Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 7, стр. 15-19

Среди ученых, которые использовали модель механического аналога (МА) в виде математического маятника (линейного осциллятора) в 60-годы прошлого века был академик РАН Колесников Константин Сергеевич. Кроме этого следует упомянуть также и создателей электромеханической аналогии для ракетных систем на жидком топливе – профессоров С.П. Стрелкова, Смыслова (ЦАГИ); академика РАН Моисеева Н.Н.; профессора Рабиновича Б.И. (ЦНИИМАШ), Докучаева Л.В., Шклярчука Ф.Н.

Константин Сергеевич одним из первых решил задачу о малых колебаниях идеальной жидкости в жестком цилиндрическом сосуде [1–3]. Для этой задачи он построил механический аналог в виде математического маятника. Колесников написал и издал монографии по динамике ракет, в которых использовал маятниковую модель жидкостной ракеты [2, 3].

Следует также упомянуть профессора Лампера Роберта Ефимовича (СибНИА). Он также использовал механическую модель в виде цепочки линейных осцилляторов для колебаний упругого бака с жидкостью [6]. Он, как и профессор Богоряд И.Б. (директор Института проблем механики в г. Томске) был организатором Всесоюзных научных симпозиумов по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск 70-е годы прошлого века), которые в достаточной мере поддерживал К.С. Колесников, посылая на эти симпозиумы своих учеников Самодаева В.Е. и Пожалостина А.А.

Для построения механического аналога колебаний идеальной жидкости в цилиндрическом жестком баке Колесников К.С. использует постулаты: 1) равенство частот собственных колебаний исходной системы (система цилиндр – жидкость) и механического аналога (линейного осциллятора); 2) равенство кинетической энергии бака с жидкостью и МА.

Механические аналоги в случае осесимметричных колебаний упругого цилиндрического бака с жидкостью разработаны на основе представлений, изложенных в работе ученика Константина Сергеевича Пожалостина А.А. [7].

Механический аналог в этом случае это бесконечная цепочка параллельных линейных осцилляторов ${{m}_{i}}$ (подкрепленные линейной жесткостью ${{C}_{i}}$). Доказано, что сумма масс осцилляторов при определенной нормировке собственных функций равна физической массе жидкости в баке – $m$ [11].

где $i$ – номер тона собственных колебаний системы.

Представлениями о механической аналогии в полной мере пользуется в своих работах ученик Колесникова К.С. Темнов А.Н. В книгах К.С. Колесникова рассмотрена краевая задача о малых поперечных колебаниях абсолютно жесткого бака с идеальной несжимаемой жидкостью в случае потенциального течения и определен потенциал скорости частиц жидкости.

Используя монографию [2, 3] Колесникова К.С. рассмотрим случай малых поперечных колебаний жидкости в жестком цилиндрическом сосуде радиуса $R$ и заполненного жидкостью на высоту $H$ (рис. 1) [2, 3].

Задача решается в цилиндрических координатах $orx\eta $ с применением потенциалов Н.Е. Жуковского [8, 9].

Найденный К.С. Колесниковым потенциал скорости имеет вид

Функции Бесселя ${{J}_{1}}$ являются собственными для уравнения Лапласа в цилиндрических координатах [2, 4, 10].

Для первого тона колебаний системы механический аналог представлен на рис. 2, где [2, 3] параметры аналога: длины маятников, и массы $m$ имеют вид

$n$ – номер тона колебаний.

На рис. 2 представлен механический аналог в случае первого тона колебаний системы, когда n = 1 в (3).

Проиллюстрируем применение подхода, связанного с понятием механического аналога к задаче об ударе прямоугольного бака с жидкостью о неподвижную опору.

Эта задача имеет практическое применение (в судоходстве) в настоящее время при движении судов нефтевозах и газоводов по северному морскому пути в случае столкновения с ледяной преградой (торосами). Задача решена при допущениях: 1) жидкость идеальная и несжимаемая, а ее движение малое и потенциальное с потенциалом скоростей $\Phi $ $(x,y,z)$ (рис. 3); рассматриваются плоские колебания системы; 2) удар считается абсолютно неупругим; 3) высота столба жидкости – $H$, заполняет абсолютно жесткий прямоугольный сосуд; 4) движение жидкости симметрично относительно меридиональной плоскости бака.

Функция $\Phi $ [2, 4] (рис. 3) является решением уравнения Лапласа

где $\tau $ – объем, занятый жидкостью. Гидродинамическое давление жидкости $p$ равно: $p = \rho \frac{{\partial \Phi }}{{\partial t}}$, $\rho $ – плотность жидкости.

Потенциал $\Phi $ удовлетворяет граничным условиям [11],

и где $\sum $ – свободная поверхность жидкости.

Используем метод Фурье находим потенциал $\Phi $ [12]

где ${{C}_{i}}$ – неизвестные произвольные постоянные, $\theta $ – временная функция, ${{\lambda }_{i}} = \frac{{i\pi }}{l}$, i = = 1, 2, …, … .

Используя метод механического аналога (МА) [2, 3] для колебаний бака с жидкостью, учтем в задаче об ударе бака о стену только первый тон колебаний жидкости. МА представлен на рис. 4.

Считается, что до удара все элементы имеют скорость ${{V}_{0}}$; $m_{1}^{0}$ – масса МА; остальная масса ${{m}_{{\text{ж}}}}$ сосредоточена на днище бака [2] ${{M}_{1}} + {{m}_{{\text{ж}}}} = M$ – масса сосуда ${{M}_{1}}$ с затвердевшей жидкостью ${{m}_{{\text{ж}}}}$; $m_{1}^{0} = \frac{\rho }{2}Hl{\text{th}}\frac{{\pi H}}{l}$, $l_{1}^{0} = l{\text{/}}\pi th$ $\pi H{\text{/}}l$ – приведенная длина маятника МА.

Применим две теоремы [1]: 1) об изменении количества движения $\bar {Q}$; 2) об изменении кинетического момента ${{\bar {K}}_{c}}$ для удара.

где $S_{k}^{{(е)}}$ – внешний ударный импульс, $c$ – центр масс системы.

После удара ${{V}_{M}} = 0$; ${{V}_{{m_{1}^{0}}}} = l_{1}^{0}{{\omega }_{1}}$; ${{\omega }_{1}}$ – угловая скорость маятника после удара.

В результате получим два алгебраических уравнения относительно ${{\omega }_{1}}$ и $S$.

где ${{a}_{{11}}} = m_{1}^{0}l_{1}^{0}$; ${{a}_{{12}}} = 1$; ${{a}_{{12}}} = 1$; ${{A}_{1}} = (m_{1}^{0} + M){{V}_{0}}$;

Тогда

Угол поворота маятника после удара будет равен

Последнее дает возможность вычислить гидродинамическое давление на корпус бака.

Основной результат состоит в том, что давление жидкости после удара прямо пропорционально скорости движения до удара.