Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 5, стр. 3-31
КВАТЕРНИОННЫЕ МЕТОДЫ И РЕГУЛЯРНЫЕ МОДЕЛИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И МЕХАНИКИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЙЛЕРА (РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА) ДЛЯ ОПИСАНИЯ ОРБИТАЛЬНОГО (ТРАЕКТОРНОГО) ДВИЖЕНИЯ. I: ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ
a Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия
* E-mail: ChelnokovYuN@gmail.com
Поступила в редакцию 14.10.2021
После доработки 05.12.2021
Принята к публикации 07.12.2021
- EDN: CSQOYL
- DOI: 10.31857/S0572329922040043
Полные тексты статей выпуска доступны только авторизованным пользователям.
Аннотация
Рассматривается проблема регуляризации классических уравнений небесной механики и механики космического полета (астродинамики), в которых используются переменные, характеризующие форму и размеры мгновенной орбиты (траектории) изучаемого движущегося тела, и углы Эйлера, описывающие ориентацию используемой вращающейся (промежуточной (intermediate)) системы координат или ориентацию мгновенной орбиты, или плоскости орбиты движущегося тела в инерциальной системе координат. Особенности типа сингулярности (деления на ноль) этих классических уравнений порождаются углами Эйлера и эффективно устраняются с помощью использования четырехмерных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона) и кватернионов поворотов (вращения) Гамильтона.
В работе дан обзор и анализ известных нам регулярных в указанном смысле моделей небесной механики и астродинамики, построенных с использованием параметров Эйлера и кватернионов поворота Гамильтона на основе дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел. Рассмотрены приложения этих моделей в задачах оптимального управления орбитальным движением космического аппарата, решаемых с использованием принципа максимума Понтрягина. Показано, что эффективность аналитического исследования и численного решения краевых задач оптимального управления траекторным (орбитальным) движением космических аппаратов может быть кардинально повышена за счет использования регулярных кватернионных моделей астродинамики.
Также дан обзор и анализ публикаций, в которых используются дуальные параметры Эйлера и дуальные кватернионы (бикватернионы Клиффорда) для решения задач управления общим пространственным движением твердого тела (космического аппарата), представляющим собой композицию вращательного (углового) и поступательного (орбитального) движений твердого тела, эквивалентную его винтовому движению, с использованием принципа обратной связи.
Полные тексты статей выпуска доступны только авторизованным пользователям.
Список литературы
Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.
Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Косм. иссл. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Косм. иссл. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.
Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 864 с.
Hamilton W.R. Lectures on quaternions. Dublin: Hodges and Smith, 1853.
Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7.
Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.
Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin: Springer, 1971. 350 p. = Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.
Deprit A. Ideal frames for perturbed keplerian motions // Celest. Mech. 1976. V. 13. № 2. P. 253–263.
Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.
Брагазин А.Ф., Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Описание орбитального движения с использованием кватернионов и скоростных параметров // Анн. докл. шестого Всесоюзного съезда по теорет. и прик. механике. Ташкент: “Фан”, 1986. С. 133.
Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. M.: Наука, 1992. 280 с.
Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez de Andres P. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech. Dyn. Astron. 97, 131–150 (2007). https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3
Bau G., Urrutxua H. and Pelaez J. EDROMO: An accurate propagator for elliptical orbits in the perturbed two-body problem // Adv. Astronaut. Sci. 2014. V. 152. № 06. P. 379–399.
Bau G., Bombardelli C., Pelaez J. and Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // MNRAS. 2015. V. 454. № 3. P. 2890–2908. https://doi.org/10.1093/mnras/stv2106
Libraro P.A Globally Nonsingular Quaternion-Based Formulation for All-Electric Satellite Trajectory Optimization. A Dissertation… for the Degree of Doctor of Philosophy. Princeton University. 2016. 153 p.
Roa J. and Kasdin J. Alternative set of nonsingular quaternionic orbital elements // J. Gui. Contr. Dyn. 2017. V. 40. № 11. 2737–2751. https://doi.org/10.2514/1.G002753
Amato D., Bombardelli C., Bau G., Morand V., Aaron J. Rosengren. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2019. V. 131. P. 21 (2019). https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1
Bau G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2020. V. 132. P. 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y
Andoyer H. Cours de mecanigue celeste. Paris: Gauthier-Villars, 1923.
Deprit A. Ideal elements for perturbed Keplerian motions // J. Res. National Bureau Standards. s – B. Mat. Sci. 1975. V. 79B. № 1 and 2. P. 1–15. https://doi.org/10.6028/JRES.079B.001
Musen P. Application of Hansen’s theory to the motion of an artificial satellite in the gravitational field of the Earth // J. Geophys. Res. 1959. V. 64. № 12. P. 2271–2279. https://doi.org/10.1029/JZ064i012p02271
Brown E.W. and Shook C.A. Panetary Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1933.
Musen P. On stromgren’s method of special perturbations // J. Astron. Sciences. 1961. V. 8. P. 48–51.
Musen P. On the application of pfaff’s method in the theory of variation of astronomical. constants // NASA Technical Note D-2301. 1964. 24 p.
