Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 4, стр. 103-113

ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В. В. Васильев a*, Л. В. Федоров b

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

b АО ВПК НПО Машиностроение
Реутов, Россия

* E-mail: vvvas@dol.ru

Поступила в редакцию 18.11.2021
После доработки 21.11.2021
Принята к публикации 22.11.2021

Аннотация

Статья посвящена исследованию функций напряжений, позволяющих тождественно удовлетворить уравнения равновесия классической теории упругости и получить решение в напряжениях. Для получения зависимостей между напряжениями и функциями напряжений используется математический аппарат общей теории относительности, в частности, свойство тензора Эйнштейна тождественно удовлетворять уравнения закона сохранения, являющиеся применительно к теории упругости уравнениями равновесия. При этом метрические коэффициенты риманова пространства, определяемые уравнениями Эйнштейна, интерпретируются как функции напряжений теории упругости. В результате линеаризации уравнений Эйнштейна получены общие соотношения между напряжениями и функциями напряжений в ортогональной системе координат. Рассматриваются функции напряжений, соответствующие декартовой системе координат. Анализируются возможности удовлетворения уравнений равновесия с помощью различных комбинаций функций напряжений – известные системы Максвелла, Морера и другие возможные комбинации, образованные из одной, двух и трех функций. В качестве критерия разрешимости задачи теории упругости в напряжениях используется соответствие количества функций напряжений числу взаимно независимых уравнений совместности деформаций в напряжениях.

Ключевые слова: теория упругости, функции напряжений, общая теория относительности

Список литературы

  1. Cинг Д.Л. Общая теория относительности. М.: Иностр. лит., 1963. 432 с.

  2. Washizu K. A note on the conditions of compatibility // J. Math. Phys. 1958. V. 36. № 4. P. 306–311.

  3. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1949. 200 с.

  4. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

  5. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд. Харьковского университета, 1964. 484 с.

  6. Кильчевский Н.А. Основы тензорного исчисления с приложениями к механике. Киев: Наукова думка, 1972. 148 с.

  7. Васильев В.В. Напряженное состояние твердых тел и некоторые геометрические эффекты // Изв. РАН. МТТ. 1989. № 5. С. 30–34.

  8. Васильев В.В., Федоров Л.В. К задаче теории упругости, сформулированной в напряжениях // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 2. С. 82–92.

Дополнительные материалы отсутствуют.