Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2020, № 6, стр. 43-53

1. ВВЕДЕНИЕ

Когерентное рентгеновское излучение релятивистского электрона в искусственной периодической структуре в приближении динамической теории дифракции в виде вкладов параметрического рентгеновского излучения (ПРИ) и дифрагированного переходного излучения (ДПИ) впервые рассматривалось в работе [1]. ПРИ в искусственной периодической структуре возникает вследствие дифракции псевдо-фотонов кулоновского поля релятивистского электрона на слоях мишени аналогично тому, как вследствие дифракции на системе параллельных атомных плоскостей возникает ПРИ в монокристалле [2, 3]. Дифрагированное переходное излучение является следствием дифракции на слоях мишени фотонов переходного излучения, генерируемого на входной поверхности мишени, по аналогии с ДПИ в монокристалле [4–6]. Динамическая теория излучения релятивистских электронов в периодических слоистых средах [1] хорошо описывает экспериментальные данные, представленные в работе [7].

Необходимо отметить, что традиционно процесс излучения в периодических слоистых средах рассматривался в геометрии рассеяния Брэгга и только для частного случая симметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени, когда угол между поверхностью мишени и отражающими плоскостями равен нулю. Такое рассмотрение было проведено и в работе [1]. Процесс когерентного рентгеновского излучения релятивистского электрона в периодической слоистой структуре в общем случае асимметричного отражения в геометрии рассеяния Брэгга впервые рассматривался в работе [8], а позже для пучков релятивистских электронов − в работе [9]. Проявление эффектов динамической дифракции в когерентном рентгеновском излучении релятивистских электронов, пересекающих искусственную периодическую структуру, в геометрии рассеяния Лауэ подробно проанализировано в работе [10].

Теория ПРИ релятивистской частицы в монокристалле предсказывает излучение не только вблизи направления рассеяния Брэгга, но также и вблизи направления скорости частицы (ПРИВ − ПРИ вперед) [11, 12]. Теоретическое описание ПРИВ релятивистских электронов в монокристалле в общем случае асимметричного относительно поверхности мишени отражения кулоновского поля электрона в геометрии рассеяния Лауэ было представлено в работе [13]. Детальное теоретическое описание ПРИВ релятивистского электрона в монокристалле для случая симметричного отражения в геометрии рассеяния Брэгга было дано в работе [14]. ПРИВ обнаружено экспериментально только в монокристалле и только в геометрии рассеяния Лауэ [15].

Необходимо отметить, что ПРИВ релятивистских электронов в периодической слоистой среде экспериментально не наблюдалось. ПРИВ является динамическим эффектом, и эго экспериментальная регистрация очень важна для динамической теории когерентного рентгеновского излучения.

В настоящей работе рассматривается когерентное рентгеновское излучение пучка релятивистских электронов в периодической слоистой среде в направлении, близком к направлению оси пучка в геометрии рассеяния Брэгга, для общего случая асимметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени. Получены и исследованы выражения, описывающие спектрально-угловую плотность излучения.

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотрим пучок релятивистских электронов, пересекающих периодическую структуру в геометрии рассеяния Брэгга (рис. 1), состоящую из чередующихся слоев толщиной ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}},$ и диэлектрическими восприимчивостями, соответственно, ${{\chi }_{1}}$ и ${{\chi }_{2}}$ ($T = {{l}_{1}} + {{l}_{2}}$ период слоистой мишени). Отражающие слои расположены под некоторым углом $\delta $ к поверхности мишени (рис. 1), что соответствует случаю асимметричного отражения поля излучения ($\delta = 0$ − частный случай симметричного отражения). Введем угловые переменные $\psi {\text{,}}$ ${\mathbf{\theta }}{\kern 1pt} '$ и ${\mathbf{\theta }}$ в соответствии с определениями скорости релятивистского электрона ${\mathbf{V}}$ и единичных векторов: ${\mathbf{n}}$ (в направлении импульса фотона, излученного вблизи направления вектора скорости электрона) и ${{{\mathbf{n}}}_{{\mathbf{g}}}}$ (в направлении рассеяния Брэгга):

