Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 4, стр. 103-113

1. Введение. Приведем кратко основные соотношения общей теории относительности (ОТО) [1], на которых основаны полученные ниже соотношения между напряжениями и функциями напряжений. Основная задача ОТО заключается в определении метрических коэффициентов g_ij риманова пространства c метрической формой

порождаемого материальным тензором ${{T}_{{ij}}}$. Компоненты тензоров g_ij и ${{T}_{{ij}}}$ связаны уравнениями в которых – тензор Эйнштейна, выражающийся через тензор кривизны Риччи ${{R}_{{ij}}}$ и скалярную кривизну риманова пространства $(R = {{g}^{{ij}}}{{R}_{{ij}}}).$ В равенство (1.2) входит постоянный коэффициент $\chi $, который не является существенным для рассматриваемой в статье задачи и в дальнейшем принимается равным 1. Для задачи статики в трехмерном пространстве ${{T}_{{ij}}} = {{\sigma }_{{ij}}}$, где ${{\sigma }_{{ij}}}$ – тензор напряжений. Таким образом, из равенств (1.1)–(1.3) имеем

Тензор ${{E}_{{ij}}}$ обладает важным свойством – согласно закону сохранения материального тензора ${{T}_{{ij}}}$ его дивергенция равна нулю. Следовательно, согласно равенствам (1.2) и (1.4), этим свойством обладает и тензор напряжений, то есть

Для задачи статики в трехмерном пространстве эти уравнения являются уравнениями равновесия элемента материальной среды. Таким образом, соотношения (1.4) для напряжений, тождественно удовлетворяющие уравнения равновесия, можно считать выражениями, устанавливающими связь между напряжениями и функциями напряжений. Такими функциями являются компоненты метрического тензора ${{g}_{{ij}}}$, через которые выражается тензор ${{R}_{{ij}}}$.

2. Тензор функций напряжений. Для приложения приведенных выше соотношений к линейной теории упругости проведем линеаризацию выражений (1.4). Представим компоненты метрического тензора в виде ${{g}_{{ij}}} = g_{{ij}}^{0} + {{\varphi }_{{ij}}}$, где $g_{{ij}}^{0}$ – метрические коэффициенты ненапряженной среды, а ${{\varphi }_{{ij}}}$ – малые возмущения, порождаемые напряженным состоянием среды. Будем также читать, что в начальном состоянии среда отнесена к ортогональной системе координат, то есть $g_{{ii}}^{0} = H_{i}^{2}$ и $g_{{ij}}^{0} = 0(i \ne j).$ Осуществляя в равенствах (1.4) линеаризацию по ${{\varphi }_{{ij}}}$, получим

Символ (1, 2, 3) обозначает круговую перестановку индексов, с помощью которой можно получить еще два уравнения. Непосредственной проверкой можно установить, что напряжения (2.1) и (2.2) тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия теории упругости, записанным в ортогональных криволинейных координатах, то есть

В декартовых координатах равенства (2.1)–(2.3) принимают вид

и

Использовав математический аппарат ОТО для получения соотношений (2.4), будем далее считать, что они справедливы для трехмерного евклидова пространства, в котором сформулированы уравнения классической теории упругости. Функции напряжений определяются в этой теории из уравнений совместности деформаций, которые записываются в декартовых координатах следующим образом:

Уравнения (2.6), как известно, требуют чтобы деформированная среда обладала геометрией, соответствующей евклидову пространству. Правые части уравнений (2.6) удовлетворяют cоотношениям, которые имеют вид [2]

Еще одним условием, обеспечивающим евклидову геометрию деформированной среды, является существование перемещений $u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, через которые выражаются деформации, то есть

Деформации (2.8) тождественно удовлетворяют уравнениям (2.6). Наличие трех уравнений (2.7), связывающих правые части уравнений (2.6), и трех функций ${{u}_{i}}$, которые удовлетворяют этим уравнениям, позволяет заключить, что из шести уравнений (2.6) независимыми являются только три уравнения. Соответствующим является и число независимых функций напряжений, что и демонстрируется в следующем разделе.

Для определения функций напряжений деформации, входящие в уравнения (2.6), выражаются через напряжения с помощью обобщенного закона Гука

где $\mu $ и $\nu $ – модуль сдвига и коэффициент Пуассона, а ${{\delta }_{{ij}}}$ – символы Кронекера. Подстановка в уравнения (2.6) деформаций (2.9) и далее напряжений (2.4) приводит к следующим уравнениям для функций напряжений: где

В результате тождественных преобразований уравнения (2.10) и (2.11) можно привести к более компактной форме, которая и используется в дальнейшем

Здесь ${{\Delta }_{3}}( \cdot )$ – трехмерный оператор Лапласа. Используя соотношения (2.4), можно записать уравнения (2.12), (2.13) через напряжения

Эти уравнения известны как уравнения Бельтрами. В отличие от традиционного вывода они получены здесь без привлечения уравнений равновесия (2.5) поскольку функции напряжений тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия.

Поскольку функции напряжений ${{\varphi }_{{ij}}}$ являются составляющими метрического тензора g_ij, эти функции образуют симметричный тензор второго ранга. Это свойство функций напряжений непосредственно доказывается в работе [3]. В теории упругости традиционно используются две системы функций напряжений – функции Максвелла и Морера. Однако в принципе возможно существование множества таких систем. Тензор функций напряжений может быть получен как симметричный тензор второго ранга, дивергенция которого равна нулю [4]. В работе [5] получено пять возможных соотношений, связывающих напряжения с функциями напряжений. Рассматриваемая в настоящей работе линеаризация тензора Эйнштейна для получения функций напряжений предложена Н.А. Кильчевским [6], которым получены таким способом функции Максвелла. В работах [7, 8] эти результаты обобщены на случай ортогональных криволинейных координат.

3. Анализ функций напряжений. Использованный в разделе 2 подход к построению функций напряжений предполагает, что эти функции являются компонентами метрического тензора, порождаемого в среде тензором напряжений. Однако часть компонентов метрического тензора может принадлежать евклидову пространству. Соответствующая часть функций ${{\varphi }_{{ij}}}$ при этом оказывается равной нулю. Аналогичная ситуация имеет место в ОТО, согласно которой гравитация порождает риманово пространство. Поскольку формально гравитация проявляется через структуру материального тензора ${{T}_{{ij}}}$, который совпадает в рассматриваемой задаче с тензором напряжений, естественно предположить, что напряжения также порождают риманово пространство. При описании таких пространств в ОТО часть компонентов метрического тензора, как правило, принимается соответствующими евклидову пространству.

Найдем минимальное число функций напряжений, позволяющее получить общее решение задачи теории упругости. При этом общим считается решение, в котором все компоненты тензора напряжений отличны от нуля. Критерием корректности постановки задачи считается совпадение числа функций напряжений с количеством уравнений, из которых они находятся.

Предположим, что только одна функция напряжений отлична от нуля. Анализ соотношений (2.4) показывает, что в этом случае часть напряжений заведомо оказывается равной нулю, то есть общего решения с одной функцией напряжений не существует.

Если отличны от нуля две функции напряжений, например ${{\varphi }_{{11}}}$ и ${{\varphi }_{{23}}}$, соотношения (2.4) дают

При двух функциях напряжений шесть уравнений (2.12), (2.13) не сводятся к двум, то есть общего решения с двумя функциями напряжений не существует.

Рассмотрим случай трех функций напряжений. Наиболее распространенными являются три функции Максвелла [4] ${{\varphi }_{{11}}},$ ${{\varphi }_{{22}}}$ и ${{\varphi }_{{33}}}$. Из соотношений (2.4) имеем

Уравнения совместности деформаций (2.10), (2.11) в этом случае принимают вид

Подставляя в эту систему

после довольно громоздких преобразований окончательно получим где

Интегрируя уравнения (3.3), найдем

Здесь f_i – произвольные функции, которые связаны соотношениями, получаемыми в результате подстановки равенств (3.5) в уравнения (3.2), то есть

Таким образом, с помощью функций напряжений Максвелла задача сводится к трем уравнениям (3.5) относительно трех функций напряжений и шести произвольных функций, связанных уравнениями (3.6).