Broucke R., Lass H. and Ananda M. Redundant variables in celestial mechanics // Astron. Astrophys. 1971. V. 13. P. 390–398.
Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.
Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.
Clifford W. Preliminary sketch of biquaternions // Proc. London Math. Soc. 1873. V. 4. P. 381–395.
Челноков Ю.Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 32–39.
Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В. М.: ВИНИТИ, 1985. 36 с.
Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629–В. М.: ВИНИТИ, 1985. 18 с.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Косм. иссл. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Косм. иссл. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.
Челноков Ю.Н. Кватернионные регулярные модели возмущенного орбитального движения твердого тела в гравитационном поле Земли // ПММ. 2019. Т. 83. № 4. С. 562–585. https://doi.org/10.31857/S003282350002735-8
Chelnokov Yu.N. Regular quaternion models of perturbed orbital motion of a rigid body in the earth’s gravitational field // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 7. P. 40–58. https://doi.org/10.3103/S0025654420070079
Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватернионное описание пространственной ориентации орбиты // Косм. иссл. 1997. Т. 35. № 5. С. 534–542.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в механике космического полета // Гироск. навиг. 1999. № 4 (27). С. 47–66.
Челноков Ю.Н. Оптимальное управление движением космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле: Применение кватернионов для описания ориентации орбиты // Косм. иссл. 1999. Т. 37. № 4. С. 433–442.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. 1 // Косм. иссл. 2001. Т. 39. № 5. С. 502–517.
Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. 2 // Косм. иссл. 2003. Т. 41. № 1. С. 92–107.
Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Косм. иссл. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029
Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.
Челноков Ю.Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // ПММ. Т. 76. Вып. 6. 2012. С. 895–912.
Battin R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. N. Y.: AIAA Press, 1987. https://doi.org/10.2514/4.861543
Афанасьева Ю.В., Челноков Ю.Н. Задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 3. С. 164–179.
Афанасьева Ю.В., Челноков Ю.Н. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигурой // Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 4. С. 125–138.
Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2012. Т. 12. № 3. С. 87–95.
Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2013. Т. 13. № 1–1. С. 84–92.
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Исследование задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата посредством ограниченной или импульсной реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Часть 1 // Мехатр. автомат. управл. 2016. Т. 17. № 8. С. 567–575. https://doi.org/10.17587/mau.17.567-575
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Исследование задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата посредством ограниченной или импульсной реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Часть 2 // Мехатр. автомат. управл. 2016. Т. 17. № 9. С. 633–643. https://doi.org/10.17587/mau.17.663-643
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Оптимальный поворот плоскости орбиты космического аппарата переменной массы в центральном гравитационном поле посредством ортогональной тяги // Автомат. телемех. 2019. № 8. С. 87–108.
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Импульсная оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости оскулирующей орбиты. I // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 5. С. 70–89. https://doi.org/10.31857/S057232990002467-3
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Импульсная оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости оскулирующей орбиты. II // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 1. С. 3–23. https://doi.org/10.1134/S0572329919010021
Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Кватернионное решение задачи оптимального поворота плоскости орбиты космического аппарата переменной массы с помощью тяги, ортогональной плоскости орбиты // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 4. С. 110–129. https://doi.org/10.1134/S057232991904007X
Копнин Ю.М. К задаче поворота плоскости орбиты спутника // Косм. иссл. 1965. Т. 3. Вып. 4. С. 22–30.
Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 108 с.
Борщевский М.З., Иослович М.В. К задаче о повороте плоскости орбиты спутника при помощи реактивной тяги // Косм. иссл. 1969. Т. 7. Вып. 6. С. 8–15.
Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975. 680 с.
Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета: Уч. пос. М.: Наука, 1990. 445 с.
Ишков С.А., Романенко В.А. Формирование и коррекция высокоэллиптической орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги // Косм. иссл. 1997. Т. 35. № 3. С. 287–296.
Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
Челноков Ю.Н. Об одном винтовом методе описания движения твердого тела // Сб. науч.-метод. статей по теорет. мех. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 129–138.
Челноков Ю.Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 20–28.
Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895. 215 с.
Котельников А.П. Винты и комплексные числа // Изв. физ.-матем. общества при Казан-ском ун-те. 1896. Сер. 2. № 6. С. 23–33.
Стрелкова Н.А. Оптимальное по быстродействию кинематическое управление винтовым перемещением твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. 4. С. 73–76.
Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. М.–Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004. 204 с.
Han D., Qing Wei Q., Li Z. Kinematic control of free rigid bodies using dual quaternions // Int. J. Automat. Comput. 2008. V. 5. № 3. P. 319–324. https://doi.org/10.1007/s11633-008-0319-1
Han D., Qing Wei, Li Z., Weimeng Sun. Control of oriented mechanical systems: a method based on dual quaternion // IFAC Proc. Vols. 2008. V. 41. № 2. P. 3836–3841. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00645
Han D., Qing Wei, Li Z. A Dual-quaternion method for control of spatial rigid body. networking, sensing and control // IEEE Intern. Conf. Networking Sensing Control. 2008. P. 1–6. https://doi.org/10.1109/ICNSC.2008.4525172
Ozgur E., Mezouar Y. Kinematic modeling and control of a robot arm using unit dual quaternions // Robot. Autonom. Syst. 2016. V. 77. P. 66–73.
