}_{{ij}}}}}{{Dt}} = {{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\gamma }_{{ij}}} - \frac{1}{2}(({{\varepsilon }_{{ik}}} - {{\gamma }_{{ik}}} + {{z}_{{ik}}}){{e}_{{kj}}} + {{e}_{{ik}}}({{\varepsilon }_{{kj}}} - {{\gamma }_{{kj}}} - {{z}_{{kj}}})) \\ \frac{{D{{p}_{{ij}}}}}{{Dt}} = {{\gamma }_{{ij}}} - {{p}_{{ik}}}{{\gamma }_{{kj}}} - {{\gamma }_{{ik}}}{{p}_{{kj}}},\quad \frac{{D{{n}_{{ij}}}}}{{Dt}} = \frac{{d{{n}_{{ij}}}}}{{dt}} - {{r}_{{ik}}}{{n}_{{kj}}} + {{n}_{{ik}}}{{r}_{{kj}}} \\ \end{gathered} $
(2.1)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{ij}}} = \frac{1}{2}\left( {{{{v}}_{{i,j}}} + {{{v}}_{{j,i}}}} \right),\quad {{{v}}_{i}} = \frac{{d{{u}_{i}}}}{{dt}} = \frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial t}} + {{u}_{{i,j}}}{{{v}}_{j}},\quad {{u}_{{i,j}}} = \frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} \\ {{r}_{{ij}}} = {{w}_{{ij}}} + {{z}_{{ij}}}\left( {{{\varepsilon }_{{sk}}},{{e}_{{sk}}}} \right),\quad {{w}_{{ij}}} = \frac{1}{2}\left( {{{{v}}_{{i,j}}} - {{{v}}_{{j,i}}}} \right) \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{z}_{{ij}}} = A_{1}^{{ - 1}}(({{\varepsilon }_{{ik}}}{{e}_{{kj}}} - {{e}_{{ik}}}{{\varepsilon }_{{kj}}})A_{2}^{2} + ({{\varepsilon }_{{ik}}}{{e}_{{ks}}}{{e}_{{sj}}} - {{e}_{{ik}}}{{e}_{{ks}}}{{\varepsilon }_{{sj}}}){{A}_{2}} + {{e}_{{ik}}}{{\varepsilon }_{{ks}}}{{e}_{{st}}}{{e}_{{tj}}} - {{e}_{{ik}}}{{e}_{{ks}}}{{\varepsilon }_{{st}}}{{e}_{{tj}}}) \\ {{A}_{1}} = 8 - 8{{E}_{1}} + 3E_{1}^{2} - {{E}_{2}} - \frac{1}{3}E_{1}^{3} + \frac{1}{3}{{E}_{3}},\quad {{A}_{2}} = 2 - {{E}_{1}} \\ {{E}_{1}} = {{e}_{{kk}}},\quad {{E}_{2}} = {{e}_{{ij}}}{{e}_{{ji}}},\quad {{E}_{3}} = {{e}_{{ij}}}{{e}_{{jk}}}{{e}_{{ki}}} \\ \end{gathered} $

Здесь ${{u}_{i}}$, ${{{v}}_{i}}$ – компоненты векторов перемещений и скорости точек среды; ${{d}_{{ij}}}$ – компоненты тензора деформаций Альманси; ${{e}_{{ij}}}$ и ${{p}_{{ij}}}$ – их обратимая и необратимая составляющие; ${D \mathord{\left/ {\vphantom {D {Dt}}} \right. \kern-0em} {Dt}}$ – оператор используемой объективной производной тензоров по времени, которая записана для произвольного тензора ${{n}_{{ij}}}$; ${{r}_{{ij}}}$ – компоненты тензора вращений. Источники ${{\gamma }_{{ij}}}$ и $\varepsilon _{{ij}}^{e} = {{\varepsilon }_{{ij}}} - {{\gamma }_{{ij}}}$ в уравнениях изменения обратимых и необратимых деформаций – скорости их накопления. При ${{\gamma }_{{ij}}} = 0$ компоненты тензора необратимых деформаций изменяются так же, как и при повороте системы координат или, как при движении среды без деформирования, т.е. ${{D{{p}_{{ij}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{D{{p}_{{ij}}}} {Dt}}} \right. \kern-0em} {Dt}} = 0$. Тензор вращений ${{r}_{{ij}}}$ отличается от классического тензора вихря скорости ${{w}_{{ij}}}$ наличием нелинейной части ${{z}_{{ij}}}$. Отметим, что при равенстве нулю составляющей ${{z}_{{ij}}}$ тензора вращений ${{r}_{{ij}}}$ производная в (2.1) переходит в производную Яумана.

Как и в работах [9, 12] полагаем, что используемый термодинамический потенциал (плотность распределения свободной энергии $\psi $) является изотропной функцией только обратимых деформаций. Тогда согласно закону сохранения энергии напряжения в среде полностью определяются обратимыми деформациями и связаны с ними формулой, аналогичной формуле Мурнагана в нелинейной теории упругости [18, 19]. Для несжимаемой среды данное соотношение примет вид

(2.2)
${{\sigma }_{{ij}}} = - p{{\delta }_{{ij}}} + \frac{{\partial W}}{{\partial {{e}_{{ik}}}}}\left( {{{\delta }_{{kj}}} - {{e}_{{kj}}}} \right)$

В соотношении (2.2) ${{\sigma }_{{ij}}}$ – компоненты тензора напряжений Эйлера–Коши, $p$ – неизвестная функция добавочного гидростатического давления. Для упругого потенциала $W = {{\rho }_{{\text{0}}}}\psi $ (${{\rho }_{{\text{0}}}}$ – плотность) принимаем его разложение в ряд Маклорена относительно свободного состояния

(2.3)
$\begin{gathered} W = - 2\mu {{I}_{1}} - \mu {{I}_{2}} + bI_{1}^{2} + \left( {b - \mu } \right){{I}_{1}}{{I}_{2}} - \chi I_{1}^{3} + \; \ldots \\ {{I}_{1}} = {{e}_{{kk}}} - \frac{1}{2}{{e}_{{ks}}}{{e}_{{sk}}},\quad {{I}_{2}} = {{e}_{{ks}}}{{e}_{{sk}}} - {{e}_{{ks}}}{{e}_{{st}}}{{e}_{{tk}}} + \frac{1}{4}{{e}_{{ks}}}{{e}_{{st}}}{{e}_{{tn}}}{{e}_{{nk}}} \\ \end{gathered} $

Здесь $\mu $ – модуль сдвига; $b$, $\chi $ – постоянные материала.

Диссипативный механизм необратимого деформирования связан с реологическими и пластическими свойствами материала. Будем считать далее, что необратимые деформации накапливаются с начала процесса деформирования и первоначально связаны с процессом ползучести материала.

В областях, где напряженное состояние еще не достигло поверхности текучести, или, где пластическое течение было, но прекратилось, соответствующий диссипативный механизм деформирования зададим в форме степенного закона ползучести Нортона [20], в котором полагаем скорости необратимых деформаций ${{\gamma }_{{ij}}}$ равными скоростям деформаций ползучести $\varepsilon _{{ij}}^{{v}}$

(2.4)
$V({{\sigma }_{{ij}}}) = B{{\Sigma }^{n}}({{\sigma }_{1}},{{\sigma }_{2}},{{\sigma }_{3}}),\quad \Sigma = \max \left| {{{\sigma }_{i}} - {{\sigma }_{j}}} \right|,\quad {{\gamma }_{{ij}}} = \varepsilon _{{ij}}^{{v}} = \frac{{\partial V\left( \Sigma \right)}}{{\partial {{\sigma }_{{ij}}}}}$

В зависимостях (2.4) $V\left( {{{\sigma }_{{ij}}}} \right)$ – термодинамический потенциал; ${{\sigma }_{1}}$, ${{\sigma }_{2}}$, ${{\sigma }_{3}}$ – главные значения тензора напряжений; $B$, $n$ – параметры ползучести материала.

С течением времени напряженное состояние достигает поверхности текучести, диссипативный механизм деформирования меняется и в материале начинается пластическое течение. В таком случае в области пластического течения полагаем ${{\gamma }_{{ij}}} = \varepsilon _{{ij}}^{p}$. Без разделения необратимых деформаций на составляющие будем считать, что накопленные к моменту начала пластического течения необратимые деформации ползучести (2.4) являются начальными значениями для накапливающихся далее в области течения пластических деформаций. В случае учета вязких свойств среды при пластическом течении также требуется совпадение скоростей необратимых деформаций при изменении механизма деформирования с вязкого на пластический.

Согласно принципу максимума Мизеса связь скоростей пластических деформаций $\varepsilon _{{ij}}^{p}$ с напряжениями устанавливается ассоциированным законом пластического течения

${{\alpha }_{{ij}}} = \lambda \frac{{\partial F}}{{\partial {{\sigma }_{{ij}}}}},\quad F({{\sigma }_{{ij}}},{{\alpha }_{{ij}}}) = k,\quad \lambda > 0,\quad {{\alpha }_{{ij}}} = \varepsilon _{{ij}}^{p} - \varepsilon _{{ij}}^{{{{{v}}_{0}}}}$
где $\varepsilon _{{ij}}^{{{{{v}}_{0}}}}$ – компоненты тензора скоростей деформаций ползучести в момент начала пластического течения.

В качестве пластического потенциала будем использовать условие текучести Треска, обобщенное на случай учета вязких свойств материала

(2.5)
$\max \left| {{{\sigma }_{i}} - {{\sigma }_{j}}} \right| = 2k + 2\eta \max \left| {{{\alpha }_{n}}} \right|$
в котором ${{\alpha }_{n}}$ – главные значения тензора ${{\alpha }_{{ij}}}$, k – предел текучести, $\eta $ – коэффициент вязкости.

3. Постановка и решение задачи до вязкопластического течения. Пусть слой несжимаемого материала расположен в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов ${{r}_{0}}$ и R $({{r}_{0}} < R)$. Рассмотрим процесс деформирования слоя при прямолинейном движении внутренней поверхности и неподвижности внешней поверхности. Считаем, что на цилиндрических стенках выполняются условия прилипания. Тогда в цилиндрической системе координат $r$, $\varphi $, $z$ граничные условия задачи примут вид

(3.1)
${{\left. {v} \right|}_{{r = R}}} = 0,\quad {{\left. u \right|}_{{r = R}}} = 0,\quad {{\left. {v} \right|}_{{r = {{r}_{0}}}}} = {{{v}}_{0}},\quad {{\left. u \right|}_{{r = {{r}_{0}}}}} = {{u}_{0}} = \int\limits_0^t {{{{v}}_{0}}{\kern 1pt} dt} ,\quad {{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{{r = R}}} = {{a}_{0}}$

Здесь ${v} = {{{v}}_{z}}(r,t)$, $u = {{u}_{z}}\left( {r,t} \right)$ – единственные отличные от нуля компоненты векторов скорости и перемещения соответственно, ${{{v}}_{0}} = {{{v}}_{0}}(t)$, a0 – задаваемые функция и постоянная. Из соотношений (2.1) в данном случае установим, что кинематика среды описывается зависимостями

(3.2)
${{d}_{{rr}}} = - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right)}^{2}},\quad {{d}_{{rz}}} = \frac{1}{2}\frac{{\partial u}}{{\partial r}},\quad {{\varepsilon }_{{rz}}} = - {{w}_{{rz}}} = \frac{1}{2}\frac{{\partial {v}}}{{\partial r}},\quad {{r}_{{rz}}} = \frac{{2{{\varepsilon }_{{rz}}}\left( {1 - {{e}_{{zz}}}} \right)}}{{{{e}_{{rr}}} + {{e}_{{zz}}} - 2}}$

В задачах данного класса диагональные компоненты тензоров деформаций являются малыми более высокого порядка по сравнению с недиагональными компонентами [2124], поэтому в дальнейшем ограничимся слагаемыми первого порядка по диагональным компонентам и второго – по недиагональным. Принятое ограничение не является принципиальным для решения задачи и вводится с целью значительного упрощения вычислений. Из соотношений (2.2) и (2.3) в рассматриваемом случае найдем напряжения в среде

(3.3)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{rr}}} = - \left( {p + 2\mu } \right) + 2\left( {b + \mu } \right){{e}_{{rr}}} + 2b{{e}_{{zz}}} + \mu e_{{rz}}^{2} = - P + 2\mu {{e}_{{rr}}} \\ {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}} = - \left( {p + 2\mu } \right) + 2b\left( {{{e}_{{rr}}} + {{e}_{{zz}}}} \right) - 2\mu e_{{rz}}^{2} = - P - 3\mu e_{{rz}}^{2} \\ {{\sigma }_{{zz}}} = - \left( {p + 2\mu } \right) + 2\left( {b + \mu } \right){{e}_{{zz}}} + 2b{{e}_{{rr}}} + \mu e_{{rz}}^{2} = - P + 2\mu {{e}_{{zz}}} \\ {{\sigma }_{{rz}}} = 2\mu {{e}_{{rz}}},\quad \frac{{{{\sigma }_{{rr}}} - {{\sigma }_{{zz}}}}}{{{{\sigma }_{{rz}}}}} = \frac{{{{e}_{{rr}}} - {{e}_{{zz}}}}}{{{{e}_{{rz}}}}} \\ \end{gathered} $

В рамках квазистатического приближения запишем уравнения равновесия для рассматриваемого случая

(3.4)
$\frac{{\partial {{\sigma }_{{rr}}}}}{{\partial r}} + \frac{{\partial {{\sigma }_{{rz}}}}}{{\partial z}} + \frac{{{{\sigma }_{{rr}}} - {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}}}{r} = 0,\quad \frac{{\partial {{\sigma }_{{rz}}}}}{{\partial r}} + \frac{{\partial {{\sigma }_{{zz}}}}}{{\partial z}} + \frac{{{{\sigma }_{{rz}}}}}{r} = 0$

Проинтегрируем уравнения (3.4) в предположении, что напряжения конечны, т.е. ${{\partial P} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial P} {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$ = 0:

(3.5)
${{\sigma }_{{rz}}} = \frac{{c\left( t \right)}}{r},\quad {{e}_{{rz}}} = \frac{{c\left( t \right)}}{{2\mu r}},\quad P = f\left( {r,t} \right)$

Для компонент тензоров деформаций и скоростей деформаций из (2.1) справедливы соотношения

(3.6)
$\begin{gathered} {{d}_{{rz}}} = {{e}_{{rz}}} + {{p}_{{rz}}},\quad {{\varepsilon }_{{rz}}} = \frac{{\partial {{e}_{{rz}}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{p}_{{rz}}}}}{{\partial t}} = \varepsilon _{{rz}}^{e} + {{\gamma }_{{rz}}} \\ \frac{{\partial {{p}_{{zz}}}}}{{\partial t}} = - {{\gamma }_{{rz}}}\frac{{{{p}_{{zz}}} - e_{{rz}}^{2}}}{{{{e}_{{rz}}}}} + \frac{{4{{\varepsilon }_{{rz}}}{{p}_{{rz}}}}}{{2 + e_{{rz}}^{2}}}\left( {1 + {{p}_{{zz}}} - \frac{1}{2}e_{{rz}}^{2} - 2{{e}_{{rz}}}{{p}_{{rz}}}} \right) \\ {{e}_{{rr}}} = {{p}_{{zz}}} - \frac{3}{2}e_{{rz}}^{2} - 2{{e}_{{rz}}}{{p}_{{rz}}},\quad {{p}_{{rr}}} + {{p}_{{zz}}} = - 2p_{{rz}}^{2},\quad {{e}_{{rr}}} + {{e}_{{zz}}} = - e_{{rz}}^{2} \\ \end{gathered} $

Считаем, что при увеличении скорости движения внутреннего цилиндра необратимые деформации первоначально накапливаются за счет медленного процесса ползучести.

Потенциал $V({{\sigma }_{{ij}}})$ в соотношении (2.4) в цилиндрической системе координат принимает форму

$V\left( {{{\sigma }_{{ij}}}} \right) = B{{(4\sigma _{{rz}}^{2} + {{({{\sigma }_{{rr}}} - {{\sigma }_{{zz}}})}^{2}})}^{{n/2}}}$

В данном потенциале ограничимся слагаемыми до порядка $n$ по напряжениям вследствие замечания, описанного перед зависимостями (3.3). Тогда для скоростей деформаций ползучести и компоненты ${{p}_{{rz}}}$ из формул (2.4), (3.3), (3.5) и (3.6) получим соотношения

(3.7)
$\begin{gathered} \varepsilon _{{rz}}^{{v}} = {{f}_{1}}({{c}^{{n - 1}}},r),\quad \varepsilon _{{rr}}^{{v}} = - \varepsilon _{{zz}}^{{v}} = \frac{{\varepsilon _{{rz}}^{{v}}}}{2}\frac{{{{e}_{{rr}}} - {{e}_{{zz}}}}}{{{{e}_{{rz}}}}},\quad {{f}_{1}}({{c}^{{n - 1}}},r) = {{\left( { - 1} \right)}^{n}}{{2}^{{n - 1}}}Bn\frac{{{{c}^{{n - 1}}}}}{{{{r}^{{n - 1}}}}} \\ {{p}_{{rz}}} = {{f}_{1}}\left( {{{c}_{1}},r} \right),\quad {{c}_{1}}\left( t \right) = \int\limits_0^t {{{c}^{{n - 1}}}dt} ,\quad c = {{\left( {{{{\dot {c}}}_{1}}} \right)}^{{\frac{1}{{n - 1}}}}} \\ \end{gathered} $

Из зависимостей (3.2), (3.5)–(3.7) и условия прилипания (3.1) на поверхности $r = R$ следуют соотношения для скорости и перемещения

(3.8)
$\begin{gathered} {v} = {{f}_{2}}\left( {\dot {c},r,R} \right) + {{f}_{3}}({{c}^{{n - 1}}},r,R),\quad u = {{f}_{2}}\left( {c,r,R} \right) + {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},r,R} \right) \\ {{f}_{2}}\left( {c,r,R} \right) = \frac{c}{\mu }\ln \frac{r}{R},\quad {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},r,R} \right) = \frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{n}}{{2}^{n}}Bn{{c}_{1}}}}{{2 - n}}\left( {\frac{1}{{{{r}^{{n - 2}}}}} - \frac{1}{{{{R}^{{n - 2}}}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Здесь и далее точка сверху означает производную по времени.

С учетом граничных условий (3.1) на внутренней стенке $r = {{r}_{0}}$ из (3.8) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции ${{c}_{1}}\left( t \right)$

(3.9)
${{\dot {c}}_{1}} = f_{2}^{{1 - n}}\left( {1,{{r}_{0}},R} \right){{\left( {{{u}_{0}} + {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},{{r}_{0}},R} \right)} \right)}^{{n - 1}}},\quad {{c}_{1}}\left( 0 \right) = 0$

Дифференциальное уравнение (3.9) и система (3.6) решаются численно в пакете Wolfram Mathematica. Компонента напряжений ${{\sigma }_{{rr}}}$ находится из первого уравнения равновесия (3.4) с использованием краевого условия из (3.1). Далее из соотношений (3.3) определяются добавочное гидростатическое давление $P$ и компоненты тензора напряжений ${{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}$ и ${{\sigma }_{{zz}}}$.