В качестве примера рассмотрим случай плоской деформации. В этом случае функции напряжений не зависят от координаты ${{х}_{3}}$ и соотношения упругости (2.9) дают

где

В случае плоской деформации ${{\varepsilon }_{{33}}} = 0$. Тогда из первого соотношения (3.7) имеем

Подставляя этот результат в равенство (3.8), получим

Для того, чтобы избежать интегрирования по ${{х}_{3}}$, воспользуемся вместо окончательных уравнений (3.5) уравнениями (3.2) и (3.3), которые дают

Входящие сюда функции ${{F}_{i}}$ определяются равенствами (3.4), то есть

Учитывая равенство (3.10), можно заключить, что ${{F}_{3}} = 0.$ Таким образом, первые три уравнения (3.11) удовлетворяются тождественно. Преобразуя последнее уравнение с помощью равенства (3.9), получим ${{\Delta }_{2}}(\sigma ) = 0.$ Учитывая этот результат и воздействуя оператором ${{\Delta }_{2}}$ на уравнение (3.10), окончательно придем к уравнению ${{\Delta }_{2}}{{\Delta }_{2}}({{\varphi }_{{33}}}) = 0,$ то есть к известному бигармоническому уравнению плоской задачи для функции напряжений Эри.

Еще одну классическую систему функций напряжений составляют функции Морера [4] ${{\varphi }_{{12}}}$, ${{\varphi }_{{23}}}$ и ${{\varphi }_{{13}}}$, для которых из соотношений (2.4) имеем

Уравнения совместности деформаций (2.12), (2.13) для этих функций напряжений имеют вид

где

Складывая уравнения (3.13) и учитывая равенство (3.15), получим

Отсюда следует известный результат

Воздействуя на уравнения (3.13) оператором Лапласа и учитывая уравнение (3.15), имеем

Таким образом, функции Морера являются бигармоническими. После довольно громоздких преобразований с учетом равенств (3.15)–(3.17) уравнения (3.13) и (3.14) приводятся к форме

Здесь

Интегрируя уравнения (3.18), получим

где f_i – произвольные функции. Таким образом, задача сводится к трем уравнениям (3.21) относительно функций (3.20), включающим три функции напряжений, и к трем произвольным функциям, связь между которыми устанавливается в результате подстановки равенств (3.21) в уравнения (3.19), то есть

Возможны и другие системы, состоящие из трех функций напряжений. Теоретически таких систем может быть 20 поскольку таковым является число сочетаний из шести элементов по три [5]. Однако следует учесть ограничения, накладываемые равенствами (2.4), из которых, в частности, следует, что если сохранить функции ${{\varphi }_{{11}}},{{\varphi }_{{12}}},{{\varphi }_{{13}}}$ (1, 2, 3), то одно из нормальных напряжений оказывается равным нулю. Таким образом, можно получить 17 соотношений, связывающих напряжения с тремя функциями напряжений с индексами

В качестве примера рассмотрим систему функций напряжений, состоящую из двух функций Максвелла ${{\varphi }_{{11}}}$, ${{\varphi }_{{22}}}$ и одной функции Морера ${{\varphi }_{{13}}}$. Уравнения (2.10) и (2.11) принимают вид

С учетом равенства

и условия (3.16) после довольно громоздких преобразований окончательно получим где

Интегрируя уравнения (3.23), имеем

Таким образом, система сводится к трем уравнениям (3.25) относительно функций (3.24), включающих три функции напряжений. Произвольные функции f_i связаны тремя уравнениями (3.22), которые дают

Первые два уравнения совпадают, то есть функции f_i связаны только двумя условиями.

Заключение. В результате линеаризации уравнений общей теории относительности получены выражения для напряжений через компоненты метрического тензора риманова пространства, которые ассоциируются с функциями напряжений классической теории упругости. Установлено, что минимальное количество функций напряжений, которые в принципе позволяют построить общее решение задачи теории упругости в напряжениях, равно трем. При этом существуют 17 различных вариантов соотношений, позволяющие выразить напряжения через три функции напряжений. Исследованы классические соотношения Максвелла и Морера, а также смешанные соотношения, включающие две функции Максвелла и одну функцию Морера. Показано, что для рассмотренных систем функций напряжений шесть уравнений совместности деформаций относительно трех функций напряжений сводятся к трем уравнениям.