Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 3, стр. 90-99

Введение. Влияние высокого давления на способность материалов сопротивляться пластическому сдвигу, вероятно, впервые было рассмотрено в работах Бриджмена [1, 2]. Его опыты по кручению образцов, подвергнутых сильному сжатию, показывают, что для самых разных материалов (в том числе, металлических) кривые крутящего момента и предельная разрушающая нагрузка зависят от величины приложенного гидростатического давления. Дальнейшие экспериментальные исследования в этом направлении проводились различными научными группами [3–5]. Достаточно полный исторический обзор представлен в работе [6]. В 1988 году группой профессора Валиева было сообщено о получении в алюминиевом сплаве размера зерна меньше 1 микрометра при обработке образца кручением под высоким давлением [5]. С этих пор процессы кручения под высоким давлением (HPT – high-pressure torsion) интенсивно исследуются методами механики твердого тела, материаловедения и физики материалов [7, 8]. Схемы деформирования при кручении под высоким давлением различаются по степени ограниченности течения образца [9] (рис. 1, U – неограниченная, L – ограниченная, QL – квазиограниченная). Неограниченная схема никак не препятствует радиальному течению материала, при этом образец в ходе деформирования существенно изменяет толщину и диаметр. Квазиограниченная схема [10] допускает некоторое радиальное течение, однако основной объем образца не слишком сильно изменяет свою геометрию. При полностью ограниченной схеме деформирования образец может менять свои размеры только за счет изменения плотности и деформирования оснастки. Различные варианты деформирования, близкие к полностью ограниченной схеме описаны, например, в работах [4, 11, 12]. Как правило, используются цилиндрические образцы с достаточно большим отношением диаметра к толщине. Процесс проводят в два этапа. На первом к образцу прикладывается начальное давление путем сведения наковален. При этом для ограниченных схем деформирования создается начальное давление, близкое к однородному гидростатическому [9]. На втором этапе одна или обе наковальни сообщают образцу деформации кручения.

Для прогнозирования напряженного состояния образца и его итоговых свойств широко используются различные аналитические и вычислительные модели. Отметим здесь работу [13], в которой учитываются процессы фазовых превращений в материалах, протекание которых связано с накоплением пластической деформации и зависит от локальной величины давления, а также их влияние на механические характеристики образца. Также учитываются контактные условия между образцом и наковальнями, деформирование оснастки. А, кроме того, в численных расчетах учтено влияние давления на предел текучести образца при изохорной пластической деформации. В ряде работ строятся жестко-пластические решения для различных постановок задачи. В [14] для упрочняющегося по степенному закону материала рассмотрено кручение, нелинейное по высоте образца, с учетом дополнительного кругового сдвига (упомянем, что для комбинации кручения с круговым сдвигом есть точное нелинейно-упругое решение [15]); модель [14] прогнозирует однородное распределение давления. В [16] рассмотрено влияние сдвига в радиальном направлении, вызванного радиальным течением материала, и на основе упрощенного уравнения равновесия получено неоднородное распределение давления в образце. Также упомянем некоторые результаты, связанные с использованием градиентных теорий пластичности [17, 18].

Следует отметить, что для полностью закрепленной схемы деформирования принятие пластического потенциала Мизеса приводит к тому, что напряженное состояние образца в цилиндрическом координатном базисе $\left( {{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{r}}}},{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{\varphi }}}},{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{z}}}}} \right)$ представляется тензором напряжений Коши вида

Здесь ${{p}_{0}} = {\text{const}}$ – величина начального гидростатического давления в образце перед фазой кручения. Таким образом, полагается, что давление в образце однородно и постоянно в течение всего процесса деформирования.

В экспериментах с использованием квазиограниченной схемы деформирования, которые, как правило, проводятся при постоянном давлении, в фазе кручения наблюдается уменьшение толщины образца (по сравнению с гидростатически сжатым образцом перед началом кручения) за счет радиального течения. Это дает основания ожидать, что если в начале фазы кручения расстояние между наковальнями (и, следовательно, высота образца) будет зафиксировано, то нормальное давление на наковальни и среднее давление в образце будут снижаться, а радиальное течение материала будет сведено к минимуму. Это ничего не говорит об однородности среднего давления в образце, но, тем не менее, не соответствует указанному выше напряженному состоянию, поскольку величина ${{p}_{0}}$ остается неизменной в ходе деформирования. Отметим также, что проведенные непосредственные измерения на контактной поверхности между образцом и наковальней в ходе процесса [19] демонстрируют неоднородность давления по радиусу образца. По косвенным данным, в частности, по распределению микротвердости по радиусу обработанного образца, теоретически возможно оценить степень неоднородности давления. Однако, при том условии, что ключевым механизмом изменения твердости является выделение новых фаз материала, связанное с локальной величиной давления. Эта оценка, однако, представляет собой достаточно нетривиальную задачу. Кроме того, данные МКЭ-моделирования также говорят о достаточно сильной неоднородности давления в образце. В качестве причин называются: радиальное течение материала, деформирование оснастки, фазовые превращения и соответствующая им объемная деформация, а также изменение механических свойств, начальная неоднородность давления и другие факторы. Тем не менее, кажется интересным, что даже на базе очень простой жестко-пластической модели можно построить решение указанной проблемы, которое не приводит к однородности давления в образце.

Далее будет использована модель изотропного идеально-пластического несжимаемого материала. Это положение основывается на том, что заметное изменение предела текучести материалов из-за деформационного упрочнения (или разупрочнения) прекращается после некоторой степени деформации (которая обычно имеет порядок единицы) [20]. При обработке кручением при высоком давлении величины деформации могут превышать это значение на 1–2 порядка. В таком случае будет разумно использовать в качестве предела текучести при чистом сдвиге его предельную величину.

В этих же условиях вызванная пластической деформацией анизотропия также не проявляется при монотонном нагружении, если исходный (недеформированный) материал изотропен. Эти положения нашли подтверждение при деформировании самых различных материалов [20]. Кроме этого, мы не рассматриваем процессы фазовых превращений в материале, однако учитываем, что давление может оказывать существенное влияние на локальный предел текучести в образце. Последнее утверждение верно в той или иной значимой степени для самых различных материалов – металлических стекол, полимеров, а также металлов в твердом состоянии. Для металлов зависимость предела текучести от величины всестороннего сжатия нехарактерна при обычных условиях, однако отметим, что в случае рассматриваемого процесса речь может идти о давлениях в десятки гигапаскаль. Пластическая несжимаемость компактных материалов в процессе интенсивной деформации является естественным допущением. Отметим, что для кручения с конечными деформациями изотропного неупрочняющегося несжимаемого материала нечувствительного к среднему напряжению имеются аналитические упруго-пластические решения [21–23]. Также отметим недавнее исследование [24], в котором построено приближенное аналитическое решение, которое учитывает зависимость предела текучести от давления.

1. Постановка задачи и уравнения модели. Рассмотрим изохорную деформацию кручения цилиндрического образца высотой $h$ и радиусом $R$, подвергнутого начальному однородному гидростатическому сжатию величиной ${{p}_{0}}$. Будем рассматривать идеализированный случай полностью ограниченного деформирования и пренебрегать обратимыми деформациями. Тензор скорости (пластической) деформации имеет вид

Здесь вектор скорости ${\mathbf{v}} = rz{{\theta }_{t}}{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{\varphi }}}}$, ${{\theta }_{t}} = {{\partial \theta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \theta } {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$, t – время, θ(t) – угол кручения на единицу высоты цилиндрического образца.

