Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 4, стр. 26-36

1. Постановка задачи. В задачах оценки и обеспечения конструкционной прочности и ресурса конструктивных элементов технических систем в реальных условиях эксплуатации неизбежно присутствует высокий уровень неопределенности, обусловленный вариативностью механических свойств и стохастической природой процессов их деградации, а также разбросом размеров трещин и других макродефектов. Дефекты могут возникнуть при изготовлении, монтаже или в процессе эксплуатации и не быть выявленными средствами неразрушающего контроля, которые не позволяют на современном уровне развития техники обеспечить 100% выявляемость дефектов. Вследствие чего на практике всегда приходится учитывать наличие остаточной дефектности, под которой понимается совокупность дефектов, которая остается в оборудовании после неразрушающего контроля и ремонта выявленных дефектов [1–4]. Отдельная группа неопределенностей связана с вариативностью режимов эксплуатационных нагружений, а также возможностью реализации расчетных и нерасчетных экстремальных воздействий на рассматриваемые конструктивные элементы.

Конструкционная прочность и эксплуатационный ресурс рассматриваемых конструктивных элементов считаются обеспеченными, если для всей совокупности доминирующих механизмов достижения предельных состояний i = 1, 2, …, k на протяжении всего срока эксплуатации элемента ${{T}_{{\text{Э}}}}$ выполняются условия [5–12]

где $\Sigma _{i}^{C}(t)$ – предельные характеристики прочности, трещиностойкости, надежности, ресурса, живучести элемента (далее характеристики несущей способности), $\Sigma _{i}^{{\text{Э}}}(t)$ – соответствующие им факторы эксплуатационного нагружения (далее нагрузки).

Традиционно при решении задач прочности раскрытие указанных неопределенностей осуществлялось в рамках детерминистического подхода путем введения системы запасов прочности n₁, n₂, …, n_k по основным механизмам достижения предельных состояний, при которых неопределенные параметры $\Sigma _{i}^{C}(t)$, $\Sigma _{i}^{{\text{Э}}}(t)$ (i = 1, 2, …, k) в системе неравенств (1) заменяются на их детерминированные характеристики, например, математические ожидания E{$\Sigma _{i}^{C}(t)$}, E{$\Sigma _{i}^{{\text{Э}}}(t)$}, а для компенсации возможных отклонений от указанных математических ожиданий (в том числе, минимизации влияния неучтенных нагрузок), вместо числа 1 в правые части неравенств (1) вводятся соответствующие величины запасов n₁ > 1, n₂ > 1, …, n_k > 1

С развитием вероятностного и далее риск-ориентированного подходов, обусловленных необходимостью решения проблем по минимизации затрат жизненного цикла, встает задача оценки вероятности разрушения конструктивных элементов под действием рассматриваемых режимов нагружения (P_F1, P_F2, …, P_Fk) [12] и сопоставления полученных оценок с некоторыми нормативными предельно-допустимыми значениями вероятности разрушения [P_F], которая в зависимости от ответственности рассматриваемой конструкции выбирается в диапазоне 10^–5–10^–8, год^–1 [9, 13]. При этом конструкционная прочность и эксплуатационный ресурс рассматриваемого конструктивного элемента по основным механизмам достижения предельных состояний считаются обеспеченными, если выполняется система неравенств

Решение поставленной задачи в вероятностной постановке предполагает описание неопределенностей с помощью вероятностных распределений неопределенных параметров и получение расчетных оценок вероятности разрушения аналитическим или численным способом. Отдельной задачей является обоснованный выбор значений нормативных, предельно-допустимых значений вероятности разрушения [P_Fi(t)] по рассматриваемым механизмам достижения предельных состояний, который осуществляется с учетом критичности элемента и последствий, наступающих в случае его разрушения.

2. Оценка вероятности разрушения элемента при однократном статическом нагружении. Используя записанную в интегральной форме теорему о полной вероятности, уравнение для оценки вероятности разрушения компонента, находящегося в хрупком состоянии и содержащего трещиноподобный дефект, можно записать в виде [1, 2]

где P_F – вероятность разрушения; F_KIc(K_Ic) – интегральная функция распределения вязкости разрушения K_Iс; f_σ(σ) – функция плотности распределения напряжения σ; a – вероятностная величина “характерный размер дефекта”, под которой, можно понимать, например, глубину трещины; F(а) – интегральная функция распределения размера дефекта; P(a ≥ a_C) – вероятность того, что размер дефекта превысит критическую величину a_C: F(а_C) = P(a < a_C) = 1 – P(a > a_C) → P(a > a_C) = 1 – F(а_C).

Коэффициент интенсивности напряжений в зоне поверхностной трещины определяют по уравнению ${{K}_{I}} = {{f}_{k}}\sigma \sqrt {\pi a} $, где f_k – корректирующая функция на геометрию и размер трещины, ее место расположения и схему нагружения.

Если ввести допущение о детерминированности приложенных напряжений (σ), то вероятность разрушения будет определяться более простым выражением

Выражение (2) представляет собой запись теоремы о полной вероятности: вероятность разрушения представляет собой сложное событие a > a_C(K_Ic)|K_Ic ∈ dK_Ic, объединяющее два связанных события: 1) событие 1 – вязкость разрушения K_Ic оказывается в интервале dK_Ic (K_Ic ∈ dK_Ic). Вероятность этого события равняется  f_KIc(K_Ic)dK_Ic; 2) событие 2 – размер дефекта a превышает критическую величину a_C (a > a_C). Вероятность этого события, соответственно, P(a > a_C).

Пределы интегрирования в выражении (2) можно выбрать из условия

где E{K_Ic} и S{K_Ic} – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение величины вязкости разрушения K_Ic; ν_KIc = S{K_Ic}/E{K_Ic} – коэффициент вариации величины K_Ic.

Пусть величина вязкости разрушения распределена по нормальному закону

Будем считать, что случайная величина “характерный размер дефекта” распределена согласно экспоненциальному закону [1] (рис. 1, кривая 1)

где E{a} – математическое ожидание случайной величины a.

Тогда второй множитель подынтегрального выражения в уравнении (2) можно записать в виде

При этом уравнение (2) можно переписать как

Учитывая, что

получим выражение для вероятности разрушения конструктивного элемента с трещиной

Рассмотрим численный пример расчета вероятности разрушения элемента трубопровода, нагруженного внутренним давлением, содержащего осевую поверхностную трещину на внутренней стенке (рис. 2). Исходные данные задачи приведены в табл. 1.

В рассматриваемом примере для консервативной оценки допускается в качестве характерного размера трещины a принимать ее глубину, т.е. рассматривать протяженный дефект длиной, превышающей на порядок ее глубину. Значение корректирующей функции f_k для протяженного дефекта в выражении для коэффициента интенсивности напряжения принимается равным 1.12 [15].

Будем считать, что после проведения неразрушающего контроля осуществляется идентификация и ремонт выявленных дефектов. При этом размер невыявленных дефектов, определяемый качеством (объемом и глубиной) проведения неразрушающего контроля, является вероятностной величиной, распределенной по экспоненциальному закону. В рассматриваемом примере ее математическое ожидание принимается равным E{a} = 2.00 × 10^–3. Иными словами, при проведении расчета постулируется наличие дефекта типа трещины, глубина которой точно неизвестна и считается вероятностной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием E{a} = 2.00 × 10^–3 м.

Согласно соотношению (6) для рассматриваемого примера вероятность разрушения элемента при однократном статическом нагружении составляет P_F = 6.51 × 10^–5.

Зависимость вероятности разрушения от величины математического ожидания размера трещины E{a} представлена на рис. 3.

Если вместо экспоненциального по выражению (4) в качестве распределения глубины трещины a использовать усеченное экспоненциальное распределение вида

с параметром δ равным толщине стенки элемента, позволяющее учесть естественное ограничение для величины a, то с помощью аналогичных преобразований можно получить уточненную оценку вероятности разрушения рассматриваемого конструктивного элемента

Таким образом, в случае использования в рассмотренном численном примере усеченного экспоненциального распределения вероятность разрушения составит P_F = = 6.14 × 10^–5. При этом различие оценок вероятности разрушения при использовании экспоненциального и усеченного экспоненциального распределений составляет порядка 6%.

3. Оценка вероятности усталостного разрушения с учетом разброса начальных размеров трещины a₀ и вязкости разрушения K_Ic. Рассмотрим задачу циклического нагружения конструктивного элемента с трещиноподобным дефектом. Используя (2), можно записать выражение для оценки вероятности разрушения после N циклов нагружения с учетом подрастания трещины от исходной глубины a₀ до текущей глубины a_N

Будем считать, что кинетика трещины описывается модифицированным уравнением Пэриса

где С и m – постоянные, зависящие от материала и условий нагружения; R – коэффициент асимметрии цикла нагружения; ΔK – размах коэффициента интенсивности напряжений в цикле нагружения. Будем считать, что начальный размер трещины a₀ является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону (3).

При этом глубина трещины после N циклов нагружения будет являться функцией случайной величины “начальная глубина трещины” a₀, т.е. между случайными величинами a_N и a₀ будет существовать детерминированная функциональная зависимость. Разделяя переменные и интегрируя левую и правую части выражения (9) можно получить

где a_N – глубина трещины после N циклов нагружения.

Из уравнения (10) можно записать выражение для глубины трещины после N циклов нагружения

Условие разрушения после N циклов нагружения имеет вид

Таким образом, в рассматриваемой постановке величина a_N по выражению (11) будет являться функцией только случайной величины a₀.

Введем понятие критической начальной глубины трещины ${{a}_{{0{{C}_{N}}}}}$ (рис. 4), под которой будем понимать такую начальную глубину трещины, которая после N циклов нагружения при заданном уровне размаха номинальных напряжений в цикле нагружения Δσ достигнет критического размера a_C, определяемого с учетом соотношения (5) и возможности изменения параметров цикла нагружения в виде

В связи с тем, что в рассматриваемой постановке кинетика роста трещины является детерминированной и между величинами a₀ и a_N существует детерминированная функциональная зависимость, условие разрушения в момент времени τ_N, соответствующий N циклам нагружения, можно выразить через соотношение между начальной глубиной трещины a₀ и величиной ${{a}_{{0{{C}_{N}}}}}$

Величину ${{a}_{{0{{C}_{N}}}}}$ можно получить, выразив a₀ из (10)

и подставив в него a_N = a_C получим

Учитывая (12), выражение для вероятности усталостного разрушения после N циклов нагружения (8) можно переписать в виде

Второй множитель подынтегрального выражения в уравнении (14) можно представить через функцию распределения F(a₀) случайной величины “начальная глубина трещины”

Или с учетом (3) для экспоненциального распределения начальной глубины трещины a₀

Тогда с учетом выражений (5) и (13)

При этом выражение для оценки вероятности разрушения после N циклов нагружения можно записать в виде

Следовательно, вероятность усталостного разрушения (15) зависит от: 1) числа циклов нагружения N в интервале времени между проведением оценки состояния элемента методами неразрушающего контроля (N = ντ, ν – годовая частота циклов, τ – интервал времени между проведением оценок состояния, год); 2) качества проведения неразрушающего контроля, которое определяет параметры распределения остаточной дефектности, которая не была выявлена в ходе неразрушающего контроля и, следовательно, была пропущена в эксплуатацию, E{a₀}; 3) размаха действующих напряжений Δσ; 4) параметров распределения величины вязкости разрушения K_IC. Первые два из перечисленных факторов позволяют сформировать программу эксплуатации рассматриваемого элемента с точки зрения периодичности и объема контроля, позволяющую обеспечить его конструкционную прочность, надежность, ресурс, безопасность при заданных режимах нагружения и свойствах конструкционного материала.

В качестве примера использования полученной расчетной зависимости обратимся к рассмотренному в п. 2 элементу трубопровода, который в данном случае будет подвергаться циклическому нагружению внутренним давлением со средним значением в цикле p₀ = 7.6 МПа, размахом за цикл нагружения Δp = 0.8 МПа, коэффициентом асимметрии цикла R = 0.9 и частотой нагружения ν = 500 год^–1. Константы уравнения Пэриса принимаются равными: C = 3.00 × 10^–11, m = 2.9.

При этом ставится задача определить интервалы времени τ между моментами проведения двух последовательных технических инспекций методами неразрушающего контроля, при которых вероятность разрушения не превысит предельно допустимой величины вероятности разрушения, которая в рассматриваемом примере выбирается на уровне [P_F] = 5.0 × 10^–5 для трех расчетных случаев, когда значения математического ожидания пропущенного в эксплуатацию после неразрушающего контроля глубины трещины равны соответственно: E{a₀} = 1 × 10^–3 м, E{a₀} = 1.5 × 10^–3 м и E{a₀} = 2 × 10^–3 м.

На рис. 5 представлены зависимости вероятности разрушения от промежутка времени между техническими инспекциями (τ) для указанных трех случаев. Из рис. 5 следует, что при избранной величине [P_F] в случае 1 (когда E{a₀} = 1 × 10^–3 м) интервал времени между проведением инспекций можно выбрать равным [τ₁] = 8 лет и, соответственно, предельно допустимое число циклов нагружения [N₁] = ν[τ₁] = 4000 циклов; для случая 2 (когда E{a₀} = 1.5 × 10^–3 м): [τ₂] = 2 года и [N₂] = 1000 циклов; а в случае 3 (когда E{a₀} = 2 × 10^–3 м) эксплуатация рассматриваемого элемента запрещена, поскольку уже в момент ввода элемента в эксплуатацию вероятность его разрушения превышает предельно допустимую величину.

Если вместо экспоненциального распределения (3) величины a₀ аналогично тому, как это делалось в п. 2, использовать физически более корректное усеченное экспоненциальное распределение (7), то после аналогичных преобразований можно получить уточненное выражение для вероятности усталостного разрушения конструктивного элемента с трещиной

На рис. 6 представлены графики зависимости вероятности разрушения от величины математического ожидания глубины трещины, пропущенной в эксплуатацию после неразрушающего контроля E{a₀}, полученные для случаев экспоненциального и усеченного экспоненциального распределения величины a₀.

Так как оценки, полученные для случаев экспоненциального (15) и усеченного экспоненциального распределений (16), оказываются весьма близкими, в расчетах можно ориентироваться на более простую зависимость (15).

4. Сопоставление расчетной вероятности разрушения с величиной предельно-допустимой вероятности разрушения. Прочность и ресурс рассматриваемого элемента считаются обеспеченными, если расчетная величина вероятности разрушения P_F оказывается меньше предельно допустимой вероятности разрушения [P_F]: ${{P}_{F}} < [{{P}_{F}}]$.

Вопрос об обоснованном выборе величины предельно допустимой вероятности разрушения рассматриваемого элемента [P_F] решается с учетом критичности данного элемента для обеспечения прочности и безопасности конструкции в целом, а также уровня социальной значимости самой конструкции и величины ущербов, возникающих в случае ее разрушения.

Вероятность разрушения системы в целом (P_SF) как вероятность сложного события определяется через произведение вероятности разрушения элемента (P_F) и условной вероятности разрушения системы в случае разрушения данного элемента (${{P}_{{SF|F}}}$): ${{P}_{{SF}}} = {{P}_{F}}{{P}_{{SF|F}}}$.

Аналогичное условие можно записать для предельно допустимых вероятностей

Предельная величина вероятности разрушения конструкции в целом [P_SF] устанавливается в зависимости от таких факторов как величина ущерба, который может наступить в случае разрушения системы, ее социальной значимости системы и срока эксплуатации [13, 14]. В частности, Международной научно-информационной ассоциацией строительной индустрии (CIRIA – Construction Industry Research and Information Association) для сложных инженерных сооружений (плотин, мостов, шельфовых платформ) принята формула для оценки величины предельно допустимой вероятности разрушения системы

где t – расчетный срок эксплуатации системы; L – среднее количество людей, которые могут погибнуть в случае разрушения системы; k_HF – коэффициент, учитывающий разрушения, связанные с человеческим фактором (обычно принимают k_HF = 10); ξ_S – коэффициент социальной значимости системы (табл. 2). Таким образом, величина [P_SF] обычно оказывается в диапазоне 1 × 10^–5–1 × 10^–8.

Условная вероятность разрушения системы в случае разрушения рассматриваемого элемента (${{P}_{{SF|F}}}$) определяется с помощью графологических методов сценарной оценки (типа методов дерева событий, дерева отказов, байесовых сетей и др.). После чего из выражения (17) определяется предельно допустимая вероятность разрушения рассматриваемого элемента [P_F], которая затем сопоставляется с расчетной вероятностью разрушения. Далее принимается решение относительно обеспеченности прочности и ресурса рассматриваемого конструктивного элемента.

Заключение. Разработан метод оценки вероятности разрушения конструктивных элементов технических систем с постулируемой дефектностью. Метод позволяет учитывать различные виды развития трещин, такие как усталостное, коррозионное растрескивание под напряжением или замедленное деформационное коррозионное растрескивание через константы, входящие в уравнение Пэриса. Метод учитывает время эксплуатации, что позволяет определять оптимальную периодичность неразрушающего контроля.