Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 5, стр. 41-48

Механические передачи с некруглыми зубчатыми колесами привлекают внимание исследователей и изобретателей благодаря своим значительным преимуществам по сравнению с рычажными аналогами: возможности реализации различных передаточных функций; высокой точности и скорости работы; компактной и надежной конструкции передачи. Несмотря на то, что проектирование таких механизмов встречается еще в трудах Леонардо да Винчи, долгое время практическое применение таких устройств было затруднено из-за отсутствия высокоточного металлообрабатывающего оборудования. В настоящее время повышается интерес исследователей к разработке различных механизмов с некруглыми зубчатыми колесами именно благодаря значительным достижениям в изготовлении различных типов некруглых передач: цилиндрических передач с внешним [1–8] и внутренним [9–11] зацеплением, а также конических передач [12].

Одним из перспективных направлений исследований передач с некруглыми зубчатыми колесами является синтез и анализ механизмов, реализующих возвратно-вращательное движение выходного звена [13]. В машиностроении для обеспечения данного вида движения применяются шарнирные четырехзвенники, а также кулисные механизмы [14], имеющие значительные габариты по сравнению с зубчатыми передачами. Также, в рычажных механизмах наблюдается неравномерность нагружения звеньев из-за изменения углов давления, приводящая к снижению надежности привода в целом.

Ранее [15] был представлен структурный синтез и кинематический анализ планетарной передачи с внешним зацеплением, в которой круглые колеса заменены на эллиптические. Исследование кинематики показало, что переменная передаточная функция пары эллиптических зубчатых колес позволяет при равномерном вращении входного вала получить возвратно-вращательное движение выходного, а амплитуда возвратно-вращательных движений и характер передаточной функции определяются эксцентриситетами эллиптических зубчатых колес. В настоящей статье предлагается исследовать механизм возвратно-вращательного действия, в основе которого лежит схема планетарной передачи с двумя внутренними зацеплениями (рис. 1).

Механизм состоит из двухвершинных звеньев 1, 3 и трехвершинного звена 2, одноподвижных кинематических пар A, C, E и двухподвижных кинематических пар B и D. Замена цилиндрических зубчатых колес в традиционном планетарном механизме на эллиптические позволяет получить механизм с переменной передаточной функцией. Некруглые зубчатые колеса могут иметь различную форму, однако самыми распространенными на сегодняшний день являются эллиптические зубчатые колеса [16–18]. Это объясняется, в основном, широкими исследованиями их геометрии и кинематики [19–21], решением проблем их изготовления [22–24]. Для дальнейшего исследования и проектирования механизма возвратно-вращательного движения на базе предложенной структурной схемы, необходимо построить центроиды некруглых зубчатых колес с внутренними зубьями, находящихся в зацеплении с эллиптическими зубчатыми колесами.

Построение центроид некруглых зубчатых колес с внутренними зубьями. Расчетная схема пары зубчатых колес “эллиптическое колесо с внешними зубьями–некруглое колесо с внутренними зубьями” показана на рис. 2.

Для построения центроиды зубчатого колеса 2 необходимо найти зависимость ${{\rho }_{2}}({{\varphi }_{2}})$. Отметим, что точка A является общей для звеньев 1 и 2 и ее скорость определится

где ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$ – угловые скорости колес 1 и 2; ${{\rho }_{1}}$, ${{\rho }_{2}}$ – радиусы центроид колес 1 и 2.

Из рис. 2 видно, что ${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}} + h$. Преобразуем (1) и получим

где h – межосевое расстояние.

Учитывая, что $\frac{{{{\omega }_{2}}}}{{{{\omega }_{1}}}} = \frac{{d{{\varphi }_{2}}}}{{d{{\varphi }_{1}}}}$, преобразуем уравнение (2) и получим выражение для определения угла поворота колеса с внутренними зубьями ${{\varphi }_{2}}$

Межосевое расстояние h выбирается из условия ${{\varphi }_{2}} = n{{\varphi }_{1}}$, где n = 2, 3, … – целое число. Таким образом, эллиптическое зубчатое колесо 1 совершает n оборотов за один оборот колеса с внутренними зубьями 2.

Радиус центроиды эллиптического колеса определяется из уравнения эллипса в полярных координатах [25, 26]

где p – фокальный параметр эллипса; e – эксцентриситет.

Примеры передач эллиптическое зубчатое колесо с внешними зубьями – некруглое колесо с внутренними зубьями, имеющих различное межосевое расстояние, показаны на рис. 3.

