1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 4, 2022

Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 4, стр. 114-129

УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ И ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

С. А. Лурье a, b, *, П. А. Белов a

a Институт прикладной механики РАН
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: salurie@mail.ru

Поступила в редакцию 17.01.2022
После доработки 19.01.2022
Принята к публикации 20.01.2022

Аннотация

Рассмотрены две постановки задач теории упругости в напряжениях. Первая – на основе уравнений совместности Папковича. Вторая – на основе уравнений совместности Сен-Венана. Показано, что формулы Чезаро в обеих постановках позволяют ввести в качестве вектора неопределенных множителей Лагранжа вектор решений неоднородных уравнений равновесия, удовлетворяющих векторной задаче Неймана. С другой стороны показано, что уравнения совместности, вводимые как связи между дисторсиями (совместность по Папковичу) или деформациями (совместность по Сен-Венану), позволяют ввести соответствующие тензоры неопределенных множителей Лагранжа. Показано, что эти тензоры можно рассматривать как функции напряжений. В первой постановке тензор функций напряжений второго ранга имеет девять компонент так как в общем случае является несимметричным. Во второй постановке тензор функций напряжений является симметричным и обладает шестью компонентами. В частности, обсуждается и возможность введения трех функций напряжений.

Ключевые слова: теория упругости, функции напряжений, уравнения совместности Папковича, уравнения совместности Сен-Венана, принцип возможных перемещений, метод неопределенных множителей Лагранжа

Список литературы

  1. Kozak I, Szeidl Gy. Complete Solution for Stresses in Terms of Stress Functions Part I: Derivation from the Principle of Virtual Work // Technische Mechanik. 1996. V. 16. № 3. P. 147–168.

  2. Maxwell J.C. On Reciprocal Figures, Frames, and Diagrams of Forces // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. 1870. V. 26. № 1. P. 1–40. https://doi.org/10.1017/S0080456800026351

  3. Morera G. Soluzione generale delle equazioni indefinite dell equilibrio di un corpo continuo // Atti Reale Accad. naz. Lincei Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. 1892. V. 5. № 1/1. P. 137–141.

  4. Beltami E. Osservazioni sulla Nota precedents // Atti Reale Accad. naz. Lincei. 1982. № 5. P. 141–142.

  5. Günther W. Spannungsfunktionen und Vertraglichkeitsbedingungen der Kontinuumsmechanik // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 1954. № 6. P. 207–219.

  6. Dorn W.S., Schild A. A converse of virtual work theorem for deformable solids // Quart. Appl. Math. 1956. V. 14. № 2. P. 209–213. https://doi.org/10.1090/QAM/79418

  7. Schaefer H. Die Spannungsfunktionen des dreidimensionalen Kontinuums und des elastischen Körpers // Z. Angew. Math. Mech. 1953. № 33. P. 356–362. https://doi.org/10.1002/zamm.19530331006

  8. Gurtin M.E. A generalization of the Beltrami stress functions // Arch. Rational Mech. Anal. 1963. № 13. P. 321–329. https://doi.org/10.1007/BF01262700

  9. Georgievskii D.V., Pobedrya B.E. The number of independent compatibility equations in the mechanics of deformable solids // J. Appl. Math. Mech. 2004. V. 68. № 6. P. 1043–1048. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2004.11.015

  10. Pobedrya B.E. Static problem in stresses // Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. 2003. № 3. P. 61–67.

  11. Georgievskii D.V., Pobedrya B.E. On the compatibility equations in terms of stresses in many-dimensional elastic medium // Rus. J. Math. Phys. 2015. V. 22. № 1. P. 6–8. https://doi.org/10.1134/S1061920815010021

  12. Gurtin M.E. The Linear Theory of Elasticity // Handbuch der Physik, Festkorpermechanik. B.: Springer-Verlag, 1972. P. 54–59.

  13. Остросаблин Н.И. Условия совместности малых деформаций и функции напряжений // ПМТФ. 1997. Т. 7. № 5. С. 136–145.

  14. Васильев В.В., Федоров Л.В. Об одной аналогии между уравнениями теории упругости и общей теории относительности // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 3. С. 143–154. https://doi.org/10.31857/S0572329921030120

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал