Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 4, стр. 10-17

Деформация зубьев колес зависит от их геометрии и оказывает существенное влияние на распределение нагрузки и напряжений в их зацеплениях, а также на виброактивность передачи [1–3]. Причем влияние ее на нагрузочную способность привода является положительным, так как позволяет частично компенсировать неизбежные погрешности изготовления механизма.

Существующие методы определения указанных жесткостных и силовых факторов базируются либо на приближенных расчетах, либо на компьютерном моделировании и численном конечно-элементном анализе, что создает определенные сложности при проектировании и исследовании зубчатых передач [4].

Поэтому является актуальным получение аналитических выражений для определения податливости зубьев зубчатых колес и коэффициентов неравномерности распределения нагрузки и напряжений изгиба, в зависимости от которых находится несущая способность механического привода. Это имеет существенное значение для планетарных и волновых передач, в которых неравномерность распределения силовых факторов по длине зуба накладывается на неравномерность распределения нагрузки и напряжений по потокам мощности [5–7]. В связи с этим, очень важно, особенно на стадии проектирования таких зубчатых редукторов, иметь аналитические методы расчета жесткости (податливости) зубчатых зацеплений и о неравномерности распределения нагрузки и напряжений изгиба (по сути, коэффициента концентрации изгибных напряжений). Поэтому в настоящей статье разработан теоретический метод для определения указанных параметров.

Для аналитического решения задачи о напряженно-деформированном состоянии зуба колеса при равномерном распределении погонной нормальной нагрузки $q$ представим его в виде клина (рис. 1) с углом развернутости $2\gamma $, соответствующим углу профиля эвольвентного зуба в средней его части $\alpha $ и числу зубьев z, и используем известные формулы теории упругости в полярных координатах $r$, $\varphi $, позволяющие определить напряжения изгиба $\sigma (r,\varphi )$ и соответствующие им перемещения.

Применяя к зубу колеса зависимости, справедливые для клина, нагруженного в его вершине, перенесем нагрузку $q$ параллельно самой себе в эту точку, добавив в соответствии с методом Пуансо момент $M = q\cos {{\alpha }_{n}}(\rho \cos \gamma $ + $0.5{{s}_{n}}\operatorname{tg} {{\alpha }_{n}})$ (${{\alpha }_{n}}$ – угол давления, $\rho $ – радиус, соответствующий точке приложения нагрузки; ${{s}_{n}}$ – толщина зуба в месте приложения нагрузки).

Полученный таким образом клинообразный зуб-выступ эквивалентен заданному. Рассмотрим отдельно влияние на него составляющих погонной нагрузки ${{q}_{H}} = q\cos {{\alpha }_{n}}$, ${{q}_{V}} = q\sin {{\alpha }_{n}}$ и момента М.

Напряжения, вызванные действием вертикальной составляющей нагрузки ${{\sigma }_{V}}(r,\varphi )$ = = $\frac{{2q\sin {{\alpha }_{n}}}}{{r\left( {2\gamma + \sin 2\gamma } \right)}}\cos \varphi $, а соответствующее им перемещение точки приложения нагрузки $q$ в направлении линии ее действия

Здесь $\gamma = \arccos \left( {{{{{r}_{b}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{b}}} {{{r}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{c}}}}} \right) - {{s}_{c}}{\text{/}}2{{r}_{c}}$; $R = \left( {{{l}_{c}}\operatorname{tg} \gamma + 0.5{{s}_{c}}} \right){\text{/}}\sin \gamma $; $\rho = R - l{\text{/}}\cos \gamma $; ${{l}_{c}}$ – расстояние от основания до средней части эвольвентного зуба; $l$ – расстояние от основания зуба до точки приложения нагрузки к нему; ${{s}_{c}}$ – толщина зуба в средней его части; ${{r}_{c}}$ – радиус окружности средней части зубьев колеса; ${{r}_{b}}$ – радиус основной окружности колеса; $E$ – модуль упругости первого рода.

Нормальные напряжения, вызванные действием горизонтальной составляющей нагрузки, и соответствующее им перемещение точки ее приложения в направлении линии действия $q$

где $h(r) = \sqrt {{{{\left( {r + l - R\cos \gamma } \right)}}^{2}} + {{{\left( {0.5{{s}_{n}}} \right)}}^{2}}} $; $\Omega (r) = \arcsin \left[ {{{s}_{n}}{\text{/}}2h\left( r \right)} \right]$.

Напряжения и перемещение, обусловленные действием момента

Аналогичным образом определяются силовые и деформационные факторы, вызванные податливостью основания зуба. При этом последнее рассматривается как клин с углом развернутости $2{{\gamma }_{0}} = \pi $, нагруженный погонными силами ${{q}_{V}}$, ${{q}_{H}}$ и моментом ${{M}_{0}}$ = ${{q}_{x}}[(R - \rho )\cos \gamma $ – $0.5{{s}_{n}}\operatorname{tg} {{\alpha }_{n}})]$. Тогда

где ${{\rho }_{0}} = R\sin \gamma $; ${{R}_{0}} = {{H}_{0}}$ (${{H}_{0}}$ – толщина обода колеса); ${{h}_{0}}({{r}_{0}}) = \sqrt {{{{\left( {{{r}_{0}} + l} \right)}}^{2}} + {{{\left( {0.5{{s}_{n}}} \right)}}^{2}}} $; ${{\varphi }_{m}}$ – угол, соответствующий максимальному значению напряжения ${{\sigma }_{{\Theta 0}}}$ (${{\varphi }_{m}} = \pi {\text{/}}4$); $\Omega _{0}^{ * }$ = $\arcsin (0.5{{s}_{n}}{\text{/}}h_{0}^{ * })$; $h_{0}^{ * }$ = $\sqrt {{{{\left( {0.5{{s}_{n}}} \right)}}^{2}} + {{l}^{2}}} $; ${{\Omega }_{0}}({{r}_{0}})$ = $\arcsin \left[ {0.5{{s}_{n}}{\text{/}}{{h}_{0}}\left( {{{r}_{0}}} \right)} \right]$.

Перемещение, вызванное контактной податливостью зацепления ${{\delta }_{h}}$ (${{\delta }_{h}} = {{k}_{h}}{\text{/}}E$, ${{k}_{h}}$ – коэффициент контактной податливости [8]), ${{\Delta }_{h}} = 0.5q{{\delta }_{h}}$.

Суммарное перемещение точки приложения погонной силы $q$ в направлении линии ее действия, вызванное податливостью зуба

На рис. 2 представлен график зависимости суммарной относительной податливости зуба ${\rm K}(L) = E\Delta {\text{/}}q$ и суммарной относительной податливости однопарного зацепления ${{{\rm K}}_{\Sigma }}(L)$ = ${{\Delta }_{\Sigma }}E{\text{/}}q$ = $(\Delta + \bar {\Delta })E{\text{/}}q$ ($\bar {\Delta }$ – перемещение зуба парного колеса в направлении линии действия $q$) от положения точки приложения нагрузки $L = l{\text{/}}m$ ($m$ – модуль зацепления) при ${{k}_{h}} = 4$. График построен для колес с числом зубьев $z = 50$, коэффициентом смещения исходного контура $x = 0$ и толщиной обода ${{H}_{0}} = 3m$ (рекомендуемая толщина жесткого обода колеса ${{H}_{0}} = 3m{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5m$).

Расстояние от основания зуба парного колеса до точки приложения нагрузки к нему $\bar {l}$ определялось исходя из геометрии зацепления [9]

где ${{r}_{f}}$ – радиус окружности впадин колес; ${{a}_{W}}$ – межосевое расстояние передачи; ${{\alpha }_{W}}$ – угол зацепления (${{\alpha }_{W}} = 20^\circ $).

Для установления законов распределения нагрузки $q(x)$ и напряжений изгиба зубьев $\sigma (x)$ по их длине $b$ при наличии угла начального неприлегания $\beta $ рассмотрим напряженно-деформированное состояние зуба с учетом кручения его относительно продольной оси (рис. 3).

Уравнения связи угла начального неприлегания и деформаций зуба имеют следующий вид

где $\Lambda $ – отношение суммарной удельной податливости зуба рассматриваемого колеса к суммарной удельной податливости зацепления; $\Lambda = \delta {\text{/}}{{\delta }_{\Sigma }} = \Delta {\text{/}}{{\Delta }_{\Sigma }}$; $G$ – модуль упругости второго рода; ${{I}_{K}}$ – момент инерции поперечного сечения зуба при кручении относительно продольной оси (определяется по приближенной зависимости, как для стержня треугольного сечения: ${{I}_{K}} = {{H}^{4}}{\text{/}}(15\sqrt 3 )$, где $H \cong 2.4m$ – высота равностороннего треугольника); ${{h}_{n}}$ – плечо погонной нагрузки относительно центра изгиба зуба, ${{h}_{n}} = (R - \rho \cos \gamma $ – $0.5{{s}_{n}}\operatorname{tg} {{\alpha }_{n}})\cos {{\alpha }_{n}}$; ${{\nu }_{F}}$ – удельная податливость зуба, определяемая через смещение точки приложения нагрузки относительно центра изгиба зуба ${{\Delta }_{F}}$, ${{\nu }_{F}} = {{\varphi }_{F}}{\text{/}}t$ = $\left( {{{\Delta }_{F}}{\text{/}}{{h}_{n}}} \right){\text{/}}\left( {q{{h}_{n}}} \right)$; $t$ и $q$ – средние погонные момент изгиба и нормальная нагрузка ($t = q{{h}_{n}}$); ${{\delta }_{W}}$ – составляющая суммарной удельной податливости зуба, ${{\delta }_{W}} = (\Delta - {{\Delta }_{F}}){\text{/}}q$ = $\delta - {{\delta }_{F}}$.