Напряженное состояние характеризуется тензором Коши вида

Условие равновесия $\nabla \cdot {\mathbf{\sigma }} = {\mathbf{0}}$ приводит к уравнению

Мы используем неассоциированную пластическую модель, которая включает условие текучести Мора–Кулона

и пластический потенциал Треска

Здесь ${{\sigma }_{1}}$, ${{\sigma }_{3}}$ – наибольшее и наименьшее собственные значения тензора напряжений Коши, $\vartheta \in (0,1)$ – параметр материала. Функция (1.5) дифференцируема везде, кроме угловых точек [25] (рис. 2): ${{{\mathbf{\varepsilon }}}^{{\mathbf{p}}}} = \Lambda {{\partial f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial f} {\partial {\mathbf{\sigma }}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{\sigma }}}}$, где Λ – скалярный пластический множитель. Правило определения тензора скорости пластической деформации в угловых точках функции пластического потенциала оговорим далее отдельно. Уравнение равновесия (1.3), условие текучести (1.4) и ассоциированный с пластическим потенциалом (1.5) закон должны исчерпывающе определять компоненты тензоров (1.1) и (1.2) с учетом граничного условия ${{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{{r = R}}} = - {{p}_{0}}$.

2. Анализ напряженного состояния. Исходя из (1.2), собственные значения тензора напряжений выражаются в следующем виде (нумерация произвольная):

Согласно правилу нормальности ${{{\mathbf{\varepsilon }}}^{{\mathbf{p}}}} = \Lambda {{\partial f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial f} {\partial {\mathbf{\sigma }}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\mathbf{\sigma }}}}$ и (9), из первого равенства в (2.1) следует, что радиальная компонента тензора скорости пластической деформации может быть нулевой, только если напряженное состояние соответствует либо стороне AB с примыкающими узловыми точками (рис. 2), либо симметричной ей стороне. Последний случай исключен, поскольку ${{\lambda }_{1}} > {{\lambda }_{3}}$. Будем полагать, что в пластическом состоянии при достаточно большой величине деформации напряженное состояние всех точек образца соответствует одной и той же точке на AB.

Для угловых точек пластического потенциала Койтер [26] ввел обобщенное правило нормальности, которое говорит о том, что собственный вектор тензора скорости деформации принадлежит вееру, ограниченному нормалями к смежным сторонам шестиугольника (рис. 2). В рассматриваемой задаче кинематические ограничения (1.1) приводят к тому, что и в угловых точках A или B собственный вектор тензора скорости деформации ортогонален AB. Тогда тензор скорости деформации имеет вид [27]

С учетом (2.1) и (1.2), имеем

Из (2.2) и (1.1) следует ${{\sigma }_{{\varphi \varphi }}} = {{\sigma }_{{zz}}}$. Условие пластичности (1.4) с учетом ${{\sigma }_{{\varphi z}}} > 0$ имеет вид

Введем параметр напряженного состояния

Значение L = 1 соответствует точке H и состоянию гидростатического сжатия с наложенной деформацией сдвига, значение L = 0 соответствует угловой точке B, значение $L \to + \infty $ – угловой точке A. Из (2.4) следует

Из (2.3) и (2.5) следует

Тогда, согласно уравнению равновесия (1.3), при $0 \leqslant L < 1$ ${{\partial {{\sigma }_{{rr}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\sigma }_{{rr}}}} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}} < 0$, а также ${{\partial {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\sigma }_{{\varphi \varphi }}}} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}} < 0$ и ${{\partial \operatorname{tr} {\mathbf{\sigma }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \operatorname{tr} {\mathbf{\sigma }}} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}} < 0$, что не согласуется с расчетными и экспериментальными данными. Таким образом, мы будем рассматривать только напряженные состояния, которым соответствуют точки из отрезка AH.

Поскольку параметр L неизвестен, промежуточное главное напряжение остается неопределенным, система уравнений не имеет однозначного решения без принятия дополнительных условий.

В качестве такого условия может выступать уже упомянутое предположение ${{\sigma }_{{rr}}}$ = = σ_φφ = σ_zz = –p₀. В этом случае напряженное состояние однородно (соответствует точке H на рис. 2):

Другой возможный вариант – принятие условия полной пластичности [28] (гипотезы Хаара–Кармана). В этом случае напряженное состояние соответствует угловой точке A ($L \to + \infty $). Уравнение равновесия принимает вид

и интегрируется с краевым условием ${{\sigma }_{{rr}}}\left( R \right) = - {{p}_{0}}$:

Напряженное состояние в этом случае неоднородно. Среднее напряжение согласно (2.8) и (2.6) равно

На рис. 3 приведено распределение среднего напряжения при различных значениях параметра ϑ, полученное по формуле (2.9) при ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}} = 0.15$; кривая 1 соответствует значению $\vartheta = 0.01$, кривая 2 значению $\vartheta = 0.1$, кривая 3 значению $\vartheta = 0.25$.

