Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 1, стр. 145-152

Введение. Совершенствование технологий изготовления волновых твердотельных гироскопов (ВТГ) обеспечивает им все большее применение в навигационно-измерительных комплексах самого различного назначения [1–7]. Но, несмотря на резкое улучшение технических характеристик ВТГ за последние годы, их точность по-прежнему существенно уступает точности механических и лазерных гироскопов [8–11]. В связи с этим проблема повышения точности для ВТГ на сегодняшний день остается одной из основных. Ее решение осуществляется по многим направлениям, из которых следует выделить в качестве особо перспективного направление обработки выходной информации чувствительных элементов (ЧЭ) ВТГ (пьезоэлементов, оптических датчиков и др.), измеряющих амплитуду колебаний его резонатора с неизбежными и весьма интенсивными широкополосными помехами [12]. В настоящее время для фильтрации зашумленных измерений ЧЭ ВТГ применяется метод наименьших квадратов (МНК) [13]. Его основным недостатком является то, что данный метод не является алгоритмически инвариантным. Время его работы растет экспоненциально с увеличением входных данных, что существенно затрудняет его использование в алгоритмах обработки выходной информации ВТГ. Кроме того, оценки, получаемые с использованием МНК, будут точны только для небольшого интервала времени. В связи с этим возникает необходимость постоянного перерасчета уравнения регрессии по мере поступления новых измерений, осложняемого известными трудностями подбора уравнения регрессии при построении модели выходного сигнала ВТГ [14].

Подобная проблема обусловливает необходимость разработки новых методов обработки измерительной информации ВТГ, учитывающих особенности динамики выходного сигнала ВТГ и обеспечивающих заданную точность его оценки в условиях широкополосных интенсивных помех. Рассмотрим далее один из возможных вариантов решения данной проблемы.

1. Постановка задачи. Как показано в [15], динамика ВТГ может быть описана системой двух линейных обыкновенных нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих возбуждаемую моду (режим возбуждения) и измеряемую моду (режим чувствительности):

где х₁, х₂ – деформация кромки резонатора в режимах возбуждения и чувствительности соответственно, $\omega $ – собственная частота резонатора, соответствующая второй форме колебаний, $\xi $ – относительный коэффициент демпфирования, $\Omega - $ угловая скорость основания, $f{}_{1},{{f}_{2}}$ – ускорения кромки резонатора, вызванные внешними силами, К – коэффициент Брайана (для второй формы колебаний равный 0.4).

При выполнении типичных для практики условий работы ВТГ [1, 2, 13, 15]:

– угловая скорость основания намного меньше собственной частоты резонатора $\Omega \ll \omega $;

– элементы возбуждения действуют только на координату х₁, т.е. ${{f}_{2}} = 0$;

– угловая скорость основания постоянна $\dot {\Omega } = 0$;

– ускорение кромки резонатора, обусловленное действием элементов возбуждения, намного больше ускорения Кориолиса ${{f}_{1}} \gg 2K\Omega {{\dot {x}}_{2}}$;

уравнения (1.1) трансформируются в систему линейных стационарных уравнений

где $Q = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {2\xi } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2\xi } \right)}}$ – добротность резонатора.

При формировании возбуждения резонатора по гармоническому закону f₁ = ${{f}_{0}}{\text{sin}}\nu t$, где ${{f}_{0}},\nu $ – амплитуда и частота ускорения, обусловленного действием элементов возбуждения, в установившемся режиме резонансной настройки решение первого уравнения системы (1.2) имеет вид [15]

где ${{x}_{{1r}}} = {{{{f}_{0}}Q} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{0}}Q} {\omega \nu }}} \right. \kern-0em} {\omega \nu }}$, и, соответственно, уравнение движения кромки резонатора в режиме чувствительности может быть записано следующим образом:

Решением данного уравнения в установившемся режиме является временной сигнал, измеряемый чувствительными элементами ВТГ:

Соответственно, с выхода ЧЭ ВТГ (пьезоэлементов, оптических датчиков и др.) снимается измерительный сигнал, который с учетом неизбежных помех измерения W₁ может быть записан следующим образом:

Так как помехи измерения W₁ обусловлены, как правило, значительным числом равномощных случайных факторов (вариациями температуры, случайными перегрузками, флуктуациями питания, конструктивными погрешностями ЧЭ и др.), то с целью сохранения общности последующих рассуждений полагаем далее помеху измерения W₁ белым гауссовским шумом с нулевым средним и известной интенсивностью D_W1.

В силу того, что измеряемый сигнал х₂ является высокодинамичным, для его оценки по стохастическим измерениям (1.4) целесообразно использовать не традиционные методы статической обработки сигналов [14], а методы стохастической оценки динамических сигналов [18, 19]. Т.к. оцениваемый сигнал х₂ описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка, то с точки зрения точности оценивания здесь наиболее эффективным оказывается линейный фильтр Калмана (ФК), обеспечивающий минимум среднеквадратической ошибки оценки. Но построение данного фильтра непосредственно с использованием уравнения (1.3), содержащего неизвестный параметр $\Omega $ в правой части, оказывается невозможным. В связи с этим возникает необходимость разработки нового подхода, обеспечивающего минимальную в среднеквадратическом ошибку оценки амплитуды колебания резонатора ВТГ х₂ в условиях неизбежных помех измерения.

2. Решение задачи. Для решения задачи построения уравнений стохастической оценки сигнала х₂ сформируем помимо сигнала х₂ дополнительный сигнал х₃, образованный сдвигом гармонического сигнала х₂ на π/2 (например, за счет использования типовой фазосдвигающей цепи [20]):

который далее подвергается зашумленному измерению где помеху измерения W₂ в силу упомянутых ранее соображений полагаем белым гауссовским шумом с нулевым средним и известной интенсивностью D_W2.

Из выражения сигнала измерения (2.1) может быть получено с точностью до постоянного множителя $\nu $ следующее представление правой части уравнения (1.3):

Подстановка полученного выражения в уравнение движения кромки резонатора в режиме чувствительности приводит к стохастическому дифференциальному уравнению, не содержащему параметрической неопределенности:

Для возможности дальнейшего использования методов стохастической фильтрации представим данное уравнение в векторной форме Ланжевена:

Выбирая в качестве сигнала наблюдения за координатой х₂= х₂₀ сигнал измерения z₁, уравнение наблюдателя получаем в форме (1.4):

где $H = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right|$, а соответствующий линейный ФК для оценки сигнала х₂= х₂₀ – в виде (2.2): где ${{\hat {x}}_{{20}}},{{\hat {x}}_{{21}}} - $ оценки сигнала х₂ и скорости его изменения, R – апостериорная ковариационная матрица.

Выбор значения $M\left[ \Omega \right]$ осуществляется исходя из априорной информации о скорости вращения основания ВТГ: при нулевой скорости вращения основания значение $M\left[ \Omega \right]$ следует выбирать равным значению проекции скорости вращения Земли на ось чувствительности ВТГ.

Для увеличения наблюдаемости вектора ${{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\hat {x}}}_{{20}}}}&{{{{\hat {x}}}_{{21}}}} \end{array}} \right|}^{T}}$ можно использовать ранее полученное измерение сигнала х₃:

которое с учетом выражения скорости кромки резонатора может быть преобразовано к измерению компоненты х₂₁ масштабированием с коэффициентом $\nu $:

В этом случае ФК, не изменяя размерности, приобретает вид

После процедуры оценки сигнала ${{\hat {x}}_{2}}$ вычисление значения Ω осуществляется традиционными способами [15]. Необходимо при этом отметить, что введение дополнительного наблюдения компоненты х₂₁ хотя и увеличивает (незначительно) вычислительные затраты на реализацию ФК, но позволяет при этом существенно увеличить его сходимость, что проиллюстрировано в приведенном ниже примере.

3. Имитационное моделирование. Численное моделирование работы ВТГ в режиме чувствительности осуществлялось на временном интервале [0, 1000] сек при следующих значениях параметров режима и самой конструкции: ${{f}_{0}} = 0.4$ м/с², Q = 5000, $\omega = \nu = 4500$ Гц, K = 0.4. Интегрирование уравнения колебания кромки резонатора (1.3) осуществлялось с использованием метода Рунге–Кутты 4-го порядка с шагом 0.01 сек. Значения постоянной угловой скорости $\Omega $ выбирались в интервале [10^–4, 1 ] рад/сек, помехи измерения W₁, W₂ моделировались центрированными гауссовскими случайными последовательностями с дисперсиями D_W1= D_W2 = (10^–7 м)². Оценка параметров движения кромки резонатора осуществлялась с использованием ФК (2.3). На рис. 1, 2 показаны изменения во времени ошибок оценивания амплитуды колебаний кромки резонатора фильтром (2.3) для значений скорости вращения основания: ${{\Omega }_{1}} = {{10}^{{ - 4}}}$ рад/сек, ${{\Omega }_{2}} = {{10}^{{ - 2}}}$ рад/сек, соответственно; на рис. 3, 4 – ошибки оценивания самой скорости вращения основания ${{\Omega }_{1}} = {{10}^{{ - 4}}}$ рад/сек на всем интервале моделирования (рис. 3) и в конце его (рис. 4); на рис. 5, 6 – ошибки оценивания скорости вращения основания ${{\Omega }_{2}} = {{10}^{{ - 2}}}$ рад/сек на всем интервале моделирования (рис. 5) и в конце его (рис. 6). Анализ результатов моделирования показывает высокую устойчивость процесса оценивания и существенное увеличение ее точности по сравнению с традиционным подходом – непосредственным определением угловой скорости по показаниям ЧЭ ВТГ. Так, при оценке ${{\Omega }_{1}} = {{10}^{{ - 4}}}$ рад/сек с использованием традиционного подхода ошибка имеет неустойчивый характер и достигает величины 2.8 × ${{10}^{{ - 4}}}$ рад/сек, а при оценке предложенным методом не превышает 2 × 10^–5 рад/сек (рис. 4) (т.е. точнее, более чем в 10 раз). Аналогично, при оценке ${{\Omega }_{2}} = {{10}^{{ - 2}}}$ рад/сек с использованием традиционного подхода ошибка имеет также ярко выраженный неустойчивый характер и достигает величины 2 × 10^–2 рад/сек, а при оценке предложенным методом не превышает 1.5 × 10^–3 рад/сек (рис. 6) (т.е. также точнее на порядок).

Таким образом, результаты имитационного моделирования свидетельствуют о возможности эффективного практического применения предложенного подхода для увеличения точности обработки выходной информации ВТГ.

Заключение. В целом, построенная в работе стохастическая модель “ВТГ-ЧЭ” в форме “объект-наблюдатель”, разработанный подход к оценке ее вектора состояния и полученные результаты имитационного моделирования позволяют сделать вывод об устойчивости и высокой точности предложенного метода оценки амплитуды колебаний резонатора ВТГ. Разработанный метод может найти широкое применение при проектировании современных и перспективных ВТГ, функционирующих в условиях действия внутренних и внешних помех различной физической природы.