1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования
  4. № 11, 2020

Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2020, № 11, стр. 79-83

Исследование влияния магнитного поля на поверхностный фазовый переход в антиферромагнетиках методом компьютерного моделирования

С. В. Белим a, b, *

a Омский государственный технический университет
644050 Омск, Россия

b Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет
644080 Омск, Россия

* E-mail: sbelim@mail.ru

Поступила в редакцию 10.01.2020
После доработки 20.02.2020
Принята к публикации 25.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье проведено компьютерное моделирование поверхностного фазового перехода в полуограниченных антиферромагнитных системах под влиянием внешнего магнитного поля. Рассмотрены случаи различных значений поверхностного обменного интеграла, а также обменного интеграла взаимодействия поверхностных спинов с первым подповерхностным слоем. Показано, что для поверхностного фазового перехода, как и для объемного перехода, температура Нееля убывает с ростом напряженности магнитного поля по квадратичному закону. Скорость убывания температуры перехода определяется отношением обменных интегралов на поверхности и в объеме системы. Для каждого отношения обменных интегралов существует предельное значение напряженности магнитного поля, выше которого поверхность системы не переходит в антиферромагнитную фазу. При этом предельное значение магнитного поля для поверхностного перехода не ниже аналогичного значения для основного объема системы. Вследствие этого возможно существование интервала значений напряженности магнитного поля, в котором возможно антиферромагнитное упорядочивание спинов только в тонком приповерхностном слое. Трикритическая точка на фазовой диаграмме системы наблюдается при одном и том же значении отношения обменных интегралов независимо от напряженности магнитного поля. Трикритическая температура также убывает по квадратичному закону с ростом напряженности магнитного поля.

Ключевые слова: поверхностный фазовый переход, антиферромагнетизм, метод Монте-Карло.

1. ВВЕДЕНИЕ

Внешнее магнитное поле оказывает существенное влияние на фазовый переход в антиферромагнетиках. Одним из наблюдаемых эффектов является снижение температуры Нееля при увеличении внешнего магнитного поля. Впервые в грубом приближении кривая зависимости температуры Нееля для двумерной и трехмерной моделей Изинга была получена в работе [1]. Авторы показали, что зависимость носит квадратичный характер. В статье [2] было получено аналитическое выражение, описывающее поведение температуры Нееля TN в слабом магнитном поле H:

${{T}_{N}}(H) = {{T}_{N}}[1--0.012{{({{mH} \mathord{\left/ {\vphantom {{mH} J}} \right. \kern-0em} J})}^{2}} + {\text{O}}({{H}^{4}})].$

Для сильных магнитных полей зависимость напряженности магнитного поля от температуры фазового перехода была вычислена в работе [3]:

$H = {{H}_{C}}--{{T}_{N}}{\text{ln}}2 + {\text{O}}({{T}_{N}}).$

Уточненные результаты для поведения температуры Нееля вблизи значения H = 0 были получены [4]:

${{T}_{N}}(H) = {{T}_{N}}(1--0.038023259{{H}^{2}}).$

В этой же работе для восприимчивости было найдено выражение:

$\chi = 0.014718006{{H}^{2}}{\text{ln}}({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 t}} \right. \kern-0em} t}),\,\,\,\,(t = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T {{{T}_{N}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{N}}}}).$

На основе результатов компьютерного моделирования [5–8] была построена фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга в магнитном поле (рис. 1).

Рис. 1.

Фазовая диаграмма антиферромагнитной системы в магнитном поле. AFM – область антиферромагнитной фазы.

Фазовая диаграмма антиферромагнитной системы в магнитном поле. AFM – область антиферромагнитной фазы.

Для полуограниченных систем наличие свободной поверхности приводит к изменению фазовой диаграммы. Температура упорядочивания спинов на свободной поверхности может отличаться от температуры Нееля для основного объема системы. Это смещение обусловлено двумя факторами. Прежде всего, на поверхности спин имеет меньшее количество соседей, что приводит к уменьшению энергии, необходимой для опрокидывания спина. С другой стороны, величина обменного взаимодействия между поверхностными спинами может отличаться от обменного взаимодействия в объеме системы, что также сказывается на энергии, необходимой для переворачивания спина. В результате в системе может наблюдаться поверхностный фазовый переход, температура которого TS превышает температуру Нееля TN [9–11]. При температуре TS система переходит из полностью неупорядоченной фазы в поверхностно-упорядоченную объемно-неупорядоченную фазу. Поверхностный фазовый переход в антиферромагнитных системах был исследован в рамках теоретико-полевого подхода [12–14] и методом компьютерного моделирования [15–17]. В этих работах показано, что параметром, определяющим температуру поверхностного фазового перехода, является отношение обменного интеграла JS взаимодействия поверхностных спинов к обменному интегралу JB взаимодействия спинов в объеме системы R = JS/JB. Поверхностный фазовый переход наблюдается при R > 1.55. При значении RS = 1.55 на фазовой диаграмме расположена трикритическая точка, фазовый переход в которой получил название специального. В работах [16, 17] показано, что на вид фазовой диаграммы может оказывать влияние учет отличия обменного интеграла JSB взаимодействия поверхностного слоя с первым подповерхностным слоем спинов. В ряде работ экспериментально [18, 19] и на основе расчетов из первых принципов [20, 21] показано, что значение JSB может отличаться как от JS, так и от JB, при этом выполняется неравенство JB ≤ JSB ≤ JS. Увеличение JSB приводит к смещению положения трикритической точки, в частности, при JSB = JS специальный переход происходит при RS = 1.3.

Как было показано выше внешнее магнитное поле оказывает существенное влияние на фазовые переходы в бесконечных антиферромагнитных системах. Однако влияние магнитного поля на поверхностный фазовый переход в полуограниченных антиферромагнитных системах остается неисследованным. Целью данной статьи является исследование поверхностного фазового перехода в полуограниченной антиферромагнитной модели Изинга в магнитном поле методом компьютерного моделирования.

2. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ

Свободная энергия полуограниченной антиферромагнитной модели Изинга с учетом отличия величины обменного интеграла для поверхностных спинов и магнитного поля имеет вид:

$\begin{gathered} F = - {\kern 1pt} {{J}_{B}}\sum\limits_B {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} - {{J}_{S}}\sum\limits_S {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} - \\ - \,\,{{J}_{{SB}}}\sum\limits_{SB} {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} + \mu {{H}_{0}}\sum {{{S}_{i}}} . \\ \end{gathered} $

Здесь Si – значения спина в i-ом узле (+1/2 или ‒1/2), H0 – напряженность внешнего магнитного поля, µ – магнетон Бора, JB – объемный обменный интеграл, JS – поверхностный обменный интеграл, JSB – обменный интеграл взаимодействия поверхностных спинов с первым подповерхностным слоем. В первых трех слагаемых суммирование осуществляется только по парам ближайших соседних спинов. В первом слагаемом свободной энергии вычисляется сумма только по парам спинов, расположенным в объеме системы. Во втором слагаемом суммируются только пары спинов, расположенных на поверхности системы. В третьем слагаемом производится суммирование по парам спинов, одни из которых расположен на поверхности системы, а втором в первом подповерхностном слое. Для удобства компьютерного моделирования будем рассматривать приведенные величины:

$R = {{{{J}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{S}}} {{{J}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{B}}}},\,\,\,\,{{R}_{1}} = {{{{J}_{{SB}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{{SB}}}} {{{J}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{B}}}},\,\,\,\,H = {{\mu {{H}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu {{H}_{0}}} {{{J}_{B}}.}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{B}}.}}$

В этом случае температура T также будет приведенной безразмерной величиной и измеряться в единицах JB/k, где k – постоянная Больцмана. Свободная энергия системы примет вид:

$\begin{gathered} {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {{{J}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{B}}}} = - \sum\limits_B {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} - R\sum\limits_S {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} - \\ - \,\,{{R}_{1}}\sum\limits_{SB} {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} + H\sum {{{S}_{i}}} . \\ \end{gathered} $

Компьютерное моделирование осуществлялось для трехмерной антиферромагнитной модели Изинга с простой кубической решеткой. Использовался алгоритм Метрополиса. Решетка имела линейные размеры L × L × 2L. Свободная поверхность определялась уравнением z = 0, спины системы располагались в полупространстве z ≥ 0. Использовались циклические граничные условия. Для плоскости z = 2L соседней считалась плоскость z = L.

Для исследования процессов упорядочивания антиферромагнитной системы было использовано два параметра порядка. Первый параметр порядка m описывает объемное антиферромагнитное упорядочение и вычисляется как шахматная намагниченность спинов в основном объеме системы. Второй параметр порядка mS описывает поверхностное упорядочивание и вычисляется как шахматная намагниченность на свободной поверхности системы.

Для определения температуры фазового перехода использовалась теория конечноразмерного скейлинга [22]. Для систем с различным линейным размером L вычислялась зависимость куммулянтов Биндера четвертого порядка от температуры Т [22]:

$U = 1 - \frac{{\left\langle {{{m}^{4}}} \right\rangle }}{{3{{{\left\langle {{{m}^{2}}} \right\rangle }}^{2}}}},\,\,\,\,{{U}_{S}} = 1 - \frac{{\left\langle {m_{S}^{4}} \right\rangle }}{{3{{{\left\langle {m_{S}^{2}} \right\rangle }}^{2}}}}.$

Угловыми скобками обозначено термодинамическое усреднение по различным состояниям системы. Как следует из теории конечноразмерного скейлинга [22] значение куммулянтов Биндера в точке фазового перехода не зависит от размера система.

Таким образом, температура фазового перехода может быть найдена как точка пересечения графиков зависимости куммулянтов Биндера от температуры для систем различного размера. На основе зависимостей U от T определялась температура Нееля TN. Исходя из графиков зависимости US от T определялась температура поверхностного фазового перехода TS.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Компьютерное моделирование проводилось для систем с линейными размерами от L = 20 до L = 36 с шагом ΔL = 4. Количество шагов Монте-Карло на спин равнялось 8 × 105. Отношение обменных интегралов R = JS/JB изменялось от R = 1.0 до R = 2.0 с шагом ΔR = 0.1. Для второго отношения обменных интегралов R1 = JS/JSB рассматривались два предельных значения R1 = 1.0 и R1 = R. Значение приведенной напряженности магнитного поля изменялось от H = 0.0 до H = 4.0 с шагом ΔH = 0.5. Для каждого набора значений (R, R1, H) определялась величина температуры Нееля TN и температуры поверхностного фазового перехода TS.

Результаты компьютерного эксперимента показали, что для температуры поверхностного фазового перехода, как и для температуры Нееля, наблюдается квадратичная зависимость от напряженности внешнего магнитного поля. Для случая, когда второе отношение обменных интегралов R1 = 1.0 трикритическая точка на фазовой диаграмме системы наблюдается при R = 1.55 для всех значений напряженности внешнего магнитного поля. Откуда следует, что при R ≤ 1.55 температура поверхностного фазового перехода совпадает с температурой Нееля. Во втором предельном случае положение трикритической точки остается неизменным при R = 1.3 для всех значений напряженности магнитного поля H. Отсюда можно сделать вывод о не влиянии магнитного поля на общий вид фазовой диаграммы системы и положение трикритической точки. Графики зависимости температуры поверхностного фазового перехода от напряженности магнитного поля при различных отношениях обменного интеграла представлены на рис. 2 (R1 = 1) и 3 (R1 = R) (рис. 2).

Рис. 2.

Графики зависимости температуры поверхностного фазового перехода от отношения обменных интегралов R = JS/JB при R1 = R = JS/JsB = 1.

Зависимость температуры поверхностного фазового перехода при R > 1.55 от напряженности магнитного поля может быть выражена с помощью формулы:

${{T}_{S}}(H,R,{{R}_{1}}) = {{T}_{0}}(R,{{R}_{1}})(1--{{({H \mathord{\left/ {\vphantom {H {{{H}_{S}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{S}}}}(R,{{R}_{1}}))}^{2}}),$
где HS(R, R1) – предельное значение напряженности магнитного поля, выше которого поверхность системы не переходит в антиферромагнитное состояние, T0(R, R1) – температура фазового перехода при нулевом магнитном поле (рис. 3).

Рис. 3.

Графики зависимости температуры поверхностного фазового перехода от отношения обменных интегралов R = JS/JB при R1 = JS/JsB = R.

Зависимости T0(R, R1) от R при R1 = 1 и R1 = R приведены на рис. 4.

Рис. 4.

Графики зависимости температуры поверхностного фазового перехода при нулевом магнитном поле T0(R, R1) от R при R1 = 1 и R1 = R.

Из результатов компьютерного эксперимента были получены зависимости предельной напряженности магнитного поля от соотношения обменных интегралов R:

$\begin{gathered} {{H}_{S}}(R,{{R}_{1}} = 1) = \frac{1}{{\sqrt {0.592 - 0.05R} }},\,\,\,\,(R > 1.55), \\ {{H}_{S}}(R,{{R}_{1}} = R) = \frac{1}{{\sqrt {0.127 - 0.05R} }},\,\,\,\,(R > 1.3). \\ \end{gathered} $

Для объемного фазового перехода H0 = 4.0. Следует отметить, что HS может принимать значения выше H0. Следовательно существует интервал значений напряженности магнитного поля, при которых антиферромагнитная фаза возможна только в приповерхностном слое, в объеме же системы она не реализуется.

4. ВЫВОДЫ

Из результатов, полученных в статье, можно сделать вывод о том, что магнитное поле оказывает такое же влияние на поверхностный фазовый переход в полуограниченных антиферромагнитных системах, как и на обычный переход в неограниченных системах. Температура поверхностного фазового перехода TS убывает с ростом напряженности магнитного поля по квадратичному закону. При этом скорость убывания TS зависит от отношения обменных интегралов R = = JS/JB и R1 = JSB/JB. Для каждого значения R и R1 существует предельное значение напряженности магнитного поля HS, при котором температура поверхностного антиферромагнитного перехода становиться нулевой. При напряженности магнитного поля выше HS поверхностный антиферромагнитный фазовый переход невозможен. Следует отметить, что выполняется неравенство H0 ≤ HS, где H0 – предельное значение магнитного поля для основного объема системы. В системах с JSB/JB = 1 и JS/JB > 1.55 или JSB/JB = JS/JB > 1.55 неравенство становиться строгим H0 < HS. В этом случае в интервале значений H0 < H < HS в системе возможна антиферромагнитная фаза только на поверхности системы. Так при R = 2.0 и R1 = 2.0 предельные значения напряженности магнитного поля H0 = 4.0 и HS = 6.085. То есть HS превышает H0 в 1.52 раза, значит интервал напряженности магнитного поля с исключительно поверхностным антиферромагнитным фазовым переходом может быть достаточно широким.

Эффект снижения температуры поверхностного фазового перехода в антиферромагнетиках под действием внешнего магнитного поля экспериментально исследовался в ряде работ. При этом постановка эксперимента состояла в наблюдении поверхностного фазового перехода под действием магнитного поля, направленного вдоль оси легкого намагничивания. Образец при фиксированной температуре помещался во внешнее магнитное поле, напряженность которого увеличивалась. При определенном значении напряженности магнитного поля происходил фазовый переход.

Данное явление может быть объяснено снижением температуры поверхностного фазового перехода во внешнем магнитном поле, описанном в данной статье. Описанный эффект наблюдался для La0.73Ca0.27MnO3 [23], MnF2 [24], сверхрешетке Fe/Cr(211) [25, 26].

Список литературы

  1. Domb C., Green M.S. Phase Transitions and Critical Phenomena. V. 3. Academic Press. London, 1974.

  2. Rapaport D.C., Domb C. //J. Phys.C. 1971. № 4(16). P. 2684.

  3. Mouller-Hartmann E., Zittartz J. // Z. Physik B. 1971. № 27(3). P. 261.

  4. Monroe J.L. // Phys. Rev. E. 2001. № 64. P. 016126.

  5. Wu X.N., Wu F.Y. // Phys. Lett. A. 1990. № 144. P. 123.

  6. Blote H.W.J., Wu X.N. // J. Phys. A. 1990. № 23. P. L627.

  7. Wang X.-Z., Kim J.S. // Phys. Rev. Lett. 1997. № 78. P. 413.

  8. Tarasenko A.A., Jastrabik L., Nieto F., Uebing C. // Phys. Rev. B. 1999. № 59. P. 8252.

  9. Каганов М.И. // ЖЭТФ. 1972. Т. 62. № 3. С. 1190.

  10. Mills D.L. // Phys. Rev. 1971. V. 3. № 11. P. 3887.

  11. Каганов М.И., Карпинская Н.С. // ЖЭТФ. 1979. Т. 76. № 6. С. 2143.

  12. Diehl H.W. // J. Mod. Phys. B. 1997. V. 11. P. 3503.

  13. Белим С.В. // ЖЭТФ. 2006. Т. 130. № 4. С. 702.

  14. Белим С.В. // ЖЭТФ. 2008. Т. 133. № 4. С. 884.

  15. Belim S.V., Trushnikova E.V. // J. Physics: Conf. Series. 2017. № 944. P. 012011.

  16. Белим С.В., Трушникова Е.В. // Физика металлов и металловедение. 2018. Т. 119. В. 5. С. 465.

  17. Белим С.В., Трушникова Е.В. // Поверхность. Рентген., синхротр. и нейтрон. исслед. 2018. № 9. С. 102.

  18. Ruiz-Díaz P., Stepanyuk V.S. // J. Phys. D. Appl. Phys. 2014. № 47. P. 105006.

  19. Brovko O.O., Ruiz-Díaz P., Dasa T.R. et al // J. Phys. Condens. Matter. 2014. № 26. P. 093001.

  20. Lin C.-Yu., Li J.-L., Hsieh Y.-H. // Phys. Rev. X. 2012. № 2. P. 021012.

  21. Ruiz-Díaz P., Dasa T.R., Stepanyuk V.S. // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 110. P. 267203.

  22. Landau D.P., Binder K. // Phys. Rev. B. 1978. V. 17. P. 2328.

  23. Wei Li, Kunkel H.P., Zhou X.Z. и дp. // J. Phys.: Condens. Matter. 2004. V. 16. P. L109.

  24. te Velthuis S.G.E., Jiang J.S., Bader S.D. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. P. 127203.

  25. Wang R.W., Mills D.L., Fullerton E.E. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 920.

  26. Pini M.G., Rettori A., Betti P. et al. // J. Phys.: Condens. Matter. 2007. V. 19. P. 136 001.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал