1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 5, 2022

Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 5, стр. 3-31

КВАТЕРНИОННЫЕ МЕТОДЫ И РЕГУЛЯРНЫЕ МОДЕЛИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И МЕХАНИКИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЙЛЕРА (РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА) ДЛЯ ОПИСАНИЯ ОРБИТАЛЬНОГО (ТРАЕКТОРНОГО) ДВИЖЕНИЯ. I: ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ

Ю. Н. Челноков a, *

a Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия

* E-mail: ChelnokovYuN@gmail.com

Поступила в редакцию 14.10.2021
После доработки 05.12.2021
Принята к публикации 07.12.2021

Аннотация

Рассматривается проблема регуляризации классических уравнений небесной механики и механики космического полета (астродинамики), в которых используются переменные, характеризующие форму и размеры мгновенной орбиты (траектории) изучаемого движущегося тела, и углы Эйлера, описывающие ориентацию используемой вращающейся (промежуточной (intermediate)) системы координат или ориентацию мгновенной орбиты, или плоскости орбиты движущегося тела в инерциальной системе координат. Особенности типа сингулярности (деления на ноль) этих классических уравнений порождаются углами Эйлера и эффективно устраняются с помощью использования четырехмерных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона) и кватернионов поворотов (вращения) Гамильтона.

В работе дан обзор и анализ известных нам регулярных в указанном смысле моделей небесной механики и астродинамики, построенных с использованием параметров Эйлера и кватернионов поворота Гамильтона на основе дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел. Рассмотрены приложения этих моделей в задачах оптимального управления орбитальным движением космического аппарата, решаемых с использованием принципа максимума Понтрягина. Показано, что эффективность аналитического исследования и численного решения краевых задач оптимального управления траекторным (орбитальным) движением космических аппаратов может быть кардинально повышена за счет использования регулярных кватернионных моделей астродинамики.

Также дан обзор и анализ публикаций, в которых используются дуальные параметры Эйлера и дуальные кватернионы (бикватернионы Клиффорда) для решения задач управления общим пространственным движением твердого тела (космического аппарата), представляющим собой композицию вращательного (углового) и поступательного (орбитального) движений твердого тела, эквивалентную его винтовому движению, с использованием принципа обратной связи.

Ключевые слова: регуляризация, уравнения небесной механики и астродинамики (механики космического полета), задача двух тел, ориентация орбиты, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), кватернион ориентации, оптимальное управление орбитальным движением, космический аппарат, пространственное движение твердого тела, бикватернион

Список литературы

  1. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.

  2. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.

  3. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Косм. иссл. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401.

  4. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Косм. иссл. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040

  5. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.

  6. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

  7. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 864 с.

  8. Hamilton W.R. Lectures on quaternions. Dublin: Hodges and Smith, 1853.

  9. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7.

  10. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.

  11. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin: Springer, 1971. 350 p. = Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.

  12. Deprit A. Ideal frames for perturbed keplerian motions // Celest. Mech. 1976. V. 13. № 2. P. 253–263.

  13. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.

  14. Брагазин А.Ф., Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Описание орбитального движения с использованием кватернионов и скоростных параметров // Анн. докл. шестого Всесоюзного съезда по теорет. и прик. механике. Ташкент: “Фан”, 1986. С. 133.

  15. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. M.: Наука, 1992. 280 с.

  16. Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez de Andres P. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech. Dyn. Astron. 97, 131–150 (2007). https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3

  17. Bau G., Urrutxua H. and Pelaez J. EDROMO: An accurate propagator for elliptical orbits in the perturbed two-body problem // Adv. Astronaut. Sci. 2014. V. 152. № 06. P. 379–399.

  18. Bau G., Bombardelli C., Pelaez J. and Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // MNRAS. 2015. V. 454. № 3. P. 2890–2908. https://doi.org/10.1093/mnras/stv2106

  19. Libraro P.A Globally Nonsingular Quaternion-Based Formulation for All-Electric Satellite Trajectory Optimization. A Dissertation… for the Degree of Doctor of Philosophy. Princeton University. 2016. 153 p.

  20. Roa J. and Kasdin J. Alternative set of nonsingular quaternionic orbital elements // J. Gui. Contr. Dyn. 2017. V. 40. № 11. 2737–2751. https://doi.org/10.2514/1.G002753

  21. Amato D., Bombardelli C., Bau G., Morand V., Aaron J. Rosengren. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2019. V. 131. P. 21 (2019). https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1

  22. Bau G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2020. V. 132. P. 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y

  23. Andoyer H. Cours de mecanigue celeste. Paris: Gauthier-Villars, 1923.

  24. Deprit A. Ideal elements for perturbed Keplerian motions // J. Res. National Bureau Standards. s – B. Mat. Sci. 1975. V. 79B. № 1 and 2. P. 1–15. https://doi.org/10.6028/JRES.079B.001

  25. Musen P. Application of Hansen’s theory to the motion of an artificial satellite in the gravitational field of the Earth // J. Geophys. Res. 1959. V. 64. № 12. P. 2271–2279. https://doi.org/10.1029/JZ064i012p02271

  26. Brown E.W. and Shook C.A. Panetary Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1933.

  27. Musen P. On stromgren’s method of special perturbations // J. Astron. Sciences. 1961. V. 8. P. 48–51.

  28. Musen P. On the application of pfaff’s method in the theory of variation of astronomical. constants // NASA Technical Note D-2301. 1964. 24 p.

  29. Broucke R., Lass H. and Ananda M. Redundant variables in celestial mechanics // Astron. Astrophys. 1971. V. 13. P. 390–398.

  30. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.

  31. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.

  32. Clifford W. Preliminary sketch of  biquaternions // Proc. London Math. Soc. 1873. V. 4. P. 381–395.

  33. Челноков Ю.Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 32–39.

  34. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В. М.: ВИНИТИ, 1985. 36 с.

  35. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629–В. М.: ВИНИТИ, 1985. 18 с.

  36. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.

  37. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.

  38. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Косм. иссл. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.

  39. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Косм. иссл. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.

  40. Челноков Ю.Н. Кватернионные регулярные модели возмущенного орбитального движения твердого тела в гравитационном поле Земли // ПММ. 2019. Т. 83. № 4. С. 562–585. https://doi.org/10.31857/S003282350002735-8

  41. Chelnokov Yu.N. Regular quaternion models of perturbed orbital motion of a rigid body in the earth’s gravitational field // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 7. P. 40–58. https://doi.org/10.3103/S0025654420070079

  42. Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватернионное описание пространственной ориентации орбиты // Косм. иссл. 1997. Т. 35. № 5. С. 534–542.

  43. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в механике космического полета // Гироск. навиг. 1999. № 4 (27). С. 47–66.

  44. Челноков Ю.Н. Оптимальное управление движением космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле: Применение кватернионов для описания ориентации орбиты // Косм. иссл. 1999. Т. 37. № 4. С. 433–442.

  45. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. 1 // Косм. иссл. 2001. Т. 39. № 5. С. 502–517.

  46. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Ч. 2 // Косм. иссл. 2003. Т. 41. № 1. С. 92–107.

  47. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Косм. иссл. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029

  48. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.

  49. Челноков Ю.Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // ПММ. Т. 76. Вып. 6. 2012. С. 895–912.

  50. Battin R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. N. Y.: AIAA Press, 1987. https://doi.org/10.2514/4.861543

  51. Афанасьева Ю.В., Челноков Ю.Н. Задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 3. С. 164–179.

  52. Афанасьева Ю.В., Челноков Ю.Н. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигурой // Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 4. С. 125–138.

  53. Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2012. Т. 12. № 3. С. 87–95.

  54. Панкратов И.А., Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2013. Т. 13. № 1–1. С. 84–92.

  55. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Исследование задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата посредством ограниченной или импульсной реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Часть 1 // Мехатр. автомат. управл. 2016. Т. 17. № 8. С. 567–575. https://doi.org/10.17587/mau.17.567-575

  56. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Исследование задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата посредством ограниченной или импульсной реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты. Часть 2 // Мехатр. автомат. управл. 2016. Т. 17. № 9. С. 633–643. https://doi.org/10.17587/mau.17.663-643

  57. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Оптимальный поворот плоскости орбиты космического аппарата переменной массы в центральном гравитационном поле посредством ортогональной тяги // Автомат. телемех. 2019. № 8. С. 87–108.

  58. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Импульсная оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости оскулирующей орбиты. I // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 5. С. 70–89. https://doi.org/10.31857/S057232990002467-3

  59. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Импульсная оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости оскулирующей орбиты. II // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 1. С. 3–23. https://doi.org/10.1134/S0572329919010021

  60. Сапунков Я.Г., Челноков Ю.Н. Кватернионное решение задачи оптимального поворота плоскости орбиты космического аппарата переменной массы с помощью тяги, ортогональной плоскости орбиты // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 4. С. 110–129. https://doi.org/10.1134/S057232991904007X

  61. Копнин Ю.М. К задаче поворота плоскости орбиты спутника // Косм. иссл. 1965. Т. 3. Вып. 4. С. 22–30.

  62. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 108 с.

  63. Борщевский М.З., Иослович М.В. К задаче о повороте плоскости орбиты спутника при помощи реактивной тяги // Косм. иссл. 1969. Т. 7. Вып. 6. С. 8–15.

  64. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975. 680 с.

  65. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета: Уч. пос. М.: Наука, 1990. 445 с.

  66. Ишков С.А., Романенко В.А. Формирование и коррекция высокоэллиптической орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги // Косм. иссл. 1997. Т. 35. № 3. С. 287–296.

  67. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

  68. Челноков Ю.Н. Об одном винтовом методе описания движения твердого тела // Сб. науч.-метод. статей по теорет. мех. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 129–138.

  69. Челноков Ю.Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 20–28.

  70. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895. 215 с.

  71. Котельников А.П. Винты и комплексные числа // Изв. физ.-матем. общества при Казан-ском ун-те. 1896. Сер. 2. № 6. С. 23–33.

  72. Стрелкова Н.А. Оптимальное по быстродействию кинематическое управление винтовым перемещением твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. 4. С. 73–76.

  73. Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела. М.–Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004. 204 с.

  74. Han D., Qing Wei Q., Li Z. Kinematic control of free rigid bodies using dual quaternions // Int. J. Automat. Comput. 2008. V. 5. № 3. P. 319–324. https://doi.org/10.1007/s11633-008-0319-1

  75. Han D., Qing Wei, Li Z., Weimeng Sun. Control of oriented mechanical systems: a method based on dual quaternion // IFAC Proc. Vols. 2008. V. 41. № 2. P. 3836–3841. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00645

  76. Han D., Qing Wei, Li Z. A Dual-quaternion method for control of spatial rigid body. networking, sensing and control // IEEE Intern. Conf. Networking Sensing Control. 2008. P. 1–6. https://doi.org/10.1109/ICNSC.2008.4525172

  77. Ozgur E., Mezouar Y. Kinematic modeling and control of a robot arm using unit dual quaternions // Robot. Autonom. Syst. 2016. V. 77. P. 66–73.

  78. Челноков Ю.Н. Бикватернионное решение кинематической задачи управления движением твердого тела и его приложение к решению обратных задач кинематики роботов-манипуляторов // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 1. С. 38–58.

  79. Челноков Ю.Н., Нелаева Е.И. Бикватернионное решение кинематической задачи оптимальной нелинейной стабилизации произвольного программного движения свободного твердого тела // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. 2016. Т. 16. № 2. С. 198–206.

  80. Perez A., McCarthy J.M. Dual quaternion synthesis of constrained robotic systems // J. Mech. Design. 2004. V. 126. № 3. P. 425–435.