где ${\mathbf{\theta }}{\kern 1pt} '$ − угол излучения когерентного рентгеновского излучения (ПРИ и ДПИ) в направлении рассеяния Брэгга, отсчитываемый от оси детектора излучения ${{{\mathbf{e}}}_{2}},$ $\psi $ − угол отклонения рассматриваемого электрона в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${\mathbf{\theta }}$ − угол когерентного рентгеновского излучения вблизи направления скорости релятивистского электрона (ПРИВ и ПИ), $\gamma = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}$ − Лоренц-фактор электрона. Угловые переменные рассматриваются в виде суммы составляющих, параллельных и перпендикулярных плоскости рисунка: ${\mathbf{\theta }} = {{{\mathbf{\theta }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{ \bot }},$ ψ = $ = {{\psi }_{{||}}} + {{\psi }_{ \bot }}.$ ПРИВ и ПИ будем рассматривать в направлении вектора ${\mathbf{n}}$ (рис. 1). Угол ${{\psi }_{0}}$ будем называть начальной расходимостью пучка излучающих электронов (рис. 1). Угол ${{\psi }_{0}}$ определяет конус, ограничивающий часть пучка электронов, за пределами которого плотность электронов уменьшается более чем в $е$ раз по сравнению с плотностью на оси пучка.

СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ

При решении задачи будем рассматривать уравнение для Фурье-образа ${\mathbf{E}}({\mathbf{k}},\omega )$ = $\int {dt{{d}^{3}}r} {\text{ }}{\mathbf{E}}({\mathbf{r}},t) \times $ $ \times \,\,\exp \left( {i\omega t - i{\mathbf{kr}}} \right)$ электромагнитного поля, возбуждаемого электроном в периодической слоистой среде, следующее из системы уравнений Максвелла:

где ${\mathbf{J}}({\mathbf{k}},\omega ) = 2\pi \,e{\mathbf{V}}\delta (\omega - {\mathbf{kV}})$ − Фурье-образ плотности тока излучающего электрона, ${{\chi }_{0}}\left( \omega \right)$ − средняя диэлектрическая восприимчивость периодической слоистой среды, ${{\chi }_{{\mathbf{g}}}}$ и ${{\chi }_{{ - {\mathbf{g}}}}}$ коэффициенты Фурье разложения диэлектрической восприимчивости периодической структуры по векторам ${\mathbf{g}}{\kern 1pt} :$где

Вектор ${\mathbf{g}}$ аналогичен вектору обратной решетке в кристалле, он перпендикулярен слоям мишени и его длина ровна $g = \frac{{2\pi }}{Т}n,$ $n = 0, \pm 1, \pm 2,...$ В случае ${{\chi }_{{ - {\mathbf{g}}}}} = 0$ выражение (2) описывает электрическое поле в однородной аморфной среде.

Величины ${{\chi }_{0}}$ и ${{\chi }_{{\mathbf{g}}}}$ в рассматриваемой периодической структуре имеют следующий вид:

Из (4) следуют используемые далее соотношения:

Влияние вещества на формирование и распространения излучения определяется только величинами ${{\chi }_{0}}(\omega )\,$ и ${{\chi }_{{\mathbf{g}}}}(\omega ).$ При этом вблизи передней и задней границы мишени (на толщине порядка толщины наибольшего слоя) эти величины будут меняться вдоль границы, так как будут меняться вдоль границы толщины слоев ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}},$ так как они будут обрезаны. Но, поскольку когерентное формирование и рассеяния излучения происходит на большом количестве слоев, изменение рассматриваемых величин ${{\chi }_{0}}(\omega )$ и ${{\chi }_{{\mathbf{g}}}}(\omega )$ вблизи границ мишени никак не скажется на спектрально-угловой плотности излучения.

Так как излучаемое релятивистским электроном электромагнитное поле в рентгеновском диапазоне частот является поперечным, то падающая ${\mathbf{E}}({\mathbf{k}},\omega )$ и дифрагированная в периодической слоистой среде ${\mathbf{E}}({\mathbf{k}} + {\mathbf{g}},\omega )$ электромагнитные волны, определяются двумя амплитудами с разными значениями поперечной поляризации:

где векторы ${\mathbf{e}}_{0}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{0}^{{(2)}}$ перпендикулярны вектору ${\mathbf{k}},$ а векторы ${\mathbf{e}}_{1}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{1}^{{(2)}}$перпендикулярны вектору ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{g}}}} = {\mathbf{k}} + {\mathbf{g}}.$ Векторы ${\mathbf{e}}_{0}^{{(2)}},$ ${\mathbf{e}}_{1}^{{(2)}}$ лежат в плоскости векторов ${\mathbf{k}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{g}}}}$ ($\pi $-поляризация), а векторы ${\mathbf{e}}_{0}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{1}^{{(1)}}$ перпендикулярны ей ($\sigma $-поляризация). В рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции уравнение (2), с учетом (6), сводится к хорошо известной системе уравнений [16]: Величины ${{С}^{{(s)}}}$ и ${{P}^{{(s)}}}$ в системе уравнений (7) определены следующим образом: где ${{\theta }_{{\text{B}}}}$ − угол между осью пучка электрона и отражающими слоями (угол Брэгга). Длина вектора обратной решетки определяется выражением g = $ = {{2{{\omega }_{{\text{B}}}}\sin {{\theta }_{{\text{B}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{\omega }_{{\text{B}}}}\sin {{\theta }_{{\text{B}}}}} V}} \right. \kern-0em} V},$ где ${{\omega }_{{\text{B}}}}$ − частота Брэгга. Система уравнений (7) при $s = 1$ и $\tau = 2$ описывает поля $\sigma $-поляризованные. При $s = 2$ система (6) описывает поля $\pi $-поляризованные, при этом, если 2θ_B < $ < \pi {\text{/}}2,$ то $\tau = 2,$ а в противном случае $\tau = 1.$

Рассмотрим наиболее интересный случай, когда длина пути электрона в пластинке ${{L}_{e}} = L{\text{/}}\sin ({{\theta }_{{\text{B}}}} + $ $ + \,\,\delta )$ больше длины экстинкции рентгеновских волн в периодической слоистой среде, то есть ${{b}^{{(s)}}} = {{L}_{e}}{\text{/}}2L_{{{\text{ext}}}}^{{(s)}},$ что является условием проявления динамических эффектов в излучении. В то же время будем рассматривать периодическую слоистую среду как тонкую непоглощающую мишень, в которой длина пути фотона в мишени $({{L}_{f}} \approx {{L}_{e}})$ будет значительно меньше длины поглощения рентгеновских волн в периодической слоистой среде ${{L}_{{abs}}}$ = $(r = {{l}_{2}}{\text{/}}{{l}_{1}}),$ то есть ${{L}_{f}}{\text{/}}{{L}_{{abs}}} \ll 1.$ Для процесса когерентного рентгеновского излучения пучка релятивистских электронов аналогично работе [8], получим выражение, описывающее спектрально-угловую плотность ПРИВ:

где введены обозначения

Так как в области рентгеновских частот выполняется неравенство $2{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}L_{{{\text{ext}}}}^{{(s)}}{\text{/}}{{T}^{2}}{{\omega }_{{\text{B}}}} \gg 1,$ то ${{\eta }^{{(s)}}}(\omega )$ является быстрой функцией от частоты $\omega $, поэтому для дальнейшего анализа спектров ПРИВ и ПИ очень удобно рассматривать ${{\eta }^{{(s)}}}(\omega )$ или ${{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)$ как спектральную переменную, характеризующую частоту $\omega {\text{.}}$

Для фиксированного значения ${{\theta }_{{\text{B}}}}$ параметр асимметрии $\varepsilon $ определяет ориентацию входной поверхности мишени относительно отражающих слоев.

При уменьшении угла падения $\left( {{{\theta }_{{\text{B}}}} + \delta } \right)$ электрона на мишень параметр $\delta $ становится отрицательным и далее возрастает по модулю (в предельном случае $\delta \to - {{\theta }_{{\text{B}}}}$), что приводит и к возрастанию $\varepsilon .$ Напротив, при увеличении угла падения $\varepsilon $ убывает (предельный случай $\delta \to {{\theta }_{{\text{B}}}}$). В случае симметричного отражения, когда $\delta = 0{\text{,}}$ параметр асимметрии $\varepsilon = 1.$ На рис. 1 указано положительное направление угла $\delta .$

Параметр ${{\nu }^{{(s)}}},$ принимающий значения в промежутке $0 \leqslant {{\nu }^{{(s)}}} \leqslant 1,$ определяет степень отражения поля электрона слоев мишени, которая обусловливается характером интерференции волн, отраженных от разных слоев: конструктивным (${{\nu }^{{(s)}}} \approx 1$) или деструктивным (${{\nu }^{{(s)}}} \approx 0$).

Спектральная функция $R_{{{\text{ПРИВ}}}}^{{(s)}}$ (9б) представлена в виде слагаемых, описывающих вклады в спектр ПРИВ двух ветвей рентгеновских волн $R_{{}}^{{(1)}}$ и ${{R}^{{(2)}}},$ а также их интерференционного слагаемого $R_{{{\text{ИНТ}}}}^{{(s)}}.$ Каждой рентгеновской волне соответствуют волновые векторы, длины которых имеют вид:

Выражениe (11) следуeт из решения дисперсионного уравнения $({{\omega }^{2}}(1 + {{\chi }_{0}}) - {{k}^{2}})({{\omega }^{2}}(1 + {{\chi }_{0}}) - k_{{\mathbf{g}}}^{2})$ – – ${{\omega }^{4}}{{\chi }_{{ - {\mathbf{g}}}}}{{\chi }_{{\mathbf{g}}}}{{C}^{{(s)}}}^{2} = 0,$ следующего из (7).

Вклад первой $R_{{}}^{{(1)}}$ и вклад второй $R_{{}}^{{(2)}}$ ветви ПРИВ будут существенны, когда имеют решения соответствующие уравнения:

Поскольку параметр ${{\sigma }^{{(s)}}} > 1,$ то можно показать, что уравнение (12б) имеет решение всегда, а уравнение (12a) разрешимо только при условии $\varepsilon < 1{\text{/}}{{\sigma }^{{(s)}}}^{2}.$ Решение уравнений (12a) и (12б) определяет частоту, в окрестности которой сосредоточен спектр фотонов ПРИВ, излучаемых под фиксированным углом наблюдения. Из уравнений (12) следует, что максимум спектра ПРИВ всегда расположен вне области полного отражения (экстинкции): ${{\xi }^{{(s)}}}(\omega )$ = $\sqrt \varepsilon + {{({{\sigma }^{{(s)}}}\sqrt \varepsilon - 1)}^{2}}{\text{/}}2{{\sigma }^{{(s)}}} > \sqrt \varepsilon .$ Длина волнового вектора в этой области частот принимает комплексные значения даже в отсутствии поглощения: подкоренное выражение в (11) отрицательно. Область полного отражения определяется следующим неравенством: из которого видно, что ширина этой области определяется величиной $2\sqrt \varepsilon .$

Получено выражение, описывающее спектрально-угловую плотность переходного излучения:

Выражение (14) справедливо для всех возможных значений величин ${{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)$ и существенно отличается от формулы для ПИ из аморфной пластины той же толщины L. Это отличие вызвано эффектами динамической дифракции. Оно является значительным только в окрестности Брэгговской частоты $\left| {{{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)} \right| \leqslant {{\varepsilon }^{{1/2}}}.$ Вне окрестности $\left| {{{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)} \right| \gg {{\varepsilon }^{{1/2}}}$ спектральная функция принимает вид хорошо известного выражения для ПИ, в аморфной диэлектрической пластинки:

Из выражения (15) следует, что деструктивная интерференция волн ПИ, испущенных из входной и выходной поверхности мишени, будет полностью подавлять частоты далекие от частоты Брэгга при резонансном условии: Получено выражение, описывающее интерференцию ПРИВ и ПИ: Выражения $R_{{{\text{ПРИВ1,ПИ}}}}^{{(s)}}$ и $R_{{{\text{ПРИВ2,ПИ}}}}^{{(s)}}\,\,$ описывают интерференцию переходного излучения с первой и второй ветвью ПРИВ.

Выражения (9), (14) и (17), описывающие вклады в спектрально угловую плотность излучения релятивистского электрона ПРИВ, ПИ и их интерференционного слагаемого с учетом отклонения направления скорости электрона ${\mathbf{V}}$ от направления оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ заданного углом $\psi ({{\psi }_{ \bot }},{{\psi }_{\parallel }}),$ представляют главный результат настоящей работы. Эти выражения получены для общего случая асимметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени и содержат зависимость от коэффициента асимметрии $\varepsilon .$

ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ И АНАЛИЗ СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗЛУЧЕНИЙ

Используя полученные выражения (9), (14) и (17) проведем численные расчеты для различных параметров и проанализируем свойства когерентного рентгеновского излучения, а также возможность для наблюдения ПРИВ релятивистских электронов, генерируемое в периодической слоистой среде. Для определенности рассмотрим когерентное излучение в периодической слоистой среде, состоящей из слоев с диэлектрическими восприимчивостями $\chi _{1}^{'} \approx {{10}^{{ - 4}}}$ и $\chi _{2}^{'} \approx {{10}^{{ - 5}}},$ вблизи окрестности частоты Брэгга ${{\omega }_{B}}$. Вычисления спектрально-угловой плотности когерентного рентгеновского излучения проведем для $\sigma $−поляризованных волн ($s = 1$), первой гармоники $n = 1.$ Отклонение направлении скорости электрона в пучке от оси пучка будем считать равной нулю $\psi = 0$ (${{\psi }_{ \bot }} = {{\psi }_{\parallel }} = 0$). Толщины отражающий слоев одинаковы $r = {{l}_{2}}{\text{/}}{{l}_{1}} = 1,$ при этом средняя диэлектрическая восприимчивость в мишени $\chi _{0}^{'} = $ $ = - 5.5 \times {{10}^{{ - 5}}}.$

Будем рассматривать случай, когда выполняется неравенство $\varepsilon > 1{\text{/}}{{\sigma }^{{(s)}}}^{2},$ то есть вклад будет давать только вторая ветвь ПРИВ. Численные расчеты показывают, что при рассматриваемых нами параметрах выполняется неравенство ${{\sigma }^{{(s)}}} > 2,$ при этом минимальный параметр асимметрии при котором отсутствует первая ветвь ПРИВ: $\varepsilon = 0.25.$ Необходимо отметить, что в случае $\varepsilon < 0.25,$ при рассматриваемых параметрах, спектрально-угловая плотность второй ветви ПРИВ будет существенно превышать спектрально-угловую плотность первой ветви. Запишем выражение, описывающее спектрально-угловую плотность второй ветви ПРИВ (9а) и (9г) для $\sigma $-поляризованных волн при ${{\psi }_{ \bot }} = {{\psi }_{\parallel }} = 0$:

где $\begin{gathered} {{\xi }^{{{\text{(1)}}}}}\left( \omega \right) = {{\eta }^{{{\text{(1)}}}}}{\text{(}}\omega {\text{)}} + \frac{{{\text{1}} + \varepsilon }}{{{\text{2}}{{\nu }^{{{\text{(s)}}}}}}}, \\ {{\sigma }^{{{\text{(1)}}}}}{\text{ = }}\frac{\pi }{{\left| {\chi _{2}^{'} - \chi _{1}^{'}} \right|}}\left( {{{\gamma }^{{ - {\text{2}}}}} + \theta _{ \bot }^{{\text{2}}} + \theta _{\parallel }^{{\text{2}}} - \chi _{0}^{'}} \right). \\ \end{gathered} $

Рассмотрим зависимость спектрально-угловой плотности ПРИВ релятивистского электрона от угла наблюдения ${{\theta }_{ \bot }}{\text{,}}$ при этом будем полагать ${{\theta }_{\parallel }} = 0.$ На рис. 2 представлены кривые, построенные по формуле (18а), описывающие спектрально-угловые плотности ПРИВ при различных углах наблюдения, для $\gamma = 200.$ Функция, описывающая угловую часть ПРИВ: ${{F}^{{(1)}}} = \frac{{{{e}^{2}}}}{{{{\pi }^{2}}}} \times $ $ \times \,\,\frac{{\theta _{ \bot }^{2}}}{{{{{\left( {{{\gamma }^{{ - 2}}} + \theta _{ \bot }^{2} + \theta _{\parallel }^{2} - \chi _{0}^{'}} \right)}}^{2}}}},$ имеет максимум в точке ${{\theta }_{ \bot }} = \sqrt {{{\gamma }^{{ - 2}}} - \chi _{0}^{'}} .$ Для рассматриваемых параметров $\chi _{0}^{'} = - 5.5 \times {{10}^{{ - 5}}}$ и $\gamma = 200,$ этот угол равен ${{\theta }_{ \bot }} \approx $ $ \approx 9$ мрад, что и демонстрирует кривая, приведенная на рис. 3. Однако, угол максимума спектрально-угловой плотности ПРИВ, в рассматриваемом случае, имеет значение $\theta _{ \bot }^{{\max }} \approx 6$ мрад (рис. 2). Это связано с тем, что максимум динамической спектральной функции $R_{2}^{{(1)}}$ увеличивается с уменьшением угла наблюдения ${{\theta }_{ \bot }},$ данный эффект демонстрируют кривые, представленные на рис. 4. Важно отметить, что кинематическая теории ПРИ, не предсказывает пик ПРИВ.

На рис. 5 представлены кривые, демонстрирующие рост спектрально угловой плотности ПРИВ при увеличении пути электрона в мишени b⁽¹⁾ = $ = {{L}_{e}}{\text{/}}2L_{{{\text{ext}}}}^{{(1)}},$ выраженной в двойной длине экстинкции.

Полученное выражение (18а) $1$предсказывает влияние асимметрии отражения поля электрона относительно поверхности мишени на спектрально-угловую плотность излучения. Рассмотрим зависимость спектрально-угловой плотности ПРИВ при фиксированном угле наблюдения от асимметрии отражения. Кривые, построенные по формулам (18а) и представленные на рис. 6, демонстрируют рост амплитуды спектрально-угловой плотности ПРИВ с уменьшением параметра асимметрии $\varepsilon {\text{,}}$ при этом ширина спектра уменьшается. Например: $\varepsilon = 0.5$ (при ${{{\theta }}_{{\text{B}}}}{\text{ = 10}}^\circ $ и $\delta = 3.4^\circ $), $\varepsilon = 1.5$ (при ${{{\theta }}_{{\text{B}}}} = 10^\circ $ и $\delta = - 2^\circ $). Случай симметричного отражения соответствует $\varepsilon = 1\,\,{\text{(}}\delta = 0{\text{)}}.$

Ввиду того, что переходное излучение будет являться фоном при экспериментальной регистрации ПРИВ и исследовании его свойств, то необходимо проанализировать спектрально-угловую плотность ПИ и влияние вклада интерференции ПРИВ и ПИ в когерентное рентгеновское излучение. На рис. 7 представлены кривые, построенные по формуле (14а), описывающие спектрально-угловую плотность переходного излучения при фиксированном угле наблюдения. Кривые построены при различных значениях параметра b⁽¹⁾ = $ = {{L}_{e}}{\text{/}}2L_{{{\text{ext}}}}^{{(1)}}.$ Сплошная кривая на рис. 7, построенная при параметре ${{b}^{{(1)}}} = 10.86,$ соответствует резонансному условию (16), при $m = 7.$ Из рисунка видно, что небольшое увеличение параметра ${{b}^{{(1)}}}$ (пути электрона в мишени) приводит к уменьшению спектрально-угловой плотности ПИ справа и увеличению ее слева, что может быль полезно при экспериментальной идентификации пика ПРИВ.

В некоторых случаях существенной может быть деструктивная интерференция волн ПРИВ и ПИ. На рис. 8 представлены кривые, построенные по формулам (18а), (14а) и (17а), описывающие спектрально-угловые плотности ПРИВ, ПИ и их интерференцию. Из рисунка следует, что хотя условие подавления фона переходного излучения вдали от частоты Брэгга ${{{\omega }}_{{\text{B}}}}$ (${{{\eta }}^{{{\text{(1)}}}}} = {\text{0}}$) выполняется, однако существенна деструктивная интерференция волн ПРИВ и ПИ, что может затруднить экспериментальную регистрацию ПРИВ в этих условиях.

На рис. 9 представлены кривые, аналогичные кривым рис. 8, но при ${{b}^{{(1)}}} = 10.$ Из рис. 9 следует конструктивная интерференция волн ПРИВ и ПИ, хотя волны ПИ, имеющие частоты далекие от частоты Брэгга, не подавляются.

На рис. 10 представлены кривые аналогичные кривым рис. 8, но в асимметричном случае, при $\varepsilon = 0.5.$ Из рисунка следует многократное увеличение спектрально-угловой плотности ПРИВ (по сравнению с рис. 8).

Рассмотрим спектрально-угловую плотность излучений в случае меньшей энергии релятивистских электронов (при $\gamma = 100$). Угол максимума спектрально-угловой плотности ПРИВ в рассматриваемом случае имеет значение $\theta _{ \bot }^{{\max }} \approx 9$ мрад. На рис. 11, 12 построены кривые, описывающие спектрально-угловые плотности ПРИВ, ПИ и их интерференцию. На рис. 11 кривые построены в случае в основном конструктивной интерференции ПРИВ и ПИ. На рис. 12 интерференция ПРИВ и ПИ деструктивна, однако фон переходного излучения в области пика ПРИВ очень мал. Этот фон подавлен за счет деструктивной интерференции волн переходного излучения из передней и задней границы, то есть выполняется условие (16). Необходимо отметить, существенное уменьшение амплитуды пика ПРИВ при $\gamma = 100,$ по сравнению с $\gamma = 200{\text{,}}$ однако фон переходного излучения уменьшается еще больше.

Рассмотрим спектрально-угловую плотность излучений в случае меньшей энергии релятивистских электронов, при $\gamma = 50.$ Угол максимума спектрально-угловой плотности ПРИВ в этом случае $\theta _{ \bot }^{{\max }} \approx 12$ мрад. Из рис. 13 и 14 следует, как и ожидалось, еще большее уменьшениe фона переходного излучения, относительно амплитуды пика ПРИВ.

Если это необходимо, то формулы (9), (14) и (17) позволяют провести их усреднение по всем возможным прямолинейным траекториям электронов в пучке. Например, в случае распределения Гаусса электронов в пучке: $f(\psi ) = \frac{1}{{\pi \psi _{0}^{2}}} \times $ $ \times \,\,\exp \left( { - \frac{{\psi _{ \bot }^{2} + \psi _{\parallel }^{2}}}{{\psi _{0}^{2}}}} \right),$ усреднение спектрально-угловых плотностей будет иметь вид

С целью учета многократного рассеяния излучающих электронов в среде можно провести усреднение спектрально-угловых плотностей излучений по угловому распределения электронов в пучке в виде функции Гаусса, меняющейся с длиной пути прохождения в мишени $t$ за счет многократного рассеяния электрона:

то есть усредним по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов на длине пути электрона в мишени ${{L}_{e}}.$ Здесь $\psi _{s}^{2} = \frac{{E_{s}^{2}}}{{{{m}^{2}}{{{\gamma }}^{2}}}}\frac{1}{{L_{R}^{{}}}}{{\left( {1 + 0.038{\text{ ln}}\left( {\frac{t}{{{{L}_{R}}}}} \right)} \right)}^{2}}$ − средний квадрат угла многократного рассеяния электрона на единице длины [17], ${{E}_{s}} \approx \frac{{4\pi {{m}^{2}}}}{{{{e}^{2}}}} \approx 21\,\,{\text{МэВ,}}$ $L_{R}^{{}}$ − радиационная длина. Усреднение спектрально-угловых плотностей, в этом случае, будет иметь вид:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развита динамическая теория когерентного рентгеновского излучения, возбуждаемого в периодической слоистой среде пучком релятивистских электронов в направлении, близком к оси пучка. Процесс излучения рассмотрен в геометрии рассеяния Брэгга для общего случая асимметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени. На основе двухволнового приближения динамической теории дифракции получены выражения, описывающие спектрально-угловые плотности ПРИВ, ПИ и интерференционное слагаемое. Показана возможность наблюдения ПРИВ. Показано, что интерференция ПРИВ и ПИ может быть, как конструктивной, так и деструктивной. Уменьшение параметра асимметрии $\varepsilon $ может привести к существенному росту амплитуды спектрально-угловой плотности ПРИВ. Уменьшение энергии излучающих электронов приводит к уменьшению амплитуды спектрально-угловой плотности ПРИВ, однако положительным моментом является существенное уменьшение фона переходного излучение в этом случае.

Проведенный анализ и полученные в настоящей работе выражения для спектрально-угловых плотностей ПРИВ, ПИ (и их интерференции) можно использовать для определения оптимальных параметров эксперимента по регистрации ПРИВ-пучка релятивистских электронов, пересекающих мишень из периодической слоистой среды.