Таким образом, уравнения (2)–(4) позволяют построить центроиды некруглых зубчатых колес с внутренними зубьями. В качестве примера на рис. 4 приведено конструктивное исполнение планетарного механизма с межосевым расстоянием h = 56.4 мм (рис. 4).

Представленная передача (рис. 4) состоит из входного вала 1, водила 2, выходного вала 3, неподвижного зубчатого колеса с внутренними зубьями (эпицикла) 4, зубчатого колеса с внутренними зубьями на выходном валу 5, эллиптических зубчатых колес 6 и 7, вала сателлита 8. Переменная передаточная функция каждой пары некруглых зубчатых колес позволяет достичь возвратно-вращательного движения выходного вала 3 при равномерном вращательном движении входного вала 1. Проведем кинематический анализ механизма с целью проверки данного предположения.

Кинематический анализ планетарного механизма с некруглыми зубчатыми колесами. Исследуем механизм с эллиптическими зубчатыми колесами с осью вращения в фокусе эллипса, с межосевым расстоянием h = 56.4 мм (рис. 4). Для проведения кинематического анализа рассмотрим расчетную схему механизма в промежуточном положении (рис. 5).

На расчетной схеме нанесен план линейных скоростей точек и звеньев механизма. Из точки C откладываем вектор CC ', изображающий скорость точки C водила. Линии C 'A и C 'B – линии распределения линейных скоростей в водиле и сателлите, соответственно. На линии C 'B расположена точка D' – конец вектора DD ', изображающего скорость точки D. Линия D 'E отображает распределение линейных скоростей некруглого колеса с внутренними зубьями 5 и выходного вала 3.

Определим аналог угловой скорости выходного звена 3

Принимая обозначения в соответствии с расчетной схемой (рис. 5), преобразуем (5) и получим

Во время работы механизма вследствие изменения положения точек B и D изменяется по модулю и направлению вектор скорости DD '. Длины отрезков в уравнении (6) определим с помощью уравнения эллипса (4) и получим

где ${{\rho }_{6}} = \frac{p}{{1 - e\cos {{\varphi }_{6}}}}$ – радиус центроиды эллиптического колеса 6, ${{\rho }_{7}} = \frac{p}{{1 - e\cos {{\varphi }_{7}}}}$ – радиус центроиды эллиптического колеса 7, ${{\varphi }_{6}} = {{\varphi }_{7}} + \pi $ – угол поворота эллиптического колеса 6.

Взаимосвязь между углами ${{\varphi }_{7}}$ и ${{\varphi }_{1}}$ определяется из уравнения центроиды некруглого колеса с внутренними зубьями.

Преобразуя (6) подстановкой уравнений (7)–(10), определим аналог угловой скорости

Закон движения выходного вала и аналог ускорения определяются путем интегрирования или дифференцирования (11) по обобщенной координате.

Представленные уравнения позволяют исследовать кинематику планетарного механизма с внутренним зацеплением, при этом полученные аналитические зависимости можно применить для механизмов с различным межосевым расстоянием h. Построим графики функций ${{\varphi }_{3}}({{\varphi }_{1}})$, $\varphi _{3}^{'}({{\varphi }_{1}})$, $\varphi _{3}^{{''}}({{\varphi }_{1}})$ для механизмов с различным межосевым расстоянием (рис. 6).

Анализ графиков (рис. 6) показывает, что при равномерном вращении входного вала выходной вал совершает возвратно-вращательное движение. В рассмотренных механизмах выходное звено совершает два (для h = 17.72 мм), три (для h = 36.85 мм) или четыре (для h = 56.4 мм) возвратно-вращательных движения за один оборот входного вала.

Заключение. Предлагается новая конструкция механизма возвратно-вращательного движения, в основе которого лежит планетарная передача с внутренним зацеплением, при этом смена направления вращения выходного вала обеспечивается применением в механизме эллиптических зубчатых колес.

Проведено исследование рассматриваемой передачи, включающее построение центроиды некруглого колеса с внутренними зубьями, находящегося в зацеплении с эллиптическим зубчатым колесом, а также кинематический анализ планетарного механизма. В результате кинематического анализа получены аналитические зависимости, необходимые для построения функций положения, аналогов скоростей и ускорений выходного вала механизма.

Преимуществами полученной схемы с некруглыми зубчатыми колесами по сравнению с существующими рычажными аналогами являются компактность, высокая нагрузочная способность, простота статической и динамической балансировки.