При возрастающей скорости движения внутреннего цилиндра ${{{v}}_{0}}$ полученное решение задачи будет справедливым до некоторого момента времени $t = {{t}_{0}}$, при котором в окрестности внутренней стенки $r = {{r}_{0}}$ выполнится условие пластичности (2.5), в нашем случае принимающее вид ${{\left. {{{\sigma }_{{rz}}}} \right|}_{{r = {{r}_{0}}}}} = - k$. Из первого соотношения (3.5) получим уравнение для определения момента времени t = t0, в который начнется вязкопластическое течение: $c({{t}_{0}}) = - k{{r}_{0}}$.

4. Вязкопластическое течение. Развивающаяся с момента времени t = t0 область вязкопластического течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ ограничена поверхностями r = r0 и $r = m(t)$. В области $m(t) \leqslant r \leqslant R$ по-прежнему происходит вязкоупругое деформирование, то есть поверхность $r = m(t)$ является движущейся границей области вязкопластического течения.

В области $m(t) \leqslant r \leqslant R$ интегрированием уравнений равновесия (3.4) в условиях прилипания (3.1) на поверхности r = R установим, что продолжают выполняться зависимости (3.5) с неизвестной функцией интегрирования $c\left( t \right)$. Также в этой области остаются верными соотношения (3.7) и (3.8).

Интегрируя уравнения равновесия в области вязкопластического течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ и используя условие непрерывности компонент напряжений на упругопластической границе $r = m(t)$, получим, что в этой области также выполняются зависимости (3.5).

Пластический потенциал (2.5) в нашем случае запишется в следующей форме

(4.1)
${{\sigma }_{{rz}}} = - k + \eta (\varepsilon _{{rz}}^{p} - \varepsilon _{{rz}}^{{{{{v}}_{0}}}}),\quad \varepsilon _{{rz}}^{{{{{v}}_{0}}}} = - {{2}^{{n - 1}}}{{k}^{{n - 1}}}Bn$

Из соотношения (4.1) определим скорость пластических деформаций

(4.2)
$\varepsilon _{{rz}}^{p} = \frac{1}{\eta }\left( {\frac{{c(t)}}{r} + k} \right) - {{2}^{{n - 1}}}{{k}^{{n - 1}}}Bn$

Из условия совпадения скоростей необратимых деформаций на упругопластической границе $r = m(t)$ из (4.2) найдем

$c(t) = - km(t)$

Из зависимостей (3.2), (3.5), (3.7), (4.2) и граничного условия для скорости на поверхности r = r0 (3.1), найдем скорость в области вязкопластического течения

(4.3)
$\begin{gathered} {v} = {{f}_{2}}\left( {\dot {c},r,{{r}_{0}}} \right) + {{f}_{4}}\left( {c,r,{{r}_{0}}} \right) + {{{v}}_{0}} \\ {{f}_{4}}\left( {c,r,{{r}_{0}}} \right) = \frac{2}{\eta }\left( {c(t)\ln \frac{r}{{{{r}_{0}}}} + k\left( {r - {{r}_{0}}} \right)} \right) - {{2}^{n}}{{k}^{{n - 1}}}Bn\left( {r - {{r}_{0}}} \right) \\ \end{gathered} $

Положение упругопластической границы $r = m(t)$ в каждый момент времени задается обыкновенным дифференциальным уравнением, следующим из (3.8), (4.3) и условия непрерывности скоростей точек среды на этой границе

(4.4)
${{f}_{2}}\left( { - k\dot {m},{{r}_{0}},R} \right) + {{f}_{3}}({{\left( { - km} \right)}^{{n - 1}}},m,R) - {{f}_{4}}\left( { - km,m,{{r}_{0}}} \right) = {{{v}}_{0}}$

В области вязкоупругого деформирования $m(t) \leqslant r \leqslant R$ для необратимых и обратимых деформаций остаются справедливыми уравнения (3.6).

Интегрируя скорость пластических деформаций $\varepsilon _{{rz}}^{p}$ (4.2) по времени с учетом (3.5) и (3.7), найдем компоненту необратимых деформаций ${{p}_{{rz}}}$ в области течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$

(4.5)
${{p}_{{rz}}} = {{f}_{5}}\left( {t,r} \right) + g(r),\quad {{f}_{5}}\left( {t,r} \right) = \frac{1}{\eta }\left( {\frac{{{{c}_{2}}(t)}}{r} + kt} \right) - {{\left( {2k} \right)}^{{n - 1}}}Bnt,\quad {{c}_{2}}(t) = \int\limits_{{{t}_{0}}}^t {c(t)dt} $

Здесь $g(r)$ – неизвестная функция интегрирования, которую найдем из условия непрерывности необратимых деформаций (3.7) и (4.5) на продвигающейся упругопластической границе:

$g(r) = {{f}_{1}}\left( {{{c}_{1}}(\zeta ),r} \right) - {{f}_{5}}\left( {\zeta ,r} \right)$
в которой функция $\zeta = \zeta (r)$ определяется из обыкновенного дифференциального уравнения

(4.6)
$\zeta {\text{'}}({{f}_{3}}({{( - kr)}^{{n - 1}}},r,R) - {{f}_{4}}\left( { - kr,r,{{r}_{0}}} \right) - {{{v}}_{0}}\left( \zeta \right)) = {{f}_{2}}\left( {k,{{r}_{0}},R} \right),\quad \zeta \left( {{{r}_{0}}} \right) = {{t}_{0}}$

Для компонент обратимых и необратимых деформаций в области вязкопластического течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ справедлива система (3.6).

Учитывая соотношения (3.2), (3.5), (3.6), (4.5) и условие непрерывности перемещений на упругопластической границе $r = m(t)$, найдем выражение для перемещений в области вязкопластического течения

$u = {{f}_{2}}\left( {c,r,R} \right) + {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},m,R} \right) + t{{f}_{4}}({{t}^{{ - 1}}}{{c}_{2}},r,m) + 2\int\limits_m^r {g(r)dr} $

При движении внутреннего цилиндра с постоянной скоростью с момента времени $t = {{t}_{1}} > {{t}_{0}}$ область вязкопластического течения продолжает развиваться согласно закону (4.4). Полученное выше решение остается верным как в области ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$, так и в области $m(t) \leqslant r \leqslant R$. Изменение в краевом условии приведет только к изменению функции $\zeta (r)$: в области $m({{t}_{1}}) \leqslant r \leqslant m(t)$ она теперь определяется из дифференциального уравнения

(4.7)
$\zeta {\text{'}}({{f}_{3}}({{( - kr)}^{{n - 1}}},r,R) - {{f}_{4}}\left( { - kr,r,{{r}_{0}}} \right) - {{{v}}_{0}}\left( {{{t}_{1}}} \right)) = {{f}_{2}}\left( {k,{{r}_{0}},R} \right),\quad \zeta \left( {m\left( {{{t}_{1}}} \right)} \right) = {{t}_{1}}$
в то время как в области ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m({{t}_{1}})$ по-прежнему является решением уравнения (4.6)

5. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды. Не приводит к существенным изменениям в процессе деформирования и первоначальное уменьшение скорости движения внутренней поверхности, начиная с момента времени $t = {{t}_{2}} > {{t}_{1}}$. В отличие от случая, когда цилиндр движется с постоянной скоростью, функция $\zeta (r)$ в области ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m({{t}_{1}})$ находится из уравнения (4.6), в области $m({{t}_{1}}) \leqslant r \leqslant m({{t}_{2}})$ – из (4.7), а в области $m({{t}_{2}}) \leqslant r \leqslant m(t)$ снова из (4.6) с граничным условием $\zeta \left( {m\left( {{{t}_{2}}} \right)} \right) = {{t}_{2}}$.

В расчетный момент времени $t = {{t}_{3}} > {{t}_{2}}$ рост области вязкопластического течения прекращается. Появляется новая граница $r = m(t)$, движущаяся от стационарной поверхности $r = m({{t}_{3}})$ к внутренней поверхности r = r0 и отделяющая уменьшающуюся область течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ от области разгрузки $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$, в которой, как и в области $m({{t}_{3}}) \leqslant r \leqslant R$, теперь накапливаются необратимые деформации ползучести.

В области вязкоупругого деформирования $m({{t}_{3}}) \leqslant r \leqslant R$ и в области течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ остаются верными соотношения, справедливые в интервале времени ${{t}_{2}} \leqslant t \leqslant {{t}_{3}}$.

В области $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ для компонент напряжений и скоростей необратимых деформаций выполняются соотношения (3.5) и (3.6).

Из (3.2), (3.5), (3.7) и условия непрерывности скорости на упругопластической границе $r = m({{t}_{3}})$ установим, что в области $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ скорость вычисляется из первой зависимости (3.8).

Из условия непрерывности скоростей на упругопластической границе $r = m(t)$ получим уравнение ее изменения вида (4.4).

Интегрируя зависимость (3.7) по времени в области разгрузки $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$, получим соотношение для компоненты необратимых деформаций в этой области

(5.1)
${{p}_{{rz}}} = {{f}_{1}}\left( {{{c}_{1}},r} \right) + {{g}_{1}}(r)$

В выражении (5.1) неизвестную функцию интегрирования ${{g}_{1}}(r)$ найдем из условия непрерывности необратимых деформаций на упругопластической границе $r = m(t)$

(5.2)
${{g}_{1}}(r) = {{f}_{1}}\left( {{{c}_{1}}(\zeta ),r} \right) + {{f}_{5}}\left( {\zeta ,r} \right) + g(r)$

Здесь функция $\zeta = \zeta (r)$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (4.6) с начальным условием $\zeta \left( {m\left( {{{t}_{3}}} \right)} \right) = {{t}_{3}}$.

Интегрируя второе уравнение (3.2) в области $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ с учетом соотношений (3.5), (3.6), (5.1) и условия непрерывности перемещений на границе $r = m({{t}_{3}})$, найдем компоненту перемещений

(5.3)
$u = {{f}_{2}}\left( {c,r,R} \right) + {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},r,R} \right) + 2\int\limits_{m({{t}_{3}})}^r {g{}_{1}(r)dr} $

В области ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ из второго уравнения (3.2) с учетом (3.5), (3.6), (4.5) и условия непрерывности перемещений на границе $r = m(t)$ найдем

(5.4)
$u = {{f}_{2}}\left( {c,r,R} \right) + {{f}_{3}}\left( {{{c}_{1}},m,R} \right) + t{{f}_{4}}({{t}^{{ - 1}}}{{c}_{2}},r,m) + 2\int\limits_m^r {g(r)dr} + 2\int\limits_{m({{t}_{3}})}^m {g{}_{1}(r)dr} $

В момент времени $t = {{t}_{4}} > {{t}_{3}}$ внутренний цилиндр остановится $({{{v}}_{0}}({{t}_{4}}) = 0)$. Скорость в области вязкопластического течения ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ будет вычисляться зависимостью

${v} = {{f}_{2}}\left( {\dot {c},r,{{r}_{0}}} \right) + {{f}_{4}}\left( {c,r,{{r}_{0}}} \right)$

Уравнение для вычисления положения упругопластической границы $r = m(t)$ примет форму

${{f}_{2}}\left( { - k\dot {m},{{r}_{0}},R} \right) + {{f}_{3}}({{\left( { - km} \right)}^{{n - 1}}},m,R) - {{f}_{4}}\left( { - km,m,{{r}_{0}}} \right) = 0$

В области $m({{t}_{3}}) \leqslant r \leqslant R$ компонента необратимых деформаций вычисляется из (4.5), в области $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ – из (5.1). Функция ${{g}_{1}}(r)$имеет вид (5.2), в котором ζ = = $\zeta (r)$ в области $m({{t}_{k}}) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ находится из уравнения (4.6) с начальным условием $\zeta (m({{t}_{2}}))$ = t2, а в области $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{k}})$ вычисляется из уравнения

$\zeta {\text{'}}({{f}_{2}}({{\left( { - kr} \right)}^{{n - 1}}},r,R) - {{f}_{4}}\left( { - kr,r,{{r}_{0}}} \right)) = {{f}_{1}}\left( {k,{{r}_{0}},R} \right),\quad \zeta \left( {m\left( {{{t}_{4}}} \right)} \right) = {{t}_{4}}$

Для перемещений в областях $m(t) \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ и ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m(t)$ продолжают выполняться зависимости (5.3) и (5.4).

В некоторый момент времени $t = {{t}_{5}}$ упругопластическая граница $r = m(t)$ совпадет с внутренней поверхностью $r = {{r}_{0}}$ и вязкопластическое течение в цилиндрическом слое прекратится. Для скорости во всем слое будет выполняться первое соотношение (3.8), в котором функция $c(t)$ примет вид

$c(t) = {{\left( {\ln \frac{{{{r}_{0}}}}{R}{{{\left( {{{R}^{{n - 2}}}\ln \frac{{{{r}_{0}}}}{R} + {{2}^{n}}Bn{{k}^{{n - 2}}}\mu (r_{0}^{{n - 2}} - {{R}^{{n - 2}}})\left( {t - {{t}_{4}}} \right)} \right)}}^{{ - 1}}}} \right)}^{{\frac{1}{{n - 2}}}}}$

Перемещения в областях $m({{t}_{3}}) \leqslant r \leqslant R$ и ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant m({{t}_{3}})$ вычисляются соотношениями (3.8) и (5.3) соответственно.

Функция ${{{v}}_{0}}$ при расчетах была выбрана следующим образом:

${{{v}}_{0}} = \left\{ \begin{gathered} {{\xi }_{1}}t,\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}} \hfill \\ {{\xi }_{1}}{{t}_{1}},\quad {{t}_{1}} \leqslant t \leqslant {{t}_{2}} \hfill \\ {{\xi }_{1}}{{t}_{1}} - {{\xi }_{2}}\left( {t - {{t}_{2}}} \right),\quad {{t}_{2}} \leqslant t \leqslant {{t}_{4}} \hfill \\ 0,\quad t \geqslant {{t}_{4}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Расчеты проводились в безразмерных переменных $\tilde {r} = {r \mathord{\left/ {\vphantom {r R}} \right. \kern-0em} R}$, $\tau = {{{{\xi }_{1}}{{t}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\xi }_{1}}{{t}^{2}}} {{{r}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}}}}$ при следующих значениях постоянных параметров ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k {\mu = 0.003}}} \right. \kern-0em} {\mu = 0.003}}$, ${{{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}} R}} \right. \kern-0em} R} = 0.2$, $n = 3$, $B{{\mu }^{2}}\sqrt {{{{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}} {{{\xi }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\xi }_{1}}}}} = 3$, ${{{{\xi }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\xi }_{2}}} {{{\xi }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\xi }_{1}}}}$ = 0.5, $\left( {{\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu \eta }} \right. \kern-0em} \eta }} \right)\sqrt {{{{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}} {{{\xi }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\xi }_{1}}}}} = 10$, ${{a}_{0}} = {{10}^{{ - 6}}}$. График упругопластической границы $\tilde {m} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m R}} \right. \kern-0em} R}$ в интервале от ${{\tau }_{{\text{0}}}} = 0.0097$ до ${{\tau }_{{\text{3}}}} = 0.1121$ представлен на рис. 1a, в интервале от ${{\tau }_{{\text{3}}}}$ до ${{\tau }_{{\text{5}}}} = 5.756$ – на рис. 1b. Отметим, что ${{\tau }_{{\text{1}}}} = 0.03$, ${{\tau }_{{\text{2}}}} = 0.1$, ${{\tau }_{{\text{4}}}} = 0.4391$. Распределения скоростей и перемещений точек среды по слою в разные моменты времени показаны на рис. 2a и рис. 2b соответственно. Рисунок 3 иллюстрирует изменение необратимых деформаций в точках внутренней поверхности $r = {{r}_{0}}$ в интервале $0 \leqslant \tau \leqslant {{\tau }_{5}}$. Релаксация компонент напряжений ${{\sigma }_{{rz}}}$ и наибольшего из диагональных σzz показана на рис. 4a и рис. 4b соответственно (${{\tau }_{{\text{6}}}} = 1000$, ${{\tau }_{{\text{7}}}} = 10000$).

Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4

6. Заключение. Построено решение задачи о деформировании материала цилиндрического слоя, происходящем при прямолинейном равноускоренном движении внутреннего цилиндра, его последующем движении с постоянной скоростью и равнозамедленном движении до полной остановки, в то время как внешний цилиндр остается неподвижным. В условиях жесткого сцепления материала с граничными стенками рассмотрен случай, когда накапливаемые необратимые деформации являются и деформациями ползучести, и пластичности. Исследовано продвижение упругопластической границы, разделяющей области с разными действующими законами накопления необратимых деформаций, рассчитаны параметры напряженно-деформированного состояния среды, проведено наблюдение за релаксацией напряжений, происходящей после остановки цилиндра.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (18-01-00038).

Список литературы

  1. Олейников А.И., Пекарш А.И. Интегрированное проектирование процессов изготовления монолитных панелей. М.: Эком, 2009. 109 с.

  2. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME. Sr. E. J. Appl. Mech. 1969. V. 36. I. 1. P. 1–6.

  3. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // ПМТФ. 1982. № 4. С. 133–139.

  4. Nemat‑Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity // Int. J. Solids and struct. 1982. V. 18. I. 10. P. 857–872.

  5. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев.: Наук. думка, 1987. 232 с.

  6. Быковцев Г.А., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред // Докл. АН. 1990. Т. 311. № 1. С. 59–62.

  7. Xia Z., Ellyin F. A finite elastoplastic constitutive formulation with new co-rotational stress-rate and strain-hardening rule // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1995. V. 62. I. 3. P. 733–739.

  8. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. № 4. С. 8–13.

  9. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН. 1996.Т. 347. № 2. С. 199–201.

  10. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 1. С. 120–128.

  11. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // ПМТФ. 2005. Т. 46. № 5. С. 138–149.

  12. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации и упругое последействие. Владивосток: Дальнаука, 2013. 312 с.

  13. Shutov A.V., Ihlemann J. Analysis of some basic approaches to finite strain elasto-plasticityin view of reference change // Internat. J. Plasticity. 2014. V. 63. P. 183–197.

  14. Белых С.В., Бормотин К.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Прокудин А.Н. О больших изотермических деформациях материалов с упругими, вязкими и пластическими свойствами // Вестн. ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2014. Т. 22. № 4. С. 145–157.

  15. Бегун А.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации в условиях изменяющихся механизмов их производства и проблема задания пластических потенциалов // Докл. АН. 2016. Т. 470. № 3. С. 275–278.

  16. Бегун А.С., Ковтанюк Л.В., Лемза А.О. Смена механизмов накопления необратимых деформаций материалов на примере их вискозиметрического деформирования // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2018. № 1. С. 103–112.

  17. Буренин А.А., Галимзянова К.Н., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. О согласовании механизмов роста необратимых деформаций полого шара при всестороннем сжатии // Докл. АН. 2018. Т. 482. № 4. С. 403–406.

  18. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

  19. Годунов С.К., Роменский Е.А. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. книга, 1998. 280 с.

  20. Norton F.H. The creep steel of high temperature. Y.: Mc Gpaw Hill, 1929. 110 p.

  21. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // Докл. АН. 2005. Т. 400. № 6. С. 764–767.

  22. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Развитие и торможение течения упруговязкопластической среды в цилиндрической трубе // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 788–798.

  23. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Неизотермическое движение упруговязкопластической среды в трубе в условиях изменяющегося перепада давления // Докл. АН. 2015. Т. 464. № 3. С. 284–287.

  24. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Деформирование и разогрев упруговязкопластического цилиндрического слоя при его движении за счет изменяющегося перепада давления // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 6–18.

Дополнительные материалы отсутствуют.