Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2021, № 10, стр. 84-88

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему моменту известно, что немагнитные примеси и дефекты структуры влияют на тепловые и магнитные характеристики спиновых систем, если критический индекс теплоемкости, соответствующий “чистой” системе, положителен, т.е. α > 0. В противоположном случае, когда α < 0, слабый беспорядок не влияет на критическое поведение (критерий Харриса [1]). В то же время имеются основания предполагать, что примеси оказывают совершенно другое влияние, вплоть до изменения рода фазового перехода в случае спиновых систем, испытывающих в однородном состоянии фазовый переход первого рода [2].

В работе исследованы фазовые переходы в двумерной слабо разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 на квадратной решетке при концентрации спинов p = 0.95. Исследования проведены на основе кластерного алгоритма Вольфа метода Монте-Карло [3]. Для двумерной модели Поттса с q = 5 до сих пор нет достоверных данных о влиянии незначительной концентрации немагнитных примесей на тепловые и магнитные свойства, не исследовано их влияние на фазовые переходы, нет сведений о зависимости критических индексов от концентрации немагнитных примесей [4]. Единственным надежно установленным фактом является, то, что в “чистой” модели реализуется фазовый переход первого рода согласно аналитическим методам [5].

МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

В узлах i квадратной решетки L × L с периодическими граничными условиями расположены спины ${{S}_{i}}$, которые могут находиться в одном из состояний q = 1, 2, 3, 4, 5, и немагнитные примеси (S_i = 0). Немагнитные примеси неподвижны. Энергия связи между двумя узлами равна нулю, если хотя бы в одном узле находится немагнитная примесь или если взаимодействующие спины находятся в различных состояниях, и равна J, если оба узла заняты магнитными атомами, находящимися в одинаковых состояниях. Гамильтониан такой системы можно записать в следующем виде [5]:

где $\delta ({{S}_{i}},{{S}_{j}})$ = $\left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} = {{S}_{j}}, \hfill \\ 0,\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} \ne {{S}_{j}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ ${{\rho }_{i}} = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,{\text{если}}\,\,{\text{в}}\,\,{\text{узле}}\,\,{\text{расположен}}\,\,{\text{спин}} \\ {\text{0,}}\,\,{\text{если}}\,\,{\text{в}}\,\,{\text{узле}}\,\,{\text{расположена}}\,\,{\text{немагнитная}}\,\,{\text{примесь}} \\ \end{gathered} \right.,$

и J – параметр обменного ферромагнитного взаимодействия ближайших соседей (в дальнейшем считаем J = 1 и работаем с безразмерной температурой). Концентрация магнитных атомов определяется суммированием всех состояний атомов во всех узлах решетки:

где ${{N}_{{{\alpha }}}} = \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}},{{N}_{3}},{{N}_{4}},{{N}_{5}}} \right\},$ N₁ – число спинов в состоянии с q = 1, N₂ – число спинов в состоянии с q = 2, N₃ – число спинов в состоянии с q = 3, N₄ – число спинов в состоянии с q = 4, N₅ – число спинов в состоянии с q = 5. Были рассмотрены системы с линейными размерами L × L = N, L = 10–160.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

За температурным поведением теплоемкости и восприимчивости наблюдали с использованием флуктуационных соотношений [6]:

где K = |J|/k_BT, N = pL² – число магнитных узлов, U – внутренняя энергия, m_F – намагниченность системы, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. В качестве намагниченности (m_F) для ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 использовали следующее выражение [7]: где ${{N}_{{\max }}} = \max \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}},{{N}_{3}},{{N}_{4}},{{N}_{5}}} \right\},$ N_i – число спинов в состоянии с q = i, N = pL².

На рис. 1 и 2 представлены характерные зависимости восприимчивости χ и теплоемкости C от температуры T для двумерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса c числом состояний спина q = 5 на квадратной решетке для систем с линейными размерами L = 10–160 при концентрации спинов p = 0.95. Здесь и далее на всех рисунках погрешность данных не превышает размеров символов, используемых для построения графиков. Отметим, что на зависимостях восприимчивости χ и теплоемкости C от температуры всех исследуемых систем проявляются четко выраженные максимумы, и эти максимумы в пределах погрешности соответствуют одной температуре.

На рис. 3 представлены температурные зависимости намагниченности m_F для двумерной трехвершинной слабо разбавленной модели Поттса при p = 0.95. Как видно из рисунка, наблюдается монотонное уменьшение m_F c ростом температуры и заметное уменьшение высокотемпературных “хвостов” при увеличении линейного размера L.

Для анализа характера фазового перехода применялся метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [8]:

где Е – энергия и т – намагниченность системы с линейным размером L. Выражения (6) и (7) позволяют определить температуру фазового перехода Т_l(p), соответственно, первого и второго рода с большой точностью. Данный метод хорошо зарекомендовал себя и при определении рода фазового перехода [9]. Характерные зависимости энергетических кумулянтов Биндера V_L(T,p) от температуры для слабо разбавленных систем с разными линейными размерами при концентрации спинов p = 0.95 приведены на рис. 4. Из рисунка видно, что нетривиальная величина $V* \to {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}$ в соответствии с выражением $V(T,p) = V{\text{*}} + b{{L}^{{ - d}}}$ при $L \to \infty .$ Такое поведение, как известно, характерно для фазового перехода второго рода. Кроме того, для кумулянтов Биндера U_L(T, p) (рис. 5) в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения, и U_L(T, p) не стремится к –∞ при L → ∞, что также свидетельствует о фазовом переходе второго рода. Определенная методом кумулянтов Биндера температура фазового перехода Т_l(p) при p = 0.95 в единицах |J|/k_B равна: Т_l(0.95) = 0.796(2). Температуры фазовых переходов для других концентраций спинов p = 1.00, 0.90, 0.80 были получены в [10, 11].

Кроме кумулянтов Биндера для анализа рода фазового перехода был использован и гистограммный анализ данных метода Монте-Карло [12, 13]. Гистограммный анализ, проведенный для двумерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 5 на квадратной решетке при концентрации спинов p = 0.95, также свидетельствует о фазовом переходе второго рода. На рис. 6 представлена гистограмма распределения энергии вблизи точки фазового перехода T_l для систем с линейным размером L = = 120. Как видно из рисунка, бимодальность гистограммы распределения энергии, наблюдаемую в “чистой” неразбавленной двумерной модели Поттса [14, 15], в случае внесения незначительной концентрации примесей порядка 5% обнаружить не удалось. На зависимости вероятности P от энергии Е системы с L = 120 наблюдается один хорошо выраженный максимум (рис. 6), что является одним из достаточных условий фазового перехода второго рода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, данные, полученные на основе вычислительного эксперимента, свидетельствуют о том, что в двумерной ферромагнитной модели Поттса с q = 5 внесение небольшого беспорядка в виде немагнитных примесей концентрацией c = 5% (с = 1 – p) каноническим способом достаточно для изменения порядка фазового первого рода – с первого на второй.