Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 4, стр. 18-25

При численном анализе процессов в упругогидродинамическом (УГД) контакте входная граница смазочной пленки обычно задается на значительном расстоянии от центра контакта. Полагается, что при таком расположении входной границы контактирующие поверхности находятся в условиях обильной смазки. Для случая обильной смазки численными методами исследовались линейные (неограниченные по длине) и точечные смазанные контакты [1]. Однако в реальных узлах трения возможны ситуации (например, масляное голодание, нестабильный режим смазывания), при которых входная граница смазочной пленки (входной мениск) приближается к центру контакта.

Экспериментами показано, что толщина смазочной пленки в случае масляного голодания уменьшается и даже может достигнуть нуля в некоторых участках области контакта [2]. В численных исследованиях явление масляного голодания моделируется приближением входной границы смазочной пленки к центру контакта. Влияние геометрии и расположения входного мениска на параметры точечного УГД-контакта изучалось в работах [3–5]. Было показано, что недостаточная смазка приводит к уменьшению толщины смазочной пленки по сравнению со случаем обильной смазки. В работах [6–8] приводятся результаты решения задачи об УГД-контакте профилированного ролика для условий обильной смазки. Для моделирования режима обильной смазки входная граница смазочной пленки на расчетной сетке задавалась в виде прямой линии, которая параллельна центральной линии контакта ролика и расположена вдали от нее. Центральной линией контакта в этих задачах является совпадающий с осью координат отрезок прямой линии, по которому контактируют до начала деформации короткие несмазанные ролики. Начало координат принимается в качестве центра контакта. Численное решение задачи об УГД-контакте профилированного ролика с учетом сложной геометрии входной границы смазочной пленки получено в [9]. Входная граница составлялась из участков, которые находились как вдали от центральной линии контакта (оси координат), так и вблизи нее. Заданием сложной геометрии входной границы моделировались условия недостаточной смазки. Полагалось, что центральная часть ролика располагалась в зоне обильной смазки, при этом соответствующий прямолинейный участок входной границы задавался на удалении от центральной линии контакта. Из результатов работы [9] следовало, что толщина смазочной пленки в центре контакта (в начале координат) практически равна толщине смазочной пленки в режиме обильной смазки ролика, когда входная граница представляла собой прямую линию вдали от центральной линии контакта. Толщина смазочной пленки в центре контакта является одним из параметров, характеризующих УГД-контакт. Значения этого параметра могут изменяться в зависимости от реальных условий функционирования УГД-контакта. В связи с этим представляет интерес проведение численного эксперимента с целью определения параметров УГД-контакта для различных конфигураций входной границы смазочной пленки.

В настоящей статье на основе методики [9] проведено численное моделирование УГД-контакта профилированного ролика с целью определения влияния на его параметры, в частности, на толщину смазочной пленки в центре контакта для случаев, когда геометрия входной границы отличается от геометрии границы, заданной в [9].

Постановка задачи. Рассматривается стационарная изотермическая задача о смазке ролика со скругленным краем (рис. 1) [9] в условиях сложной геометрии входной границы, следуя постановке задачи, представленной в [9].

Рис. 1.

Схема смазанного контакта [9].

Полагается: смазочный материал – несжимаемая ньютоновская вязкая жидкость, толщина смазочной пленки мала по сравнению с характерными размерами области контакта, силы вязкого трения значительно больше инерционных сил, локально контактирующие тела заменяются упругими полупространствами. К ролику приложена сила P = πа_Hp_Hl_c/2, равная силе на участке l_c бесконечно длинного цилиндра (а_H, p_H – соответственно полуширина и максимальное герцевское напряжение в линейном контакте). Зависимость вязкости смазки μ от давления p задана в виде μ = μ₀exp(Q₀p), где μ₀ – вязкость при давлении окружающей среды, Q₀ – пьезокоэффициент вязкости. На рис. 1 h₀ – расстояние между смазанными поверхностями в начале декартовой системы координат 0xyz; R_x(y) – радиус кривизны ролика, R_x0 = R_x(0); R_y0 и R_y1 – радиусы кривизны дуг образующей ролика; y = l_c/2 – сечение, в котором сопрягаются дуги образующей; v₁(${{{v}}_{{1x}}}$, ${{{v}}_{{1y}}}$) и v₂(${{{v}}_{{2x}}}$, ${{{v}}_{{2y}}}$) – скорости контактирующих поверхностей.

Математическая модель УГД-контакта представляет собой систему интегродифференциальных уравнений с граничными условиями и неравенствами. В безразмерной форме система имеет вид [9]

В уравнении (2) f₁(|y|) = (|y| – l_c/2)² при гладком сопряжении дуг R_y0 и R_y1, при негладком f₁(|y|) = y² – (l_c/2)². Неравенства (5) – условия дополнительности [10–12] – используются для определения местоположения выходной границы C_e области контакта S в процессе решения задачи. Граничные условия для давления ставятся на заданной входной границе C_i и на неизвестной границе выхода C_e, C = C_i ∪ C_e. Выходная граница C_e отделяет зону смазки, где p > 0, от кавитационной, где полагается p = 0. Система (1)–(5) получена путем применения безразмерных переменных [9]

Здесь p(x, y) и h(x, y) – давление и толщина смазочной пленки в зоне УГД-контакта; H₀ – безразмерная толщина пленки в центре контакта; ε₀ и ε₁ – параметры скругления; V – нагрузочно-скоростной параметр.

Численный метод. Численное моделирование УГД-контакта проводилось по методике [9], согласно которой для построения численного решения системы (1)–(5) использовались итерационная процедура на основе метода Ньютона, а также представление уравнения Рейнольдса (1) в интегральной форме

Соотношение (6) записано для ячейки декартовой сетки в расчетной области (задается в виде прямоугольника), где (i, j) – узел сетки; l_ij – контур ячейки. Итерационная процедура согласно методу Ньютона записывается в виде

Здесь уравнения (3), (4), (6) линеаризуются около решения (p(x, y), H₀)_k, где k – номер итерации. Система (7)–(8) является исходной для вывода системы разностных уравнений, решаемых относительно приращений Δp_k + 1, ΔH_0, k + 1

Здесь (a_qr)_nn, (b_q)_n, (c_r)_n – элементы матрицы порядка (n + 1); n – число узлов области контакта, где p > 0, (q, r = 1, …, n). Сингулярный интеграл в (2) вычислялся по кубатурной формуле [13].

Результаты расчетов. В расчетах использовались те же условия численного моделирования, что и в работе [9]. Однако конфигурация входной границы и ее расположение в области контакта задавались иными. Конфигурация границы представляла собой чередование прямолинейных и криволинейных участков, которые моделировали режим недостаточной смазки УГД-контакта. Прямолинейные участки располагались вдали от центральной линии контакта (оси y). Криволинейные участки определяли области контакта без смазки вблизи оси y. В этих областях давление p = 0. В настоящей статье расчеты проводились для двух вариантов геометрии входной границы. Основное различие между ними заключалось в расположении областей без смазки относительно плоскости симметрии ролика y = 0. Рассматривались следующие случаи: плоскость симметрии ролика y = 0 проходит через область без смазки, область без смазки расположена вдали от плоскости y = 0.

Расчеты проводились для симметричного относительно плоскости y = 0 цилиндрического ролика со скругленным торцом на декартовой сетке в плоскости (x, y) с числом узлов 34 × 84 при следующих параметрах: V = 0.1, Q₀ = 3, ${{{v}}_{x}}$ = 1, ${{{v}}_{y}}$ = 0, ε₀ = 0, ε₁ = = 0.1. При y = l_c/2 = 20 прямолинейная часть образующей цилиндрического ролика сопрягается гладким образом со скругленной частью. В расчетах [9] для ролика при обильной смазке значение безразмерной толщины смазочной пленки H₀ = 0.1692.

На рис. 2–4 представлены результаты решения УГД-задачи в случаях обильной и недостаточной смазки.

Рис. 2.

Распределения давления (а), (б), (в) и толщины смазочной пленки (г), (д), (е) в УГД-контакте: (а), (г) – обильная смазка; (б), (д) (в), (е) – недостаточная смазка [9].

Рис. 3.

Изобары (а), (б), (в) и линии уровня толщины смазочной пленки (г), (д), (е) в УГД-контакте: (а), (г) – обильная смазка; (б), (д), (в), (е) – недостаточная смазка [9].

Рис. 4.

Распределения давления и толщины смазочной пленки (а) в плоскости сечения y = 9.055, (в) в плоскости сечения y = 11.36; (б), (г) в плоскости сечения x = 0: 1, 3 – давление и зазор соответственно при обильной смазке; 2, 4 – давление и зазор соответственно при недостаточной смазке [9].

Распределения давления и толщины смазочной пленки (зазор) показаны в виде поверхностей на рис. 2 и изолиний на рис. 3, а также на рис. 4 в виде распределений p(x), h(x) в сечении y = const, где y < l_c/2, и p(y), h(y) в сечении x = 0. Распределения давления и зазора на рис. 4а, б получены из расчета, когда плоскость симметрии y = 0 проходила через область без смазки. На рис. 4в, г распределения давления и зазора получены из расчета, когда область без смазки находилась вдали от плоскости симметрии y = 0. Из решения УГД-задачи при условии, что плоскость симметрии y = 0 проходит через область без смазки (рис. 2б, д, рис. 3б, д), следует, что безразмерная толщина пленки в центре контакта H₀ = 0.09819.

При сдвиге области без смазки в направлении оси y на заданное расстояние от плоскости симметрии y = 0 (рис. 2в, е; рис. 3в, е) безразмерная толщина пленки в центре контакта H₀ = 0.1683. При увеличении этого расстояния H₀ приближается к значению H₀ = 0.1692 для режима обильной смазки. В расчетах работы [9] H₀ = 0.1689 при расстоянии вдвое большем. На рис. 2а, г; рис. 3а, г [9] представлены характерные особенности распределений давления и толщины смазочной пленки в тяжелонагруженных сосредоточенных УГД-контактах в режиме обильной смазки: пик давления и сужение зазора в окрестности выходной границы смазочной пленки, уплощение зазора в центральной области контакта. Отмеченные особенности наблюдаются в областях контактной зоны с прямолинейными участками входной границы в случае режимов недостаточной смазки. Это видно на рис. 2б, д, в, е и рис. 3б, д, в, е. На этих рисунках прямолинейные участки входной границы совпадают с входной границей в случае режима обильной смазки. Расположение выходной границы x_e(y), отделяющей область смазки (p > 0) от области кавитации (p = 0), отчетливо видно на рис. 3а, б, в, где область кавитации выделена светло-серым тоном. Области без смазки (p = 0), у которых входная граница расположена вблизи центральной линии контакта, выделены темно-серым тоном (рис. 3б, в). На участке y > l_c/2 проявляется краевой эффект – рост и последующее снижение давления. Обратная картина наблюдается в распределении толщины смазочной пленки. Конфигурация выходной границы x_e(y) демонстрирует увеличение ширины зоны контакта из-за увеличения давления в торцевой зоне (рис. 3а, б, в) и уменьшение ее ширины в областях контакта из-за приближения областей без смазки к оси y, отмеченных темно-серым тоном на рис. 3б, в.

В областях контактной зоны с криволинейными участками входной границы в распределениях p(x), h(x) также наблюдаются особенности, характерные для УГД-контакта в режиме обильной смазки (рис. 4а, в, кривые 2 и 4). Распределения p(y), h(y) в этих областях отличаются от распределений в режиме обильной смазки (рис. 4б, г, кривые 2 и 4). Области контакта без смазки, где р = 0, заметно изменяют общую картину распределений давления и зазора. Кроме того, из-за различного расположения входной границы относительно плоскости симметрии y = 0 следуют отличия соответствующих распределений p(x, y) и h(x, y) в окрестности плоскости симметрии y = 0 (рис. 2б, в и рис. 2д, е; рис. 3б, в и рис. 3д, е).

На рис. 2–4 показано, что приближение криволинейных участков входной границы к центральной линии контакта приводит к появлению в распределениях p(x, y) и h(x, y) зон с меньшими значениями давления (рис. 2б, в) и толщины смазочной пленки (рис. 2д, е) по сравнению со случаем обильной смазки (рис. 2а, г). Этот эффект также демонстрируют картины изолиний функций p(x, y) и h(x, y) на рис. 3б, в, д, е, на которых видно, как криволинейные участки входной границы изменяют монотонный характер изолиний, представленных на рис. 3а, г. Распределения p(x), h(x) в сечении y = const (рис. 4а, в, кривые 2 и 4) и p(y), h(y) в сечении x = 0 (рис. 4б, г, кривые 2 и 4) показывают, что в зонах контакта с недостаточной смазкой снижается давление, при этом зазор уменьшается практически в два раза по сравнению с режимом обильной смазки.

При сопоставлении численных значений толщины пленки в режимах обильной и недостаточной смазки (рис. 4, кривые 3 и 4) учитывалось, что эти распределения в расчетах нормированы на разные размерные значения толщины пленки в начале координат (в центре контакта) h₀, т.е. в условиях обильной смазки $h_{1}^{'}$ = h₁/h₀₁, где h₀₁ = = (a_H)²H₀₁/2R_x0, а в условиях недостаточной смазки $h_{2}^{'}$ = h₂/h₀₂, где h₀₂ = (a_H)²H₀₂/2R_x0. Здесь H₀₁ = 0.1692 – безразмерная толщина смазочной пленки в режиме обильной смазки, H₀₂ = 0.09819 – безразмерная толщина смазочной плёнки в режиме недостаточной смазки, когда по условиям численного моделирования плоскость симметрии y = 0 проходит через зону без смазки. В случае, когда в режиме недостаточной смазки зона без смазки отодвинута от плоскости симметрии y = 0, H₀₂ = 0.1683. С учетом известных значений H₀₁ и H₀₂ можно нормировать распределение h₂ на значение h₀₁. Для значений $h_{2}^{{''}}$, нормированных на h₀₁, получаем $h_{2}^{{''}}$ = $h_{2}^{'}$ H₀₂/H₀₁. Данная перенормировка позволяет адекватно сравнивать распределения безразмерных толщин пленки $h_{1}^{'}$ и $h_{2}^{{''}}$. На рис. 4 (кривые 4) представлены распределения толщины пленки при режиме недостаточной смазки $h_{2}^{{''}}$, нормированные на толщину пленки в начале координат при режиме обильной смазки h₀₁. Отметим, что на рис. 3д, е значения изолиний соответствуют распределению $h_{2}^{'}$. С учетом множителя H₀₂/H₀₁ можно получить значения изолиний для $h_{2}^{{''}}$. Для режима недостаточной смазки, когда плоскость симметрии y = 0 проходит через зону без смазки, H₀₂/H₀₁ ≅ 0.58. В случае, когда зона без смазки отодвинута от плоскости симметрии H₀₂/H₀₁ ≅ 0.995.

Заключение. Проведено численное моделирование УГД-контакта профилированного ролика с учетом сложной геометрии входной границы смазочной пленки. Контур входной границы включал участки границы вдали от центральной линии контакта (оси y) и вблизи нее. Расчеты проводились для двух вариантов расположения входной границы. Основное различие между ними заключалось в расположении областей без смазки (здесь участок границы C_i расположен вблизи оси y) относительно плоскости симметрии ролика y = 0. Рассмотрены случаи, когда плоскость симметрии ролика y = 0 проходит через область как без смазки (р = 0), так и со смазкой (р > 0). Причем во втором случае область без смазки расположена вдали от плоскости y = 0. Показано, что возникновение в УГД-контакте несмазанных областей приводит к появлению в направлении потока смазки зон с меньшими значениями давления и толщины смазочной пленки по сравнению со случаем обильной смазки. Из расчетов следует, что при увеличении расстояния области контакта без смазки от плоскости симметрии ролика y = 0 значения безразмерной толщины смазочной пленки H₀ приближаются к ее значениям в режиме обильной смазки. С уменьшением этого расстояния наблюдается обратный эффект. Так, например, H₀₂/H₀₁ ≅ 0.58, где H₀₂ – значение H₀ для случая, когда плоскость симметрии ролика y = 0 проходит через зону контакта без смазки (р = 0), H₀₁ – значение H₀ в случае обильной смазки (p > 0). Полученные распределения давления и толщины смазочной пленки могут использоваться для расчетного анализа трения в контакте и поля тензора напряжений в подповерхностном слое. Обобщение изложенного вычислительного алгоритма позволяет рассмотреть ряд важных задач, а именно: о нестационарных режимах, теплообмене в контакте, шероховатости.