1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 3, 2022

Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 3, стр. 8-15

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛЕКСАНДРОВИЧА РЕШЕНИЙ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ В ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Д. В. Георгиевский a, b, c, *, Н. С. Стеценко a, c, **

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su
** E-mail: stetsenkonina@mail.ru

Поступила в редакцию 13.05.2021
После доработки 18.05.2021
Принята к публикации 24.05.2021

Аннотация

Обсуждаются аналитические возможности предложенного в 70-е годы XX века в работах А.И. Александровича представления решения в перемещениях в трехмерной теории упругости в виде двумерной комплексной структуры. Комплекснозначные перемещения ищутся в форме голоморфного разложения как ряды по степеням комплексных переменных с антиголоморфными коэффициентами и по степеням сопряженных комплексных переменных с голоморфными коэффициентами. Все голоморфные и антиголоморфные функции выражаются через четыре произвольные голоморфные функции. В качестве тестовых частных случаев, приводящих к известным в теории упругости классическим решениям, рассматриваются плоское деформированное состояние, антиплоская деформация, трехмерное деформированное состояние в тонкой пластинке переменной толщины, осесимметричные поля перемещений, реализующиеся, в частности, при линейной комбинации внутреннего (внешнего) давления, $(r\theta )$-кручения и осевого $(rz)$-сдвига в цилиндрическом слое и при $(\theta z)$-кручении сплошного цилиндра. В терминах комплекснозначных перемещений выписывается система уравнений осесимметричной теории упругости, фундаментальное решение которой является общим представлением поля перемещений в осесимметричном случае аналогично формулам Колосова–Мусхелишвили в плоской задаче.

Ключевые слова: трехмерная теория упругости, квазистатика, представление Александровича, комплексное перемещение, гармоническая функция, аналитическая функция, осесимметричное поле

Список литературы

  1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

  2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

  3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. Применение методов теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1979. 464 с.

  4. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып 4. С. 659–669.

  5. Шарафутдинов Г.З. Решение задачи Кирша в трехмерной постановке // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. № 6. С. 20–25.

  6. Шарафутдинов Г.З. Функции комплексного переменного в задачах теории упругости при наличии массовых сил // ПММ. 2009. Т. 73. Вып 1. С. 69–87.

  7. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к теории упругости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 232. № 3. С. 542–544.

  8. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению пространственных задач теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 2. С. 164–168.

  9. Александрович А.И. Исследование уравнений динамических задач теории упругости с помощью голоморфного разложения // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1. С. 78–82.

  10. Александрович А.И., Родионов А.Ю. Исследование анизотропных и термоупругих задач методами комплексного анализа // Вопросы механики твердого и деформируемого тела. М.: Наука, 1987. С. 74–84.

  11. Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф. Решение уравнений трехмерной теории упругости методом голоморфного разложения комплексных перемещений по степенным функциям и функциям Бесселя // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 31–41.

  12. Александрович А.И., Шеина А.А. Решение плоских граничных задач нелинейной теории упругости модели Синьорини с помощью теории функций комплексных переменных // Матем. моделирование. 2006. Т. 18. № 9. С. 43–53.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал