Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 4, стр. 26-33

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментально обнаружено, что потери энергии ионов зависят от их заряда [1–6]. Ионы с большим зарядом замедляются быстрее из-за более активного взаимодействия с атомами мишени. Объясняется этот эффект возрастанием сечений неупругих взаимодействий ионов и атомов мишени при увеличении заряда ионов. Кроме того, взаимосвязь распределений ионов по зарядам и энергии проявляется в том, что от величины заряда зависит разброс потерь энергии [7]. Принято различать разброс потерь энергии, связанный с флуктуациями заряда ионов вследствие потери и захвата электронов, и разброс потерь энергии без этих флуктуаций, когда ионы рассматривают как бесструктурные частицы с эффективным зарядом [8].

Современные теоретические модели описывают потери энергии ионов, проходящих через вещество, с помощью равновесного распределения ионов по зарядам [9–11]. В этом случае для описания распределения ионов в пучке сначала определяют энергию ионов и только потом зарядовые фракции [11] и средний заряд ионов [10, 11]. Для описания неравновесных зарядовых распределений ионов в зависимости от толщины мишени необходимы значения сечений потери и захвата электронов [12]. Раньше потери энергии ионов в таком процессе не вычислялись, а учитывались в виде поправочных множителей. Таким образом, зарядовые и энергетические распределения в современных теоретических моделях рассматривают независимо друг от друга. Отчасти это связано с тем, что потери энергии быстрых ионов в твердых мишенях измеряли в диапазоне значений энергии и толщин мишени, которые соответствуют равновесному распределению ионов по зарядам. К тому же, методы расчета неупругих потерь энергии для ионов с неравновесным распределением по зарядам в настоящее время отсутствуют. Тем не менее, неравновесные зарядовые распределения ионов в поверхностных слоях мишени могут существенно влиять на распределения ионов по зарядам и энергии. Толщина мишени, необходимая для установления равновесного зарядового распределения, увеличивается в случае тяжелых ионов по сравнению с легкими и может быть сравнима с пробегом [13]. Этот эффект проявляется наиболее сильно, когда заряды падающих на мишень ионов значительно отличаются от равновесного заряда ионов с той же энергией. Потери энергии ионов при неравновесном и равновесном распределении по зарядам различаются, и требуется уточнение теоретических моделей для их описания.

Цель настоящей работы – предложить теоретическую модель, которая учитывает корреляцию зарядового распределения ионов и потерь энергии, и разработать метод расчета зарядово-энергетического распределения ионов в газах и твердых мишенях.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИОНОВ ПО ЗАРЯДАМ И ЭНЕРГИИ

Зарядово-энергетическое распределение ионов, падающих на мишень с зарядом q₀ и энергией E₀ и прошедших слой вещества толщиной x, характеризуется величиной ${{G}_{q}}(x,{{E}_{j}}),$ которая равна относительному количеству ионов с зарядом q и энергией ${{E}_{j}}$в диапазоне значений энергии ${{E}_{j}} \pm \delta {{E}_{j}}.$ Если толщина мишени x меньше пробега ионов, то выполняется условие сохранения количества ионов:

Для описания эволюции зарядово-энергетического распределения ионов при изменении толщины мишени используется система дифференциальных уравнений перезарядки [14], модифицированная с учетом изменения энергии ионов:

и с начальным условием где Z – заряд ядра иона, ${{Z}_{t}}$– заряд ядра атома мишени, ${{\sigma }_{{q,k}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ – сечения потери и захвата электронов (нижние индексы соответствуют зарядам ионов до и после столкновения с атомом мишени), ${{S}_{n}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ – упругие потери энергии ионов [9], ${{S}_{e}}(E,Z,{{Z}_{t}},q)$ – неупругие потери энергии ионов c зарядом q.

Зарядовые фракции ионов ${{\Phi }_{q}}(x)$ вычисляются в ходе суммирования по всем ионам с энергией ${{E}_{j}} \pm \delta {{E}_{j}}{\text{:}}$

Распределение ионов по зарядам характеризуется средним зарядом

и параметром ширины распределения по зарядам

Распределение ионов по энергии E после прохождения мишени толщиной x получали в ходе суммирования по зарядам ионов:

Оно характеризовалось средней энергией

Разброс значений средней энергии ионов за счет изменения их зарядово-энергетического распределения описывается соотношением:

Для “тонкой” мишени, когда ион теряет незначительную часть своей энергии, распределение по энергии вырожденное:

Тогда система дифференциальных уравнений (2) и (3) преобразуется в систему уравнений перезарядки [14]:

с начальным условием

Когда толщина мишени увеличивается, устанавливается равновесное распределение, в котором относительное количество ионов ${{F}_{q}}(\overline E )$ с зарядом q и энергией $\overline E (x)$ можно вычислить с помощью решения системы однородных уравнений

при условии нормировки

Для описания равновесного распределения ионов по зарядам используются параметры среднего заряда

и ширины равновесного зарядового распределения

При увеличении толщины мишени x средняя энергия $\overline E $ ионов, прошедших мишень, уменьшается. Это приводит к изменению сечений (15), зарядовых фракций ${{F}_{q}}(\overline E )$ и параметров $\bar {q}(\overline E )$ и $d(\overline E ).$ Критерием определения толщины мишени, необходимой для установления равновесного зарядового распределения ионов, является малая разность параметров, соответствующих решениям систем уравнений (2), (3) и (15):

где T – толщина мишени, необходимая для установления равновесного распределения ионов по зарядам [15], а значение параметра δ не превышает несколько процентов. Эволюцию зарядового и энергетического распределения ионов в среде можно разделить на две области. При небольшой толщине мишени (x < T) зарядовое распределение ионов неравновесное, и ${{G}_{q}}(x,E)$ зависит от разности зарядов q₀ – $\bar {q}({{E}_{0}}).$ Уменьшение энергии ионов с зарядом ${{q}_{0}} \ne \bar {q}({{E}_{0}})$ при x = T может быть значительным ($\overline E < {{E}_{0}}$). В этом случае для описания распределения ионов по зарядам и энергии необходимо в уравнении (2) учитывать зависимость сечений ${{\sigma }_{{q,k}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ от энергии ионов, а потери энергии ионов – от q (3). При толщине мишени x > T распределение ионов по зарядам равновесное, ${{\Phi }_{q}}(x) \to {{F}_{q}}(\overline E ),$ а потери энергии ионов ${{S}_{e}}(E,Z,{{Z}_{t}},q)$ можно описать в приближении ${{S}_{e}}(E,Z,{{Z}_{t}},q) \approx {{S}_{e}}(\overline E ,\bar {q}(\overline E ))$ [9], когда ионы имеют одинаковый заряд $\bar {q}{{(\overline E )}^{{}}}$ и при прохождении слоя толщиной dx теряют одинаковую энергию.

СЕЧЕНИЯ ПЕРЕЗАРЯДКИ И ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ИОНОВ ПРИ НЕУПРУГИХ СТОЛКНОВЕНИЯХ

Описание сечений потери ${{\sigma }_{{q,q\, + \,1}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и захвата ${{\sigma }_{{q,q\, - \,1}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ одного электрона ионами в различных газовых мишенях основано на экспериментальных данных [16, 17]:

Для вычисления сечений потери и захвата электрона в твердой мишени $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{sol}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ использовали коэффициент ${{С }_{{g - s}}}(E,Z,{{Z}_{t}}) \geqslant 1$ [18, 19], на который умножали все сечения потери и делили все сечения захвата электрона в газах:

В этом приближении сечения перезарядки ионов в твердой мишени отличались от сечений в газах только масштабным множителем ${{С }_{{g - s}}}(E,Z,{{Z}_{t}}),$ который не зависел от заряда ионов q. С сечениями $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{sol}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ вычислялись равновесные зарядовые фракции ${{F}_{q}}(E)$ (15) и параметры $\bar {q}(E)$ (17) и $d(E)$ (18). Из соотношения ${{С }_{{g - s}}}(E,Z,{{Z}_{t}}) \geqslant 1$ следует, что средний заряд ионов в твердой мишени больше, чем в газах. Коэффициент ${{С }_{{g - s}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ получали в результате нормировки среднего заряда $\bar {q}(E)$ на значение эмпирического среднего заряда ${{\bar {q}}^{{{\text{sol}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ [20]. При расчетах равновесного зарядового распределения с использованием сечений $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{gas}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ или $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{sol}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ ширина зарядового распределения $d(E)$ оказывается меньше экспериментальной, что демонстрирует необходимость учета потери и захвата нескольких электронов в одном столкновении.

Неупругие потери энергии ионов с зарядом q в процессах потери и захвата одного электрона можно записать в виде [21]:

где ρ – плотность мишени, ${{E}_{e}}$ – кинетическая энергия электрона, имеющего скорость, равную скорости столкновения, ${{\varepsilon }_{q}}(Z)$ – энергия связи электрона в основном состоянии ионов с зарядом q и зарядом ядра Z. Отличие сечений $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{gas}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{{\text{sol}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ приводит к разнице потерь энергии ${{S}_{{q\, \pm \,1}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ в газообразных и твердых мишенях.

Для вычисления сечений потери и захвата двух электронов использовалась модель, в которой предполагалось, что отношение сечений в процессах потери и захвата нескольких электронов одинаковое и не зависит от заряда ионов:

С использованием сечения $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и ${{\sigma }_{{q,q\, \pm \,2}}}$(E, Z, Z_t), вычисляются равновесные зарядовые фракции ${{F}_{q}}(E),$ а затем $\bar {q}(E)$ и $d(E).$ Средний заряд ионов $\bar {q}(E)$ при учете сечений $\sigma _{{q,q \pm 2}}^{{}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ изменяется слабо, а величина параметра $d(E)$ может измениться в 1.5–2 раза. Величины W^gas(E, Z, Z_t) и ${{W}^{{{\text{sol}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ получали в результате нормировки параметра $d(\overline E )$ на значения эмпирических параметров в газах ${{d}^{{{\text{gas}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и в твердых мишенях ${{d}^{{{\text{sol}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ [22]. Таким образом, учет влияния потери и захвата ионом двух электронов на зарядовое распределение ионов в приближении (25) и (26) сводится к одному множителю W  ^gas(E, Z, Z_t) или ${{W}^{{{\text{sol}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}}),$ который не зависит от заряда ионов q. Из неравенств (25) и (26) следует, что влияние процессов потери и захвата двух электронов на неупругие потери энергии ионов в первом приближении можно не учитывать.

Целесообразно сначала рассмотреть описание сечений ионизации атома мишени протонами в различных газах, которое основано на экспериментальных данных [23], а именно

Для протонов с энергией E ≥ 0.05 МэВ сечения ионизации $\sigma _{H}^{{{\text{gas}}}}(E,{{Z}_{t}})$ превышают сечения захвата протонами одного электрона $\sigma _{{1,0}}^{{{\text{gas}}}}(E,Z = 1,{{Z}_{t}})$ более чем в 1.5–2 раза, а в области значений энергии E ≥ 0.15 МэВ более чем на порядок величины [23]. Потери энергии протонов в газовых $S_{H}^{{{\text{gas}}}}(E,{{Z}_{t}})$ и твердых $S_{H}^{{{\text{sol}}}}(E,{{Z}_{t}})$ мишенях различаются мало [9]:

Следовательно, в отличие от сечений перезарядки ${{\sigma }_{{q,q{\text{'}}}}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ сечения ионизации атомов протонами в твердой и газообразной мишенях совпадают:

Для описания сечения ионизации атома мишени многозарядными ионами используется приближение эффективного заряда. Считается, что сечения в столкновениях с многозарядными ионами и протонами отличаются друг от друга на множитель, пропорциональный среднему заряду ионов [24]:

Безразмерный множитель $p(E,Z,{{Z}_{t}})$ > 1 характеризует влияние возбужденных состояний атома мишени при ионизации атома ионами с Z  ≥ 2. Атом мишени в результате взаимодействия с ионом может сначала перейти в одно из возбужденных состояний и только затем ионизируется. Из теории возмущений следует, что в пределе быстрых столкновений двухступенчатых переходов нет, $p(E,Z,{{Z}_{t}}) \to 2$ при $E \to \infty $ [24], и сечение ионизации атома (30) описывается теорией возмущений в приближении первого порядка.

Из соотношения (30) следует, что неупругие потери энергии ионов с равновесным распределением по зарядам можно представить в виде суммы:

в которой учтены процессы ионизации атома мишени, а также потеря и захват ионом одного электрона. Величина $p(E,Z,{{Z}_{t}})$ в газообразных и твердых мишенях [24] вычислялась с использованием потерь энергии ${{S}_{e}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и $S_{H}^{{}}(E,{{Z}_{t}})$ [9], сечений $\sigma _{{q,q\, \pm \,1}}^{{}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ и результатов расчетов ${{F}_{q}}(E)$ (15) и $\bar {q}(E)$ (17). Такой способ расчета позволил получить сечения (30) и потери энергии ионов в процессе ионизации атома мишени многозарядными ионами с неравновесным зарядовым распределением:

МЕТОД РАСЧЕТА

При толщине мишени x зарядово-энергетическое распределение ионов ${{G}_{q}}(x,E)$ рассматривается как функция распределения плотности частиц в пространстве зарядов и энергии ионов. В области энергии, где процессы потери и захвата ионом двух электронов можно не учитывать ($W(E,Z,{{Z}_{t}}) \ll 1$), каждый элемент текущего фазового пространства ${{G}_{q}}(x,{{E}_{0}})$ будет связан с тремя элементами в последующем распределении соотношениями:

где ${{E}_{1}} = {{E}_{0}} - \left[ {{{S}_{n}}({{E}_{0}}) + {{S}_{q}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}},x)} \right]dx;$где ${{E}_{2}} = {{E}_{0}} - {{S}_{{q\, + \,1}}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}})dx;$где ${{E}_{3}} = {{E}_{0}} - {{S}_{{q\, - \,1}}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}})dx.$ Для всех рассмотренных неупругих процессов уменьшение энергии пропорционально толщине мишени, а величина коэффициента пропорциональности связана с неупругими потерями энергии, которые зависят от заряда иона q.

На рис. 1 приведена схема изменения распределения ионов по зарядам и энергии в зависимости от толщины мишени для x₀ < x₁ < x₂. С увеличением толщины мишени средняя энергия ионов уменьшается E₀ > $\overline E ({{x}_{1}})$ > $\overline E ({{x}_{2}}),$ а в распределении ионов по зарядам появляются ионы с зарядами q ± 1 при толщине мишени x₁ и q ± 2 при толщине мишени x₂. Когда ${{\sigma }_{{q,q\, + \,1}}}(E,Z,{{Z}_{t}}) > {{\sigma }_{{q,q\, - \,1}}}(E,Z,{{Z}_{t}}),$ при толщине мишени x₁ в зарядовом распределении ионов появляется асимметрия, и средний заряд ионов, проходящих через вещество, возрастает: $\bar {Q}({{x}_{2}}) > \overline Q ({{x}_{1}})$ > q. Особенностью нового метода описания зарядово-энергетического распределения ионов является то, что это распределение в каждый последующий момент (при толщине мишени x₂) связано только с текущим распределением (при толщине мишени x₁) и в явном виде не зависит от распределения при x < x₁. По этому признаку (“будущее” зависит от “прошлого” только через “настоящее”) новый метод описания зарядово-энергетического распределения ионов относится к марковскому процессу, в котором вероятность перехода $(q,E) \to (q{\text{'}},E{\kern 1pt} {\text{'}})$ пропорциональна сечениям неупругих столкновений и неупругим потерям энергии ионов. Отметим, что марковские процессы успешно использовались ранее, например, для решения транспортного уравнения, где за фазовый объем принимали координату и импульс частицы, а переменной являлось время. Для наглядности на рис. 1 представлена упрощенная схема, в которой не учитываются кратные процессы перезарядки, когда ион в одном столкновении может потерять или захватить несколько электронов. При выполнении расчетов процессы потери и захвата двух электронов $\sigma _{{q,q\, \pm \,2}}^{{}}(E,Z,{{Z}_{t}})$ учитывали в соответствии с (2) и в систему уравнений (33)–(35) включали еще два дополнительных уравнения.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

В качестве примера использования предложенной модели на рис. 2 приведены результаты расчетов среднего заряда ионов Ar⁸⁺ и Ar¹⁸⁺ с энергией 4.3 МэВ/нуклон в углероде. Полученные результаты для q₀ = 8 качественно согласуются с экспериментальными данными при малой толщине мишени, когда распределение ионов по зарядам неравновесное и средний заряд ионов $\overline Q (E,x)$ зависит от q₀. К сожалению, измерения при толщине мишени x > 1.5 мкм не проводились [25]. Результаты расчетов предсказывают уменьшение $\overline Q (E,x)$ при дальнейшем увеличении толщины мишени x, так как равновесное зарядовое распределение достигается при толщине мишени x > 1.5 мкм. Характер изменения среднего заряда ионов в поверхностных слоях мишени зависит от соотношения между начальным зарядом q₀ и величиной равновесного заряда ионов $\bar {q}({{E}_{0}})$ (рис. 2). Ионы с q₀ > $\bar {q}$(E₀) захватывают электроны, и это приводит к уменьшению $\overline Q (E,x).$ Ионы с q₀ < < $\bar {q}$(E₀) теряют электроны, средний заряд ионов $\overline Q (E,x)$ увеличивается, что соответствует экспериментальным данным. С увеличением толщины мишени отличие $\overline Q (E,x)$ от $\bar {q}(E)$ уменьшается, и при толщине мишени x ~3.5 мкм выполняется соотношение $\overline Q (E,x) \approx \bar {q}(E).$ Ионы, у которых средний заряд $\overline Q (E,x)$ возрастает (q₀ < $\bar {q}$(E₀)), достигают $\bar {q}(E)$ при меньшей толщине мишени, чем ионы, у которых средний заряд $\overline Q (E,x)$ уменьшается (q₀ > $\bar {q}({{E}_{0}})$). Влияние потерь энергии ионов (3) на их зарядовое распределение приводит к уменьшению $\bar {q}(E)$ с увеличением толщины мишени при больших x.

На рис. 3 приведены результаты расчетов ширины зарядового распределения ионов аргона в углеродной мишени. В падающем на мишень пучке находятся ионы только с зарядом q₀, и $D(E,x = 0)$ = 0. При увеличении толщины мишени в зарядовом распределении появляются ионы с q ≠ q₀, и ширина распределения ионов по зарядам возрастает (рис. 3). При толщине мишени T ~ 4.0 мкм отличие параметра $D(E,x)$ от равновесного значения $d(E)$не превышает 3%. Отметим, что для ионов с $\bar {q}(E)$ существует область значений x, в которой $D(E,x) > d(E).$ В этом качественное отличие описываемого процесса от процесса установления равновесного зарядового распределения для ионов с ${{q}_{0}} < \bar {q}({{E}_{0}})$ (рис. 3). При толщине мишени x ≥ T, где T = 4 мкм, зарядовое распределение ионов Ar^q0+ становится равновесным, и его ширина не зависит от начального заряда ионов ${{q}_{0}}$. В этом случае параметры равновесного зарядового распределения $\bar {q}(E)$ и $d(E)$ меняются за счет изменения сечений перезарядки при уменьшении энергии ионов E.

Средняя энергия ионов уменьшается с увеличением толщины мишени по линейному закону (рис. 4). Это объясняется слабой зависимостью неупругих потерь энергии ${{S}_{q}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}},x)$ (33) от толщины мишени x и тем, что неупругие потери энергии в процессах потери ${{S}_{{q + 1}}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}})$ и захвата ${{S}_{{q\, - \,1}}}({{E}_{0}},Z,{{Z}_{t}})$ одного электрона не зависят от x. В поверхностных слоях мишени, в которых зарядовое распределение ионов неравновесное, результаты расчета, полученные новым методом, значительно отличаются от результатов, вычисленных методом Монте-Карло. Такое несоответствие можно объяснить зависимостью потерь энергии от заряда иона в поверхностных слоях мишени, где распределение ионов по зарядам неравновесное (рис. 2 и 3). Подобные особенности не учитываются программой SRIM, в которой все ионы имеют одинаковый заряд. В этом отношении новая модель описывает зарядовое и энергетическое распределение ионов в поверхностных слоях мишени точнее. Результаты расчетов методом на основе процессов Маркова показывают, что средняя энергия ионов зависит от начального заряда ионов q₀. Чем больше начальный заряд иона, тем больше его потери энергии и меньше средняя энергия. Когда устанавливается равновесное зарядовое распределение (x = 3.5–4 мкм), различие значений средней энергии для разных q₀ сохраняется, что связано с отсутствием для $\overline E (x)$ соотношений, аналогичных (19). При большой толщине мишени, когда зарядовое распределение ионов равновесное, изменение среднего заряда $\bar {q}(E)$ остается в пределах погрешности δ (19) (рис. 2), причем различие значений средней энергии ионов с разными q₀ продолжает увеличиваться. Это связано с разницей в значениях энергии ионов на момент установления равновесного зарядового распределения и тем, что в области энергии, в которой $\overline E (x)$ больше энергии, соответствующей максимуму неупругих потерь энергии ионов, потери энергии возрастают при замедлении иона. Следовательно, при быстрых столкновениях чем меньше скорость иона тем больше он теряет энергию и тем больше становятся различия средней энергии ионов Ar⁸⁺ и Ar¹⁸⁺ (рис. 4). Эти отличия средней энергии ионов $\overline E (x)$ приводят к изменению $\bar {q}(\overline E )$ и зарядового распределения ионов. Таким образом, распределение ионов по зарядам и энергии при толщине мишени x, кроме ${{E}_{0}}$ и ${{q}_{0}},$ зависит также от изменения зарядово-энергетического распределения ионов в поверхностных слоях мишени и от того, каким это распределение сформировалось к моменту установления зарядового равновесия.

Разброс значений $\Delta (x)$ средней энергии ионов аргона с энергией E₀ = 4.3 МэВ/нуклон за счет изменения их зарядово-энергетического распределения был вычислен на основе модели марковских процессов и методом Монте-Карло по программе SRIM. Результаты расчетов показывают, что $\Delta (x)$ в модели марковских процессов составляет от 10 до 40 кэВ и слабо зависит от толщины углеродной мишени x и начального заряда q₀. Это в 5–20 раз меньше значений, полученных при моделировании методом Монте-Карло [9]. Объясняются такие большие различия тем, что предложенный метод описывает разброс значений средней энергии ионов $\Delta (x)$ за счет корреляций нескольких неупругих процессов с разными величинами сечений и потерь энергии. Это не единственная причина, которая может приводить к разбросу значений средней энергии ионов [26]. Энергия, теряемая ионом в одном столкновении с атомом мишени, зависит от угла рассеяния. Учет влияния усреднения по углу рассеяния иона на величину $\Delta (x)$ является наиболее перспективным направлением дальнейшего развития модели, предложенной в настоящей работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена теоретическая модель, описывающая эволюцию зарядово-энергетического распределения ионов, проходящих через мишень, как процесс Маркова, в котором вероятность переходов между элементами фазового пространства пропорциональна сечениям неупругих столкновений и неупругим потерям энергии ионов. Учет корреляций процессов перезарядки ионов и ионизации атомов мишени позволил описать влияние энергетического распределения ионов не только на процесс установления равновесного зарядового распределения, но и на изменение средней энергии ионов, когда распределение по зарядам неравновесное.

Новая модель уточняет параметры ионов, прошедших через среду. В случае поверхностных слоев мишени зарядовое распределение ионов зависит от начального заряда ионов ${{q}_{0}}$. При толщине мишени $x = T$ (19) устанавливается равновесное распределение ионов по зарядам. Зарядовое распределение ионов в области $x > T$ изменяется в соответствии с зависимостью равновесных параметров $\bar {q}(E),$ $d(E)$ от энергии, связанной с замедлением ионов в среде. Отличие вычисленной средней энергии ионов $\overline E (x)$ от значений, полученных методом Монте-Карло [9], объясняется уточнением эволюции зарядово-энергетического распределения ионов в поверхностных слоях мишени, где распределение ионов по зарядам неравновесное. Разброс значений средней энергии ионов $\Delta (x)$ связан с учетом корреляций сечений, соответствующих разным неупругим процессам.