Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 4, стр. 103-113

Статья посвящена исследованию функций напряжений, позволяющих тождественно удовлетворить уравнения равновесия классической теории упругости и получить решение в напряжениях. Для получения зависимостей между напряжениями и функциями напряжений используется математический аппарат общей теории относительности, в частности, свойство тензора Эйнштейна тождественно удовлетворять уравнения закона сохранения, являющиеся применительно к теории упругости уравнениями равновесия. При этом метрические коэффициенты риманова пространства, определяемые уравнениями Эйнштейна, интерпретируются как функции напряжений теории упругости. В результате линеаризации уравнений Эйнштейна получены общие соотношения между напряжениями и функциями напряжений в ортогональной системе координат. Рассматриваются функции напряжений, соответствующие декартовой системе координат. Анализируются возможности удовлетворения уравнений равновесия с помощью различных комбинаций функций напряжений – известные системы Максвелла, Морера и другие возможные комбинации, образованные из одной, двух и трех функций. В качестве критерия разрешимости задачи теории упругости в напряжениях используется соответствие количества функций напряжений числу взаимно независимых уравнений совместности деформаций в напряжениях.