Проблемы машиностроения и надежности машин, 2022, № 2, стр. 13-22

Постановка задачи. Пусть $\zeta $ – наработка до отказа невосстанавливаемого объекта. Тогда цензурированную сверху случайную величину

назовем остаточным ресурсом сверх времени $\tau $ в течение длительности $t$.

Определим длительность $t$ в зависимости от заданного уровня безопасности $\mu $, $\left( {0 < \mu < 1} \right)$ из уравнения

как решение относительно времени $t$, где где ${{P}_{\tau }}\left( t \right)$ – условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + t} \right)$; $P( \cdot )$ – безусловная вероятность работы объекта в течение времени, указанного внутри скобок. Обозначим найденную длительность через ${{t}_{\mu }}\left( \tau \right)$ и будем ее называть мю-процентным остаточным ресурсом сверх времени τ. В частности, при $\mu = \gamma $ получим гамма-процентный остаточный ресурс сверх времени τ [1], который при $\tau = 0$ становится традиционным показателем “гамма-процентный (безостаточный) ресурс ${{t}_{\gamma }}$”, т.е. ${{t}_{\gamma }}\left( 0 \right) = {{t}_{\gamma }}$ [2, 3].

В дальнейшем, будем считать $\gamma $ заданным, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$. Тогда, согласно (1), величина $\eta \left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ – остаточный ресурс объекта сверх времени $\tau $ в течение длительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ является случайной.

В задачах продления сроков эксплуатации объекта время $\tau $ – это назначенный ресурс (гарантийная наработка), а продолжительность ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ – продлеваемый сверх времени $\tau $ срок эксплуатации [6, 7].

Поскольку величина остаточного ресурса $\eta \left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ случайная, то для избавления от случайности рассмотрим математическое ожидание этой величины, а именно, обозначив математическое ожидание через $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$, получим средний остаточный ресурс объекта сверх времени $\tau $ в течение длительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$, равный

где $E( \cdot )$ – математическое ожидание случайной величины, заключенной внутри скобок.

Следовательно, чтобы определить величину продлеваемого срока эксплуатации, надо установить зависимость показателя (4) от задаваемого уровня безотказности $\gamma $. Поэтому целью настоящей статьи является вывод расчетных формул и оценок показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ в зависимости от заданного уровня безотказности для произвольных законов расходования ресурса невосстанавливаемых объектов.

Зависимость показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ от гамма-процентного остаточного ресурса. Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ равна $\gamma $, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$. Тогда для среднего остаточного ресурса объекта сверх времени $\tau $ в течение длительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ справедлива формула

Здесь ${{t}_{\mu }}\left( \tau \right)$ – мю-процентный остаточный ресурс сверх времени $\tau $.

Доказательство. Пусть $0 < x < t$ и ${{\Phi }_{\tau }}\left( x \right)$ = ${{P}_{r}}[(\zeta - \tau )$ < $x{\text{/}}(\zeta > \tau )]$ – функция распределения непрерывной части условной случайной величины (1), ${{P}_{r}}[ \cdot ]$ – вероятность события, заключенного внутри скобок.

Так как ${{\Phi }_{\tau }}\left( x \right)$ = ${{P}_{r}}\left[ {{{\left( {\zeta < \tau + x} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\zeta < \tau + x} \right)} {\left( {\zeta > \tau } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\zeta > \tau } \right)}}} \right]$, где, используя формулу для вероятности условного события [4], получим

где $ \cap $ – знак произведения событий. Откуда, с учетом того, что и формул (2) и (3), найдем

Следовательно, общая функция распределения смешанной (непрерывно-дискретной) случайной величины (1) равна

где первая строка соответствует непрерывной части величины (1), а вторая – дискретной.

Согласно правилу расчета математического ожидания (4) смешанной случайной величины, с учетом (7), (8) и $t = {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$, имеем

где первое слагаемое соответствует дискретной части, а второе (интеграл) непрерывной части случайной величины (1).

Сделав замену переменной в интеграле по формуле $1 - {{P}_{\tau }}\left( x \right)$ = ν, используя определение (2) при $\gamma = 1 - \nu $, найдем $x = {{t}_{{1 - \nu }}}\left( \tau \right)$, где правая часть – это гамма-процентный остаточный ресурс объекта сверх времени $\tau $ при $\gamma = 1 - \nu $. Учитывая найденное в соотношении (9), имеем

Перейдя в интеграле к новой переменной по формуле $\mu = 1 - \nu $, получим

Откуда, поменяв местами пределы интегрирования, имеем

Учитывая (6) в полученном (10), найдем искомую формулу (5), что и доказывает теорему 1.

Чтобы дать геометрическую интерпретацию формуле (5), покажем, что ${{t}_{\mu }}\left( \tau \right)$ – мю-процентный остаточный ресурс объекта сверх времени $\tau $ как функция переменной $\mu $ монотонно убывает на интервале (0, 1).

В самом деле, т.к. согласно (2) ${{P}_{\tau }}\left( {{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right) = \mu $, то, взяв производную по переменному $\mu $, получим $P_{\tau }^{'}\left( {{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)\frac{{\partial {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)}}{{\partial \mu }}$ = 1. Откуда найдем $\frac{{\partial {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)}}{{\partial \mu }}$ = $\frac{1}{{P_{\tau }^{'}\left( {{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)}}$.

Поскольку правая часть найденного выражения отрицательна, то и левая должна быть отрицательной. Следовательно, ${{t}_{\mu }}\left( \tau \right)$ как функция переменной $\mu $ монотонно убывает на интервале (0, 1), что отражено на интервале $\left( {\gamma ,1} \right)$ рис. 1.

На рис. 1 видно, что площадь под кривой $T_{\mu }^{{\left( \gamma \right)}}\left( \tau \right)$, согласно математической интерпретации интеграла (5), выражает значение показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$. Поскольку общая область состоит из двух частей: область прямоугольника, площадь которого равна $\gamma {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ – это первое слагаемое формулы (10) и область криволинейного треугольника, площадь которого равна $\int_\gamma ^1 {{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)d\mu } $ – второе слагаемое формулы (10), то рис. 1 дает наглядную геометрическую интерпретацию значения показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$.

Поскольку показатель $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ цензурирован сверху величиной ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$, то определим полный (нецензурированный) показатель средний остаточный ресурс объекта сверх времени $\tau $ по формуле

где $E\left[ \cdot \right]$ – математическое ожидание случайной величины, заключенной внутри скобок. Очевидно, что

Следствие 1. Справедлива следующая формула для полного среднего ресурса объекта сверх времени $\tau $: $\rho \left( \tau \right)$ = $\int_0^1 {{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)d\mu } $.

В частности, при $\tau = 0$ имеем $\mathop {\lim }\limits_{\gamma \to 0} R\left( {0,{{t}_{\gamma }}} \right)$ = $\int_0^1 {{{t}_{\mu }}d\mu } $, где ${{t}_{\gamma }} = {{t}_{\gamma }}\left( 0 \right)$, ${{t}_{\mu }} = {{t}_{\mu }}\left( 0 \right)$ – соответствующие безостаточные гамма-процентные ресурсы.

Следствие 2. Справедлива следующая оценка: $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ ≥ $\gamma {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$. Эта оценка следует из формулы (10). Рис. 1 наглядно демонстрирует эту оценку, т.к. общая площадь под кривой равная $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$, больше, чем площадь прямоугольника, равная $\gamma {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$.

Заметим, что формула (5) справедливая для любого закона расходования ресурса и является основой расчета показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ для конкретных законов. Покажем это.

Задача. Пусть расходование ресурса объекта на отрезке времени $\left( {0,l} \right)$ подчиняется равномерному закону распределения, т.е. вероятность безотказной работы объекта в течение времени $t$ равна [5]

где $0 < t < l$ и задана условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$, равная $\gamma $, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$. Вывести формулу расчета среднего остаточного ресурса сверх времени $\tau $ в течение продолжительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$.

Решение. Используя формулы (2) и (3), с учетом (13), получим формулу расчета мю-процентного остаточного ресурса сверх времени $\tau $

где $\gamma \leqslant \mu < 1$. Подставляя полученное в (5), имеем

Так как $\int_\gamma ^1 {\left( {1 - \mu } \right)d\mu } = \frac{{{{{\left( {1 - \gamma } \right)}}^{2}}}}{2}$, то искомая формула расчета среднего остаточного ресурса сверх времени $\tau $ в течение продолжительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ для равномерного закона равна

Например, если l = 10 000 ч, τ = 5000 ч, γ = 0.95, то, согласно (14), ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ = 250 ч и тогда по формуле (15) найдем средний остаточный ресурс сверх времени 5000 ч в течение продолжительности 250 ч, равный $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ = 244 ч.

Для сравнения, согласно (12) и (15), полный средний ресурс сверх времени $\tau = 5000$ ч, равен $\rho \left( \tau \right) = \frac{{l - \tau }}{2}$ = 2500 ч.

Зависимость показателя $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ от характеристик расходования ресурса. В некоторых случаях, мерой скорости расходования ресурса объекта служит заданная функция интенсивности отказов. В связи с этим, найдем функциональную зависимость показателей среднего остаточного ресурса $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ и $\rho \left( \tau \right)$ от функции интенсивности отказов.

Пусть

функция интенсивности отказов, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени $t$ [6]. Докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ равна $\gamma $, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$. Тогда для среднего остаточного ресурса объекта сверх времени $\tau $ в течение длительности ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$ справедлива формула

Доказательство. Дифференцируя выражение (10), получим

Далее, воспользуемся соотношением, которое вытекает из (2) и (3)

Так как $P\left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right) = \gamma P\left( \tau \right)$, то $P{\kern 1pt} {\kern 1pt} '\left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)\frac{{\partial {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)}}{{\partial \gamma }}$ = $P\left( \tau \right)$. Откуда найдем

Используя формулу (16), имеем $\frac{{\partial {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)}}{{\partial \gamma }}$ = $\frac{{ - P\left( \tau \right)}}{{P\left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)\lambda \left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)}}$. Учитывая (19), получим $\frac{{\partial {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)}}{{\partial \gamma }}$ = $\frac{{ - 1}}{{\gamma \lambda \left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)}}$. Подставляя полученное в (18), найдем $\frac{{\partial R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)}}{{\partial \gamma }}$ = = $\frac{{ - 1}}{{\lambda \left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)}}$. Полагая $\gamma = \mu $, имеем $\frac{{\partial R\left( {\tau ,{{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)}}{{\partial \mu }}$ = $\frac{{ - 1}}{{\lambda \left( {\tau + {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)}}$.

Далее, интегрируя полученное выражение найдем

Так как ${{t}_{1}}\left( \tau \right) = 0$, то согласно (10) $R\left( {\tau ,{{t}_{1}}\left( \tau \right)} \right) = 0$. Учитывая (20), найдем (17), что и доказывает теорему 2.

Следствие. Для полного среднего ресурса объекта сверх времени $\tau $ справедлива следующая формула:

В самом деле, согласно (12) и (17), для показателя (11) получим (21).

Поскольку интеграл от функции ${{\left[ {\lambda \left( {\tau + {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)} \right]}^{{ - 1}}}$ – это площадь под графиком этой функции, то геометрическая интерпретация формул (17) и (21) – соответствующие этим формулам площади (рис. 2). А именно: заштрихованная область имеет площадь, рассчитанную по формуле (17); суммарная площадь областей состоит из заштрихованной и незаштрихованной частей и имеет площадь, вычисленную по формуле (21).

Пример 1. Пусть задана условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$, равная $\gamma $, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$ и пусть интенсивность отказов объекта на этом интервале времени постоянна и равна $\mu > 0$, т.е.

где $\tau < t < \tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$. Найти формулу расчета среднего остаточного ресурса объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ и формулу расчета полного остаточного ресурса сверх времени $\tau $.

Решение. Используя условие (22) в (17), получим формулу расчета среднего остаточного ресурса объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$

Далее, используя (23) в определении (12), найдем формулу расчета полного остаточного ресурса сверх времени $\tau $, равную

Сравнивая формулы (23) и (24), получим $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ = $q\rho \left( \tau \right)$, где $q = 1 - \gamma $. Другими словами, средний остаточный ресурс на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ – это доля полного остаточного ресурса сверх времени $\tau $, равная $q$.

Предельное значение среднего остаточного ресурса. Для объектов с большим сроком службы интенсивность отказов, как правило, носит установившийся постоянный характер. Для такого рода объектов докажем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть функция интенсивности отказов объекта удовлетворяет условию

где $z > 0$ – постоянная и пусть задана γ, $\left( {0 < \gamma < 1} \right)$ условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$. Тогда справедливо следующее предельное значение среднего остаточного ресурса:

Доказательство. Так как ${{t}_{\gamma }}\left( \tau \right) > 0$, то $\tau < \tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)$, и тогда, согласно (25), имеем $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \lambda \left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ = z.

По определению конечного предела $z$ при стремлении $\tau \to \infty $ имеем следующее: каково бы ни было число $\varepsilon > 0$, для него существует такое число $\Delta > 0$, что

лишь только $\tau > \Delta $. Следовательно, выбрав положительное число $\varepsilon < z$, согласно (27), получим $z - \varepsilon $ < $\lambda \left( {\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ < $z + \varepsilon $ при $\tau > \Delta $. Используя это в выражении (17), имеем

Устремив число $\varepsilon $ к нулю, получим искомую формулу (26), что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть функция интенсивности отказов удовлетворяет условию (25). Тогда справедливо предельное значение полного среднего остаточного ресурса $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \rho \left( \tau \right)$ = $\frac{1}{z}$.

Пример 2. Пусть расходование ресурса изделия эдлектронной техники подчиняется экспоненциальному закону, интенсивность отказов которого равна

При этом данное изделие зарезервировано аналогичным изделием в горячем режиме непрерывной работы. Найти предельное значение среднего остаточного ресурса образованного блока (из двух параллельно соединенных изделий) при заданном уровне вероятности безотказности, равной $\gamma = 0.9$.

Решение. Так как интенсивность отказов блока равна [9, 10]

то $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } \lambda \left( \tau \right) = \mu $. Следовательно, согласно (26) и (29), искомый предел среднего остаточного ресурса блока равен $\mathop {\lim }\limits_{\tau \to \infty } R\left( {\tau ,{{t}_{{0.9}}}\left( \tau \right)} \right)$ = $\frac{{0.1}}{\mu }$ = $5 \times {{10}^{3}}$ ч.

Нижние гарантированные оценки средних остаточных ресурсов. Характеристики остаточного ресурса используются как для дискретного случая воздействия на объект [7], так и для непрерывного [8]. В этих случаях более востребованными оказываются достижимые нижние гарантированные оценки показателей средних остаточных ресурсов. В связи с этим установим следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть функция интенсивности отказов в зависимости от времени монотонно возрастает и удовлетворяет условию (25). Тогда справедлива следующая достижимая нижняя гарантированная оценка среднего остаточного ресурса объекта на интервале времени $\left( {\tau ,\tau + {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$:

Доказательство. Используя формулу (17), получим

Так как [1] $1 + \frac{{\partial {{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)}}{{\partial \tau }} = \frac{{\lambda \left( \tau \right)}}{{\lambda \left( {\tau + {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)}}$, то, учитывая это в (32), имеем

Согласно условию теоремы, функция интенсивности отказов объекта монотонно растет, значит $\frac{{\partial \lambda \left( {\tau + {{t}_{\mu }}\left( \tau \right)} \right)}}{{\partial \tau }}$ > 0. Учитывая это в соотношении (33), получим $\frac{{\partial R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)}}{{\partial \tau }}$ < 0. Откуда следует, что показатель $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ как функция времени $\tau $ монотонно убывает. Следовательно, $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ > $R\left( {{{\tau }_{1}},{{t}_{\gamma }}\left( {{{\tau }_{1}}} \right)} \right)$, где ${{\tau }_{1}} > \tau $. Применяя левую часть оценки (28), имеем

где $0 < \varepsilon < z$ и $\tau > \Delta $.

Поскольку левая часть оценки (34) не зависит от $\varepsilon $, то перейдя к пределу при $\varepsilon \to 0$, найдем искомую оценку (31), которая, согласно (23), достижима, что доказывает теорему полностью.

Следствие. В условиях теоремы 4, справедлива следующая достижимая нижняя гарантированная оценка полного среднего остаточного ресурса объекта сверх времени $\tau $:

В самом деле, переходя к пределу при $\gamma \to + 0$ в оценке (31), согласно определению (12), найдем искомую оценку (35).

Достижимость оценок (35) и (31) следует из формул (23) и (24).

Пример 3. В условиях примера 2 найти нижние оценки показателей $R\left( {\tau ,{{t}_{\gamma }}\left( \tau \right)} \right)$ и $\rho \left( \tau \right)$ для блока из двух параллельно соединенных однотипных изделий.

Решение. Используя (30), имеем $\lambda {\kern 1pt} '\left( \tau \right)$ = $\frac{{2{{\mu }^{2}}\exp \left( { - \mu \tau } \right)}}{{{{{\left( {2 - \exp \left( { - \mu \tau } \right)} \right)}}^{2}}}}$. Так как правая часть полученного выражения положительна, то функция интенсивности отказов (30) монотонно растет, принимая значения от нуля до μ. Следовательно, согласно (29) и (31) получим следующую нижнюю оценку:

Для нижней оценки полного среднего остаточного ресурса, согласно (35) и (29), имеем $\rho \left( \tau \right) \geqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \mu }} \right. \kern-0em} \mu }$ = $5 \times {{10}^{4}}$ ч.

Таким образом, доказаны формулы расчета и оценки показателей среднего остаточного ресурса невосстанавливаемых объектов сверх назначенных ресурсов в течение длительности, определяемой расчетным способом в зависимости от заданного уровня безотказности. Исследована достижимость установленных оценок. Приведены примеры использования полученных результатов в задачах продления сроков эксплуатации объектов.