  81. Han D., Wei Q., Li Z., Sun W. Control of oriented mechanical systems: a method based on dual quaternions // IFAC Proc. Vols. 2008. V. 41. № 2. 2008. P. 3836–3841. https://doi.org/10.3182/20080706-5-KR-1001.00645

  82. Schilling M. Universally manipulable body models – dual quaternion representations in layered and dynamic MMCs // Auton. Robots. 2011. V. 30. P. 399–425. https://doi.org/10.1007/s10514-011-9226-3

  83. Zhang F., Duan G. Robust integrated translation and rotation finite-time maneuver of a rigid spacecraft based on dual quaternion // AIAA Guid. Navig. Control Conf. 2011. Portland, Oregon. USA. AIAA, 2011. P. 6396. https://doi.org/10.2514/6.2011-6396

  84. Wang J., Sun Z. 6DOF Robust adaptive terminal sliding mode control for spacecraft formation flying // Acta Astron. 2012. V. 73. P. 76–87. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2011.12.005

  85. Wang J., Liang H., Sun Z., Zhang S., Liu M. Finite-time control for spacecraft formation with dualnumber based description // J. Guid. Contr. Dyn. 2012. V. 35. № 3. P. 950–962. https://doi.org/10.2514/1.54277

  86. Wang J., Yu C. Unit dual quaternion-based feedback linearization tracking problem for attitude and position dynamics // Syst. Control Lett. 2013. V. 62. № 3. P. 225–233. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2012.11.019

  87. Filipe N., Tsiotras P. Rigid body motion tracking without linear and angular velocity feedback using dual quaternions // IEEE. Europ. Control Conf. 2013. P. 329–334. https://doi.org/10.23919/ECC.2013.6669564

  88. Lee U. State-constrained rotational and translational motion control with applications to monolithic and distributed spacecraft. A dissertation… for the degree of Doctor of Philosophy. Univ. of Washington. 2014.

  89. Filipe N., Kontitsis M., Tsiotras P. Extended Kalman filter for spacecraft pose estimation using dual quaternions // J. Guid. Contr. Dyn. 2015. V. 38. № 9. P. 1625–1641. https://doi.org/10.2514/1.G000977

  90. Filipe N., Tsiotras P. Adaptive position and attitude–tracking controller for satellite proximity operations using dual quaternions // J. Guid. Contr. Dyn. 2015. V. 38. № 4. P. 566–577.

  91. Lee U., Mesbahi M. Optimal powered descent guidance with 6-DoF line of sight constraints via unit dual quaternions // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. 5–9 January 2015 Kissimmee, Florida. AIAA, 2015. https://doi.org/10.2514/6.2015-0319

  92. Gui H., Vukovich G. Cite as dual-quaternion-based adaptive motion tracking of spacecraft with reduced control effort // Nonlin. Dyn. 2016. V. 83. № 1–2. P. 597–614.

  93. Ахрамович С.А., Малышев В.В., Старков А.В. Математическая модель движения беспилотного летательного аппарата в бикватернионной форме // Научно-техн. ж. “Полет”. 2018. Т. 4. С. 9–20.

  94. Ахрамович С.А., Малышев В.В. Применение бикватернионов в задачах управления летательными аппаратами // Системный анализ, управление и навигация: Тезисы докладов. М.: МАИ, 2018. С. 117–120.

  95. Ахрамович С.А., Баринов А.В. Система управления движением БПЛА с прогнозирующей моделью в бикватернионной форме // Системный анализ, управление и навигация: Тезисы докладов. М.: МАИ, 2018. С. 120–122.

  96. Garcia C., Prett D.M., Morari M. Model predictive control: theory and practice // Automatica. 1989. № 3. P. 335–348.

  97. Челноков Ю.Н. Управление пространственным движением твердого тела с использованием бикватернионов и дуальных матриц // Изв. РАН. MTТ. 2021. № 1. С. 17–43. https://doi.org/10.31857/S0572329921010049

  98. Челноков Ю.Н. Синтез управления пространственным движением твердого тела с использованием дуальных кватернионов // ПММ. 2019. Т. 83. № 5–6. С. 704–733. https://doi.org/10.1134/S0032823519050035

  99. Chelnokov Yu.N. Synthesis of  Control of Spatial Motion of a Rigid Body Using Dual Quaternions // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 7. P. 59–80. https://doi.org/10.3103/S0025654420070080

  100.  Chelnokov Y.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math. Mech. (Eng. Ed.). 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал