Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 6, стр. 97-103

ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОР-ФУНКЦИИ С КВАЗИПОЛИНОМИАЛЬНЫМ СКАЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Д. В. Георгиевский abc*

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 10.01.2022
После доработки 04.02.2022
Принята к публикации 07.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

На базе аппарата тензор-функций от одного тензорного аргумента предложено многоуровневое семейство скалярных потенциалов напряжений по деформациям изотропных упругих сред, в котором элементы каждого уровня включают в себя элементы всех предыдущих уровней. Данный потенциал порождает многоуровневое семейство тензорно нелинейных определяющих соотношений, в которых каждое слагаемое, вне зависимости от уровня, имеет первый порядок малости по базе стремления нормы деформации к нулю. Найдено число материальных постоянных, входящих в многоуровненвые определяющие соотношения. Предложена система установочных экспериментов для нахождения четырех материальных постоянных в прямых и обратных соотношениях второго уровня. Обсуждены вопросы взаимообратности тензорных функций и положительной определенности потенциала второго уровня, приводящего к тензорно линейной зависимости напряжений от деформаций.

Ключевые слова: многоуровневый упругий потенциал, тензор напряжений, тензор деформаций, определяющее соотношение, квазиполином, изотропная тензор-функция

Введение. Математический аппарат нелинейных тензор-функций от одного или нескольких тензорных аргументов [1], а также теория инвариантов [2] находят значительное применение в построении и анализе новых классов определяющих соотношений нелинейной механики сплошной среды [38] и, в частности, нелинейной теории упругости. Потенциальность налагает определенные дифференциальные связи на материальные функции, называемые условиями потенциальности среды, а само существование скалярных потенциалов напряжений по деформациям и наоборот интерпретируется и наделяется физическим смыслом энергии деформирования.

1. Квазиполиномиальные N-уровневые упругие потенциалы в анизотропной и изотропной средах. В рамках определяющих соотношений нелинейной упругости рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве потенциальную связь двух симметричных тензоров второго ранга – тензора напряжений Коши σ и тензора малых деформаций ε с декартовыми компонентами ${{\sigma }_{{ij}}}$ и ${{\varepsilon }_{{ij}}}$ соответственно:

(1.1)
${{\sigma }_{{ij}}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}}},\quad W = W\left( {{{I}_{{\varepsilon 1}}},{{I}_{{\varepsilon 2}}},{{I}_{{\varepsilon 3}}}} \right)$

Упругий потенциал напряжений по деформациям W зависит от трех инвариантов тензора деформаций, в качестве которых удобно выбрать следы трех первых степеней ε:

(1.2)
$\begin{gathered} {{I}_{{\varepsilon 1}}} = {\text{tr}}{\mathbf{\varepsilon }} = {{\varepsilon }_{{ii}}},\quad {{I}_{{\varepsilon 2}}} = \sqrt {{\text{tr}}({{{\mathbf{\varepsilon }}}^{2}})} = \sqrt {{{\varepsilon }_{{ij}}}{{\varepsilon }_{{ij}}}} \\ {{I}_{{\varepsilon 3}}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{\varepsilon }}}^{3}})}} = \sqrt[3]{{{{\varepsilon }_{{ij}}}{{\varepsilon }_{{jk}}}{{\varepsilon }_{{ki}}}}},\quad \left\| {\mathbf{\varepsilon }} \right\| = {{I}_{{\varepsilon 2}}} \\ \end{gathered} $

Введем в рассмотрение также аналогичные инварианты напряжений, имеющие одинаковую физическую размерность:

(1.3)
$\begin{gathered} {{I}_{{\sigma 1}}} = {\text{tr}}{\mathbf{\sigma }} = {{\sigma }_{{ii}}},\quad {{I}_{{\sigma 2}}} = \sqrt {{\text{tr}}({{{\mathbf{\sigma }}}^{2}})} = \sqrt {{{\sigma }_{{ij}}}{{\sigma }_{{ij}}}} \\ {{I}_{{\sigma 3}}} = \sqrt[3]{{{\text{tr}}({{{\mathbf{\sigma }}}^{3}})}} = \sqrt[3]{{{{\sigma }_{{ij}}}{{\sigma }_{{jk}}}{{\sigma }_{{ki}}}}},\quad \left\| {\mathbf{\sigma }} \right\| = {{I}_{{\sigma 2}}} \\ \end{gathered} $

Выберем в данной работе для анализа следующий вид упругого потенциала уровня N в случае произвольной анизотропии:

(1.4)
${{W}^{{(N)}}} = \frac{1}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}}}}{{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}{\kern 1pt} {{\varepsilon }_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}}}} \ldots {{\varepsilon }_{{{{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}},\quad N \geqslant 1$
где ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}$ – компоненты материального тензора модулей упругости ранга $4N$ с симметриями, обусловленными свертками по индексам в (1.4). Данные комопненты симметричны по перестановкам внутри каждой из $2N$ пар индексов $({{i}_{1}},{{i}_{2}}), \ldots ({{i}_{{4N - 1}}},{{i}_{{4N}}})$, а также по всем возможным перестановкам самих этих $2N$ пар. С учетом отмеченных симметрий число независимых компонент ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}$ равно числу монотонно невозрастающих последовательностей длины $2N$, каждый элемент которых может быть любым натуральным числом от единицы до шести. С помощью метода индукции нетрудно установить, что число таких последовательностей равно числу сочетаний $C_{{2N + 5}}^{{2N}}$. Так, при N = 1 их 21 (как и должно быть для линейной анизотропной упругой среды), при N = 2 – 126 и т.д.

Представление (1.4) естественно назвать квазиполиномиальным, поскольку с точностью до нормирующего знаменателя $I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}} = {{\left\| {\mathbf{\varepsilon }} \right\|}^{{2(N - 1)}}}$ потенциал ${{W}^{{(N)}}}$ – полином по деформациям степени $2N$, причем при любом $N \geqslant 1$ каждое слагаемое этого полинома имеет порядок малости $O({{\left\| {\mathbf{\varepsilon }} \right\|}^{2}})$, $\left\| {\mathbf{\varepsilon }} \right\| \to 0$. Для N = 1 выражение W(1) – классическая в линейной анизотропной теории упругости квадратичная форма с компонентами ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}}{{i}_{3}}{{i}_{4}}}}}$ тензора модулей упругости четвертого ранга. Как видно из (1.1) и (1.4), уровень N = 1 соответствует единственному среди всех N варианту физически линейных определяющих соотношений, связывающих тензоры σ и ε.

Остановимся подробнее на случае изотропного нелинейно-упругого материала. Как известно, тензорный базис изотропных функций состоит лишь из единичного тензора второго ранга ${\text{I}}$ с компонентами ${{\delta }_{{ij}}}$, поэтому все модули ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}$ в (1.4) должны быть суммами всевозможных произведений $2N$ символов Кронекера. Свертки (1.4) по всем индексам таких компонент ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}$ с деформациями приведут к следующему виду изотропного упругого потенциала уровня N:

(1.5)
${{W}^{{(N)}}} = \frac{1}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus c_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\varepsilon 1}}^{k}I_{{\varepsilon 2}}^{{2l}}I_{{\varepsilon 3}}^{{3m}},\quad N \geqslant 1$
где $c_{{klm}}^{{(N)}}$ – материальные константы (функции координат для неоднородного материала), определенным образом связанные с ${{C}_{{{{i}_{1}}{{i}_{2}} \ldots {{i}_{{4N - 1}}}{{i}_{{4N}}}}}}$. Знак $ \oplus $ в нижнем пределе суммы здесь и далее означает совокупность условий: $k,l,m \geqslant 0$, $k + 2l + 3m = 2N$.

Следы $I_{{\varepsilon n}}^{n} = {\text{tr}}({{{\mathbf{\varepsilon }}}^{n}}){\kern 1pt} $ более высоких степеней ${\mathbf{\varepsilon }}$ с помощью формулы Гамильтона–Кели выражаются через ${{I}_{{\varepsilon 1}}}$, $I_{{\varepsilon 2}}^{2}$, $I_{{\varepsilon 3}}^{3}$. Например, для $n = 4,5,6$ справедливы выражения [9]

(1.6)
$\begin{gathered} 6I_{{\varepsilon 4}}^{4} = I_{{\varepsilon 1}}^{4} - 6I_{{\varepsilon 1}}^{2}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + 8{{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 3}}^{3} + 3I_{{\varepsilon 2}}^{4} \\ 6I_{{\varepsilon 5}}^{5} = I_{{\varepsilon 1}}^{5} - 5I_{{\varepsilon 1}}^{3}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + 5I_{{\varepsilon 1}}^{2}I_{{\varepsilon 3}}^{3} + 5I_{{\varepsilon 2}}^{2}I_{{\varepsilon 3}}^{3} \\ 12I_{{\varepsilon 6}}^{6} = I_{{\varepsilon 1}}^{6} - 3I_{{\varepsilon 1}}^{4}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + 4I_{{\varepsilon 1}}^{3}I_{{\varepsilon 3}}^{3} - 9I_{{\varepsilon 1}}^{2}I_{{\varepsilon 2}}^{4} + 12{{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 2}}^{2}I_{{\varepsilon 3}}^{3} + 3I_{{\varepsilon 2}}^{6} + 4I_{{\varepsilon 3}}^{6} \\ \end{gathered} $

Число независимых констант $c_{{klm}}^{{(N)}}$ в (1.5) равно количеству троек $(k,l,m)$ неотрицательных целых чисел $k$, $l$ и $m$ таких, что $k + 2l + 3m = 2N$. Для N = 1 троек две: $(2,0,0)$ и $(0,1,0)$, что соответствует гуковскому потенциалу

(1.7)
${{W}^{{(1)}}} = c_{{200}}^{{(1)}}I_{{\varepsilon 1}}^{2} + c_{{010}}^{{(1)}}I_{{\varepsilon 2}}^{2}$
с постоянными Ламе $\lambda = 2c_{{200}}^{{(1)}}$ и $\mu = c_{{010}}^{{(1)}}$. Для N = 2 имеем четыре тройки: $(4,0,0)$, $(2,1,0)$, $(1,0,1)$ и $(0,2,0)$, т. е.

(1.8)
${{W}^{{(2)}}} = c_{{400}}^{{(2)}}\frac{{I_{{\varepsilon 1}}^{4}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}} + c_{{210}}^{{(2)}}I_{{\varepsilon 1}}^{2} + c_{{101}}^{{(2)}}\frac{{{{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 3}}^{3}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}} + c_{{020}}^{{(2)}}I_{{\varepsilon 2}}^{2}$

В силу очевидной из (1.5) связи констант соседних уровней

(1.9)
$c_{{klm}}^{{(N)}} = c_{{k,l - 1,m}}^{{(N - 1)}},\quad l = 1,2, \ldots ,N$
можно утверждать, что потенциал ${{W}^{{(N)}}}$ содержит все слагаемые, входящие в ${{W}^{{(N - 1)}}}$, а кроме того новые слагаемые, соответствующие тройкам $(k,0,m)$. Число таких новых слагаемых на N-м шаге ($N \geqslant 2$) равно количеству чисел, делящихся на три, включая нуль, и не превышающих $2N$, т. е. $[2N{\text{/}}3] + 1$. Таким образом, число ${{F}^{{(N)}}}$ независимых констант $c_{{klm}}^{{(N)}}$ в (1.5) вычисляется рекуррентно:
(1.10)
${{F}^{{(1)}}} = 2,\quad {{F}^{{(N)}}} = {{F}^{{(N - 1)}}} + \left[ {\frac{{2N}}{3}} \right] + 1,\quad N \geqslant 2$
т. е. ${{F}^{{(2)}}} = 4$, ${{F}^{{(3)}}} = 7$, ${{F}^{{(4)}}} = 10$ и т. д.

2. Определяющие соотношения уровня N. Перейдем к нахождению напряжений (1.1) на основе изотропного потенциала (1.5). Принимая во внимание соотношения

(2.1)
$\frac{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}}{{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}}} = {{\delta }_{{ij}}},\quad \frac{{\partial I_{{\varepsilon 2}}^{2}}}{{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}}} = \frac{{{{\varepsilon }_{{ij}}}}}{{{{I}_{{\varepsilon 2}}}}},\quad \frac{{\partial I_{{\varepsilon 3}}^{3}}}{{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}}} = \frac{{{{\varepsilon }_{{ip}}}{{\varepsilon }_{{pj}}}}}{{I_{{\varepsilon 3}}^{2}}}$
получим
(2.2)
$\sigma _{{ij}}^{{(N)}} = A_{0}^{{(N)}}{{\delta }_{{ij}}} + A_{1}^{{(N)}}{{\varepsilon }_{{ij}}} + A_{2}^{{(N)}}{{\varepsilon }_{{ip}}}{{\varepsilon }_{{pj}}}$
где коэффициенты $A_{0}^{{(N)}}$, $A_{1}^{{(N)}}$ и $A_{2}^{{(N)}}$ – материальные функции инвариантов
(2.3)
$\begin{gathered} A_{0}^{{(N)}} = \frac{1}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus kc_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\varepsilon 1}}^{{k - 1}}I_{{\varepsilon 2}}^{{2l}}I_{{\varepsilon 3}}^{{3m}} \\ A_{1}^{{(N)}} = \frac{2}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2N}}}}\sum\limits_ \oplus (l + 1 - N)c_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\varepsilon 1}}^{k}I_{{\varepsilon 2}}^{{2l}}I_{{\varepsilon 3}}^{{3m}} \\ A_{2}^{{(N)}} = \frac{3}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus mc_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\varepsilon 1}}^{k}I_{{\varepsilon 2}}^{{2l}}I_{{\varepsilon 3}}^{{3(m - 1)}} \\ \end{gathered} $
разумеется, удовлетворяющие трем перекрестным условиям потенциальности

$\frac{{\partial A_{0}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 2}}}}} = {{I}_{{\varepsilon 2}}}\frac{{\partial A_{1}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}},\quad \frac{{\partial A_{0}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 3}}}}} = I_{{\varepsilon 3}}^{2}\frac{{\partial A_{2}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 1}}}}},\quad {{I}_{{\varepsilon 2}}}\frac{{\partial A_{1}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 3}}}}} = I_{{\varepsilon 3}}^{2}\frac{{\partial A_{2}^{{(N)}}}}{{\partial {{I}_{{\varepsilon 2}}}}}$

Отметим некоторые важные свойства тензорно нелинейной изотропной функции σ(ε) (2.2) с коэффициентами (2.3).

a) Норма каждого из слагаемых в (2.2) имеет порядок малости $O({\text{||}}{\mathbf{\varepsilon }}{\text{||}})$, ${\text{||}}{\mathbf{\varepsilon }}{\text{||}} \to 0$.

b) Из предыдущего пункта, в частности, следуют равенства

(2.4)
$\sigma _{{ij}}^{{(N)}}{{\varepsilon }_{{ij}}} = {{I}_{{\varepsilon 1}}}A_{0}^{{(N)}} + I_{{\varepsilon 2}}^{2}A_{1}^{{(N)}} + I_{{\varepsilon 3}}^{3}A_{2}^{{(N)}} = 2{{W}^{{(N)}}}$
что говорит о традиционном физическом смысле потенциала (1.5) (и в общем случае (1.4)) как энергии упругой деформации.

c) Функция (2.2) тензорно линейна, или квазилинейна тогда и только тогда, когда $A_{2}^{{(N)}} \equiv 0$, т. е. потенциал (1.5) не зависит от кубического инварианта деформаций ${{I}_{{\varepsilon 3}}}$. В этом случае в (1.5) и (2.3) следует положить m = 0 и отбирать только тройки $(k,l,0)$:

(2.5)
${{W}^{{(N)}}} = \frac{1}{{I_{{\varepsilon 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus c_{{kl0}}^{{(N)}}I_{{\varepsilon 1}}^{k}I_{{\varepsilon 2}}^{{2l}},\quad N \geqslant 1$

Число независимых материальных констант $c_{{kl0}}^{{(N)}}$ равно $N + 1$. Тензорная линейность функции ε(σ) эквивалентна [10] пропорциональности девиаторов

(2.6)
${\mathbf{s}} = {\mathbf{\sigma }} - {{I}_{{\sigma 1}}}{\text{I/}}3,\quad {\mathbf{e}} = {\mathbf{\varepsilon }} - {{I}_{{\varepsilon 1}}}{\text{I/}}3$

3. Квазиполиномиальные N-уровневые потенциалы деформаций по напряжениям. Для обратной тензор-функции ε(σ) подобно (1.1) введем потенциал w деформаций по напряжениям, зависящий от инвариантов (1.3):

(3.1)
${{\varepsilon }_{{ij}}} = \frac{{\partial w}}{{\partial {{\sigma }_{{ij}}}}},\quad w = w({{I}_{{\sigma 1}}},{{I}_{{\sigma 2}}},{{I}_{{\sigma 3}}})$

Если функция ${{W}^{{(N)}}}$ изотропна и имеет квазиполиномиальный вид (1.5), то w записывается аналогичным образом:

(3.2)
${{w}^{{(N)}}} = \frac{1}{{I_{{\sigma 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus d_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\sigma 1}}^{k}I_{{\sigma 2}}^{{2l}}I_{{\sigma 3}}^{{3m}},\quad N \geqslant 1$
где $d_{{klm}}^{{(N)}}$ – материальные константы, алгебраически выражающиеся (вообще говоря, при больших N довольно сложно) через $c_{{klm}}^{{(N)}}$. Для N = 1 получим гуковский потенциал
(3.3)
${{w}^{{(1)}}} = d_{{200}}^{{(1)}}I_{{\sigma 1}}^{2} + d_{{010}}^{{(1)}}I_{{\sigma 2}}^{2},\quad d_{{200}}^{{(1)}} = - \frac{\nu }{{2E}},\quad d_{{010}}^{{(1)}} = \frac{{1 + \nu }}{{2E}}$
с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона $\nu $. Для N = 2 имеем

(3.4)
${{w}^{{(2)}}} = d_{{400}}^{{(2)}}\frac{{I_{{\sigma 1}}^{4}}}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}} + d_{{210}}^{{(2)}}I_{{\sigma 1}}^{2} + d_{{101}}^{{(2)}}\frac{{{{I}_{{\sigma 1}}}I_{{\sigma 3}}^{3}}}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}} + d_{{020}}^{{(2)}}I_{{\sigma 2}}^{2}$

Вычисленные на основе изотропного потенциала (3.2) деформации ${{\varepsilon }_{{ij}}}$ имеют вид

(3.5)
$\varepsilon _{{ij}}^{{(N)}} = B_{0}^{{(N)}}{{\delta }_{{ij}}} + B_{1}^{{(N)}}{{\sigma }_{{ij}}} + B_{2}^{{(N)}}{{\sigma }_{{ip}}}{{\sigma }_{{pj}}}$
где $B_{0}^{{(N)}}$, $B_{1}^{{(N)}}$ и $B_{2}^{{(N)}}$ – материальные функции инвариантов (1.3):

(3.6)
$\begin{gathered} B_{0}^{{(N)}} = \frac{1}{{I_{{\sigma 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus kd_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\sigma 1}}^{{k - 1}}I_{{\sigma 2}}^{{2l}}I_{{\sigma 3}}^{{3m}} \\ B_{1}^{{(N)}} = \frac{2}{{I_{{\sigma 2}}^{{2N}}}}\sum\limits_ \oplus (l + 1 - N)d_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\sigma 1}}^{k}I_{{\sigma 2}}^{{2l}}I_{{\sigma 3}}^{{3m}} \\ B_{2}^{{(N)}} = \frac{3}{{I_{{\sigma 2}}^{{2(N - 1)}}}}\sum\limits_ \oplus md_{{klm}}^{{(N)}}I_{{\sigma 1}}^{k}I_{{\sigma 2}}^{{2l}}I_{{\sigma 3}}^{{3(m - 1)}} \\ \end{gathered} $

Взаимная обратность функций (2.2) и (3.5) обусловлена тем, что

(3.7)
$2{{w}^{{(N)}}}({\mathbf{\sigma }}) = {{\sigma }_{{ij}}}\frac{{\partial {{w}^{{(N)}}}}}{{\partial {{\sigma }_{{ij}}}}} = {{\sigma }_{{ij}}}\varepsilon _{{ij}}^{{(N)}} = \sigma _{{ij}}^{{(N)}}{{\varepsilon }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ij}}}\frac{{\partial {{W}^{{(N)}}}}}{{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}}} = 2{{W}^{{(N)}}}({\mathbf{\varepsilon }})$

Аналитические зависимости троек материальных функций $A_{0}^{{(N)}}$, $A_{1}^{{(N)}}$, $A_{2}^{{(N)}}$ и $B_{0}^{{(N)}}$, $B_{1}^{{(N)}}$, $B_{2}^{{(N)}}$ можно найти в работе [9].

4. Потенциалы и определяющие соотношения второго уровня. Установочные эксперименты. Остановимся подробнее на следующем по сложности после физически линейного уровне N = 2 с упругими потенциалами (1.8) и (3.4). Для краткости переобозначая ${{a}_{1}} = c_{{400}}^{{(2)}}$, ${{a}_{2}} = c_{{210}}^{{(2)}}$, ${{a}_{3}} = c_{{101}}^{{(2)}}$, ${{a}_{4}} = c_{{020}}^{{(2)}}$, ${{b}_{1}} = d_{{400}}^{{(2)}}$, ${{b}_{2}} = d_{{210}}^{{(2)}}$, ${{b}_{3}} = d_{{101}}^{{(2)}}$, ${{b}_{4}} = d_{{020}}^{{(2)}}$, из (2.2) и (3.5) получим

(4.1)
$\sigma _{{ij}}^{{(2)}} = \left( {2{{a}_{2}}{{I}_{{\varepsilon 1}}} + \frac{{4{{a}_{1}}I_{{\varepsilon 1}}^{3}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}} + \frac{{{{a}_{3}}I_{{\varepsilon 3}}^{3}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}}} \right){{\delta }_{{ij}}} + 2\left( {{{a}_{4}} - \frac{{{{a}_{1}}I_{{\varepsilon 1}}^{4}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{4}}} - \frac{{{{a}_{3}}{{I}_{{\varepsilon 1}}}I_{{\varepsilon 3}}^{3}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{4}}}} \right){{\varepsilon }_{{ij}}} + \frac{{3{{a}_{3}}{{I}_{{\varepsilon 1}}}}}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}}{{\varepsilon }_{{ip}}}{{\varepsilon }_{{pj}}}$
(4.2)
$\varepsilon _{{ij}}^{{(2)}} = \left( {2{{b}_{2}}{{I}_{{\sigma 1}}} + \frac{{4{{b}_{1}}I_{{\sigma 1}}^{3}}}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}} + \frac{{{{b}_{3}}I_{{\sigma 3}}^{3}}}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}}} \right){{\delta }_{{ij}}} + 2\left( {{{b}_{4}} - \frac{{{{b}_{1}}I_{{\sigma 1}}^{4}}}{{I_{{\sigma 2}}^{4}}} - \frac{{{{b}_{3}}{{I}_{{\sigma 1}}}I_{{\sigma 3}}^{3}}}{{I_{{\sigma 2}}^{4}}}} \right){{\sigma }_{{ij}}} + \frac{{3{{b}_{3}}{{I}_{{\sigma 1}}}}}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}}{{\sigma }_{{ip}}}{{\sigma }_{{pj}}}$

Опишем набор установочных экспериментов для вычисления податливостей ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$, ${{b}_{3}}$ и ${{b}_{4}}$.

Растяжение стержня. В одноосном напряженном состоянии с единственной ненулевой компонентой ${{\sigma }_{{11}}} = {{\sigma }_{0}}$ инварианты (1.3) таковы: ${{I}_{{\sigma 1}}} = {{\sigma }_{0}}$, $I_{{\sigma 2}}^{2} = \sigma _{0}^{2}$, $I_{{\sigma 3}}^{3} = \sigma _{0}^{3}$. На основании (4.2) ненулевыми будут продольная $\varepsilon _{{11}}^{{(2)}}$ и две поперечные $\varepsilon _{{22}}^{{(2)}}$, $\varepsilon _{{33}}^{{(2)}}$ компоненты деформаций:

(4.3)
$\varepsilon _{{11}}^{{(2)}} = 2({{b}_{1}} + {{b}_{2}} + {{b}_{3}} + {{b}_{4}}){{\sigma }_{0}},\quad \varepsilon _{{22}}^{{(2)}} = \varepsilon _{{33}}^{{(2)}} = (4{{b}_{1}} + 2{{b}_{2}} + {{b}_{3}}){{\sigma }_{0}}$

Равномерное давление. При сжатии тела равномерным давлением p0 = –σ11 = –σ22 = $ - {{\sigma }_{{33}}}$ имеем ${{I}_{{\sigma 1}}} = - 3{{p}_{0}}$, $I_{{\sigma 2}}^{2} = 3p_{0}^{2}$, $I_{{\sigma 3}}^{3} = - 3p_{0}^{3}$. Дилатация $\varepsilon _{{kk}}^{{(2)}}$, являющаяся относительным изменением объема тела, подлежит измерению и, с другой стороны, находится из обратных определяющих соотношений (4.2):

(4.4)
$\varepsilon _{{kk}}^{{(2)}} = - 6(9{{b}_{1}} + 3{{b}_{2}} + {{b}_{3}} + {{b}_{4}}){{p}_{0}}$

Сдвиг плоского слоя. При одномерном сдвиге плоского слоя ${{\sigma }_{{12}}} = {{\sigma }_{0}}$, ${{I}_{{\sigma 1}}} = {{I}_{{\sigma 3}}} = 0$, $I_{{\sigma 2}}^{2} = 2\sigma _{0}^{2}$. Сдвиговая деформация $\varepsilon _{{12}}^{{(2)}}$ согласно (4.2) имеет вид

(4.5)
$\varepsilon _{{12}}^{{(2)}} = 2{{b}_{4}}{{\sigma }_{0}}$

Итак, по результатам четырех измерений деформаций в трех установочных экспериментах предъявлена неоднородная система четырех линейных уравнений (4.3)–(4.5) относительно податливостей ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$, ${{b}_{3}}$ и ${{b}_{4}}$. Нетрудно показать, что ее ранг равен четырем. Если в результате решения этой системы окажется, что ${{b}_{1}} = {{b}_{3}} = 0$, то достаточно ограничиться моделью уровня N = 1, т.е. физически линейной моделью упругости, в которой определяющие соотношения (4.1) и (4.2) превращаются в прямой и обратный законы Гука.

Аналогично предыдущему можно предъявить набор установочных экспериментов для нахождения упругих констант ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{4}}$.

Одноосное деформирование плоского слоя. В одноосном деформированном состоянии с единственной ненулевой компонентой деформаций ${{\varepsilon }_{{11}}} = {{\varepsilon }_{0}}$ инваранты (1.2) следующие: ${{I}_{{\varepsilon 1}}} = {{\varepsilon }_{0}}$, $I_{{\varepsilon 2}}^{2} = \varepsilon _{0}^{2}$, $I_{{\varepsilon 3}}^{3} = \varepsilon _{0}^{3}$. Тогда из (4.1) следует, что диагональные компоненты напряжений имеют вид

(4.6)
$\sigma _{{11}}^{{(2)}} = 2({{a}_{1}} + {{a}_{2}} + {{a}_{3}} + {{a}_{4}}){{\varepsilon }_{0}},\quad \sigma _{{22}}^{{(2)}} = \sigma _{{33}}^{{(2)}} = (4{{a}_{1}} + 2{{a}_{2}} + {{a}_{3}}){{\varepsilon }_{0}}$

Равномерное сжатие. Тензор деформаций в этом случае шаровой: ${{\varepsilon }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{0}}{{\delta }_{{ij}}}$, ${{I}_{{\varepsilon 1}}} = 3{{\varepsilon }_{0}}$, $I_{{\varepsilon 2}}^{2} = 3\varepsilon _{0}^{2}$, $I_{{\varepsilon 3}}^{3} = 3\varepsilon _{0}^{3}$. Измеримый в эксперименте след напряжений $\sigma _{{kk}}^{{(2)}}$, равный утроенному давлению с противоположным знаком, вычисляется на основании (4.1):

(4.7)
$\sigma _{{kk}}^{{(2)}} = 6(9{{a}_{1}} + 3{{a}_{2}} + {{a}_{3}} + {{a}_{4}}){{\varepsilon }_{0}}$

Сдвиг плоского слоя. Имеем ${{\varepsilon }_{{12}}} = {{\varepsilon }_{0}}$, ${{I}_{{\varepsilon 1}}} = {{I}_{{\varepsilon 3}}} = 0$, $I_{{\varepsilon 2}}^{2} = 2\varepsilon _{0}^{2}$. Касательное напряжение $\sigma _{{12}}^{{(2)}}$ согласно (4.1) равно

(4.8)
$\sigma _{{12}}^{{(2)}} = 2{{a}_{4}}{{\varepsilon }_{0}}$

Система четырех линейных уравнений (4.6)–(4.8) относительно ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{4}}$ разрешима. Четверки констант $({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}})$ и $({{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}},{{b}_{4}})$, разумеется, можно алгебраически выразить друг через друга, используя взаимообратность соотношений (4.1) и (4.2).

5. Тензорно линейные определяющие соотношения второго уровня. Связи напряжений и деформаций (4.1) и (4.2) становятся тензорно линейными, если в них положить ${{a}_{3}} = 0$ и ${{b}_{3}} = 0$. Потенциалы (1.8) и (3.4) примут вид

(5.1)
${{W}^{{(2)}}} = \frac{1}{{I_{{\varepsilon 2}}^{2}}}({{a}_{1}}I_{{\varepsilon 1}}^{4} + {{a}_{2}}I_{{\varepsilon 1}}^{2}I_{{\varepsilon 2}}^{2} + {{a}_{4}}I_{{\varepsilon 2}}^{4}),\quad {{w}^{{(2)}}} = \frac{1}{{I_{{\sigma 2}}^{2}}}({{b}_{1}}I_{{\sigma 1}}^{4} + {{b}_{2}}I_{{\sigma 1}}^{2}I_{{\sigma 2}}^{2} + {{b}_{4}}I_{{\sigma 2}}^{4})$

Переходя от квадратичных инвариантов $I_{{\varepsilon 2}}^{2}$ и $I_{{\sigma 2}}^{2}$ тензоров ε и σ к квадратичным инвариантам $I_{{e2}}^{2} = {\kern 1pt} \;{\text{tr}}({{{\mathbf{e}}}^{2}}) = \sqrt {{{e}_{{ij}}}{{e}_{{ij}}}} $ и $I_{{s2}}^{2} = {\kern 1pt} \;{\text{tr}}{\kern 1pt} ({{{\mathbf{s}}}^{2}}) = \sqrt {{{s}_{{ij}}}{{s}_{{ij}}}} $ их девиаторов (2.6):

(5.2)
$I_{{e2}}^{2} = I_{{\varepsilon 2}}^{2} + \frac{1}{3}I_{{\varepsilon 1}}^{2},\quad I_{{s2}}^{2} = I_{{\sigma 2}}^{2} + \frac{1}{3}I_{{\sigma 1}}^{2}$
преобразуем выражения для потенциалов:

(5.3)
$\begin{gathered} I_{{\varepsilon 2}}^{2}{{W}^{{(2)}}} = \left( {{{a}_{1}} + \frac{{{{a}_{2}}}}{3} + \frac{{{{a}_{4}}}}{9}} \right)I_{{\varepsilon 1}}^{4} + \left( {{{a}_{2}} + \frac{{2{{a}_{4}}}}{3}} \right)I_{{\varepsilon 1}}^{2}I_{{e2}}^{2} + {{a}_{4}}I_{{e2}}^{4} \\ I_{{\sigma 2}}^{2}{{w}^{{(2)}}} = \left( {{{b}_{1}} + \frac{{{{b}_{2}}}}{3} + \frac{{{{b}_{4}}}}{9}} \right)I_{{\sigma 1}}^{4} + \left( {{{b}_{2}} + \frac{{2{{b}_{4}}}}{3}} \right)I_{{\sigma 1}}^{2}I_{{s2}}^{2} + {{b}_{4}}I_{{s2}}^{4} \\ \end{gathered} $

Исследуем вопрос о положительной определенности правых частей (5.3) как квадратичных форм, построенных на парах $(I_{{\varepsilon 1}}^{2},I_{{e2}}^{2})$ и $(I_{{\sigma 1}}^{2},I_{{s2}}^{2})$. Дискриминанты этих форм равны ${{D}_{a}} = a_{2}^{2} - 4{{a}_{1}}{{a}_{4}}$ и ${{D}_{b}} = b_{2}^{2} - 4{{b}_{1}}{{b}_{4}}$ соответственно. Поскольку элементы в каждой из указанных пар неотрицательны, имеют место следующие наборы условий, являющиеся критериями положительной определенности:

$\left( {{{a}_{1}} + \frac{{{{a}_{2}}}}{3} + \frac{{{{a}_{4}}}}{9} > 0} \right) \wedge \left( {{{a}_{4}} > 0} \right) \wedge \left( {\left( {{{D}_{a}} < 0} \right) \vee \left( {\left( {{{D}_{a}} \geqslant 0} \right) \wedge \left( {{{a}_{2}} + \frac{{2{{a}_{4}}}}{3} > 0} \right)} \right)} \right)$
$\left( {{{b}_{1}} + \frac{{{{b}_{2}}}}{3} + \frac{{{{b}_{4}}}}{9} > 0} \right) \wedge \left( {{{b}_{4}} > 0} \right) \wedge \left( {\left( {{{D}_{b}} < 0} \right) \vee \left( {\left( {{{D}_{b}} \geqslant 0} \right) \wedge \left( {{{b}_{2}} + \frac{{2{{b}_{4}}}}{3} > 0} \right)} \right)} \right)$

В частном (физически линейном) случае ${{a}_{1}} = 0$ дискриминанты ${{D}_{a}}$ и ${{D}_{b}}$ неотрицательны и эти два набора условий сводятся к следующим:

(5.4)
$\frac{{{{a}_{2}}}}{3} + \frac{{{{a}_{4}}}}{9} > 0,\quad {{a}_{4}} > 0;\quad \frac{{{{b}_{2}}}}{3} + \frac{{{{b}_{4}}}}{9} > 0,\quad {{b}_{4}} > 0$

В использующихся в теории упругости обозначениях ${{a}_{2}} = \lambda {\text{/}}2$, a4 = μ, ${{b}_{2}} = - \nu {\text{/}}(2E)$, ${{b}_{4}} = (1 + \nu ){\text{/}}(2E)$ системы (5.4) эквивалентны известным требованиям

$\lambda + \frac{{2\mu }}{3} > 0,\quad \mu > 0;\quad \frac{{1 - 2\nu }}{E} > 0,\quad \frac{{1 + \nu }}{E} > 0$

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-00077).

Список литературы

  1. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 393–417.

  2. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с. = Spencer A.J. M. Continuum Physics. V. 1. Part III. Theory of Invariants. N.Y.–London, 1971.

  3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2014. 320 с.

  4. Аннин Б.Д. Формула Лагранжа–Сильвестра для тензорной функции, зависящей от двух тензоров // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133. № 4. С. 743–744.

  5. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.

  6. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.

  7. Георгиевский Д.В. Нелинейные тензор-функции двух аргументов и некоторые “ортогональные эффекты” напряженно-деформированного состояния // Известия РАН. МТТ. 2020. № 5. С. 21–26. https://doi.org/10.31857/S0572329920040042

  8. Бровко Г.Л. Объективные тензоры и их отображения в классической механике сплошной среды // Известия РАН. МТТ. 2021. № 1. С. 83–105. https://doi.org/10.31857/S0572329920060045

  9. Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 2. С. 150–176.

  10. Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Известия РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33. https://doi.org/10.31857/S057232990000794-3

Дополнительные материалы отсутствуют.