Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 4, стр. 34-37

ВВЕДЕНИЕ

Ионы, проходящие через вещество, теряют энергию в результате различных процессов. Вклад каждого процесса в суммарные потери энергии определяется в основном энергией и атомными номерами налетающих ионов, а также свойствами среды, в которой происходит торможение. Считается, что в случае быстрых ионов основную роль играют потери энергии, обусловленные взаимодействием ионов с электронами атомов среды: S_e = (–dE/dx)_e. В области скоростей ионов V > V₀Z  ^2/3 (V₀= e²/ħ) этот процесс обычно описывается известной формулой Бете–Блоха [1] для потерь энергии протонов с учетом различных поправок.

Наибольший интерес представляет область максимума потерь энергии (V ~ V₀Z^2/3). При рассмотрении торможения быстрых многоэлектронных ионов (атомный номер Z > 2) в этой области скоростей необходимо учитывать то, что скорость ионов близка к скорости орбитальных электронов атомов мишени, с которыми происходит столкновение, что приводит к возрастанию вероятности потери и захвата электронов ионами. В результате процессов потери и захвата электронов средний заряд ионов становится меньше Z и изменяется по мере прохождения ионов через вещество; соответственно, меняются и потери энергии S_e. Вклад процессов перезарядки в потери энергии можно учитывать в качестве отдельной составляющей [2–5] или с помощью учета отличия среднего эффективного заряда иона i_eff от Z в области скоростей ионов V ~ V₀Z  ^2/3.

Использование средних эффективных зарядов ионов позволяет расширить области применимости приближения Бете–Блоха и получить ряд интересных следствий для области максимума электронных потерь энергии. В настоящей работе проведены расчеты потерь энергии ионов с Z = 3–10 в углероде в области скоростей ионов 1–10 ат. ед. Показано, что использование выражения для средних зарядов ионов в углеродной мишени позволяет определить положение и величину максимума потерь их энергии. Эта информация полезна для описания потерь энергии в широком диапазоне скоростей, например, с помощью аппроксимации набором степенных функций, что делает возможным описание пробегов ионов в аналитическом виде [6].

МЕТОД РАСЧЕТОВ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

При торможении ионов в области скоростей V > V₀Z   ^2/3 преобладают потери энергии за счет неупругого взаимодействия ионов с электронами мишени, которые успешно описываются формулой Бете–Блоха, если ион, пройдя тонкий слой вещества, полностью теряет электроны. При уменьшении энергии налетающие ионы не полностью ионизируются, поэтому для расчетов потерь энергии в формуле Бете–Блоха ядерный заряд иона заменяют эффективным зарядом i_eff, который зависит от скорости иона и может изменяться по мере прохождения иона через мишень. После установления зарядового равновесия потери энергии можно представить в виде:

где e и m – заряд и масса электрона, Z_t – заряд ядра атома среды, I – потенциал ионизации атома, который приближенно определяют как I = Z_tI₀, где I₀ = 13.6 эВ. Поправки, связанные с оболочечной структурой и поляризацией среды в (1), в настоящей работе не рассматриваются, поскольку основной целью является качественный анализ особенностей поведения потерь энергии в зависимости от скорости иона.

Существуют различные полуэмпирические приближения для описания зависимости среднего эффективного заряда иона от его скорости, которые, например, приводят к постоянному значению S_e в области максимума [7], или сложные универсальные выражения с большим количеством параметров [8]. В настоящей работе используем более компактные и удобные для проведения расчетов выражения для среднего заряда ионов, полученные при описании торможения ионов в углеродной мишени:

где $X = Y;\,\,\,\,Y = {V \mathord{\left/ {\vphantom {V {\left( {V{\kern 1pt} {\text{'}}{{Z}^{{0.45}}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {V{\kern 1pt} {\text{'}}{{Z}^{{0.45}}}} \right)}},$ $V{\kern 1pt} ' = 3.6 \times {{10}^{8}}{{{\text{с м }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{с м }}} {\text{с }}}} \right. \kern-0em} {\text{с }}}$ [9] или $X = - 1.25 + 0.32Y - 0.11{{Y}^{2}}$ [10]. Подставляя выражение для эффективного заряда (2) в формулу (1), получим зависимость потерь энергии (–dE/dx)_e от скорости иона, максимум которой можно найти с помощью стандартных математических методов. Условие максимума удобно представить в виде: где $k = {{(1.64{{Z}^{{0.45}}})}^{{ - 1}}},$ скорость V выражена в атомных единицах.

На рис. 1 представлены результаты расчетов F₁(V, Z_t) и F₂ для ионов с Z = 3–10 в углеродной мишени (Z_t = 6). Точки пересечения зависимостей F₁(V, Z_t) и F₂(V, Z) определяют значения скоростей V_max, при которых потери энергии (1) достигают максимума. Из приведенных графиков видно, что значения V_max возрастают с увеличением Z, что соответствует известной зависимости V_max = V₀Z ^2/3 и результатам расчетов по программам SRIM [11] и PASS [12]. Результаты расчетов V_max приведены в табл. 1. Необходимо отметить, что увеличение атомного номера мишени (пунктирная кривая $F_{{\text{1}}}^{*}$ на рис. 1) приводит к увеличению значения V_max для данного Z. Таким образом, проведенное рассмотрение позволяет подтвердить полученное на основе анализа экспериментальных данных положение о том, что максимум S_{e max} при увеличении заряда ядра налетающего иона и атомного номера мишени смещается в область больших скоростей [2].

Подставляя выражение для среднего эффективного заряда (2) в формулу Бете–Блоха (1), с учетом соотношения (3) можно получить выражение для максимального значения потери энергии:

где скорость иона V_max выражена в ат. ед. Результаты расчетов максимальных значений потерь энергии ионов (табл. 1) согласуются с результатами расчетов SRIM и PASS в пределах 10% для ионов с Z  ≥ 4. Для ионов Li значение V_max, определенное по рис. 1, является завышенным, а значение S_{e max} – заниженным. Неудовлетворительный результат связан, вероятно, с небольшим количеством электронов и особенностями электронной структуры атомов Li.

В области скоростей V < V₀Z ^2/3 потери энергии линейно возрастают с увеличением скорости, что описывается, например, с помощью приближения Фирсова [13]:

где S_e выражается в единицах [эВ · см²/атом], скорость иона V – в единицах 10⁸ см/с, 1/4 ≤ Z/Z_t ≤ 4.

На рис. 2 представлены результаты расчетов потерь энергии ионов N в углеродной мишени в зависимости от их скорости, выполненных с помощью выражений (1), (2) и (5). Из рисунка видно, что использование среднего эффективного заряда (2) в формуле Бете–Блоха (1) позволяет описать максимум в зависимости потерь энергии от их скорости, однако значения S_e занижены относительно данных SRIM при V < V_max. Полученное расхождение можно объяснить отмечавшейся в [2] особенностью потерь энергии при уменьшении энергии ионов: электроны внутренней оболочки атома мишени не участвуют в процессах ионизации, в результате средний потенциал ионизации, входящий в (1), перестает быть постоянным и изменяется в зависимости от V. В [14] эффективное число электронов атомов среды, участвующих в процессе торможения, было определено как $Z_{t}^{'} \approx Z_{t}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}.$ Если при расчетах S_e по формуле (1) полагать, что заряд ядра атома мишени равномерно возрастает от $Z_{t}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}$ при V = 1.5 ат. ед. до Z_t при V = V_max, то совпадение результатов расчетов в настоящей работе и расчетов по программам SRIM и PASS существенно улучшается.

Аналогичные расчеты для потерь энергии ионов Ne (рис. 3), выполненные с помощью (1), расходятся в пределах 10% с полуэмпирическими данными SRIM, но согласуются с теоретическими расчетами PASS. По-видимому, при теоретическом описании потерь энергии не учитывается особенность электронной структуры инертного газа, которая проявляется в экспериментальных результатах.

Применимость формулы (1) при уменьшении скорости иона ограничивается поведением логарифмической функции, что в соответствии с F₁(V,Z_t) в (3) дает V > 1.5 ат. ед. В интервале скоростей 1–2.5 ат. ед. линейная зависимости потерь энергии от скорости успешно описывается приближением (5).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование эффективного среднего заряда иона при расчетах потерь энергии ионов с Z = 3–10 в углероде позволило с помощью приближения Бете–Блоха определить скорости ионов V_max, при которых потери энергии ионов достигают максимального значения, а также величину максимума потерь энергии S_e max. Полученные результаты подтвердили полученный ранее на основе анализа экспериментальных данных вывод о том, что максимум потерь энергии S_e max смещается в область больших скоростей при увеличении как заряда ядра налетающего иона, так и атомного номера мишени.

Расчеты, проведенные с помощью формулы Бете–Блоха в области максимума потерь энергии и при V > V_max, позволяют описать потери энергии ионов с Z = 4–10 при учете отличия эффективного среднего заряда от заряда ядра иона. При V < V_max формулу Бете–Блоха можно использовать вплоть до скорости V = 2 ат. ед., однако необходимо учитывать уменьшение эффективного числа электронов атомов среды, участвующих в процессе торможения. Принимая во внимание отмеченные особенности, и используя формулу Бете–Блоха совместно с формулой Фирсова для V < V_max, можно описать потери энергии рассмотренных ионов в диапазоне скоростей 1–10 ат. ед.

Полученные результаты могут быть использованы, если необходимы быстрые аналитические оценки потерь энергии ионов, а также для аппроксимации кривой потерь энергии с помощью степенных функций, удобных для расчетов пробегов ионов в веществе.