Смещение точки приложения нагрузки относительно центра изгиба в основании зуба определим в соответствии с вышеприведенными зависимостями по формуле

где $h{\kern 1pt} * = \sqrt {{{{\left( {l + R - R\cos \gamma } \right)}}^{2}} + {{{\left( {0.5{{s}_{n}}} \right)}}^{2}}} $, $\Omega * = \arcsin \left[ {0.5{{s}_{n}}{\text{/}}h{\kern 1pt} *} \right]$.

Таким образом, разность смещений точек приложения нагрузки к рассматриваемому зубу в произвольном сечении и начале координат в результате его кручения можно выразить через внутренний погонный момент и изгибную податливость

Интегрирование этого уравнения с учетом уравнения статики $\int_0^b {q(x)dz} $ = $\frac{1}{{{{h}_{n}}}}\int_0^b {t(x)} dx$ = = qb позволяет выразить $t(0)$ через $q(0)$.

Подстановка выражения (2) в равенство (1) дает

где $\psi = {{h}_{n}}\sqrt {\frac{\delta }{{G{{I}_{K}}{{\delta }_{W}}{{\delta }_{F}}}}} $, $\Phi (x) = q(0) + \frac{{\Lambda \beta x}}{{{{\delta }_{W}}}} + 0.5{{\left( {\psi x} \right)}^{2}}\left[ {\frac{{\Lambda \beta }}{\delta }\left( {\frac{{3b - 2x}}{6}} \right) - q} \right]$.

Уравнение (3) представляет собой неоднородное интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, решение которого методом операционного исчисления позволяет найти законы изменения погонной нагрузки и погонного момента с учетом угла перекоса, при контакте зубьев по всей их длине

Найденный погонный момент $t(x)$ можно выразить через нормальные напряжения изгиба в основании зуба (рис. 2), причем зависимость близка к линейной

где ${{\sigma }_{m}}(x)$ – максимальное значение напряжения изгиба в произвольном поперечном сечении зуба; $D$ – коэффициент пропорциональности. Поэтому отношение максимального погонного момента $t(b)$ к среднему $t = q{{h}_{n}}$ можно представить в виде равенства ${{K}_{F}} = {{\sigma }_{m}}(b){\text{/}}{{\sigma }_{m}}$ (${{\sigma }_{m}}$ – среднее значение напряжения изгиба в крайних точках сечения).

В соответствии с этим и с учетом приведенных выше соотношений между податливостями зуба и зацепления определим максимальные значения силовых факторов и коэффициенты неравномерности их распределения

На рис. 4, 5 представлены графики изменения относительной нагрузки $Q(X) = q(X){\text{/}}q$, относительного момента $T(X) = t(X){\text{/}}t$ и соответствующих им коэффициентов неравномерности ${{K}_{H}}$ и ${{K}_{F}}$ в зависимости от безразмерных величин $\beta * = \beta bE{\text{/}}q$, $B = b{\text{/}}m$, $X = x{\text{/}}b$.

Для определения коэффициентов неравномерности распределения нагрузки и напряжений изгиба K при произвольных значениях величин β* и B с использованием графиков рис. 5 следует воспользоваться выражением, записанным с учетом линейного характера изменения указанных коэффициентов от угла начального неприлегания зубьев

где $K\left( {l,B,\beta * = 20} \right)$ – коэффициент неравномерности распределения нагрузки или напряжений изгиба, найденный в зависимости от фазы зацепления (параметр $l$) и относительной длины зуба $B$ по графику рис. 5.

Анализ приведенных выше выражений и построенных по ним графиков показывает, что напряжения изгиба (или соответствующий им изгибающий момент) в отличие от нагрузки распределяются по длине зуба более равномерно. Это обусловлено кручением зуба и появлением в результате этого касательных напряжений в сечениях, перпендикулярных продольной оси $x$. Указанные напряжения создают поддерживающий эффект, передавая изгибающий момент от одного сечения к другому. При относительном угле начального неприлегания зубьев $\beta * = \beta bE{\text{/}}q \leqslant 50$ и их длине $b \geqslant 10m$ коэффициент неравномерности распределения нагрузки превышает коэффициент неравномерности распределения напряжений изгиба не более чем на 20%, при $b \geqslant 20m$ – не более чем на 11%. С ростом $\beta {\text{*}}$ разница указанных коэффициентов неравномерности возрастает.

Использование полученных зависимостей при расчете зубчатых передач на прочность позволяет с высокой степенью точности определить их несущую способность.

Выводы. 1. Деформативность зубьев колес и коэффициенты неравномерности распределения нагрузки и напряжений изгиба в значительной степени зависят от фазы однопарного зацепления, но мало изменяются с изменением наиболее часто используемых на практике значений коэффициентов смещения исходного контура и чисел зубьев колес. 2. При отношении длины зуба к модулю зацепления не менее 20 и относительном угле начального неприлегания зубьев $\beta * \leqslant 50$ коэффициент неравномерности распределения нагрузки превышает коэффициент неравномерности распределения напряжений изгиба не более чем на 11%. 3. С ростом относительного угла начального неприлегания зубьев и уменьшением их длины разница коэффициентов неравномерности распределения нагрузки и напряжений изгиба возрастает.