Челноков Ю.Н. Бикватернионное решение кинематической задачи управления движением твердого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 1. С. 38–58.
Челноков Ю.Н., Нелаева Е.И. Бикватернионное решение кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации произвольного программного движения свободного твердого тела // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2016. Т. 16. № 2. С. 198–206.
Perez A., McCarthy J.M. Dual quaternion synthesis of constrained robotic systems // J. Mech. Design. 2004. V. 126. № 3. P. 425–435.
Han D., Wei Q., Li Z., Sun W. Control of oriented mechanical systems: a method based on dual quaternions // IFAC Proc. Vols. 2008. V. 41. № 2. 2008. P. 3836–3841. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00645
Schilling M. Universally manipulable body models – dual quaternion representations in layered and dynamic MMCs // Auton. Robots. 2011. V. 30. P. 399–425. https://doi.org/10.1007/s10514-011-9226-3
Zhang F., Duan G. Robust integrated translation and rotation finite-time maneuver of a rigid spacecraft based on dual quaternion // AIAA Guid. Navig. Control Conf. 2011. Portland, Oregon. USA. AIAA, 2011. P. 6396. https://doi.org/10.2514/6.2011-6396
Wang J., Sun Z. 6DOF Robust adaptive terminal sliding mode control for spacecraft formation flying // Acta Astron. 2012. V. 73. P. 76–87. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2011.12.005
Wang J., Liang H., Sun Z., Zhang S., Liu M. Finite-time control for spacecraft formation with dualnumber based description // J. Guid. Contr. Dyn. 2012. V. 35. № 3. P. 950–962. https://doi.org/10.2514/1.54277
Wang J., Yu C. Unit dual quaternion-based feedback linearization tracking problem for attitude and position dynamics // Syst. Control Lett. 2013. V. 62. № 3. P. 225–233. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2012.11.019
Filipe N., Tsiotras P. Rigid body motion tracking without linear and angular velocity feedback using dual quaternions // IEEE. Europ. Control Conf. 2013. P. 329–334. https://doi.org/10.23919/ECC.2013.6669564
Lee U. State-constrained rotational and translational motion control with applications to monolithic and distributed spacecraft. A dissertation… for the degree of Doctor of Philosophy. Univ. of Washington. 2014.
Filipe N., Kontitsis M., Tsiotras P. Extended Kalman filter for spacecraft pose estimation using dual quaternions // J. Guid. Contr. Dyn. 2015. V. 38. № 9. P. 1625–1641. https://doi.org/10.2514/1.G000977
Filipe N., Tsiotras P. Adaptive position and attitude–tracking controller for satellite proximity operations using dual quaternions // J. Guid. Contr. Dyn. 2015. V. 38. № 4. P. 566–577.
Lee U., Mesbahi M. Optimal powered descent guidance with 6-DoF line of sight constraints via unit dual quaternions // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. 5–9 January 2015 Kissimmee, Florida. AIAA, 2015. https://doi.org/10.2514/6.2015-0319
Gui H., Vukovich G. Cite as dual-quaternion-based adaptive motion tracking of spacecraft with reduced control effort // Nonlin. Dyn. 2016. V. 83. № 1–2. P. 597–614.
Ахрамович С.А., Малышев В.В., Старков А.В. Математическая модель движения беспилотного летательного аппарата в бикватернионной форме // Научно-техн. ж. “Полет”. 2018. Т. 4. С. 9–20.
Ахрамович С.А., Малышев В.В. Применение бикватернионов в задачах управления летательными аппаратами // Системный анализ, управление и навигация: Тезисы докладов. М.: МАИ, 2018. С. 117–120.
Ахрамович С.А., Баринов А.В. Система управления движением БПЛА с прогнозирующей моделью в бикватернионной форме // Системный анализ, управление и навигация: Тезисы докладов. М.: МАИ, 2018. С. 120–122.
Garcia C., Prett D.M., Morari M. Model predictive control: theory and practice // Automatica. 1989. № 3. P. 335–348.
Челноков Ю.Н. Управление пространственным движением твердого тела с использованием бикватернионов и дуальных матриц // Изв. РАН. MTТ. 2021. № 1. С. 17–43. https://doi.org/10.31857/S0572329921010049
Челноков Ю.Н. Синтез управления пространственным движением твердого тела с использованием дуальных кватернионов // ПММ. 2019. Т. 83. № 5–6. С. 704–733. https://doi.org/10.1134/S0032823519050035
Chelnokov Yu.N. Synthesis of Control of Spatial Motion of a Rigid Body Using Dual Quaternions // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 7. P. 59–80. https://doi.org/10.3103/S0025654420070080
Chelnokov Y.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math. Mech. (Eng. Ed.). 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела