Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 76-86

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ, МОДЕЛИРУЕМЫЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ МОДЕЛЬЮ МАКСВЕЛЛОВСКОГО ТИПА ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Н. С. Стеценко *

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: stetsenkonina@mail.ru

Поступила в редакцию 14.10.2019
После доработки 18.10.2019
Принята к публикации 21.10.2019

Аннотация

Для вязкоупругих материалов исследуется обобщение элементарной модели Максвелла на случай конечных деформаций с использованием однопараметрического семейства объективных производных Гордона–Шоуолтера. С помощью полученных определяющих соотношений рассматриваются задачи о простом сдвиге, одноосном растяжении-сжатии и сдвиговых колебаниях, заданных пилообразной функцией. Показано, что полученные аналитические решения этих задач существенно зависят от параметров модели, и, таким образом, рассмотрение семейства объективных производных, частными случаями которого являются производные Олдройда, Коттер–Ривлина и Яуманна, расширяет возможности описания поведения материала. Показано, что анализируемая модель прогнозирует появление эффектов Пойнтинга, Кельвина и Вейссенберга, проявляет неньютоновскую вязкость, обнаруживает ненулевую разность нормальных напряжений (normal stress differences) в задаче о простом сдвиге, моделирует явления уменьшения вязкости как функции скорости сдвига при увеличении скорости сдвига (shear thinning), а также увеличение вязкости как функции скорости деформации растяжения при увеличении скорости деформации одноосного растяжения (extensional thickening).

Ключевые слова: конечные деформации, вязкоупругие модели, неньютоновская вязкость, эффект Пойнтинга, эффект Кельвина, эффект Вейссенберга, разность нормальных напряжений (normal stress differences), псевдопластичность (shear thinning), объемное утолщение (extensional thickening)

DOI: 10.31857/S0572329920040121

Список литературы

  1. Weissenberg K. A continuum theory of rheological phenomena // Nature. 1947. V. 159. № 4035. P. 310–311.

  2. Pollett W.F.O., Cross A.H. A continuous-shear rheometer for measuring total stress in rubber-like materials // J. Sci. Instrum. 1950. V. 27. № 8. P. 209–212.

  3. Christiansen E.B., Leppard W.R. Steady-state and oscillatory flow properties of polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1974. V. 18. № 1. P. 65–86.

  4. Meissner J., Garbella R.W., Hostettler J. Measuring normal stress differences in polymer melt shear flow // J. Rheol. 1989. V. 33. № 6. P. 843–864.

  5. Cross M.M. Relation between viscoelasticity and shear-thinning behaviour in liquids // Rheol. Acta. 1979. V. 18. № 5. P. 609–614.

  6. Meissner J. Experimental aspects in polymer melt elongational rheometry // Chem. Eng. Commun. 1985. V. 33. P. 159–180.

  7. Bird R.B., Carreau P.J. A nonlinear viscoelastic model for polymer solutions and melts-I // Chem. Eng. Sci. 1968. V. 23. № 5. P. 427–434.

  8. Keentok M., Georgescu A.G., Sherwood A.A., Tanner R.I. The measurement of the second normal stress difference for some polymer solutions // J. Non-Newtonian Fluid. 1980. V. 6. P. 303–324.

  9. Wagner M.H. Analysis of time-dependent non-linear stress-growth data for shear and elongational flow of a low-density branched polyethylene melt // Rheol. Acta 1976. V. 15. № 2. P. 136–142.

  10. Macosco C.W. Rheology: principles, measurements and applications. N. Y.: WILEY-VCH, 1993. 568 p.

  11. Cho K.S. Viscoelasticity of polymers: Theory and numerical algorithms. D.: Springer, 2016. V. 241. 612 p.

  12. Бегун А.С., Ковтанюк Л.В., Лемза А.О. Смена механизмов накопления необратимых деформаций материалов на примере их вискозиметрического деформирования // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 103–112.

  13. Spriggs T.W. A four-constant model for viscoelastic fluids // Chem. Eng. Sci. 1965. V. 20. № 11. P. 931–940.

  14. Olsson F., Ystr$\ddot {o}$m J. Some properties of the upper-convected Maxwell model for viscoelastic fluid flow // J. Non-Newtonian Fluid. 1993. V. 48. P. 125–145.

  15. Giacomin A.J., Bird R.B., Johnson L.M., Mix A.W. Large-amplitude oscillatory shear flow from the corotational Maxwell model // J. Non-Newtonian Fluid. 2011. V. 166. P. 1081–1099.

  16. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Pазвитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017. 432 с.

  17. Шуткин А.С. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций // МКМК. 2010. Т. 16. № 2. С. 166–180.

  18. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 310 с.

  19. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V. 2. P. 197–226.

  20. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state // Proc. R. Soc. 1950. V. 200. P. 523–541.

  21. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress // Quart. Appl. Math. 1955. V. 13. № 2. P. 177–188.

  22. Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mech. 1979. V. 32. № 4. P. 217–232.

  23. Gordon, R.J., Schowalter W.R. Anisotropic fluid theory: a different approach to the dumbbell theory of dilute polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1972. V. 16. P. 79–97.

  24. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Математические основы термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

  25. Da Costa Mattos H.S. Some remaks about the use of Gordon-Schowalter time derivative in rate-type viscoelastic constitutive equations // Int. J. Eng. Sci. 2013. V. 73. P. 56–66.

  26. Johnson M.W., Jr., Segalman D. Model for viscoelastic fluid behavior which allows non-affine deformation // J. Non-Newtonian Fluid. 1977. V. 2. № 3. P. 255–270.

  27. Lee Y.J., Xu J. New formulations, positivity preserving discretizations and stability analysis for non-Newtonian flow models // Comput. Method. Appl. M. 2006 V. 195. P. 1180–1206.

  28. Мартынова Е.Д., Стеценко Н.С. Использование объективных производных Гордона–Шоуолтера для описания конечных деформаций вязкоупругих тел // Вестн. МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. 2017. № 6. С. 64–68.

  29. Мартынова Е.Д. Процессы кручения цилиндрических образцов из несжимаемых вязкоупругих материалов максвелловского типа // ПММ. 2019. Т. 83. № 1. С. 95–106.

  30. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1. С. 54–60.

  31. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. N.Y.: Academic Press, 1977. 304 p. = Трусдел К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 572 с.

  32. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

  33. Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33.

  34. Георгиевский Д.В. Об ортогональных эффектах напряженно-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестн. КНУ Сер. 2013. № 3. С. 114–116.

  35. Виноградов Г.В., Малкин А.А. Реология полимеров. М.: Химия, 1977. 440 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.