На рис. 4 приведено распределение среднего напряжения при различных значениях параметра ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$, полученное по формуле (2.9) при $\vartheta = 0.05$; кривая 1 соответствует значению ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}} = 0.05$, кривая 2 значению ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}} = 0.15$, кривая 3 значению ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}} = 0.3$.

Касательное напряжение

Крутящий момент

Среднее осевое давление

3. Заключительные замечания. Соответствующее решению (2.8) напряженное состояние следует трактовать как предельное при неограниченном росте пластической деформации. В таком случае сингулярность тензора напряжений в центре образца просто отражает тот факт, что для упруго-пластического материала условие пластичности никогда не выполнится в точке r = 0.

Предельный переход $\vartheta \to 0$ в (2.9) дает $\mathop {\lim }\limits_{\vartheta \to 0} \sigma = - {{p}_{0}} + 2{\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa 3}} \right. \kern-0em} 3} + \kappa \ln \left( {{R \mathord{\left/ {\vphantom {R r}} \right. \kern-0em} r}} \right)$. Интересно вспомнить работу [29], в которой полученное напряженное состояние в задаче о кручении материала, не чувствительного к среднему напряжению, также имеет логарифмическую сингулярность на оси симметрии.

Крутящий момент, согласно (2.11) несколько ниже, чем прогнозируется решением с однородным напряженным состоянием ($M = 2\pi {{R}^{3}}{{\left( {\kappa + \vartheta {{p}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\kappa + \vartheta {{p}_{0}}} \right)} 3}} \right. \kern-0em} 3}$). Учет неоднородности напряженного состояния в частности может повлиять на результаты определения величины $\vartheta $ по экспериментальным данным крутящего момента. Среднее осевое давление ниже начального значения, причем снижение существеннее для материалов с большим пределом текучести при чистом сдвиге $\kappa $. Локальная величина среднего напряжения на периферии образца также может быть существенно ниже p₀. Среднее напряжение должно мало отличаться от p₀ в средней зоне образца (${r \mathord{\left/ {\vphantom {r R}} \right. \kern-0em} R} \approx {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$) в достаточно широком диапазоне используемых параметров материала.

Приведенное аналитическое решение может реализоваться при ограничении на величину ${\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{p}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{0}}}}$. Отношение локального касательного напряжения ${{\sigma }_{{\varphi z}}}$ к локальному осевому давлению ${{\sigma }_{{zz}}}$ согласно (2.6), (2.8) и (2.10) есть

Эта функция растет с ростом координаты $r$, для отсутствия кругового сдвига, вызванного проскальзыванием между образцом и наковальнями, требуется, чтобы выполнялось

где $\mu $ – коэффициент трения покоя (для сухого трения без адгезии $\mu \leqslant 1$). Следовательно, принятая кинематика (1.1) не нарушается только если

Предельное (при неограниченном росте деформации кручения) напряженное состояние в упруго-пластическом материале может существенно отличаться как от однородного, так и от прогнозируемого решением (2.8). Отметим, что для материала нечувствительного к давлению с условием текучести Треска локальное значение параметра напряженного состояния L в каждой точке образца не меняется после прохождения упруго-пластической границы через эту точку [22]. При этом распределение параметра L однородно в пластической зоне, значение L конечно и больше единицы (то есть напряженное состояние соответствует некоторой точке между A и H, рис. 2). В этой же задаче, но с учетом изменения свойств материала (из-за нагрева вследствие пластической диссипации [23]) параметр L изменяется в ходе необратимого деформирования. Вместе с тем, учет чувствительности материала к давлению приводит к практически стационарному, но неоднородному распределению параметра L в пластической области [24].

Работа выполнена в рамках государственного задания ХФИЦ ДВО РАН.