Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 3, стр. 143-154

1. Введение – уравнения общей теории относительности. В настоящей работе общая теория относительности (ОТО) рассматривается как феноменологическая теория, основанная на изотропной и однородной модели среды, не учитывающей ее возможную внутреннюю структуру. В рамках этой модели задача общей теории относительности заключается в определении метрического тензора, входящего в метрическую форму

четырехмерного риманова пространства, моделирующего среду, из системы уравнений, связывающей тензор Эйнштейна ${{G}_{{ij}}}$ c тензором энергии-импульса ${{T}_{{ij}}}$

Здесь тензор

выражается через тензор кривизны Риччи ${{R}_{{ij}}}$ ($R = {{g}^{{ij}}}{{R}_{{ij}}}$). В уравнение (1.2) входит гравитационная постоянная ОТО выражающаяся через классическую гравитационную постоянную $\gamma $ и скорость света c. Согласно законам сохранения, дивергенция материального тензора ${{T}_{{ij}}}$ равна нулю. В силу соотношения (1.2) аналогичным свойством обладает и тензор Эйнштейна, то есть

Для пустого пространства (вне источника гравитации) ${{T}_{{ij}}} = 0$ и уравнение (1.2) принимает вид

Десять уравнений (1.6) включают в качестве неизвестных десять компонентов метрического тензора ${{g}_{{ij}}}$. Однако в силу того, что операторы ${{G}_{{ij}}}$ связаны четырьмя уравнениями (1.5), из этих десяти уравнений только шесть являются взаимно независимыми. Проблема неполноты системы (1.6) известна и широко обсуждается в литературе по ОТО [1–6]. Систему (1.6) предлагается дополнить так называемыми координатными условиями. В частности, известны гармонические координатные условия [3], накладываемые на метрический тензор

где d – определитель метрического тензора. Несмотря на наличие математического обоснования существования решения уравнений ОТО, дополненных условиями (1.7) [7] и полученного решения внешней сферически симметричной задачи [8], широкого признания условия (1.7) в качестве дополнительных уравнений к уравнениям (1.6) не получили. При решении конкретных задач число неизвестных, как правило, приводится к числу уравнений (1.6) приравниванием части компонентов метрического тензора соответствующим компонентам тензора для эвклидова пространства.

В настоящей работе предлагается новая форма дополнительных уравнений, следующая из аналогии между уравнениями теории упругости и линеаризованными уравнениями ОТО. Предварительно вводится новая геометрическая интерпретация гравитации в рамках ОТО. Согласно традиционной интерпретации ОТО, гравитация ассоциируется с кривизной риманова пространства. Однако для пространств с размерностью больше двух кривизна пространства не имеет физического содержания. Вводятся деформации пространства как разности между метрическими коэффициентами, соответствующими риманову пространству, порождаемого гравитацией, и исходного евклидова пространства. Таким образом, считается, что гравитация вызывает деформации пространства, которые представляются более наглядными чем кривизны.

2. Линеаризованные уравнения ОТО. Рассмотрим линеаризованную задачу статики для пустого пространства, отнесенного к декартовым координатам ${{x}_{i}}.$ Вводя деформации по Коши и считая их малыми, запишем компоненты метрического тензора для риманова пространства

Подставляя равенства (2.1) в уравнения (1.6) и осуществляя линеаризацию по деформациям, получим следующие уравнения для гравитационного поля:

Здесь символ $(1,2,3)$ обозначает круговую перестановку индексов. В соответствие с уравнениями (1.5), шесть операторов уравнений (2.2) и (2.3) удовлетворяют уравнениям

Как и в общем случае, только три уравнения из шести уравнений (2.2) и (2.3) являются взаимно независимыми, что не позволяет найти деформации.

3. Уравнения теории упругости. В теории упругости деформации $\varepsilon _{{ij}}^{e}$ ($i,j = 1,2,3$) удовлетворяют следующим шести уравнениям совместности деформаций, обеспечивающим непрерывность деформированного пространства:

Непосредственной проверкой можно установить, что операторы уравнений (3.1) и (3.2) удовлетворяют уравнению аналогичному уравнению (2.5), то есть

Таким образом, в силу уравнений (3.3) только три из шести уравнений (3.1) и (3.2), включающих шесть упругих деформаций, являются взаимно независимыми. Однако в теории упругости, в отличие от ОТО, уравнения, которыми следует дополнить уравнения (3.1) и (3.2), для получения физически обусловленного решения известны. Этими уравнениями являются уравнения равновесия, которые имеют вид

Напряжения σ_ij связаны с упругими деформациями законом Гука. Рассматривая изотропный материал с модулем сдвига G и равным нулю коэффициентом Пуассона, имеем

Подставляя равенства (3.5) в уравнения (3.4), получим

Заметим, что это уравнение совпадает с уравнением (3.3), которому удовлетворяют операторы уравнений (3.1) и (3.2). В теории упругости доказываются теоремы существования и единственности решения системы (3.1), (3.2) и (3.6) [9].

Установим аналогию между уравнениями ОТО и теории упругости. Сопоставляя уравнения (2.2), (2.3) и уравнения (3.1), (3.2), можно заключить, что уравнения ОТО формально совпадают с уравнениями теории упругости, если принять в уравнениях (3.1) и (3.2)

Подставляя равенства (3.7) в уравнения (3.6), получим

Этими уравнениями и предлагается дополнить уравнения ОТО (2.2)–(2.4). Установленная аналогия используется далее для решения сферически симметричной задачи ОТО, которая допускает точное решение.

4. Сферически симметричная задача. Рассмотрим изотропное твердое сплошное сферическое тело (далее – сфера) с радиусом R и с постоянной плотностью $\mu $, отнесенное к сферическим координатам $r$, $\theta $, $\varphi $. Радиальная и кольцевая деформации сферы связаны с радиальным перемещением известными соотношениями

Из геометрического вывода этих соотношений следует, что они справедливы при любых величинах перемещения и деформаций. Исключая перемещение из равенств (4.1), получим уравнение совместности деформаций

где $( \cdots ){\text{'}} = d( \cdots ){\text{/}}dr$. В теории упругости уравнение (4.2) решается совместно с уравнением равновесия в котором ${{\sigma }_{r}}$ и ${{\sigma }_{\theta }}$ – радиальные и кольцевые напряжения. Для материала с нулевым коэффициентом Пуассона имеем ${{\sigma }_{{r,\theta }}} = E\varepsilon _{{r,\theta }}^{e},$ где $Е$ – модуль упругости. Таким образом, уравнение (4.3) принимает вид

Это уравнение аналогично уравнению (3.6).

Рассмотрим статическую задачу ОТО. В сферических координатах метрическая форма (1.1) имеет вид

где t – время, а коэффициенты g, ρ, h зависят только от радиальной координаты. Для пустого пространства, окружающего сферу ($R \leqslant r < \infty $), уравнения гравитационного поля (1.6) записываются следующим образом [2]:

Здесь используются смешанные компоненты тензоров так как для сферически симметричной задачи они совпадают с физическими компонентами. Индекс “$e$” соответствует наружному пространству. Найдем решение уравнений (4.6)–(4.8) [10]. Уравнение (4.8) можно преобразовать следующим образом:

и его общее решение имеет вид

Подставляя это решение в уравнение (4.6) и интегрируя, получим

Постоянные интегрирования ${{С}_{1}}$ и ${{С}_{2}}$ определяются из асимптотических условий, согласно которым при $r \to \infty $ полученное решение должно совпадать с решением, следующим из теории Ньютона [1]. Полагая, что ${{\rho }_{e}}(r \to \infty ) \to r,$ получим ${{С}_{2}} = 1$ и ${{C}_{1}} = {{r}_{g}}$, где

– так называемый гравитационный радиус, который зависит от массы шара $m$ и классической гравитационной постоянной $\gamma $. Окончательно имеем

Подставив решение (4.10) в уравнение (4.7), можно убедиться в том, что оно тождественно удовлетворяется при любой функции ${{\rho }_{e}}(r)$. Таким образом, для продолжения решения необходимо еще одно уравнение. Для получения этого уравнения воспользуемся аналогией, которая обсуждается в разделе 3. Введем деформации пространства, порождаемые гравитацией, представив метрические коэффициенты в виде

где ${{\varepsilon }_{t}}$ – деформация времени. Из уравнений (4.10) следует, что

Подставляя равенства (4.11), получим

Это уравнение совпадает с уравнением совместности деформаций (4.2) если ввести условные деформации

Как следует из теории упругости, для получения физически обусловленного решения к уравнению (4.12) следует добавить уравнение (4.4), которое с учетом равенств (4.14) принимает вид

Используя равенства (4.11), исключим из этого уравнения деформации. В результате получим

Отсюда с учетом уравнения (4.12) имеем

Решение этого уравнения имеет вид

Из асимптотического условия при $r \to \infty $ найдем ${{С}_{3}} = 1$. Коэффициенты ${{g}_{e}}$ и ${{h}_{e}}$ определяются из равенств (4.10). Вводя безразмерные переменные

и новую постоянную $С$, окончательно получим

При $С = 0$ это решение совпадает с решением Шварцшильда

полученным при координатном условии $\rho = r$ [2]. Особенностью этого решения является наличие радиуса $r = {{r}_{g}}$ при котором ${{g}_{e}}$ обращается в бесконечность и который называется радиусом горизонта событий черной дыры. В отличие от решения (4.17), решение (4.18) не содержит постоянной интегрирования и определяет геометрию внешнего пространства независимо от решения уравнений ОТО для внутренней области шара. Это связано с условием ${{\rho }_{e}} = r$, при котором уравнение (4.8), имеющее второй порядок, вырождается в уравнение первого порядка. Решение этого уравнения содержит только одну произвольную постоянную, которая определяется из асимптотического условия при $r \to \infty $. Деформации пространства, соответствующие решению Шварцшильда, определяются из равенств (4.11) и имеют вид

Отсюда следует, что кольцевая деформация отсутствует, а радиальная деформация при $r = {{r}_{g}}$ оказывается бесконечно большой и пространство теряет непрерывность.

Постоянная C в решении (4.17) определяется из граничного условия на поверхности сферы. С этой целью получим решение для внутреннего пространства сферы ($0 \leqslant r \leqslant R$). Для сплошного твердого сферического тела уравнения поля (1.2), (1.3) имеют вид [10]

Индекс “i” соответствует внутреннему пространству. Напряжения удовлетворяют уравнению, следующему из уравнений (1.2) и (1.5), то есть

В силу уравнения (4.22), которому тождественно удовлетворяют операторы, записанные в левых частях уравнений (4.19)–(4.21), только два из этих уравнений являются линейно независимыми. Таким образом, как и для внешнего пространства, для трех метрических коэффициентов имеется только два уравнения, т.е. система является неполной. Более того, для двух напряжений имеется только одно уравнение (4.22). Недостающее уравнение для напряжений получено в работе [11]. Однако для определения метрических коэффициентов напряжений не требуется, поэтому продолжим анализ. Уравнение (4.21) можно привести к виду [10]

Для постоянной плотности $\mu $ его общее решение можно записать следующим образом:

Здесь следует принять ${{B}_{1}} = 0$, так как в противном случае метрический коэффициент оказывается сингулярным в центре сферы независимо от ее размера и уровня гравитации. В результате имеем

Введем деформации пространства в соответствие с равенствами (4.11).

Тогда из равенства (4.23) получим

Это уравнение приводится к уравнению совместности деформаций (4.2) если ввести условные деформации

Подставляя эти выражения в уравнение (4.4) и выражая деформации через метрические коэффициенты с помощью равенств (4.11), имеем

Исключая из этого уравнения g_i с помощью равенства (4.23), окончательно получим уравнение

совпадающее с уравнением (4.15) для внешней задачи. Регулярное решение уравнения (4.24) имеет вид ${{\rho }_{i}} = {{B}_{2}}r$. Используя безразмерные переменные (4.16) и вводя новую постоянную, окончательно получим

Преобразуем выражение (4.25) для α. Используя равенства (1.4) и (4.9) для χ и ${{r}_{g}}$, найдем

Здесь, ${{m}_{0}}$ – масса сферы с постоянной плотностью, соответствующая евклидову внутреннему пространству, а $m$ – масса сферы, соответствующая риманову пространству с метрическими коэффициентами (4.25), которая имеет вид

Используя равенства (4.26), окончательно получим

Это уравнение связывает параметр $\alpha $ и постоянную B с безразмерным гравитационным радиусом ${{\bar {r}}_{g}}$.

Для определения постоянных $С$ и B, входящих в решения (4.17) и (4.25), воспользуемся условиями непрерывности метрических коэффициентов на поверхности шара, то есть

Подставляя равенства (4.17) и (4.25), получим

Исключая из второго уравнения $C$, окончательно имеем

Таким образом, решение сводится к уравнениям (4.27) и (4.29), которые определяют $В$ и α в зависимости от параметра ${{\bar {r}}_{g}}$. Результаты численного решения этих уравнений представлены в табл. 1.

Рассмотрим предельные случаи. При отсутствии гравитации имеем ${{\bar {r}}_{g}} = 0$ и $\alpha = 0$. В этом случае из уравнений (4.27) и (4.29) следует $В = 1$, $С = 0$ и $g = 1$, $\rho = r$, что соответствует евклидову пространству.

При относительно низком уровне гравитации можно считать, что параметры ${{\bar {r}}_{g}}$ и $\alpha $ много меньше единицы. Тогда уравнения (4.27) и (4.29) дают $B = 0$, $C = 1$ и из равенств (4.10), (4.17) и (4.25) следует

Это известное линеаризованное решение сферически симметричной задачи ОТО, которое согласуется с экспериментальными результатами.

При высоком уровне гравитации уравнения (4.27) и (4.29) имеют действительное решение при ${{\bar {r}}_{g}} < 1.5$. В предельном случае имеем ${{\bar {r}}_{g}} = 1.5$ и $B = {{\bar {r}}_{g}}$. При этом числитель и знаменатель в левой части уравнения (4.29) обращаются в ноль. Получаемая неопределенность раскрывается с помощью правой части уравнения (4.29), которая дает 2.841. Таким образом, предельные параметры сферы оказываются следующими:

Рассмотрим решение Шварцшильда. Как следует из равенства (4.18), для получения соответствующего внешнего решения необходимо принять $С = 0$. Тогда из первого уравнения (4.18) следует $В = 1$ и внутреннее решение (4.25) принимает вид

Согласно равенству (4.18), граничное условие на поверхности шара ${{\bar {\rho }}_{e}}(1) = {{\bar {\rho }}_{i}}(1)$ выполняется, если $\alpha = {{\bar {r}}_{g}}$, что не соответствует первому равенству (4.26). Таким образом, граничное условие для радиального метрического коэффициента в решении Шварцшильда не выполняется. При минимально возможном для внешнего решения (4.18) радиусе $\bar {r} = 1$, т.е. на поверхности сферы, внешнее решение является сингулярным и радиальная деформация внешнего пространства оказывается бесконечно большой. Заметим, что в полученном варианте решения Шварцшильда горизонт событий располагается на поверхности сферы.

Рассмотрим проблему распространения света от сферы с параметрами (4.30). Траектория света в экваториальной плоскости $\theta = \pi {\text{/}}2$ определяется следующими уравнениями [12]:

здесь ${{g}_{e}}$ и ${{h}_{e}}$ определяются равенствами (4.10), а через q обозначена постоянная интегрирования, которая определяется из начального условия. Физические компоненты скорости имеют вид

и ${v}_{r}^{2} + {v}_{\varphi }^{2} = {{c}^{2}}$. Предположим, что свет распространяется от поверхности шара $r = R$ по направлению, составляющему угол $\beta $ с радиусом. Тогда начальные условия записываются следующим образом: ${{{v}}_{r}} = c{\text{cos}}\beta $, ${{{v}}_{\varphi }} = c{\text{sin}}\beta $ и из равенств (4.32) следует $q = ({{\rho }_{R}}{\text{/}}{{h}_{R}})$sinβ, где ${{\rho }_{R}} = {{\rho }_{e}}(R)$, ${{h}_{R}} = {{h}_{e}}(R)$. Рассмотрим случай $\beta = 0$, для которого ${{{v}}_{r}}$ = c, ${{{v}}_{\varphi }} = 0$. Отсюда следует, что в радиальном направлении свет распространяется со скоростью c для любой сферы. Теперь рассмотрим случай $\beta \ne 0$. Используя уравнения (4.10), (4.31) и обозначения (4.16), получим

Для сферы с предельными характеристиками (4.30) имеем ${{\bar {r}}_{g}} = {{\bar {\rho }}_{R}} = 1.5$. В результате первый член в правой части этого уравнения обращается в ноль и оно не имеет действительного решения. Таким образом, при $\beta \ne 0$ свет не распространяется с поверхности сферы с предельными характеристиками. Аналогичным свойством обладает черная дыра, следующая из решения Шварцшильда для которой ${{\bar {\rho }}_{R}} = {{\bar {r}}_{g}}$. Однако в отличие от решения Шварцшильда полученное решение не является сингулярным и предельные характеристики шара определяются равенствами (4.30).

В заключение, с целью дальнейшего анализа решения Шварцшильда рассмотрим сферически симметричную задачу динамики. Предположим, что в метрической форме (4.5) коэффициенты $g$, $\rho $, $h$ являются функциями $r$ и $t$. Тогда статические уравнения (4.6)–(4.8) обобщаются следующим образом:

и дополняются еще двумя уравнениями

Здесь $E_{i}^{i}$ ($i = 1,2,4$) определяются равенствами (4.6)–(4.8), штрих обозначает, как и ранее, производную по r, а точка – производную по $t$. Решение Шварцшильда получено при координатном условии $\rho = r$. Поскольку r является независимой переменной, $\dot {r} = \ddot {r} = 0$ и уравнения (4.34) и (4.35) совпадают со статическими уравнениями (4.6) и (4.8). Решение этих уравнений при $\rho = r$ определяется равенствами (4.18), а уравнения (4.7), (4.35) и (4.37) удовлетворяются тождественно. Таким образом, динамическое решение совпадает со статическим. Этот результат известен как теорема Биркгофа [2], согласно которой внешняя сферически симметричная задача имеет только статическое решение. Как следует из изложенного выше, такая формулировка неполна – теорема справедлива только при координатном условии $\rho = r$. Если $\rho \ne r$, динамическая задача не вырождается в статическую. Координатное условие $\rho (r,t) = r$, используемое в решении Шварцшильда, представляется не вполне обоснованным – функция двух переменных приравнивается одному из аргументов.

5. Заключение. На основе новой интерпретации гравитации в ОТО, ассоциируемой не с кривизной а с деформацией пространства, порождаемой гравитацией, установлена аналогия между линеаризованными статическими уравнениями ОТО и уравнениями теории упругости, позволяющая использовать аппарат теории упругости для получения полной системы уравнений ОТО для метрического тензора. С использованием этой аналогии получено новое решение сферически симметричной статической задачи ОТО, не совпадающее с решением Шварцшильда. Решение предсказывает теоретическую возможность существования сплошного твердого сферического тела с постоянной плотностью, аналогичного черной дыре, но характеризуемого ограниченным уровнем гравитации и обладающего радиусом поверхности, составляющим 2/3 гравитационного радиуса.

В настоящей статье представлен новый подход к общей теории относительности. Редакция полагает, что он должен быть обсужден специалистами в данной области.