Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2020, № 3, стр. 103-108

ВВЕДЕНИЕ

Проблематика квантового хаоса означает исследование отличий в поведении квантовых систем, обладающих в классическом пределе хаотической динамикой, с одной стороны, и обладающих регулярной динамикой, с другой стороны [1–4]. Одним из самых простых для анализа проявлений квантового хаоса являются статистические свойства уровней энергии квантовой системы. Так, расстояние $s$ между соседними уровнями энергии хаотической системы подчиняется распределению Вигнера [2–4]:

где $\rho $ – средняя плотность уровней на рассматриваемом участке энергетического спектра системы, в то время как для систем с регулярной динамикой имеет место экспоненциальное (пуассоновское) распределение: с максимумом при $s = 0.$

Таким образом, в регулярных системах имеет место тенденция к группированию уровней энергии в оболочки, в то время как в хаотических системах уровни энергии проявляют тенденцию к взаимному отталкиванию. Поэтому проявления квантового хаоса наиболее заметны в квазиклассической области, где количество энергетических уровней велико.

Проявления динамического хаоса в каналировании электронов [5, 6] исследовались в работах [7–9] для случая движения вблизи направления [110] кристалла кремния. В этом случае пары соседних атомных цепочек создают двухъямный потенциал, выше седловой точки которого движение электронов оказывается почти полностью хаотическим. Было установлено, что статистические свойства уровней в этой области хорошо описываются распределением Вигнера (1).

Более сложным является случай, когда классическая динамика частицы оказывается при заданной энергии регулярной для одних начальных условий и хаотической для других. Такая ситуация реализуется, например, при движении электрона вблизи направления [100] кристалла кремния [6]. Предполагая, что в квазиклассическом пределе области регулярного движения и (единственная) область хаотического движения порождают две независимые последовательности уровней, Берри и Робник [10], а также (независимо) Богомольный [11] показали, что распределение межуровневых расстояний будет описываться следующей формулой:

где ${{\rho }_{1}}$ и ${{\rho }_{2}}$ – плотности уровней, обусловленных регулярной и хаотической динамикой, соответственно (${{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}} = \rho $),

Средняя плотность уровней энергии двумерной системы в квазиклассическом пределе квантовой механики определяется формулой [10]:

где $H$ – классический гамильтониан системы, а дельта-функция выражает закон сохранения энергии при движении частицы. Выполняя интегрирование по ${{p}_{y}}{\text{,}}$ получим где ${{{v}}_{y}}$ – компонента скорости частицы в направлении оси $y,$ а интегрирование ведется по области, определяемой условием В настоящей статье выполнена оценка вкладов ${{\rho }_{1}}$ и ${{\rho }_{2}}$ в среднюю плотность невырожденных уровней энергии (5), основанная на учете структуры областей регулярного движения в фазовом пространстве электрона, движущегося вблизи направления [100] кристалла кремния в режиме аксиального каналирования.

МЕТОДИКА

Если релятивистская частица падает под малым углом $\psi $ к плотно упакованной атомами кристаллографической оси, то возможна ситуация, когда она будет совершать финитное движение в поперечной (по отношению к оси) плоскости, называемое аксиальным каналированием [5, 6]. В этом случае движение частицы может быть описано как движение в непрерывном потенциале атомной цепочки, усредненном вдоль ее длины. В таком потенциале сохраняется компонента импульса частицы ${{p}_{\parallel }},$ параллельная оси цепочки, что позволяет описывать движение электрона в поперечной плоскости с помощью двумерного уравнения Шредингера

с оператором Гамильтона в котором роль массы частицы играет величина ${{{{E}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{\parallel }}} {{{c}^{{\text{2}}}},}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{{\text{2}}}},}}$ где ${{E}_{\parallel }} = {{({{m}^{{\text{2}}}}{{c}^{{\text{4}}}}{\text{\; + \;}}{{p}_{\parallel }}{{c}^{{\text{2}}}})}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ – энергия продольного движения [5].

Непрерывный потенциал отдельной атомной цепочки может быть аппроксимирован формулой [5]:

где для цепочки [100] кристалла кремния ${{U}_{0}} = 66.6$ эВ, $\alpha = 0.48,$ $\beta = 1.5$, $R{\text{\;}} = {\text{0}}{\text{.194}}~$ Å (радиус Томаса–Ферми). Такие цепочки образуют в плоскости (100) квадратную решетку с периодом $a{\text{\;}} \approx {\text{1}}{\text{.92}}$ Å. Потенциальная энергия электрона в поле цепочки с учетом вкладов восьми ее ближайших соседей будет описываться суммой: вид этой функции приведен на рис. 1.

Собственные значения ${{E}_{ \bot }}$ гамильтониана (8) с потенциалом (10) (уровни энергии поперечного движения каналированного электрона) находятся численно с помощью так называемого спектрального метода, описанного в [7, 8, 12, 13]. Отметим, что в рассматриваемом случае потенциал будет обладать симметрией квадрата, и все доступные для частицы состояния можно классифицировать по неприводимым представлениям группы ${{D}_{{\text{4}}}}$ (или изоморфной ей ${{C}_{{{\text{4}}{v}}}},$ см., например, [14]) в зависимости от типа симметрии волновой функции. Эта группа имеет четыре одномерных неприводимых представления, соответствующих невырожденным уровням энергии, и одно двумерное, соответствующее двукратно вырожденным уровням.

Классическая динамика электрона в потенциале (10) исследуется методом сечений Пуанкаре [3–6]. Напомним, что регулярность либо хаотичность движения частицы тесно связана с интегрируемостью уравнения движения. Если число интегралов движения равно числу степеней свободы (в нашем случае – двум), система является интегрируемой. Траектория частицы в фазовом пространстве будет в этом случае лежать на поверхности:

обладающей топологическими свойствами тора. Движение в этом случае оказывается регулярным (периодическим либо квазипериодическим). В противном случае движение будет хаотическим.

Метод сечений Пуанкаре позволяет выяснить наличие у системы еще одного (наряду с энергией) интеграла движения. В этом методе в процессе численного моделирования траектории частицы отмечаются все точки пересечения траектории с какой-либо плоскостью в фазовом пространстве, например, с плоскостью ${\text{(}}x{\text{,\;}}{{p}_{x}}{\text{)}}{\text{.}}$ Если, наряду с энергией, существует еще некоторый интеграл движения:

то, исключая из уравнений (11) и (12) переменную ${{p}_{y}}$ при условии $y = {\text{0,}}$ мы получим связь между переменными $x$ и ${{p}_{x}}.$ На графике Пуанкаре в этом случае отмечаемые точки будут ложиться на плавную кривую (рис. 2). В случае отсутствия второго интеграла движения точки будут ложиться хаотическим образом в пределах некоторой области (как, например, на рис. 2б).

Вклад областей регулярного движения в полную плотность уровней (4) оценивался следующим образом. При вычислении интеграла (5) методом Монте-Карло случайные точки ${\text{(}}x{\text{,\;}}y{\text{,\;}}{{p}_{x}}{\text{),}}$ попавшие в разрешенную для движения область (6), рассматривались как начальные точки фазовых траекторий, каждая из которых прослеживалась до пересечения с плоскостью ${\text{(}}x{\text{,\;}}{{p}_{x}}{\text{)}}{\text{.}}$ В случае, если точка пересечения попадала внутрь области регулярного движения на сечении Пуанкаре, вклад соответствующей начальной точки учитывался не только в полной величине плотности уровней $\rho ,$ но и в величине плотности ${{\rho }_{1}},$ соответствующей регулярному движению. Подчеркнем, что для заданной начальной точки ${\text{(}}x{\text{,\;}}y{\text{,\;}}{{p}_{x}}{\text{)}}$ существуют две возможности выбора знака компоненты скорости вдоль оси y:

Однако, наличие этих двух возможностей уже учтено при переходе от (4) к (5), поэтому при реализации численного алгоритма мы всегда выбираем только один (положительный) знак.

Отметим, что в теории квантового хаоса исследуются флуктуации межуровневых расстояний относительного среднего значения ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \rho }} \right. \kern-0em} \rho }.$ Поскольку средняя плотность уровней энергии в потенциале вида (10) возрастает с ростом ${{E}_{ \bot }},$ исходный массив уровней на исследуемом интервале подвергается процедуре развертывания [2, 4]. Новый массив уровней будет обладать единичной средней плотностью $(\rho = 1).$

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Построение сечений Пуанкаре показывает, что для состояний в глубине потенциальной ямы (10) динамика электрона полностью регулярна. Это обусловлено слабостью влияния на потенциал центральной атомной цепочки ее соседей, что приводит к сохранению при движении электрона, наряду с энергией ${{E}_{ \bot }}$, проекции орбитального момента импульса на ось цепочки. С увеличением ${{E}_{ \bot }}$ электрон получает возможность посещать при движении области на периферии элементарной ячейки, в которых влияние соседних цепочек приводит к значительному нарушению аксиальной симметрии потенциала, следствием чего является хаотизация движения (начиная с энергии ${{E}_{ \bot }}{\text{\;}} = - {\kern 1pt} {\text{14}}$ эВ для электрона с ${{E}_{\parallel }}{\text{\;}} = {\text{5}}$ ГэВ).

Среди областей регулярного движения выделяется область 1 на рис. 2. Движение в ней близко к движению в центральном поле. Наличие этой области прослеживается во всем обсуждаемом интервале энергий поперечного движения, от ‒14 эВ (полностью регулярное движение) до ‒12 эВ (верхний край потенциальной ямы), причем в области ${{E}_{{ \bot {\text{\;}}}}} \geqslant - {\text{12}}{\text{.8}}$ эВ вклад этой области становится определяющим (для более глубоких уровней имеются также регулярные торы, охватывающие на графиках Пуанкаре области типов 1 и 2).

Регулярность движения именно в этой области допускает простую и наглядную интерпретацию. Вблизи оси цепочки возмущающее влияние соседних цепочек пренебрежимо мало, что приводит к приблизительному сохранению орбитального момента импульса. Возникающий при этом центробежный барьер “не подпускает” частицу к тем областям, где сохранение момента импульса отсутствует и возникает хаотизация движения.

Оказывается, что вклад этой области в среднюю плотность уровней с хорошей точностью постоянен на всем обсуждаемом интервале, и составляет приблизительно 34%. Подчеркнем, что результат Берри–Робника–Богомольного (3) был получен в предположении постоянства вклада областей регулярного движения в плотность уровней на всем рассматриваемом интервале. Таким образом, величина ${{\rho }_{1}} = 0.34$ может служить нижней оценкой вклада областей регулярной динамики на интервале

на котором вклад этой области становится определяющим. Среднее значение вклада всех регулярных областей на этом интервале составляет приблизительно ${{\rho }_{1}} = 0.43.$

Отметим, что области регулярного движения на сечении Пуанкаре каждого типа, например, типа 1, соответствуют две симметричные области, не пересекающиеся в четырехмерном фазовом пространстве, соответствующие движению по данной орбите по и против часовой стрелки в плоскости (x, y). Однако, проекции этих областей на трехмерное пространство ${\text{(}}x{\text{,\;}}y{\text{,\;}}{{{v}}_{x}}{\text{)}}$ будут пересекаться, как показано на рис. 3. При этом, согласно сказанному при обсуждении формулы (13), соответствующий вклад в плотность ${{\rho }_{1}}$ уровней, связанных с регулярным движением, будет определяться интегралом вида (5) только по одной из двух таких трехмерных областей.

Форма аналогичной трехмерной области типа 2 (соответствующей движению против часовой стрелки) показана на рис. 4.

Квазиклассическая плотность уровней энергии электрона с энергией ${{E}_{\parallel }} = {\text{5}}~$ ГэВ, каналированного в направлении [100] кристалла кремния, рассчитанная по формуле (5) методом Монте-Карло, показана на рис. 5 сплошной линией, а оценка вклада в нее областей регулярного движения – точками. Погрешность этой оценки обусловлена как сложностью точного определения границ областей регулярного движения, так и сложностью учета вкладов небольших по объему областей регулярного движения, появление которых сопровождает разрушение инвариантных торов на границе областей регулярной и хаотической динамики.

На рис. 6 представлено распределение межуровневых расстояний для четырех типов невырожденных уровней энергии поперечного движения электрона с энергией продольного движения 5 ГэВ на интервале (14). Жирными линиями на рис. 6 обозначено распределение Берри–Робника–Богомольного с ${{\rho }_{1}} = 0.3428$ (жирная штриховая линия, величина ${{\chi }^{2}}$ в этом случае составляет 8.7225) и ${{\rho }_{1}} = 0.4274$ (жирная сплошная линия, $~{{\chi }^{2}} = 12.9508$). В обоих случаях мы видим, что распределение Берри–Робника–Богомольного лучше описывает реальное распределение межуровневых расстояний по сравнению с распределениями (1) (тонкая штриховая линия, ${{\chi }^{2}} = 17.9184$) и (2) (пунктирная линия, ${{\chi }^{2}} = 30.8545$). Однако, фитирование по критерию максимального правдоподобия с величиной ${{\rho }_{1}}$ в качестве свободного параметра приводит к значению около 15% (тонкая сплошная линия, ${{\chi }^{2}} = 3.5489$), намного меньшему реального значения вклада области регулярных траекторий в плотность уровней на рассматриваемом интервале. Возникающее расхождение обусловлено тем, что распределение Берри–Робника–Богомольного предполагает, что хаотическая и регулярные области фазового пространства порождают две независимые последовательности уровней, пренебрегая корреляциями между последними.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрено каналирование электронов с энергией 5 ГэВ вблизи цепочек [100] кристалла кремния. Показано, что вблизи верхнего края потенциальной ямы, образованной непрерывным потенциалом атомной цепочки, влияние соседних цепочек приводит к возникновению значительной области хаотической динамики в фазовом пространстве поперечного движения электрона.

В рамках квазиклассического приближения квантовой механики вычислена плотность уровней энергии поперечного движения электрона и определен вклад в эту величину сохранившихся в верхней части потенциальной ямы областей регулярного движения.

Значение относительного вклада областей регулярного движения в плотность уровней входит в качестве параметра в распределение Берри–Робника–Богомольного, описывающее статистику межуровневых расстояний квантовой системы, чей классический аналог обладает частично регулярной, а частично хаотической динамикой. Установлено, что в рассматриваемом случае каналированного электрона распределение Берри–Робника–Богомольного лучше описывает статистические свойства невырожденных уровней энергии, нежели чистые распределения Пуассона и Вигнера. Однако, распределение Берри–Робника–Богомольного не учитывает ряд особенностей динамики системы. В связи с этим можно ожидать, что распределение Подольского–Нариманова [15], учитывающее влияние туннелирования, сопровождаемого хаосом, будет лучше описывать фактическое распределение уровней энергии поперечного движения электронов на малых межуровневых расстояниях.